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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第一章 数与式
1.1 实数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 实数的分类及正负数的意义 ☆☆ 实数部分，每年考查2~4道题,分值为
6~10分，对于实数的复习需要学生熟
考点2 实数的相关概念及科学记数法 ☆☆☆ 练掌握实数相关概念及其性质的应
用、实数运算法则和等考点。2025年
各省市选择题会出现相反数、绝对
值、倒数、科学计数法问题，填空题
考点3 实数的运算及大小比较 ☆☆☆
会出现实数的简单计算、解答题仍然
以考查实数混合计算为主。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示中频考点。
夯实基础
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考点1 实数的分类及正负数的意义
1. 实数的分类
（1）按照定义分类
（2）按照正负分类
注意：0既不属于正数，也不属于负数，在理解无理数时，要注意“无限不循环”，归纳起来有四
类：
（1）开方开不尽的数，如 ， 等；
（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如 等；
（3）有特定结构的数，如0.101 001 000 1…等；
（4）某些三角函数，如sin60°等.
2. 正负数的意义
（1）正负数的概念
1）正数：大于0的数叫做正数。
2）负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。
3）0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界.
【提示】一个数前面的“+”“-”号叫做它的符号.有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加
上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5，….不过一般情况下我们省略“+”不写.
（2）正负数的意义
具有相反意义的量应满足的条件：
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①必须是同类量，而且是成对出现的；
②只要求意义相反，不要求数量一定相等.
（3）正数、负数和0在实践中的应用
1）可以用来表示体重的变化情况；
2）可以用来表示不同地点的海拔高度；
3）可以用来表示某时气温变化情况；
4）可以用来表示货物出口额变化情况；
5）其他情况。
考点2 实数的相关概念及科学记数法
1．数轴：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴.数轴上所有的点与全体实数一一对应.
【注意1】在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。数轴要满足以下要求：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个长度取一个点，依次表示 1，
2,3,4...；从原点向左，每隔一个长度取一个点，依次表示-1，-2,-3,-4...。分数或者小数也可以
用数轴上的点表示。
【注意2】数轴的画法.
A. 画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点，选取某一长度作为单位长度，
规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.
数轴的画法：
（1）画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
（2）规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向.
（3）选择适当的长度为单位长度.
B. 画数轴注意事项：
(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；
(2)直线一般画水平的；
(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；
(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀。
2．相反数：只有符号不同，而绝对值相同的两个数称为互为相反数，若a、b互为相反数，则
a+b=0.
一般地，a和-a互为相反数；特别地，0的相反数是0.
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【温馨提醒】相反数的几何意义
（1）互为相反数的两个数分别位于原点的两侧（0除外）；
（2）互为相反数的两个数到原点的距离相等.
（3）一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表
示a和-a，这两点关于原点对称.
3．绝对值：数轴上表示数a的点与原点的距离称数a的绝对值，记作 |a|.
性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即（1）如果a＞0，那么|a| =a
（2）如果a＜0，那么|a| =-a
（3）如果a=0，那么|a| =0
4．倒数：1除以一个不等于零的实数所得的商，叫做这个数的倒数.若a、b互为倒数，则ab=1.
5．科学记数法：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．当原数绝对值大于
10时，写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数的整数位数减1；当原数绝对值小于 1
时，写成a×10−n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边第一个非零的数字前的所有零的个数
（包括小数点前面的零）.
【易错点提示】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值．
(1)a值的确定：1≤|a|<10；(2)n值的确定：①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减
1；②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的
个数(含小数点前的零)；③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用
科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝
10－9 m等．
6．近似数：近似数与准确数的接近程度通常用精确度来表示，近似数一般由四舍五入取得，四舍五
入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。
7．平方根：（1）算术平方根的概念：若x2＝a(x＞0)，则正数x叫做a的算术平方根.
（2）平方根的概念：若x2＝a，则x叫做a的平方根.
（3）表示：a的平方根表示为 ，a的算术平方根表示为 .
