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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.1 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的分类及正负数的意义 ☆☆ 实数部分，每年考查2~4道题,分值为
6~10分，对于实数的复习需要学生熟
考点2 实数的相关概念及科学记数法 ☆☆☆ 练掌握实数相关概念及其性质的应
用、实数运算法则和等考点。2025年
各省市选择题会出现相反数、绝对
值、倒数、科学计数法问题，填空题
考点3 实数的运算及大小比较 ☆☆☆
会出现实数的简单计算、解答题仍然
以考查实数混合计算为主。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础
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考点1 实数的分类及正负数的意义
1. 实数的分类
（1）按照______分类
（2）按照______分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四
类：
（1）开方开不尽的数，如 ， 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
2. 正负数的意义
（1）正负数的概念
1）正数：大于0的数叫做正数。
2）负数：______前面加上符号“-”的数叫负数。
3）0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界.
【提示】一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加
上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写.
（2）正负数的意义
具有相反意义的量应满足的条件：
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①必须是_____量，而且是成对出现的；
②只要求意义相反，不要求数量一定______.
（3）正数、负数和0在实践中的应用
1）可以用来表示体重的变化情况；
2）可以用来表示不同_______的海拔高度；
3）可以用来表示某时气温变化情况；
4）可以用来表示货物出口额变化情况；
5）其他情况。
考点2 实数的相关概念及科学记数法
1．数轴：规定了_____、______和___方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
【注意1】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示 1，
2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以
用数轴上的点表示。
【注意2】数轴的画法.
A. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，
规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.
数轴的画法：
（1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
（2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
（3）选择适当的长度为单位长度.
B. 画数轴注意事项：
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。
2．相反数：只有______不同，而_______相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则
a+b=0.
一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0.
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【温馨提醒】相反数的几何意义
（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等.
（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表
示a和-a，这两点关于原点对称.
3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的_______称数a的绝对值，记作 |a|.
性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的________；0的绝对值是0.
即（1）如果a＞0，那么|a| =a
（2）如果a＜0，那么|a| =-a
（3）如果a=0，那么|a| =0
4．倒数：1除以一个不等于_____的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值
_____10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值
_____1时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的
个数（包括小数点前面的零）.
【易错点提示】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
(1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减
1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的
个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用
科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝
10－9 m等．
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五
入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则_____数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若_______，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .
（3）.9．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫______.在an中，a叫底
数，n叫指数.
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考点3 实数的运算及大小比较
1. 实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法_______ 、加法_____ 、乘法
________、乘法_______、 乘法________.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
（3）指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则 .
【注意】 -1的奇次幂为-1，偶次幂为1.
2. 实数的大小比较方法
（1）______法：当a＞0，b＞0时，a＞b ．
（2）________法：利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）_______法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜
b．
（4）_______法：若 ，则A＝B；若 ＞1，则A＞B；若 ＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）_______比较法：设a、b是两负实数，则 。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
考点1 实数的分类及正负数的意义
【例题1】（2024福建省）下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【对点变式练1】（2024·南昌市一模）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；
③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【对点变式练2】（2024四川绵阳一模）下列说法：
（1）0是整数；
（2）-7/3是负分数；
（3）4.2不是正数；
（4）自然数一定是正数；
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（5）负分数一定是负有理数.
