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专题2 整式与分式
整式的有关概念
1.用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把 或表示 连接而成的式子叫作代数式，代数
式分为 、 和 .
2.(1)由数与字母的 组成的代数式叫作单项式(单独一个数或 也是单项式).单项式中的
叫作这个单项式的系数；单项式中的所有字母的指数的 叫作这个单项式的次数.
(2)几个单项式的 叫作多项式.在多项式中，每个单项式叫作多项式的 ，其中次数最高的项的
叫作这个多项式的次数. 不含字母的项叫作 .
(3)整式: 与 统称整式.
3.同类项：在一 个 多项 式中，所含 相同并且相同字母的 也分别相等的项叫作同类项.合并
同类项的法则是 .
4.幂的运算性质： a⁰ = a⁻ⁿ= (a≠0,n 为正整数);( aᵐ⋅aⁿ= ; (a" )" = ; (ab)" =
;
;aᵐ÷aⁿ=_.
5.整式的乘法公式：
(1)(a+b)(c+d)= ;
(2)(a+b)(a-b)= ;
(3)(a+b)²=
;
(4)(a−b)²=
.
6.整式的除法
(1) 单项式除以 单项式的法则：把 、 分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的
，则连同它的 一起作为商的一个因式.
(2)多项式除以单项式的法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个 ，再把所得的商 .
分式的概念
7.分式：整式A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果除式B中含有 ，那么称AB为分式.若
A
，则AB有意义；若 ,则A/B无意义;若 ,则 =0.
B
8.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 的整式，分式的 .用式子表示为
9.约分：把一个分式的分子和分母的 约去，这种变形称为分式的约分.
10.通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为 的分式，这一过程称为分式的通分.
11.分式的运算
(1)加减法法则：
①同分母的分式相加减： .
②异分母的分式相加减： .
(2)乘法法则: .
乘方法则： .
(3)除法法则: .
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12.因式分解：就是把一个多项式化为几个整式的 的形式.分解因式要进行到每一个因式都不能
为止.
13.因式分解的方法：
(1) ;
(2) ;
(3) ;
(4) .
14.提公因式法: ma+ mb+ mc= .
15.平方差与完全平方公式法：
(1)a²−b²=
;
(2)a²+2ab+b²=
;
(3)a²−2ab+b²=
.
16.十字相乘法： x²+(p+q)x+ pq= .
17.因式分解的一般步骤：一 ，二 .
实战演练
1.下列运算一定正确的是 ( )
A.(a²b³)²=a⁴b⁶ B.3b²+b²=4b⁴
C.(a⁴)²=a⁶ D.a³⋅a³=a⁹
1 6
2. 化简 − 的结果是 ( )
a−3 a2−9
1
A. B. a-3
a+3
1
C. a+3 D.
a−3
3.下列计算正确的是 ( )
A.m+m=m²
B.2(m-n)=2m-n
C.(m+2n)²=m²+4n²
D.(m+3)(m−3)=m²−9
4.为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动.现需购买甲，乙两种读
本共 100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为 8 元/本，设购买甲种读本x
本，则购买乙种读本的费用为 ( )
A.8x元 B.10(100-x)元
C.8(100-x)元 D.(100-8x)元
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5.因式分解: 1−4 y²=()
A.(1-2y)(1+2y) B.(2-y)(2+y)
C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y)
6.已知 9m = 3,27n = 4. 则 3²ᵐ⁺³ⁿ= ( )
A.1 B.6 C.7 D.12
7.下列整式中，是二次单项式的是 ( )
A.x²+1 B. xy
C. x²y D.-3x
8.已知x+y=4,x-y=6,则
x²−y²=
.
9.分 解 因 式: 5x²− 5 y²=
.
( x+1 1 ) 3
10.以下是某同学化简分式 − ÷ 的部分运算过程：
x2−4 x+2 x−2
解：原式
[ x+1 1 ] x−2
= − x
①
(x+2)(x−2) x+2 3
[ x+1 x−2 ] x−2
= − ×
②
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) 3
x+1−x−2 x−2
= ×
③
(x+2)(x−2) 3
…
解：
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误；
(2)请你写出完整的解答过程.
1
11.先化简，再求值： (x+ y)(x−y)+(xy²−2xy)÷x,其中 x=1,y= .
2
( a 2 ) b a−b
12.计算 − + )÷ .
b2+ab a+b a2+ab ab
压轴预测
1.下列分解因式正确的是 ( )
A. a(2a-b)+b(b-2a)=(a-b)(2a-b)
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B.2a²−4a+9=(2a−3)²
C.a²−5a+6=(a+6)(a−5)
D.3a²−12=3(a+4)(a−4)
3 1
2.化简 ÷ 的结果是 ( )
x2−9 x2−3x
x 3x
A. B.
x+3 x−3
3x 3
C. D.
x+3 x(x+3)
3.化简: (x+3)²−x(x+5).