（4）
8．立方根：（1）定义：若 x 3 ＝ a，则x叫做a的立方根.
（2）表示：a的立方根表示为 .
（3） .
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9．数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂.在an中，a叫底数，n叫指
数.
考点3 实数的运算及大小比较
1. 实数的运算
（1）有理数的运算定律在实数范围内都适用，常用的运算定律有加法结合律 、加法交换律 、乘法
交换律 、乘法结合律、 乘法分配律.
（2）运算顺序：先算乘方（开方），再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的.
（3）指数，负整数指数幂：a≠0，则a0=1；若a≠0，n为正整数，则 .
【注意】 -1的奇次幂为-1，偶次幂为1.
2. 实数的大小比较方法
（1）平方法：当a＞0，b＞0时，a＞b ．
（2）移动因数法：利用a＝ (a≥0)，将根号外的因数移到根号内，再比较被开方数的大小．
（3）作差法：当a－b＝0时，可知a＝b；当a－b＞0时，可知a＞b；当a－b＜0时，可知a＜b．
（4）作商法：若 ，则A＝B；若 ＞1，则A＞B；若 ＜1，则A＜B(A，B＞0且B≠0).
（5）绝对值比较法：设a、b是两负实数，则 。
备注：遇到有理数和带根号的无理数比较大小时，让“数全部回到根号下”，再比较大小。
考点1 实数的分类及正负数的意义
【例题1】（2024福建省）下列实数中，无理数是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】D
【解析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数
是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即
可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： 等；开方开不尽的数；以
及像 ，等数．
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【详解】根据无理数的定义可得：无理数是
故选：D．
【对点变式练1】（2024·南昌市一模）有下列四个论断：①﹣ 是有理数；② 是分数；
③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【解析】根据无理数的概念即可判定选择项．
①﹣ 是有理数，正确；② 是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；④π是无理数，正确；正确的有3个．故选B．
【点睛】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽
的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
【对点变式练2】（2024四川绵阳一模）下列说法：
（1）0是整数；
（2）-7/3是负分数；
（3）4.2不是正数；
（4）自然数一定是正数；
（5）负分数一定是负有理数.
其中正确的有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】（1）0是整数整数，说法正确；
（2）-7/3是负分数，说法正确；
（3）有限小数4.2是分数，分数也有正分数和负分数，4.2是正分数，也是正数；题中说法错误；
（4）0和正整数统称为自然数。“0”既不是正数又不是负数，但是“0”是自然数或整数.
所以自然数一定是正数的说法及其错误；
0是整数，正确；
（5）分数是有理数，负分数一定是负有理数.说法正确。
【例题2】 （2024武汉市）中国是世界上最早使用负数的国家．负数广泛应用到生产和生活中，例
如，若零上 记作 ，则零下 记作_________ ．
【答案】
【解析】本题考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另
一个就用负表示．
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零上 记作 ，则零下 记作 ．，
故答案为： ．
【对点变式练1】（2024云南一模）下列说法中错误的是（ ）
A．一个正数的前面加上负号就是负数
B．不是正数的数一定是负数
C．0既不是正数也不是负数
D．正负数可用来表示具有相反意义的量
【答案】B
【解析】A．一个正数的前面加上负号就是负数，说法正确；
B．不是正数的数一定是负数，说法错误，因为0不是正数，但也不是负数；
C．0既不是正数也不是负数，说法正确；
D．正负数可用来表示具有相反意义的量，说法正确。
【对点变式练2】（2024黑龙江绥化一模）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算
术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么−80
元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】收入用正数，则支出为负数。支出80元记作-80元. -80元九表示支出80元。
考点2 实数的相关概念（含平方根、算术平方根、立方根）及科学记数法
【例题3】 （2024黑龙江齐齐哈尔）实数-5相反数是（ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了相反数的判断，根据相反数的定义解答即可．
的相反数是5．
故选：A．
【对点变式练1】（2024大连二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．-2与 B．-2与 C．-2与 D．2与|-2|
【答案】A
【解析】分析出每个选项的两个值到底是多少，再判定是否互为相反数.
