文档内容
微专题 02 二次根式
考点精讲
构建知识体系
考点梳理
1. 二次根式的有关概念(2020.5)
(1)定义：表示算术平方根的代数式，形如√a(a≥0)的式子
(2)有意义的条件：被开方数大于或等于零
(3)最简二次根式：同时满足以下两个条件：①根号内不含分母；②根号内不含
开得尽方的因数或因式
(4)同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式
2. 二次根式的性质(6年2考)
(1)(√a)2＝① (a≥0)
{② (a≥0)
(2)√a2＝｜a｜＝
③ (a<0)
(3)√ab＝④ (a≥0，b≥0)
√a
(4) ＝⑤ (a≥0，b＞0)
b
(5)双重非负性：二次根式√a满足被开方数a≥0且√a≥0
3. 二次根式的运算(6年6考，常在实数的混合运算中涉及考查)
(1)加减：先将各二次根式分别化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根
式进行合并
(2)乘法：√a·√b＝⑥ (a≥0，b≥0)
√a
(3)除法： ＝⑦ (a≥0，b＞0)
√b
4. 二次根式的估值(6年2考)
(1)确定无理数的值在哪两个相邻整数之间
①先对无理数平方，如(√7)2＝7；
第 1 页 共 7 页②找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数，如4和9；
③对以上两个整数开方，如√4＝2，√9＝3；
④确定这个无理数的值在开方后所得的两个整数之间，即2＜√7＜3
(2)确定无理数的整数部分和小数部分
要确定a±√b的整数部分和小数部分，先对a±√b进行估值，如1＋√7的整数部分
是3，则它的小数部分是1＋√7－3，即√7－2
练考点
1. 下列各式中，是最简二次根式的是( )
√1
A. √25 B.
4
C. √64 D. √2
2. 下列各数中，能与√3合并的是( )
A. 3 B. √8
C. √27 D. √20
3. 若√5－x在实数范围内有意义，则x的取值范围是 .
4. 计算：
(1)(－√0.3)2＝ ；
(2)√(−3)2＝ ；
(3)√48＝ ；
√4
(4) ＝ .
3
5. 计算：
(1)√6＋√24＝ ；
(2)√12－√3＝ ；
√1
(3)√25× ＝ ；
5
(4)√8÷√2＝ .
6. 估计√10的值在( )
A. 1和2之间
第 2 页 共 7 页B. 2和3之间
C. 3和4之间
D. 4和5之间
高频考点
考点1 二次根式的有关概念(6年2考)
1
例1 (2024东莞三模)若 有意义，则实数x的取值范围为( )
√x+2
A. x≥－2 B. x＞－2 C. x≠－2 D. x＞2
变式1 要使二次根式√2x－3有意义，x的值可以是 .
考点2 二次根式的化简及运算(6年5考)
例2 (人教八下习题改编)下列计算正确的是( )
A. √2.5＝0.5 B. √(−4)2＝－4
C. 2√3－2＝√3 D. √8÷√2＝2
例3 (北师八上复习题改编)计算：
(1)√8＋√6×√3； (2)(√48－√6)÷√3；
√3 1
(3)2√12× －5√2÷√2； (4)( ＋√20－3√5)×√10.
4 √5
考点3 二次根式的估值(6年2考)
例4 (北师八上习题改编)根据下列要求，解决问题：
(1)如图，在数轴上表示√3的点可能是( )
例4题图
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
(2)与√3＋1最接近的整数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
(3)(2024佛山南海区一模)若a－1＜√13＜a，且a为整数，则a的值是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
第 3 页 共 7 页(4)无理数a－√a(a＞1且为正整数)的整数部分是b，小数部分是c，则下列关系
式中一定成立的是( )
A. c－b＜0 B. a－b＞0 C. a＝b＋c D. a－c＝2
真题及变式
命题点1 二次根式有意义的条件(2020.5)
1. (2020广东5题3分)若式子√2x－4在实数范围内有意义，则x的取值范围是(
)
A. x≠2 B. x≥2 C. x≤2 D. x≠－2
命题点2 二次根式的运算(6年6考，常在实数的混合运算中涉及考查)
2. (2019广东8题3分·北师八上习题改编) 化简√42的结果是( )
A. －4 B. 4 C. ±4 D. 2
3. (2023广东12题3分)计算：√3×√12＝ .
