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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.2 三角形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 三角形的相关概念 ☆☆ 数学中考中，有关本专题的部分，每
年考查1~3道题,分值为3~9分，通常
考点2 三角形中的重要线段 ☆☆☆ 以选择题、填空题、解答题的形式考
查。在考查其他知识点的综合试题里
考点3 等腰三角形以及等边三角形 ☆☆ 一定用到本专题知识。
考点4 直角三角形勾股定理及其应用 ☆☆☆
考点5 直角三角形的性质及计算 ☆☆☆
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
定 理 ：
勾股定理及应用
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应用:主要用于计算
勾
股
定
理
直角三角形的判别方法:（勾股定理的逆定理）
若三角形的三边满足 则它是一个直角三角形.
夯实基础
考点1. 三角形的相关概念
1. 三角形的概念：由____________的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
2. 三角形的分类
（1）按____分类：三角形
{三边都不相等的三角形
{ 底边和腰不相等的等腰三角形
等腰三角形
等边三角形
{直角三角形
（2）按_____分类：三角形 { 锐角三角形
斜三角形
钝角三角形
3. 三角形三边的关系：三角形任意两边的和______第三边，任意两边的差______第三边。
4.三角形的稳定性: 三角形三条边的长度确定之后，三角形的形状就唯一确定了.
5. 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有_____个内角，且每个内
角均大于0°且小于180°。
6. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于_______ 。
推论：直角三角形的两个锐角______。
7.三角形的内角和定理的应用：
（1)在三角形中,已知两个内角的度数,可以求出第三个内角的度数；
（2)在三角形中,已知三个内角的比例关系,可以求出三个内角的度数；
（3)在直角三角形中,已知一个锐角的度数,可以求出另一个锐角的度数.
8. 三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的_______组成的角，叫做三角形的外角。
9.三角形的外角和定理：三角形的外角和等于______．
10.三角形的外角的性质：
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（1）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的_____；
（2）三角形的一个外角______任何一个和它不相邻的内角．
考点2. 三角形中的重要线段
1. 三角形的高：从三角形的一个顶点向底边作垂线，____与顶点之间的线段叫做三角形的高。
2. 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与
所交的点间的______叫做三角形的角平分线。
3. 三角形的中线：三角形一边的中点与此边所对______的连线叫做三角形的中线。
（1）三角形的中线会把原三角形面积______。
（2）一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形_____两边的
差。
【易错点提示】对三角形三条重要线段的深入理解
（1）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段。
（2）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重
合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高
在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点。
考点3. 等腰三角形和等边三角形
1. 等腰三角形
（1）等腰三角形的定义：有两条边_____的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫
做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．
（2）等腰三角形的性质：
①等腰三角形的两个_____相等．
②等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相_____．
（3）等腰三角形的判定定理：
如果一个三角形有两个角______，那么这两个角所对的边也______（简写成“等角对等边”）．
（4）等腰三角形的面积公式
其中a是底边长，h是底边上的高，S是面积
2. 等边三角形
（1）等边三角形定义：_____条边都相等的三角形，叫做等边三角形.
（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于_____.
（3）等边三角形的判定：
①三条边都_____的三角形是等边三角形；
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②三个角都_____的三角形是等边三角形；
③有一个角为_____的等腰三角形是等边三角形.
（4）等边三角形的面积公式
其中a是等边三角形的边长，h是任意边上的高，S是面积。
3. 线段垂直平分线的性质与判定
（1）线段的垂直平分线定义：经过线段____并且_____于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平
分线，也叫线段的中垂线。
（2）线段垂直平分线的做法
求作线段AB的垂直平分线.
作法：1）分别以点A，B为圆心，以大于AB/2的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
说明：作弧时的半径必须大于AB/2的长，否则就不能得到两弧的交点了．
2）作直线CD，CD即为所求直线．
说明：线段的垂直平分线的实质是一条直线.
（3）线段垂直平分线的性质：
1）线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离______.