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A. -2与 ,其中 =2,所以正确；B. -2与 ，其中 =-2，错误
C. -2与 ，两数互为负倒；D. 2与|-2|，其中|-2|=2，错误
【点睛】熟练掌握 对解此类问题至关重要.
【对点变式练2】（2024吉林一模）写出一个负数，使这个数的绝对值小于3__________．
【答案】-1
【解析】根据绝对值的定义及有理数的大小比较方法求解即可．
∵|-1|=1，1<3，∴这个负数可以是-1．故答案为：-1（答案不唯一）．
【点睛】一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数．
【对点变式练3】（2024南宁一模）﹣7的倒数是（ ）
A． B．7 C．- D．﹣7
【答案】C
【解析】此题根据倒数的含义解答，乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7的倒数为1÷（﹣7）．
﹣7的倒数为：1÷（﹣7）＝﹣ ．故选C．
【点睛】此题考查的知识点是倒数．解答此题的关键是要知道乘积为1的两个数互为倒数，所以﹣7
的倒数为1÷（﹣7）．
【例题4】（2024江苏常州）16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4
【对点变式练1】（2024武汉一模）3的平方根是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】D
【解析】直接根据平方根的概念即可求解．
∵ ∴3的平方根是 ．故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的概念，解决本题的关键是熟记平方根的定义．
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【对点变式练2】（2024海南二模） 的算术平方根为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
∵ =2，而2的算术平方根是 ，∴ 的算术平方根是 ，故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出
现选A的错误．
【对点变式练3】（2024福建厦门一模）实数8的立方根是_____．
【答案】2．
【解析】根据立方根的定义解答.
∵ ，∴8的立方根是2．故答案为2．
【点睛】本题考查立方根的定义，熟记定义是解题的关键.
【例题5】（2024深圳）如图，实数a，b，c，d在数轴上表示如下，则最小的实数为（ ）
A. a B. b C. c D. d
【答案】A
【解析】本题考查了根据数轴比较实数的大小．根据数轴上右边的数总比左边的大即可判断．
由数轴知， ，
则最小的实数为a
【对点变式练1】（2024苏州一模）下列数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意数轴的三要素以及在数轴上，右边的数总比左边的数大即可做出判断．
A选项，应该正数在右边，故该选项错误；
B选项，负数的大小顺序不对；
C选项，没有原点；
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D选项，有原点，单位长度．
【对点变式练2】（2024济南一模）若 ，则实数 在数轴上对应的点的位置是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先根据a的值确定a的范围，再根据a的范围确定a在数轴上的位置．
∵
∴ ，
∴ ，
∴点A在数轴上的可能位置是：
，
【例题6】（2024黑龙江齐齐哈尔）共青团中央发布数据显示：截至2023年12月底，全国共有共
青团员 万名．将 万用科学记数法表示为______．
【答案】
【解析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，
为整数．确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值大于 与小数点移
动的位数相同．
万
【对点变式练1】（2024福建宁化一模）中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯
片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，
将120亿个用科学记数法表示为( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
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【解析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
120亿个用科学记数法可表示为： 个．故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
【对点变式练2】（2024四川达州一模）今年我市参加中考的学生人数约为 人.对于这个
近似数，下列说法正确的是（ ）
A．精确到百分位，有3个有效数字 B．精确到百位，有3个有效数字
C．精确到十位，有4个有效数字 D．精确到个位，有5个有效数字
【答案】B
【解析】有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
∵6.01×104=60100，∴它有3个有效数字，6，0，1，精确到百位．故选B．
考点3 实数的运算及大小比较
【例题7】（2024福建省）计算：
．
【答案】4
【解析】本题考查零指数幂、绝对值、算术平方根等基础知识，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据零指数幂、绝对值、算术平方根分别计算即可；
原式 ．
【对点变式练1】（2024河南许昌一模）计算： _____．
【答案】
【解析】先计算0次幂，绝对值和负指数幂，再算加减.
