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第 02 讲 整式与因式分解
目 录
一、考情分析
二、知识建构
考点一 代数式的相关概念.................4
题型01 列代数式..................4
题型02 代数式的实际意义..........4
考点二 整式的相关概念...................5
题型01 判断单项式的系数、次数....5
题型02 与单项式有关的规律题......6
题型03 判断多项式的项、项数、次数6
考点三 整式的运算.......................7
题型01 判断同类项...............10
题型02 合并同类项...............11
题型03 添（去）括号.............11
题型04 整式的加减...............11
题型05 整式加减的应用...........12
题型06 幂的基本运算.............13
题型07 幂的逆向运算.............14
题型08 幂的混合运算.............14
题型09 整式的乘法...............15
题型10 整式的除法...............15
题型11 利用乘法公式计算.........16
题型12 通过对完全平方公式变形求值16
题型13 乘法公式的几何验证.......17
考点四 整式化简求值（高频考点）.........19
题型01 整式化简-直接代入法......20
题型02 整式化简-间接代入法......20
题型03 整式化简-整体代入法......20
题型04 整式化简-赋值法..........20
题型05 整式化简-隐含条件求值....21
题型06 整式化简-利用“无关”求值21
题型07 整式化简-配方法..........21
题型08 整式化简-平方法..........21
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题型09 整式化简-特殊值法........21
题型10 整式化简-设参法..........22
题型11 整式化简-利用根与系数关系求值 22
题型12 整式化简-消元法求值......22
题型13 整式化简-倒数法求值......22
考点五 因式分解.........................22
题型01 判断因式分解.............23
题型02 选用合适的方法因式分解...24
题型03 与因式分解有关的探究题...24
考点要求 新课标要求 命题预测
借助现实情境了解代数式，进一步理解用字 中考数学中，整式这个考点
母表示数的意义； 一般会考学生对整式化简计算的
代数式的相关概念
能分析具体问题中的简单数量关系，并用代 应用，偶尔考察整式的基本概
数式表示； 念，对整式的复习，重点是要理
理解整式的概念，掌握合并同类项 解并掌握整式的加减法则、乘除
法则及幂的运算，难度一般不大.
和去括号的法则，能进行简单的整式加法和
整式的相关概念 减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中 因式分解作为整式乘法的逆
运算，在数学中考中占比不大，
多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二
次式相乘) 但是依然属于必考题，常以简单
选择、填空题的形式出现，而且
能推导乘法公式；了解公式的几何
整式的运算 一般只考察因式分解的前两步，
背景，并能利用公式进行简单计算
拓展延伸部分基本不考，所以学
生在复习这部分内容时，除了要
整式化简求值 灵活运用多种方法化简代数式
扎实掌握好基础，更需要甄别好
能用提公因式法、公式法(直接利用 主次，合理安排复习方向.
因式分解 公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整
数)
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考点一 代数式的相关概念
代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.
代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做
代数式的值.
1. 代数式中不含有=、<、>、≠等.
2. 单独的一个数或一个字母也是代数式.
3. 列代数式时注意事项：
①仔细辨别词义． 列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，
“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．
②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．
③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，
且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．
④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，
数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位
名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．
⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．
题型01 列代数式
【例1】（2023吉林长春中考真题）2023长春马拉松于5月21日在南岭体育场鸣枪开跑，某同学参加了
7.5公里健康跑项目，他从起点开始以平均每分钟x公里的速度跑了10分钟，此时他离健康跑终点的路程
为 公里．（用含x的代数式表示）
【变式1-1】（2023江苏中考真题）若圆柱的底面半径和高均为a，则它的体积是 （用含a的代数式
表示）．
题型02 代数式的实际意义
【例2】（2023河北中考真题）代数式-7x的意义可以是（ ）
A． -7与x的和 B．-7与x的差 C．-7与x的积 D．-7与x的商
【变式2-1】（2020·内蒙古通辽·中考真题）下列说法不正确的是( )
A．2a是2个数a的和 B．2a是2和数a的积
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C．2a是单项式 D．2a是偶数
考点二 整式的相关概念
判断依据 次数 系数与项数
单项 ①数字与字母或字母与字母相乘组成 系数：单项式中不为零
所有字母指数的和
式 的代数式 ②单独的一个数或字母 的数字因数
整式
多项 项数：多项式中所含单
几个单项式的和 次数最高项的次数
式 项式的个数
1.由定义可知，单项式中只含有乘法运算.