( 3 ) x2−2x+1
4.先化简，再求值： 1− ÷ ,其中 1.x=√3+1.
x+2 3x+6
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参考答案
1.数 数的字母 整式 分式 无理式
2.(1)积 一个字母 数字因数 和
(2)和 一个项 次数 常数项
(3)单项式 多项式
3.字母 指数 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变
1
4.1 am+namnanbnam−n
an
5.(1) ac+ ad+ bc+ bd
(2)a²−b²
(3)a²+2ab+b²
(4)a²−2ab+b²
6.(1)单项式的系数 同底数幂
字母指数
(2)单项式 相加
7.字母 B≠0 B=0 B≠0且A=0
A A⋅M A÷M
8.不等于零 值不变 = = (B≠0,M≠0)
B B⋅M B÷M
9.公因式
10.同分母
11.(1)①分母不变，把分子相加减 ②先通分，再按同分母分式的加减法法则进行运算
(2)把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母 分子与分母分别乘方
(3)把除式的分子与分母颠倒位置后再与被除式相乘
12.积 分解
13.(1)提公因式法 (2)公式法
(3)十字相乘法 (4)分组分解法
14. m(a+b+c)
15.(1)(a+b)(a-b)
(2)(a+b)²
(3)(a−b)²
16.(x+p)(x+q)
17.提公因式 运用公式
1. A
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1 6 a+3 6 a+3−6 1
2. A 【解析】本题考查分式的化简. − = − = = ,
a−3 a2−9 (a−3)(a+3) (a−3)(a+3) (a−3)(a+3) a+3
故选 A.
3. D
4. C 【解析】本题考查列代数式.设购买甲种读本x本，则购买乙种读本(100-x)本，所以购买乙种读本的费用
为8(100-x)元,故选 C.
5. A 【解析】本题考查因式分解.1-4y²=(1+2y)·(1-2y), 故选 A.
在把一个多项式进行因式分解时，一般按以下步骤进行：①观察多项式的各项是否有公因式，若有，则先提
公因式；②当一个多项式的各项没有公因式(或有公因式提出公因式后)时，观察多项式是否符合平方差公式或完全
平方公式，若符合公式，就按照公式进行分解；③当用上述方法不能直接分解时，可根据多项式的特点将其适当
进行分组变形成能提公因式或运用公式的形式，再进行分解.
6. D
7. B 【解析】本题考查单项式的概念.根据已知的四个选项 x²+1是多项式，不符合题意； xy是二次单项式，
符合题意；x²y是三次单项式，不符合题意；-3x是一次单项式，不符合题意，故选 B.
8.24 【解析】本题考查代数式求值.由题意可得. x²−y²=(x+y)(x-y).∵x+y=4,x-y=6,∴原式=4×6=24.
9.5(x+y)(x-y)【解析】本题考查因式分解. 5x²− 5 y²=5(x²−y²)=5(x+ y)(x−y).
1
10.(1)3 (2)
x+2
解:(1)③.
x+1 1 x−2
(2)原式 =| − ]×
(x+2)(x−2) x+2 3
x+1 x−2 x−2
=| − ×
(x+2)(x−2) (x+2)(x−2) 3
x+1−x+2 x−2
= ×
(x+2)(x−2) 3
3 x−2
= ×
(x+2)(x−2) 3
1
= .
x+2
11.0
解：原式 =x²−y²+ y²−2y
=x²−2y.
1
当 x=1,y= 时,原式=1-1=0.
2
a−b
12.
a+b
先对括号内分式分母进行因式分解，再利用分配律去掉括号，并将除法转化为乘法，根据完全平方公式和平
方差公式化简，约分后可得最简分式.
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a 2 b a−b
=| − + ÷
解：原式
b(b+a) a+b a(a+b) ab
a ab 2 ab b
= × − × + ×
b(b+a) a−b a+b a−b a(a+b)
ab
a−b
a2−2ab+b2
=
a2−b2
(a−b) 2
=
a2−b2
a−b
= .
a+b
压轴预测
1. A 【解析】本题考查因式分解.a(2a-b)+b(b-2a)=a(2a-b)-b(2a-b)=(a-b)(2a-b),A选项正确;
(2a−3)²=(2a)²+3²−(2×2a×3)=4a²−12a+9,B选项错误； a²−5a+6=a²+[(−2)+(−3)]a+[(−2)×
(--3)]=(a--2)·(a-3),C 选项错误; 3a²−12= 3(a²−4)=3(a+2)(a−2),，D选项错误，故选 A.
3 1 3 3x
2. C 【解析】本题考查分式的化简. ÷ = ⋅x(x−3)= , 故选C.
x2−9 x2−3x (x+3)(x−3) x+3
3. x+9
利用完全平方公式及单项式与多项式的乘法运算计算，然后去括号、合并同类项即可得到答案.
解：原式： =x²+6x+9−x²−5x=x+9.
4. √3
(x+2 3 ) (x−1) 2
解：原式 = − ÷
x+2 x+2 3(x+2)
x−1 3(x+2)
= ⋅
x+2 (x−1) 2
3
= .
x−1
3 3
当 x=√3+1时，原式 = = =√3.
√3+1−1 √3
7
