文档内容
微专题 03 代数式、整式与因式分解
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 代数式(6年6考)
用加、减、乘、除及乘方等运算符号把数或表示数的字母连接而
代数式的概念
成的式子叫做代数式
找出问题中的数量关系及公式，用含有数字、字母和运算符号的
列代数式
式子表示
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算
顺序计算求值
(2)整体代入法(整体思想)：①观察已知条件和所求代数式的关
代数式求值
系；
②将所求代数式变形后与已知代数式成倍数关系，一般会用到提
公因式法、平方差公式、完全平方公式
2. 整式的有关概念(6年2考)
(1)整式有关概念
概念：由数字与字母或字母的① 所组成的代数式叫做单项式.单
单项
独一个数字或字母也是单项式；
式
单项式的系数：单项式中的数字因数；
单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数之和
多项
概念：几个单项式的和叫做多项式；
式
第 1 页 共 13 页多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，如2x＋x2y的次数是②
(2)同类项：所含字母相同，并且相同字母的③ 也相同的项.所有常数项都
是同类项
3. 整式的运算(6年4考)
(1)幂的运算
运算 文字表达 符号表示
同底数幂相乘 底数不变，指数相加 am·an＝am＋n(m，n都是正整数)
am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m
同底数幂相除 底数不变，指数相减
＞n)
幂的乘方 底数不变，指数相乘 (am)n＝amn(m，n都是正整数)
积的每个因式分别乘
积的乘方 方，再把所得的幂相 (ab)n＝anbn(n为正整数)
乘
(2)整式的运算
①整式的加减，可归结为去括号与合并同类项
②单项式的乘法运算：把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，单独出现的
字母连同它的指数作为积的因式
③多项式的乘法运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；
(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
{平方差公式:(a＋b)(a－b)＝④
(3)乘法公式
完全平方公式:(a±b)2＝⑤
4. 因式分解(6年2考)
(1)概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式
(2)方法：①提取公因式法：ma＋mb＝m(a＋b)；
②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)，a2±2ab＋b2＝(a±b)2
5. 非负数(6年2考)
(1)常见的非负数类型有a2，｜b｜，√c(c≥0)
第 2 页 共 13 页(2)若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0，如：若a2＋｜b｜＋√c＝
0，则有a2＝0，｜b｜＝0，√c＝0，即a＝b＝c＝0
练考点
1. 下列对代数式－3x的意义表述正确的是( )
A. －3与x的和
B. －3与x的差
C. －3与x的积
D. －3与x的商
2. (1)已知x＝－1，则x2＋2x＝ ；
(2)已知2a－b＝1，则代数式8a－4b＋2的值为 .
3. 已知一个单项式的系数是2，次数是3，则这个单项式可以是( )
A. 3x2 B. 2 m3n
C. －2x2y D. 2a3
1
4. x3y2是 次单项式.
3
5. 计算：
(1)－2x＋x＝ ；
2x3－x3＝ ；
(2)x·x3＝ ；
x8÷x2＝ ；
(3)(－2x2)3＝ ；
(4)2x2·(x－1)＝ ；
(5)(x－1)(2x＋1)＝ ；
(6)(x＋2)2＝ ；
(x＋2)(x－2)＝ .
6. 分解因式：
(1)x2－xy＝ ；
(2)2x2－8＝ ；
第 3 页 共 13 页(3)x2＋4x＋4＝ .
7. (1)若｜x－1｜＋√y－1＝0，则x＋2y的值为 ；
(2)若x2＋1＋√y+2＝1，则xy的值为 ；
(3)√2－x＋√x－2＝0，则x的值为 .
高频考点
考点1 列代数式及求值(6年6考)
例1 (人教七上习题改编)根据题意列代数式：
(1)原量a增加10％为 ；比原量a的n倍多m为 ；
(2)原价a的8折为 ；
(3)x个单价为a元的商品与y个单价为b元的商品总价为 元；
(4)每天完成的工作量为a，则要完成m的工作量所需天数为 ；
(5)一月份的产值为a万元，二月份的产值比一月份减少了m％，三月份的产值
比二月份增加了n％，则三月份的产值为 万元.