2.一个单项式中只含有字母因数时，它的系数是1或者-1，不能认为是0. 一个单项式是一个常数时，
它的系数就是它本身.确定一个单项式的系数，要注意包含在它前面的符号.例如：-（3x）的系数是-3.
3.圆周率π是常数，当它出现在单项式中时，应将其作为系数的一部分，而不能当成字母.
4.单项式的指数只和字母的指数有关，与系数的指数无关.如单项式－25x2y3z4的次数是2＋3＋4=9而
不是14.
5.由定义可知，多项式中可以含有:乘法、加法、减法运算.
6. 多项式有统一的次数，但是没有统一的系数，多项式中的每一项有自己的系数.
7. 多项式通常以它的次数和项数来命名，称几次（最高次项的次数）几项（多项式项数）式.
题型01 判断单项式的系数、次数
【例1】（2023·江西·统考中考真题）单项式−5ab的系数为 ．
πx y3
【变式1-1】（2023·广东·模拟预测）单项式− 的系数是 ．
2
【变式1-2】（2023·广东·统考模拟预测）已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是（
）
A．−2x y2 B．3x2 C．2x y3 D．2x3
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题型02 与单项式有关的规律题
【例2】（2023·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式： ，第n个单项
式是（ ）A．√n B． C． D．
【变式2-1】（2022·云南·中考真题）按一定规律排列的单项式：x，3x2，5x3，7x4，9x5，……，第n个单
项式是（ ）
A．(2n-1)xn B．(2n+1)xn C．(n-1)xn D．(n+1)xn
4 8 16 32
【变式2-2】（2022·云南昆明·统考三模）按一定规律排列的代数式：2，− ， ，− ，
x2 x4 x6 x8
，……，第n个单项式是（ ）
2n 2n 2n 2n
A．(−1) n B．(−1) n−1 C．(−1) n−1 D．(−1) n−1
x2n−2 x2n−2 x2n x2n−2
【变式2-3】（2022·云南昆明·昆明市一模）按一定规律排列的单项式：3b2，5a2b2，7a4b2， ，
11a8b2，…，第8个单项式是（ ）
A．17a14b2 B．17a8b4 C．15a7b14 D．152a14b2
【变式2-4】（2022·云南文山·统考二模）一组按规律排列的单项式：−4x，7x2， ，13x4，
−16x5，…，根据其中的规律，第12个单项式是（ ）
A．−31x12 B．34x12 C．37x12 D．−40x11
通过观察与归纳，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键．
题型03 判断多项式的项、项数、次数
【例3】（2023·广东茂名一模）多项式a3+2ab+a−3的次数和常数项分别是( )A．6，3 B．6，−3
C．3，−3 D．3，3
【变式3-1】（2023·江西赣州市模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．2πmn的系数是2π B．−82ab2的次数是5次
C．x y3+3x2y−4的常数项为4 D．11x2−6x+5是三次三项式
1
【变式3-2】（2023·广东茂名·校考一模）多项式ab− πa2b+3最高次项的系数是 ，次数是 ．
3
考点三 整式的运算
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同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.
合并同类项 把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.
整式的
括号外是“+”，添(去) 括号不变号，
加减
添（去）括号法则
括号外是“-”，添(去) 括号都变号.
整式的加减法则 几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.
1.所有常数项都是同类项.
2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项.
“两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可.
“两无关”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关.
“一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变.
3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式.
4.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
5.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误.
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1．幂的乘方法则的条件是“幂”的乘方，结论是“底数不变，指数相乘”．这里的“底数不变”是指
“幂”的底数“a”不变．例如：(a3)2=a6，其中，“幂”的底数是“a”，而不是“a2”，指数相乘是指
“3×2”．
2．同底数幂的乘法和幂的乘方在应用时，不要发生混淆．
3．式子(a+b)2不可以写成a2 +b2，因为括号内的a与b是“加”的关系，不是“乘”的关系．
4．应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式都分别乘方；要特别注意系数及系数符号，对于
系数是负数的要多加注意.