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故答案为：
【点睛】考核知识点：实数的混合运算.理解0次幂，绝对值和负指数幂的意义是关键.
【对点变式练2】（2024湖南益阳一模）计算：
【答案】7
【解析】先算乘方、二次根式的混合运用和绝对值，最后算加减即可．
= =7．
【点睛】考查了乘方、二次根式的混合运用和绝对值等知识，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
【例题8】（2024甘肃威武）下列各数中，比-2小的数是（ ）
A. B. C. 4 D. 1
【答案】B
【解析】本题主要考查了有理数比较大小，根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较大小，绝对
值越大其值越小进行求解即可．
∵ ，
∴ ，
∴四个数中比 小的数是 ．
【对点变式练1】（2024浙江温州一模）数1，0， ，﹣2中最大的是（ ）
A．1 B．0 C． D．﹣2
【答案】A
【解析】将各数按照从小到大顺序排列，找出最大的数即可．
排列得：-2＜ ＜0＜1，则最大的数是1，故选：A．
【点睛】此题考查了有理数大小比较，将各数正确的排列是解本题的关键．
【对点变式练2】（2024南京一模）比较大小： ____ （填“＞”、“＜”或“＝”）．
【答案】＜．
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【解析】 为黄金数，约等于0.618， =0.625显然前者小于后者．
或者作差法： - = ＜0，所以，前者小于后者．故答案为＜．
【对点变式练3】（2024哈尔滨一模） ， 在数轴上位置如图所示，则 ， ， ， 的大小
顺序是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】从数轴上a b的位置得出b＜0＜a，|b|＞|a|，推出-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，根据以上结
论即可得出答案．
从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a |，∴-a＜0，-a＞b，-b＞0，-b＞a，
即b＜-a＜a＜-b，故选D．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，关键是能根据a、b的值得出结论-a＜0，-a＞b，-b
＞0，-b＞a，题目比较好，是一道比较容易出错的题目．
考点1. 实数的分类及正负数的意义
1. （2024甘肃临夏）下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0.13133
【答案】A
【解析】本题考查无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数结合立方根的定义，进行判断即可．
A、 是无理数，符合题意；
B、 是有理数，不符合题意；
C、 是有理数，不符合题意；
D、0.13133是有理数，不符合题意；故选A．
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2. （2024湖南省）在日常生活中，若收入300元记作+300元，则支出180元应记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】C
【解析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一
对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；
【详解】收入为“ ”，则支出为“ ”，
那么支出180元记作 元．故选：C．
3. （2024山东威海）一批食品，标准质量为每袋454g．现随机抽取4个样品进行检测，把超过标准
质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．那么，最接近标准质量的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了绝对值的意义，正负数的意义，直接利用正负数的意义以及绝对值的意义可得
最接近标准是哪一袋．
【详解】∵超过标准质量的克数用正数表示，不足的克数用负数表示．
∴
∴最接近标准质量的是 故选：C．
4. （2024江苏连云港）如果公元前121年记作 年，那么公元后2024年应记作__________年．
【答案】
【解析】本题考查正负数 的意义，根据正负数表示一对相反意义的量，公元前为负，则公元后为正，
进行作答即可．
公元前121年记作 年，那么公元后2024年应记作 年．
考点2. 实数的相关概念及科学记数法
1. （2024河南省）如图，数轴上点P表示的数是（ ）
A. B. 0 C. 1 D. 2
【答案】A
【解析】本题考查了数轴，掌握数轴的定义是解题的关键．
根据数轴的定义和特点可知，点P表示的数为 ，从而求解．
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【详解】根据题意可知点P表示的数为 ，故选：A．
2. （2024内蒙古赤峰）如图，数轴上点A，M，B分别表示数 ，若 ，则下
列运算结果一定是正数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到 ， 且
是解题的关键．
数轴上点A，M，B分别表示数 ，则 、 ，由
可得原点在A、M之间，由它们的位置可得 ， ， 且 ，再根据
整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可．
【详解】数轴上点A，M，B分别表示数 ,
∴ 、 ，
∵ ，
∴原点在A，M之间，由它们的位置可得 ， 且 ，
∴ ， ， ，
故运算结果一定是正数的是 ．故选：A．