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【例题2】 （2024武汉市）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例
如，若零上 记作 ，则零下 记作_________ ．
【对点变式练1】（2024云南一模）下列说法中错误的是（ ）
A．一个正数的前面加上负号就是负数
B．不是正数的数一定是负数
C．0既不是正数也不是负数
D．正负数可用来表示具有相反意义的量
【对点变式练2】（2024黑龙江绥化一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算
术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么−80
元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
考点2 实数的相关概念（含平方根、算术平方根、立方根）及科学记数法
【例题3】 （2024黑龙江齐齐哈尔）实数-5相反数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【对点变式练1】（2024大连二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D．2与|-2|
【对点变式练2】（2024吉林一模）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
【对点变式练3】（2024南宁一模）﹣7的倒数是（ ）
A． B．7 C．- D．﹣7
【例题4】（2024江苏常州）16的算术平方根是___________．
【对点变式练1】（2024武汉一模）3的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
【对点变式练2】（2024海南二模） 的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
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【对点变式练3】（2024福建厦门一模）实数8的立方根是_____．
【例题5】（2024深圳）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A. a B. b C. c D. d
【对点变式练1】（2024苏州一模）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【对点变式练2】（2024济南一模）若 ，则实数 在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【例题6】（2024黑龙江齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共
青团员 万名．将 万用科学记数法表示为______．
【对点变式练1】（2024福建宁化一模）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯
片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，
将120亿个用科学记数法表示为( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【对点变式练2】（2024四川达州一模）今年我市参加中考的学生人数约为 人.对于这个
近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字 D．精确到个位，有5个有效数字
考点3 实数的运算及大小比较
【例题7】（2024福建省）计算：
．
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【对点变式练1】（2024河南许昌一模）计算： _____．
【对点变式练2】（2024湖南益阳一模）计算：
【例题8】（2024甘肃威武）下列各数中，比-2小的数是（ ）
A. B. C. 4 D. 1
【对点变式练1】（2024浙江温州一模）数1，0， ，﹣2中最大的是（ ）
A．1 B．0 C． D．﹣2
【对点变式练2】（2024南京一模）比较大小： ____（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【对点变式练3】（2024哈尔滨一模） ， 在数轴上位置如图所示，则 ， ， ， 的大小
顺序是( )
A． B． C． D．
考点1. 实数的分类及正负数的意义
1. （2024甘肃临夏）下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
2. （2024湖南省）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3. （2024山东威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准
质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024江苏连云港）如果公元前121年记作 年，那么公元后2024年应记作__________年．
考点2. 实数的相关概念及科学记数法
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1. （2024河南省）如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
2. （2024内蒙古赤峰）如图，数轴上点A，M，B分别表示数 ，若 ，则下
列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
3. （2024山东烟台）实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024湖南省）计算： ________．
5. （2024江苏盐城）有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
6. （2024黑龙江大庆）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
7. （2024内蒙古包头）若 互为倒数，且满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
8. （2024江苏扬州）实数2的倒数是（ ）
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A. B. 2 C. D.
9. （2024陕西省）-3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
10. （2024福建省）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，
全球 （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请
量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
11. （2024甘肃临夏）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为
最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．
将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
12. （2024广西）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人
次．将849000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
13. （2024黑龙江绥化）中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：
__________．
考点3. 实数的运算及大小比较
1. （2024四川内江）16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
2. （2024黑龙江大庆）计算： =___．
3. （2024内蒙古包头）计算： ______．
4. （2024四川广安） ______．
5. （2024四川成都市）若 ， 为实数，且 ，则 的值为______．
6. （2024吉林省）若（﹣3）×口的运算结果为正数，则口内的数字可以为（ ）
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A. 2 B. 1 C. 0 D.
7. （2024广西）计算：
8. （2024湖北省）计算：
9. （2024江苏盐城）计算：
10. （2024甘肃临夏）计算： ．
11. （2024贵州省）在① ，② ，③ ，④ 中任选3个代数式求和；
12. （2024黑龙江齐齐哈尔）计算：
13. （2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且
）．例： ，则 ________．
14. （2024广西）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（
）
A. B. C. D.
15. （2024广西）写一个比 大的整数是_______．
16. （2024广州）四个数-10，-1，0，10中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 10
17. （2024山东威海）下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
18. （2024安徽省）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式
的近似值为 ．比较大小： ______ （填“>”或“<”）．
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考点1. 实数的分类及正负数的意义
1.在下列实数： 、 、 、 、 、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 把下列各数分别填在相应的集合内：
﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9
分数集： ．
负数集： ．
有理数集： ．
3. 在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4. 在0，-2，5， ，-0.3中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5. 若盈余2万元记作 万元，则 万元表示（ ）
A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损 万元 D．不盈余也不亏损
6. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首
次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么−80元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
考点2. 实数的相关概念及科学记数法
1．如图，数轴上有三个点 A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点 C对应的数是
（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
2．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
3. 的相反数是（ ）
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A. B. C. D.
4. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
5．（2022•攀枝花）2的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
6．（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
7．（2022•鄂州）计算： ＝ ．
8．（2022•常州）化简： ＝ ．
9．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120
亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
10．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数3.76与3.760表示的意义一样 B．近似数13.2亿精确到亿位
C．3.0×103精确到百位，有4个有效数字 D．近似数30.000有5个有效数字
11．用四舍五入法将 精确到千位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 实数的运算及大小比较
1．若 ，则 __________．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
3．用“ ”或“ ”符号填空： ______ ．
4．在有理数1， ，-1，0中，最小的数是（ ）
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A．1 B． C． D．0
5．比较 ， ， 的大小，结果正确的是（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
6．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（ ）
①a+b＜0； ②b﹣a＞0； ③ ； ④3a﹣b＞0； ⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
7．若 ，则a，b，c的大小关系是_______．（用<号连接）
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