整式的乘除 运算步骤说明 补充说明及注意事项
①将单项式系数相乘作为积的系数;
②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法， 1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法
单项式乘单
作为积的一个因式; 法则的综合应用.
项式
③单独出现的字母，连同它的指数，作为积 2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式 .
的一个因式.
1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式
单项式乘多 ①先用单项式和多项式的每一项分别相乘； 乘以单项式
项式 ②再把所得的积相加. 2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的
项数与原多项式的项数相同.
运用法则时应注意以下两点：
①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到
①先用一个多项式的每一项与另一个多项式 不重不漏；
多项式乘多
的每一项相乘， ②多项式与多项式相乘，多项式的每一项
项式
②再把所得的积相加． 都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多
项式，在合并同类项之前，积的项数应等
于原多项式的项数之积．
①将单项式系数相除作为商的系数；
单项式除单 ②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，
项式 作为商的一个因式；
③只在被除式里含有的字母连同指数不变.
①先把这个多项式的每一项除以这个单项
多项式除单
式；
项式
②再把所得的商相加
整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.
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完全平方公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平
方公式做出几何解释．
2. 常见验证完全平方公式的几何图形
结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别
是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
平方差公式的几何背景
1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公
式做出几何解释．
2. 常见验证平方差公式的几何图形
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结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
题型01 判断同类项
【例1】（2022·湖南湘潭·中考真题）下列整式与ab2为同类项的是（ ）
A．a2b B．−2ab2 C．ab D．
【变式1-1】（2023·浙江绍兴·一模）下列每组中的两个代数式，属于同类项的是（ ）
3
A．7a2b和3ab2 B． x2y和−2x2y C．x2yz和x2y D．3x2和3 y2
7
题型02 合并同类项
【例2】（2023·四川自贡·中考真题）计算： ．
【变式2-1】（2022·山东淄博·中考真题）计算 的结果是（ ）
A．﹣7a6b2 B．﹣5a6b2 C．a6b2 D．7a6b2
题型03 添（去）括号
【例3】（2023·河北衡水·校考模拟预测）关于−a−b进行的变形或运算：①−a−b=−(a+b)；②
(−a−b) 2=(a+b) 2；③|−a−b|=a−b；④(−a−b) 3=−(a−b) 3．
其中不正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【变式3-1】（2022·河北邯郸·校联考三模）等号左右两边一定相等的一组是（ ）
A．−(a+b)=−a+b B．a3=a+a+a
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C．−2(a+b)=−2a−2b D．−(a−b)=−a−b
题型04 整式的加减
【例4】（2022·西藏·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．2ab﹣ab＝ab B．2ab+ab＝2a2b2
C．4a3b2﹣2a＝2a2b D．﹣2ab2﹣a2b＝﹣3a2b2
【变式4-1】（2022·浙江杭州·校考二模）化简（2a﹣b）﹣（2a+b）的结果为（ ）
A．2b B．﹣2b C．4a D．-4a
【变式4-2】（2023·浙江金华·一模）如图是一道关于整式运算的例题及正确的解答过程，其中A，B是两
个关于x的二项式．
【例题】先去括号，再合并同类项：
2(A)−3(B)
解：原式=4x−6−9x−15=________________
(1)二项式A为________，二项式B为________．
(2)当x为何值时，A与B的值相等？
【变式4-3】（2022·河北保定·一模）已知：整式A=(2x−3)+(3x+5)．
(1)化简整式A；
(2)若2A+B=5x+6，
①求整式B；
②在“ ”的“□”内，填入“+，−，×，÷”中的一个运算符号，经过计算发现，结果是不含一次项
的整式，请你写出一个符合要求的算式，并计算出结果．
整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以
及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.
需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；
②不能出现带分数，带分数要化成假分数.
涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；
③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过
程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.