3. （2024山东烟台）实数 ， ， 在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】本题考查了数轴，绝对值，不等式 的性质，根据数轴分别判断 ， ， 的正负，然后判
断即可，解题的关键是结合数轴判断判 ， ， 的正负．
由数轴可得， ， ， ，
、 ，原选项判断错误，不符合题意，
、 ，原选项判断正确，符合题意，
、根据数轴可知： ，原选项判断错误，不符合题意，
、根据数轴可知： ，则 ，原选项判断错误，不符合题意，故选： ．
4. （2024湖南省）计算： ________．
【答案】2024
【解析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，
即可求解．
．
5. （2024江苏盐城）有理数2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查了求一个数的相反数，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，
据此求解即可．
有理数2024的相反数是 ，
故选：B．
6. （2024黑龙江大庆）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. 和 B. 2024和
C. 和2024 D. 和
【答案】A
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【解析】本题考查相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，结合绝对值的意义逐项判断即
可．
A. 和 互为相反数，故A选项符合题意；
B.2024和 互为倒数，故B选项不符合题意；
C. 和2024不互为相反数，故C选项不符合题意；
D. 和 不互为相反数，故D选项不符合题意；故选：A．
7. （2024内蒙古包头）若 互为倒数，且满足 ，则 的值为（ ）
A. B. C. 2 D. 4
【答案】B
【解析】本题主要考查了倒数的定义，根据 互为倒数，则 ，把 代入
，即可得出m的值，进一步即可得出n的值．
∵ 互为倒数，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
则 ，故选：B．
8. （2024江苏扬州）实数2的倒数是（ ）
A. B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义：“乘积为1的两个数互为倒数”即可求解，掌
握倒数的概念是解题的关键．
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【详解】∵ ，
∴ 的倒数为 ， 故选：D ．
9. （2024陕西省）-3的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．
∵ ，
∴ 的倒数是 . 故选C
10. （2024福建省）据《人民日报》3月12日电，世界知识产权组织近日公布数据显示，2023年，
全球 （《专利合作条约》）国际专利申请总量为27.26万件，中国申请量为69610件，是申请
量最大的来源国．数据69610用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据科学记数法的定义解答，科学记数法的表示形式为 的形式，其中
为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
本题考查了科学记数法，熟悉科学记数法概念是解题的关键．
故选：C．
11. （2024甘肃临夏）据央视财经《经济信息联播》消息：甘肃天水凭借一碗香喷喷的麻辣烫成为
最“热辣滚烫”的顶流．2024年3月份，天水市累计接待游客464万人次，旅游综合收入27亿元．
将数据“27亿”用科学记数法表示为（ ）
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A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键．科学记数法的表示形式为
的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值 时，n是正整数；当原数的绝对
值 时，n是负整数．
27亿 ．故选：C．
12. （2024广西）广西壮族自治区统计局发布的数据显示，2023年全区累计接待国内游客8.49亿人
次．将849000000用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法： 为整数，进行
表示即可．
；故选B．
13. （2024黑龙江绥化）中国的领水面积约为370 000 km2，将数370 000用科学记数法表示为：
__________．
【答案】3.7×105
【解析】科学记数法是指：a× ，且1≤ ＜10，n为原数的整数位数减一，370000=3.7× ．
考点3. 实数的运算及大小比较
1. （2024四川内江）16的平方根是（ ）
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】题考查了平方根，熟记定义是解题的关键．根据平方根的定义计算即可．
16的平方根是 ，故选：D．
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2. （2024黑龙江大庆）计算： =___．
【答案】﹣2
【解析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根．
∵（－2）3=－8，
∴
3. （2024内蒙古包头）计算： ______．
【答案】3
【解析】本题考查实数的混合混算，先进行开方和乘方运算，再进行加法运算即可．
原式
4. （2024四川广安） ______．
【答案】0
【解析】本题考查的是实数的混合运算，先计算算术平方根，再计算减法运算即可.