例2 求下列代数式的值：
(1)已知x2＋x－2＝0，则2x2＋2x的值 ；
(2)已知x＋y＝3，xy＝2，则(x－y)2的值为 ；
(3)(2024成都)若m，n为实数，且(m＋4)2＋√n－5＝0，则(m＋n)2 的值为
.
考点2 整式的有关概念(6年2考)
4
例3 (2024佛山南海区一模)单项式 πr3表示球的体积，其中π表示圆周率，r
3
表示球的半径，下列说法正确的是( )
4 4
A. 系数是 ，次数是3 B. 系数是 π，次数是3
3 3
4 4
C. 系数是 ，次数是4 D. 系数是 π，次数是4
3 3
变式1 (2024广元)如果单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，则
在平面直角坐标系中点(m，n)在( )
A. 第一象限 B. 第二象限
第 4 页 共 13 页C. 第三象限 D. 第四象限
考点3 整式的运算(6年4考)
例4 (2024烟台)下列计算结果为a6的是( )
A. a2 ·a3 B. a12÷a2 C. a3＋a3 D. (a2)3
例5 (人教七上习题改编)计算：
(1)(1＋x)(1－x)＋x(x＋2)；
(2) 已知y2－xy－5＝0，求(3xy3－6x3y)÷3xy＋x(2x－y)的值.
考点4 因式分解(6年2考)
例6 (北师七上习题改编)因式分解：
(1)4ax2－ay2＝ ；
(2)4xy2－4x2y－y3＝ ；
(3)(p－4)(p＋1)＋3p＝ .
变式2 (2024中山模拟)下列因式分解正确的是( )
A. x2－x＝x(x＋1) B. a2－3a－4＝a(a－3)－4
C. a2＋b2－2ab＝(a＋b)2 D. x2－y2＝(x＋y)(x－y)
考点5 规律探索(2019.16)
例7 根据下列数式规律，回答问题：
(1)等差类有一列数1，3，5，7，9，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
(2)等比类有一列数3，9，27，81，243，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
(3)递增类有一列数1，2，4，7，11，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
第 5 页 共 13 页(4)周期类有一列数－1，1，－1，1，－1，…，依照此规律，则第n(n≥1)个数是
；
(5)平方类按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，…，则第n个单项式
是 .
例8 根据下列图形规律，回答问题：
(1)图形个数固定累加把白色正方形按图①所示的规律拼图案，则第5个图案中
白色正方形的个数是 ；
例8题图①
(2)图形个数递增累加如图②都是由同样大小的圆点按一定规律组成，则第8个
图形中圆点的个数是 ；
例8题图②
(3)图形个数为两种变化之和如图③都是由同样大小的正三角形按照一定规律组
成，则第n个图形中正三角形的个数是 .
例8题图③
真题及变式
命题点1 代数式求值(6年5考)
1. (2021广东5题3分)若｜a－√3｜＋√9a2－12ab+4b2＝0，则ab＝( )
9
A. √3 B. C. 4√3 C. 9
2
2. (2020广东13题4分)若√a－2＋｜b＋1｜＝0，则(a＋b)2 020＝ .
第 6 页 共 13 页3. (2020广东14题4分·人教八上习题改编)已知x＝5－y，xy＝2.计算3x＋3y－
4xy的值为 .
1 13 1
4. (2021广东15题4分·北师八下习题改编)若x＋ ＝ 且0＜x＜1，则x2－ ＝
x 6 x2
.
变式
4.1 变思维方式——直接平方变为化简后整体带入
1 1 1 y x
已知 － ＝ ，那么 ＋ 的值为 .
y x x－y x y
命题点2 整式的有关概念(6年2考)
5. (2022广东12题3分)单项式3xy的系数为 .
6. (2020广东12题4分)如果单项式3xmy与－5x3yn是同类项，那么m＋n＝
.
命题点3 整式的运算(6年4考)
7. (2024广东5题3分)下列计算正确的是( )
A. a2·a5＝a10 B. a8÷a2＝a4
C. －2a＋5a＝7a D. (a2)5＝a10
8. (2021广东4题3分·人教八上习题改编)已知9m＝3，27n＝4，则32m＋3n＝( )
A. 1 B. 6 C. 7 D. 12
9. (2020广东18题6分·人教八上习题改编)先化简，再求值：(x＋y)2＋(x＋y)(x－
y)－2x2，其中x＝√2，y＝√3.