题型05 整式加减的应用
【例5】（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上3xy+2y2−8，结果得2xy+3 y2−5，则这个
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多项式为 ．
【变式5-1】（2023·湖南长沙·校考三模）已知有2个完全相同的边长为a、b的小长方形和1个边长为
m、n的大长方形，小明把这2个小长方形按如图所示放置在大长方形中，小明经过推事得知，要求出图中
阴影部分的周长之和，只需知道a、b、m、n中的一个量即可，则要知道的那个量是（ ）
A．a B．b C．m D．n
【变式5-2】（2023·河北邯郸·二模）如图，两个三角形的面积分别是6和4，对应阴影部分的面积分别是
m和n，则m﹣n等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式5-3】（2023·四川德阳·中考真题）在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明
参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，
填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和分别相等，且均为m．王小明抽取到
的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m= ．
16
7
4
【变式5-4】（2022·四川乐山·中考真题）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，
就称它为“优美矩形”，如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
【变式5-5】（2022·浙江金华·中考真题）如图1，将长为2a+3，宽为2a的矩形分割成四个全等的直角三
角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．
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(1)用关于a的代数式表示图2中小正方形的边长．
(2)当a=3时，该小正方形的面积是多少？
【变式5-6】（2023·江苏盐城·景山中学校考三模）三角形的一边长为2a+b，第二边比第一边长a+2b，
第三边长为3a+3b．
(1)用代数式表示三角形的周长；
(2)当a=3，b=2时，求三角形的周长．
题型06 幂的基本运算
【例6】（2023·安徽·中考真题）下列计算正确的是（ ）
A．a4+a4=a8 B．a4 ⋅a4=a16 C．(a4) 4 =a16 D．
【变式6-1】（2023·湖北武汉·中考真题）计算(2a2) 3 的结果是（ ）
A． B． C． D．8a6
【变式6-2】（2023·黑龙江绥化·中考真题）下列计算中，结果正确的是（ ）
A．(−pq) 3=p3q3 B．x⋅x3+x2 ⋅x2=x8
C．√25=±5 D．(a2) 3 =a6
【变式6-3】（2023·湖南·中考真题）计算
(1 x3) 2
的结果正确的是（ ）
2
1
A．x6 B． x6 C． D．
4
【变式6-4】（2023·江苏泰州·中考真题）若a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．(−a) 0=1 B．a6÷a3=a2 C．a−1=−a D．
【变式6-5】（2023·内蒙古·中考真题）下列各式计算结果为a5的是（ ）
A．(a3) 2 B．a10÷a2 C． D．
题型07 幂的逆向运算
【例7】（2023·四川德阳·中考真题）已知3x= y，则3x+1=（ ）
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A．y B．1+ y C．3+ y D．3 y
【变式7-1】（2023·江苏镇江·中考真题）如图，在甲、乙、丙三只袋中分别装有球29个、29个、5个，
先从甲袋中取出2x个球放入乙袋，再从乙袋中取出(2x+2y )个球放入丙袋，最后从丙袋中取出2y个球放入
甲袋，此时三只袋中球的个数相同，则2x+y的值等于（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
【变式7-2】（2023·湖南湘潭·模拟预测）若3m=4，9n=7，则3m−2n= ．
【变式7-3】（2023·河北·模拟预测）若43x=2021,47y=2021，则代数式xy与x+ y之间关系是 ．
【变式7-4】（2023·河南焦作·一模）已知2x=8，则2x−3的值为 ．
题型08 幂的混合运算
【例8】（2023·浙江温州·中考真题）化简a4 ⋅(−a) 3的结果是（ ）
A．a12 B． C． D．−a7
【变式8-1】（2023·湖南常德·校考一模）计算：(x2) 3 ⋅x−3=（ ）
A． B．x3 C． D．−x18
【变式8-2】（2023·湖北襄阳·模拟预测）(a3) 2 ÷(a⋅a3)+a2= ．
幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质，要做到不但会直接套用公式，还要能逆用. 其次要注
意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式将其分解. 第三幂的底数是常数且指数
中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算
（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 第四底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大
小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘.
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题型09 整式的乘法
【例9】（2023·陕西·中考真题）计算： （ ）
A．3x4 y5 B．−3x4 y5 C．3x3y6 D．−3x3y6
【变式9-1】（2022·陕西西安·校考三模）计算：（3m﹣1）（m+5）．
【变式9-2】（2022·重庆·校联考一模）计算题
(1)(3ab2−2ab)⋅ab
(2)(x−2y)(x2−xy+4 y2)
当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，
然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率.