5. （2024四川成都市）若 ， 为实数，且 ，则 的值为______．
【答案】1
【解析】本题考查非负数的性质，根据平方式和算术平方数的非负数求得m、n值，进而代值求解即
可．
∵ ，
∴ ， ，
解得 ， ，
∴ ．
6. （2024吉林省）若（﹣3）×口的运算结果为正数，则口内的数字可以为（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D.
【答案】D
【解析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出 与四个选
项中的数的乘积即可得到答案．
【详解】 ， ， ， ，
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四个算式的运算结果中，只有3是正数，故选：D．
7. （2024广西）计算：
【答案】
【解析】本题主要考查了有理数的混合运算．先算乘法和乘方，再算加法即可．
【详解】原式
．
8. （2024湖北省）计算：
【答案】3
【解析】本题主要考查了实数混合运算，根据零指数幂运算法则，算术平方根定义，进行计算即可．
【详解】
．
9. （2024江苏盐城）计算：
【答案】
【解析】此题考查了实数的混合运算，计算绝对值、零指数幂、代入特殊角三角函数值，再进行混
合运算即可.
10. （2024甘肃临夏）计算： ．
【答案】0
【解析】本题考查实数的混合运算，先进行开方，去绝对值，零指数幂和负整数指数幂的运算，再
进行加减运算即可．
【详解】原式 ．
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11. （2024贵州省）在① ，② ，③ ，④ 中任选3个代数式求和；
【答案】见解析
【解析】利用实数的混合运算的法则和运算顺序解题即可.
选择①，②，③，
；
选择①，②，④，
；
选择①，③，④，
；
选择②，③，④，
12. （2024黑龙江齐齐哈尔）计算：
【答案】 ；
【解析】根据算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，进行计算即可求解.
原式
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13. （2024甘肃威武）定义一种新运算*，规定运算法则为： （m，n均为整数，且
）．例： ，则 ________．
【答案】8
【解析】根据定义，得 ，解得即可．
本题考查了新定义计算，正确理解定义的运算法则是解题的关键．
【详解】根据定义，得 ．
14. （2024广西）下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温，其中气温最低的是（
）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了温度的比较以及正负数的概念，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键．
以下记为负数， 以上记为正数，温度都小于 时，绝对值最大的，温度最低．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴气温最低的是北京．故选：A．
15. （2024广西）写一个比 大的整数是_______．
【答案】2(答案不唯一)
【解析】本题考查实数大小比较，估算无理数的大小是解题的关键．
先估算出 的大小，再找出符合条件的整数即可．
【详解】 ，
，
符合条件的数可以是：2(答案不唯一)．
16. （2024广州）四个数-10，-1，0，10中，最小的数是（ ）
A. B. C. 0 D. 10
【答案】A
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【解析】本题考查了有理数的大小比较，解题关键是掌握有理数大小比较法则：正数大于零，负数
小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大
的数反而小．
【详解】 ，
最小的数是 ，故选：A．
17. （2024山东威海）下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较即可求解．
，
∵
∴最小的数是 故选：A．
18. （2024安徽省）我国古代数学家张衡将圆周率取值为 ，祖冲之给出圆周率的一种分数形式
的近似值为 ．比较大小： ______ （填“>”或“<”）．
【答案】>
【解析】本题考查的是实数的大小比较，先比较两个正数的平方，从而可得答案．
∵ ， ，
而 ，
∴ ，
∴
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考点1. 实数的分类及正负数的意义
1.在下列实数： 、 、 、 、 、﹣0.0010001中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【解析】由题意根据有理数的定义：整数与分数统称有理数，进行提示即可判断．
∵ ＝3， ＝4，
∴ ， ， ，﹣0.0010001是有理数，其它的是无理数．
有理数有4个.