命题点3 二次根式的估值(6年2考)
4. (2021广东8题3分)设6－√10的整数部分为a，小数部分为b，则(2a＋√10)b
的值是( )
A. 6 B. 2√10 C. 12 D. 9√10
新考法
5. (2024盐城)矩形相邻两边长分别为√2 cm、√5 cm，设其面积为S cm2，则S
在哪两个连续整数之间( )
A. 1和2 B. 2和3 C. 3和4 D. 4和5
6. 勾股定理在《九章算术》中的表述是：“勾股各自乘，并而开方除之，即
弦.”即c＝√a2＋b2(a为勾，b为股，c为弦)，若“勾”为2，“股”为3，则
“弦”最接近的整数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7. 为了比较√5＋1与√10的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，其中∠C
＝90°，BC＝3，D在BC上且BD＝AC＝1，通过计算可得√5＋1 √10(填
“＞”或“＜”或“＝”).
第 4 页 共 7 页第7题图
第 5 页 共 7 页考点精讲
√a
①a ②a ③－a ④√a·√b ⑤ ⑥√ab
√b
√a
⑦
b
练考点
1. D
2. C
3. x≤5
2√3
4. (1)0.3；(2)3；(3)4√3；(4)
3
5. (1)3√6；(2)√3；(3)√5；(4)2
6. C
高频考点
1
例1 B 【解析】要使式子 有意义，则x＋2＞0，解得x＞－2.
√x+2
3
变式1 2(答案不唯一) 【解析】由题意得2x－3≥0，∴x≥ ，故x的值可以是
2
2.
√5 √10
例2 D 【解析】A.√2.5＝ ＝ ，故A选项不符合题意；B.√(−4)2＝4，故
2 2
B选项不符合题意；C.2√3与2不能合并，故C选项不符合题意；D.√8÷√2＝√4＝
2，故D选项符合题意.
例3 解：(1)原式＝2√2＋3√2
＝5√2；
(2)原式＝(4√3－√6)÷√3
＝4√3÷√3－√6÷√3
＝4－√2；
(3)原式＝3－5
＝－2；
第 6 页 共 7 页1
(4)原式＝ ×√10＋√20×√10－3√5×√10
√5
＝√2＋√200－3√50
＝√2＋10√2－15√2
＝－4√2.
例4 (1)D；(2)C；
(3)A；【解析】∵9＜13＜16，∴3＜√13＜4，又∵a－1＜√13＜a，∴a＝4.
(4)B 【解析】∵1＜√2＜2，a＞1且为正整数，∴a≥2且为整数，当a＝2时，2
－√2的整数部分b＝0，c＝2－√2，∴c－b＝2－√2＞0，a－b＝2＞0，a－c＝2－
(2－√2)＝2－2＋√2＝√2，b＋c＝2－√2≠a，当a＞2时，c－b＜0，a－b＞0，a＝
b＋c＋√a，a－c＝b＋√a≠2.
真题及变式
1. B 【解析】由题意得，2x－4≥0，∴x≥2.
2. B 【解析】∵√a2＝｜a｜，∴√42＝4.
3. 6 【解析】原式＝√3×12＝√36＝6.
4. A 【解析】∵9＜10＜16，∴3＜√10＜4，∴－4＜－√10＜－3，∴2＜6－√10
＜3，∴6－√10的整数部分是2，小数部分是6－√10－2＝4－√10，即a＝2，b＝4
－√10，∴(2a＋√10)b＝(2×2＋√10)×(4－√10)＝6.
5. C 【解析】由题可知，矩形的面积S＝√2×√5＝√10，∵9＜10＜16，∴√9＜
√10＜√16，即3＜S＜4.
6. C 【解析】由题意得，“弦”为√22＋32＝√13，∵9＜13＜16，13－9＝4，16
－13＝3，∴13更接近16，∴√13最接近的整数是4.
7. ＞ 【解析】CD＝BC－BD＝3－1＝2，在△ACD中，∠C＝90°，由勾股定理
得AD＝√AC2＋CD2＝√12＋22＝√5，在△ACB中，∠C＝90°，由勾股定理得AB＝
√AC2＋BC2＝√12＋32＝√10，在△ABD中，∵AD＋BD＞AB，∴√5＋1＞√10.
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