题型10 整式的除法
【例10】（2023·江苏扬州·中考真题）若 ，则括号内应填的单项式是( )
A．a B．2a C．ab D．2ab
【变式10-1】（2023·山东青岛·中考真题）计算：8x3y÷(2x) 2= ．
【变式10-2】（2023·北京·模拟预测）计算：
( 4x4−x3+ 2 x2) ÷(−2x2)．
3
【变式10-3】（2022·吉林·中考真题）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中A是关于m的多项式．
请写出多项式A，并将该例题的解答过程补充完整．
例先去括号，再合并同类项：m（A）−6(m+1)．
解：m（A）−6(m+1)=m2+6m−6m−6= ．
题型11 利用乘法公式计算
【例11】（2023·甘肃兰州·中考真题）计算：(x+2y)(x−2y)−y(3−4 y)．
【变式11-1】（2023·青海西宁·中考真题）计算：(2a−3) 2−(a+5)(a−5)．
【变式11-2】（2023·天津·中考真题）计算 的结果为 ．
【变式11-3】（2023·江西·中考真题）计算：（a+1）2﹣a2= ．
1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
15
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题：
①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式；
②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；
③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
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题型12 通过对完全平方公式变形求值
【例12】（2022·山东滨州·中考真题）若m+n=10，mn=5，则 的值为 ．
【变式12-1】（2022·四川德阳·中考真题）已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy= ．
【变式12-2】（2023·广东云浮·一模）若a+b=3， ，则ab等于（ ）
A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1
1
【变式12-3】（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+ ＝3，求下列各式的值：
x
1 1
(1)（x﹣ ）2；(2)x4+ ．
x x4
乘法公式求值类的题目，关键在于恒等变形，反复利用平方差公式和完全平方公式，结合公式中
各项的情况，做出相应的变形.
题型13 乘法公式的几何验证
【例13】（2023·四川攀枝花·中考真题）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以
下4组图形及相应的代数恒等式：
①(a+b) 2=a2+2ab+b2 ②(a−b) 2=a2−2ab+b2
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③ ④(a−b) 2=(a+b) 2−4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式13-1】（2022·贵州六盘水·中考真题）如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为a，b的正方形秧
田A，B，其中不能使用的面积为M．
(1)用含a，M的代数式表示A中能使用的面积___________；
(2)若 ，a−b=5，求A比B多出的使用面积．
【变式13-2】（2022·湖北随州·中考真题）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数
学发展史的一个里程碑．在该书的第2幕“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结
论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，（下
面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号）
公式①：(a+b+c)d=ad+bd+cd
公式②：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd
公式③：(a−b) 2=a2−2ab+b2
公式④：(a+b) 2=a2+2ab+b2
图1对应公式______，图2对应公式______，图3对应公式______，图4对应公式______；
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2的方法，如图5，请写出
证明过程；（已知图中各四边形均为矩形）
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(3)如图6，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端
点重合），过点E作EG⊥BC于点G，作EH⊥ ADF点H过点B作BF//AC交EG的延长线于点F．记
△BFG与△CEG的面积之和为S ，△ABD与△AEH的面积之和为 ．
1
S
1
①若E为边AC的中点，则 的值为_______；
S
2
②若E不为边AC的中点时，试问①中的结论是否仍成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理
由．
思路：利用求面积的两种方法（公式法与补割法），列式（公式法求面积=补割法求面积），化简求解.
考点四 整式化简求值（高频考点）
1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.
2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.
3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.
②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使
它们成倍分关系.
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③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．
4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．
这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．
5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．
例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0
②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.