2. 把下列各数分别填在相应的集合内：
﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9
分数集： ．
负数集： ．
有理数集： ．
【答案】见解析．
【解析】按照有理数的分类填写：
有理数 ．
分数集：5%、﹣2.3、 、3.1415926、﹣ 、 ；
负数集：﹣11、﹣2.3、﹣ 、﹣9；
有理数集：﹣11、5%、﹣2.3、 、3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9；
故答案为：5%、﹣2.3、 、3.1415926、﹣ 、 ；﹣11、﹣2.3、﹣ 、﹣9；﹣11、5%、﹣2.3、 、
3.1415926、0、﹣ 、 、2014、﹣9．
【点评】本题考查了有理数，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的
定义与特点，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．
3. 在﹣4、﹣2、0、1、3、4这六个数中，正数有（ ）
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】实数分类为：正数，零，负数，其中数字前面带有符号 “﹣”的数为负数，“0”仅有一
个数，其余均为正数,由此可得出判断.
这六个数中，只有“1,3,4”这三个数为正数，故答案为C.
点睛：考查对正数的认识：数字前带符号“+”的数即为正数，符号“+”可省略不写，据此可以得
出判断；也可以用排除法判断，实数可分为以下三类：正数，0，负数，排除了0和负数，其余的都
是正数.
4. 在0，-2，5， ，-0.3中，负数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】根据负数的定义判断即可
根据负数的定义可知，这一组数中，负数有两个，即-2和-0.3．故选B．
5. 若盈余2万元记作 万元，则 万元表示（ ）
A．盈余2万元 B．亏损2万元 C．亏损 万元 D．不盈余也不亏损
【答案】B
【解析】根据正数和负数表示具有相反意义的量解答．
∵盈余2万元记作 +2 万元，
∴-2万元表示亏损2万元，故选：B．
【点睛】本题考查了正数和负数的意义，熟练掌握正数与负数的意义是解题的关键．
6. 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首
次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么−80元表示（ ）
A．支出20元 B．收入20元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【解析】收入用正数，则支出为负数。支出80元记作-80元. -80元九表示支出80元。
考点2. 实数的相关概念及科学记数法
1．如图，数轴上有三个点 A，B，C，若点A，B表示的数互为相反数，则图中点 C对应的数是
（ ）
A．﹣2 B．0 C．1 D．4
【答案】C
【解析】关键：是找出原点位置．理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两
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侧，一正一负，且等距．点A到点B之间共六格，所以原点在点A右边的第3格（也可以说是在点B
左边第3格）．
因为点A，点B表示的数互为相反数，所以原点在线段AB中间，即在点A右边的第3格，得出点C
在原点的右边第1格，所以点C对应的数是1．
2．﹣3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣ D．
【答案】B
【解析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定
义去掉这个绝对值的符号．
解：|﹣3|＝3．
故﹣3的绝对值是3．
3. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直接根据相反数的求法求解即可．
任意一个实数a的相反数为-a
由 − 的相反数是 ；故选A．
【点睛】本题主要考查相反数，熟练掌握求一个数的相反数是解题的关键．
4. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据倒数的概念作答即可．
的倒数是 ．
的
【点睛】本题考查了倒数 概念，即乘积为1的两个数互为倒数，熟练掌握知识点是解题的关键．
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5．（2022•攀枝花）2的平方根是（ ）
A．2 B．±2 C． D．
【答案】D
【解析】因为（± ）2＝2，
所以2的平方根是 ，故选：D．
6．（2022•淮安）实数27的立方根是 ．
【答案】3
【解析】∵3的立方等于27，
∴27的立方根等于3．
7．（2022•鄂州）计算： ＝ ．
【答案】2
【解析】∵22＝4，
∴ ＝2．
8．（2022•常州）化简： ＝ ．
【答案】2
【解析】∵23＝8
∴ ＝2．
9．中国华为麒麟985处理器是采用7纳米制程工艺的手机芯片，在指甲盖大小的尺寸上塞进了120
亿个晶体管，是世界上最先进的具有人工智能的手机处理器，将120亿个用科学记数法表示为( )
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要
看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数．
120亿个用科学记数法可表示为： 个．故选C．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中