命题点4 因式分解(6年2考)
10. (2023广东11题3分)因式分解：x2－1＝ .
11. (2020广东11题4分)分解因式：xy－x＝ .
命题点5 规律探索(2019.16)
第 7 页 共 13 页12. (2019广东16题4分)如图①所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直
角，长度如图所示，小明按图②所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留
空隙，那么小明用9个这样的图形(图①)拼出来的图形的总长度是 (结
果用含a，b代数式表示).
第12题图
拓展训练
13. (2024东莞模拟)如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…，在射线ON上，
1 2 3
点B ，B ，B ，…，在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A …均为等边三角
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 4
形，若OA ＝1，则△A B A 的边长为 .
1 2019 2019 2020
第13题图
新考法
14. [代数推理](2024珠海模拟)杰杰是一位密码翻译爱好者，在他的密码手册中，
有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－b2分别对应下列六个
字：海、爱、我、珠、丽、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现
的密码信息可能是( )
A. 我爱美 B. 珠海美丽 C. 爱我珠海 D. 美我珠海
15. [数形结合](北师七下复习题改编)如图①，有两个正方形A，B，现将B放在
A的内部如图②所示，将A，B并排放置后构造新的正方形如图③所示.若图②和
图③中阴影部分的面积分别为1和12，则正方形A，B的面积之和为( )
第 8 页 共 13 页第15题图
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
16. [跨信息技术学科] 日常生活中我们常使用的数是十进制数，而计算机程序使
用的数是二进制数(只有数码0和1)，它们两者之间可以互相换算，如将二进制
数1 001记为(1 001) ，换算成十进制数应为：(1 001) ＝1×23＋0×22＋0×21＋1×20
2 2
＝9，按此方式，将二进制(101) 换算成十进制数为 .
2
第 9 页 共 13 页考点精讲
①乘积 ②3 ③指数 ④a2－b2 ⑤a2±2ab＋b2
练考点
1. C
2. (1)－1；(2)6
3. D
4. 5
5. (1)－x；x3；(2)x4；x6；(3)－8x6；(4)2x3－2x2；(5)2x2－x－1；(6)x2＋4x＋4；
x2－4
6. (1)x(x－y)；(2)2(x－2)(x＋2)；(3)(x＋2)2
7. (1)3；(2)0；(3)2
高频考点
例1 (1)a(1＋10％)；an＋m；
m
(2)0.8a；(3)(ax＋by)；(4) ；
a
(5)a(1－m％)(1＋n％)
例2 (1)4； 【解析】∵x2＋x－2＝0，∴x2＋x＝2，∴2x2＋2x＝2(x2＋x)＝2×2
＝4.
(2)1； 【解析】∵(x－y)2＝x2－2xy＋y2＝(x＋y)2－4xy，∴当x＋y＝3，xy＝2时，
原式＝32－4×2＝9－8＝1.
(3)1 【解析】∵(m＋4)2＋√n－5＝0，∴m＋4＝0且n－5＝0，解得m＝－4，n
＝5，∴(m＋n)2＝(－4＋5)2＝1.
4 4
例3 B 【解析】 πr3的系数是 π，次数是3.
3 3
变式1 D 【解析】∵单项式－x2my3与单项式2x4y2－n的和仍是一个单项式，∴
单项式－x2my3与单项式2x4y2－n是同类项，∴2m＝4，2－n＝3，解得m＝2，n＝
－1，∴点(m，n)在第四象限.
第 10 页 共 13 页例4 D 【解析】A.a2·a3＝a2＋3＝a5，故A选项不符合题意；B.a12÷a2＝a12－2
＝a10，故B选项不符合题意；C.a3＋a3＝2a3，故C选项不符合题意；D.(a2)3＝
a2×3＝a6，故D选项符合题意.
例5 解：(1)原式＝1－x2＋x2＋2x
＝1＋2x；
(2)原式＝y2－2x2＋2x2－xy＝y2－xy，
∵y2－xy－5＝0，∴原式＝5.
例6 (1)a(2x＋y)(2x－y)；
(2)－y(2x－y)2；
(3)(p＋2)(p－2)
【解析】(1)原式＝a(4x2－y2)＝a(2x＋y)(2x－y)；(2)原式＝－y(4x2－4xy＋y2)＝－
y(2x－y)2；(3)原式＝p2－3p－4＋3p＝p2－4＝(p＋2)(p－2).