6.利用“无关”求值：
①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为
0；
②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．
7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数
的性质来确定字母的值，从而求得结果．
8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的
符号．
9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况
进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分
简单．
10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．
11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又
可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．
12. 利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一
个字母来表示另一个字母．
13. 利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．
题型01 整式化简-直接代入法
【例1】（2022·广西梧州·中考真题）若x=1，则3x−2= ．
【变式1-1】已知a是最小的正整数，b是绝对值最小的有理数，c在数轴上对应的点到原点的距离是6，求
的值．
题型02 整式化简-间接代入法
【例2】（2022·山东济宁·中考真题）已知a=2+√5，b=2−√5，求代数式a2b+ab2的值．
1
【变式2-1】（2023·湖南·中考真题）先化简，再求值： ，其中a=−3,b= ．
3
【变式2-2】（2021·广西河池·中考真题）先化简，再求值：(x+1) 2−x(x+1)，其中x=2021．
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题型03 整式化简-整体代入法
【例3】（2023·山东枣庄·中考真题）若x=3是关x的方程ax2−bx=6的解，则2023−6a+2b的值为
．
【变式3-1】（2023·湖北十堰·中考真题）若x+ y=3，y=2，则x2y+x y2的值是 ．
( 2ab−b2 ) a−b
【变式3-2】（2023·四川成都·中考真题）若3ab−3b2−2=0，则代数式 1− ÷ ，的值为
a2 a2b
．
【变式3-3】（2023·四川凉山·中考真题）已知x2−2x−1=0，则 的值等于
．
题型04 整式化简-赋值法
【例4】（2023·广东江门·一模）化简： ，若x是−1≤x≤2的整数，请选择一个
合适的数求代数式的值．
【变式4-1】（2022·江苏苏州·校考模拟预测）先化简，再求值：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a+b）（a﹣b），其中a＝1，b＝﹣2．
2
（2）先化简（1+ ）÷ ，再从﹣1，0，1，2，3中选取一个合适的数作为x的值代入求值．
x−3
题型05 整式化简-隐含条件求值
【例5】（2023·湖南衡阳·校联考二模）已知单项式2a4b−2m+7与3a2mbn+2是同类项，则m+n= ．
【变式5-1】（2022·四川绵阳·校联考一模）若多项式x y|m−n|+(n−2)x2y2+1是关于x，y的三次多项式，
则mn= ．
【变式5-2】若√7的整数部分是a， 的小数部分是b，求ab+5b的值．
【变式5-3】（2023·四川成都·一模）若|a−2022|+√b+2022=2，其中a，b均为整数，则|a+b|= ．
题型06 整式化简-利用“无关”求值
【例6】若(x2+mx+n)(x2−3x+1)的展开式中不含 和x3项，求：(1)m、n 的值．
(2)求(m+n)(m2−mn+n2 )的值．
【变式6-1】已知多项式M=x2+5x-a，N=-x+2，P=x3+3x2+5，且M·N+P的值与x的取值无关，求字母a的值．
【变式6-2】有这样一道题：计算 1 x2− ( 3x2+3xy− 3 y2) + (8 x2+3xy+ 2 y2) 的值，其中x=− 1 ，
3 5 3 5 2
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1 1
y=2．甲同学把“x=− ”错抄成了“x= ”，他的计算结果也是正确的，你知道这是怎么回事吗？
2 2
题型07 整式化简-配方法
【例7】已知a2＋b2＋2a－4b＋5＝0，求2a2＋4b－3的值．
【变式7-1】已知x2−2x+ y2+8 y+17=0，求(x+ y) 2的值．
题型08 整式化简-平方法
1 1
【例8】（2023·云南昆明·云南师范大学实验中学校考模拟预测）已知x+ =6，则x2+ =（ ）
x x2
A．38 B．36 C．34 D．32
1 1
【变式8-1】已知x+ y=7且xy=12，则当x0,c>0)是完全平方式，则a，b，c之间存在的数量关系为 ；
验证结论：嘉琪验证归纳猜想中的结论的过程如下，请补全嘉琪的验证过程；
ax2+bx+c(a>0,c>0)
=a ( x2+ b x ) +c
a
=a(x+__________) 2+__________
∵ax2+bx+c是完全平方式，
∴__________，即 ．
解决问题：
①若多项式(n+1)x2−(2n+6)x+(n+6)是一个完全平方式，求n的值；
②若多项式9 y2+4加上一个含字母y的单项式就能变形为一个完全平方式，请直接写出所有满足条件的单
项式．
【变式3-3】（2023·河北石家庄·三模）【提出问题】在数学课上，老师提出一个问题：“任意奇数的平方
减去1后都一定是8的倍数吗？”
（1）【解决问题】计算：32−1=______；52−1=______；72−1=______；以上计算结果均______（填
“是”或“不是”）8的倍数；
（2）设奇数为2n+1（n为整数），请你先试着回答老师提出的问题，再“论证”你的结论；
（3）【拓展延伸】任意奇数的平方加上1后都一定是______的倍数．
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