， 为整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
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10．下列说法中，正确的是（ ）
A．近似数3.76与3.760表示的意义一样 B．近似数13.2亿精确到亿位
C．3.0×103精确到百位，有4个有效数字 D．近似数30.000有5个有效数字
【答案】D
【解析】A． 近似数3.76精确到百分位，3.760精确到千分位，表示的意义不同，故A错误；
B． 近似数13.2亿精确到千万位，故B错误；C． 3.0×103精确到百位，有2个有效数字，故C错
误；
D． 近似数30.000有5个有效数字，正确．故选D．
11．用四舍五入法将 精确到千位，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数字5进行四舍五入即可．
130542精确到千位是1.31×105．故选：C．
【点睛】本题考查了近似数和有效数字：从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所
有的数字都是这个数的有效数字．近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确
到哪一位，保留几个有效数字等说法．
考点3. 实数的运算及大小比较
1．若 ，则 __________．
【答案】2
【解析】根据非负数的性质进行解答即可．
， ， ， ， ，
．
【点睛】本题考查了非负数的性质，掌握几个非负数的和为0，这几个数都为0，是解题的关键．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】D
【解析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．
∵ ，∴a-2=0，b-2a=0，
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解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故选：D．
【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
3．用“ ”或“ ”符号填空： ______ ．
【答案】
【解析】两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
∵|-7|=7，|-9|=9，7<9，∴-7>-9，故答案为：>．
【点睛】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个负
数，绝对值大的其值反而小．
4．在有理数1， ，-1，0中，最小的数是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【解析】根据负数小于0，0小于正数即可得出最小的数．
1， ，-1，0这四个数中只有-1是负数，所以最小的数是-1，故选：C．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较．理解0大于任何负数，小于任何正数是解题关键．
5．比较 ， ， 的大小，结果正确的是（ ）
A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜
【答案】A
【解析】根据有理数大小比较的方法即可求解．
∵ <0， <0， >0∴ 最大；又∵ > ，∴ ＜ ；∴ ＜ ＜ ．故选A．
点评：本题考查有理数比较大小的方法：①正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；②两
个负数，绝对值大的反而小．
6．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＜|b|，下列各式中正确的个数是（ ）
①a+b＜0； ②b﹣a＞0； ③ ； ④3a﹣b＞0； ⑤﹣a﹣b＞0．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
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【答案】C
【解析】数轴上右边的点表示的数总大于左边的点表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数
为正数．从图中可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|，再根据有理数的运算法则判断即可．
根据数轴上a，b两点的位置可知，b＜0＜a，|b|＞|a|，
①根据有理数的加法法则，可知a+b＜0，故正确；
②∵b＜a，∴b-a＜0，故错误；
③∵|a|＜|b|，∴
∵ <0, ， ， 根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小∴ ，故正
确；
④3a﹣b=3a+（- b）∵3a>0,-b>0∴3a﹣b>0，故正确；
⑤∵﹣a>b∴- a﹣b>0.故①③④⑤正确，选C.
【点睛】本题考查根据点在数轴的位置判断式子的正负，本部分的题主要根据，数轴上左边的点表
示的数总比右边的点表示的数要小，及有理数的运算规律来判断式子的大小.
7．若 ，则a，b，c的大小关系是_______．（用<号连接）
【答案】
【解析】分别计算零次幂，负整数指数幂，绝对值，再比较大小即可．
．
【点睛】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，绝对值的运算，有理数的大小比较，掌握以上知识
是解题的关键．
31