变式2 D 【解析】A.原式＝x(x－1)，故本选项不符合题意；B.原式＝(a－4)
(a＋1)，故本选项不符合题意；C.原式＝(a－b)2，故本选项不符合题意；D.原
式＝(x＋y)·(x－y)，故本选项符合题意.
1 1
例7 (1)2n－1；(2)3n；(3) n2－ n＋1；(4)(－1)n；(5)n2an＋1
2 2
例8 (1)18；(2)36；(3)3n＋2
真题及变式
1. B 【解析】∵｜a－√3｜＋√9a2－12ab+4b2＝｜a－√3｜＋√(3a－2b)2＝0，
{ a＝√3
{a－√3=0 3√3 9
∴ ，解得 3√3，∴ab＝√3× ＝ .
3a－2b=0 b＝ 2 2
2
{a－2=0 { a=2
2. 1 【解析】∵√a－2＋｜b＋1｜＝0，∴ ，解得 ，∴(a＋b)2
b+1=0 b＝－1
020＝(2－1)2 020＝1.
3. 7 【解析】∵x＝5－y，∴x＋y＝5，又∵xy＝2，∴原式＝3(x＋y)－4xy＝
3×5－4×2＝15－8＝7.
第 11 页 共 13 页65 1 13 1 1 13 25
4. － 【解析】∵x＋ ＝ ，∴(x－ )2＝(x＋ )2－4＝( )2－4＝ ，∵0＜x
36 x 6 x x 6 36
1 1 5 1 1 1 13 5 65
＜1，∴x－ ＜0，∴x－ ＝－ ，∴x2－ ＝(x＋ )(x－ )＝ ×(－ )＝－ .
x x 6 x2 x x 6 6 36
1 1 1 x－y 1 y
变式4.1 3 【解析】∵ － ＝ ，∴ ＝ ，∴xy＝(x－y)2，∴ ＋
y x x－y xy x－y x
x x2＋y2 (x－y)2+2xy 3xy
＝ ＝ ＝ ＝3.
y xy xy xy
5. 3
6. 4 【解析】∵单项式3xmy与－5x3yn是同类项，∴m＝3，n＝1，∴m＋n＝3
＋1＝4.
7. D 【解析】逐项分析如下：
选项 逐项分析 正误
A a2·a5＝a2＋5＝a7≠a10 ✕
B a8÷a2＝a8－2＝a6≠a4 ✕
C －2a＋5a＝3a≠7a ✕
D (a2)5＝a2×5＝a10 √
8. D 【解析】32m＋3n＝32m·33n＝9m·27n＝3×4＝12.
9. 解：原式＝x2＋2xy＋y2＋x2－y2－2x2
＝2xy，
当x＝√2，y＝√3时，
原式＝2×√2×√3＝2√6.
10. (x－1)(x＋1)
11. x(y－1)
12. a＋8b 【解析】观察图形可知，2个基础图形拼接时，总长度是2a－(a－
b)，3个基础图形拼接时，总长度是3a－2(a－b)，4个基础图形拼接时，总长度
是4a－3(a－b)，…，∴9个基础图形拼接时，总长度是9a－8(a－b)＝a＋8b.
13. 22018 【解析】∵△A B A ，△A B A ，△A B A ，…，均为等边三角形，OA
1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
＝1，∴△A B A ，△A B A ，△A B A ，…，边长分别为20，21，22，…，
1 1 2 2 2 3 3 3 4
∴△A B A 的边长为22018.
2019 2019 2020
第 12 页 共 13 页14. C 【解析】原式＝(x2－y2)(a2－b2)＝(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)，由题意可知，
(x－y)(x＋y)(a＋b)(a－b)可以表示为爱我珠海.
15. C 【解析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，则题图②中阴
影部分的面积为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝1，在题图③中阴影部分的面积为(a＋b)2
－a2－b2＝a2＋2ab＋b2－a2－b2＝2ab＝12，∴a2＋b2＝13.
16. 5 【解析】(101) ＝1×22＋0×21＋1×20＝5.
2
第 13 页 共 13 页