2）线段的垂直平分线逆定理：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的__________.
说明：线段的垂直平分线定理也就是线段垂直平分线的性质，是证明两条线段相等的常用方法之
一．同时也给出了引辅助线的方法，“线段垂直平分线，常向两端把线连”.就是遇见线段的垂直平
分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条
件．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和______斜边的平方.
a，b c a2 b2 c2
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为 ，斜边长为 ，那么 .
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a，b，c
2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长 ，满足_______，那么这个三角形是直角三
角形.
3. 勾股数：像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个_____，称为勾股数。
【易错点提示】
(1)由定义可知，一组数是勾股数必须满足两个条件：①满足 a2＋b2＝c2；②都是正整数．两者缺一
不可．
(2)将一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数所得的数仍满足 a2＋b2＝c2(但不一定是勾股数)，以它
们为边长的三角形是直角三角形，比如以0.3 cm,0.4 cm,0.5 cm为边长的三角形是直角三角形．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. 直角三角形的性质
性质1.直角三角形两锐角之和等于______。
性质2.直角三角形斜边上的____等于斜边的一半。
性质3.直角三角形中，30°角所对的直角边等于_____的一半。
2. 直角三角形的判定
（1）有一个角为_____的三角形是直角三角形。
（2）有两个角的和是_____的三角形是直角三角形。
（3）一边上的中线等于这条边的_____的三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长分别为a,b,c若满足_______，那么这个三角形为直角三角形。
3. 直角三角形面积公式
其中a、b是两条直角边的长，c 是斜边长，h是斜边上的高 ，S是直角三角形面积。
4. 直角三角形相关计算
（1）勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系
时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解；
（2）用于解决带有平方关系的证明问题；
（3）与勾股定理有关的面积计算；
（4）勾股定理在实际生活中的应用。
考点1. 三角形的相关概念
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【例题1】（2024陕西省）如图，在 中， ， 是 边上的高，E是 的
中点，连接 ，则图中的直角三角形有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【变式练1】（2024长沙一模）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，3，4 B．2，2，7 C．4，5，7 D．3，3，6
【变式练2】（2024湖南娄底一模）若一个三角形的两边长分别为2cm，7cm，则它的第三边的长可
能是（ ）
A．2cm B．3cm C．6cm D．9cm
【变式练3】（2024黑龙江大庆一模）将一副三角尺按如图所示的位置摆放，其中 O，E，F在直线
l上，点B恰好落在DE边上，∠1＝20°，∠A＝45°，∠AOB＝∠DEF＝90°．则∠ABE的度数为（
）
A．60° B．65° C．70° D．75°
考点2. 三角形中的重要线段
【例题2】（2024四川南充）如图，在 中， ， 平分
交 于点D，点E为边 上一点，则线段 长度的最小值为（ ）
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A. B. C. 2 D. 3
【变式练1】（2024哈尔滨一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打
算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（ ）
A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线
C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线
【变式练2】（2024天津一模）如图，△ABC中，∠1=∠2，G为AD的中点，延长BG交AC于点
E，F为AB上一点，且CF⊥AD于点H，下列判断中，正确的个数是（ ）
①BG是△ABD的边AD上的中线；
②AD既是△ABC的角平分线，也是△ABE的角平分线；
③CH既是△ACD的边AD上的高，也是△ACH的边AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
【例题3】（2024福建省）小明用两个全等的等腰三角形设计了一个“蝴蝶”的平面图案．如图，
其中 与 都是等腰三角形，且它们关于直线 对称，点 ， 分别是底边 ， 的
中点， ．下列推断错误的是（ ）
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A. B.
C. D.
【变式练1】（2024辽宁沈阳一模）已知等腰三角形的两边长分别为4和9，则这个三角形的周长
是（ ）
A．22 B．19 C．17 D．17或22
【变式练2】（2024山西一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BA延长线上一点，且ED⊥BC
交AC于点F．
（1）求证：△AEF是等腰三角形；
（2）若AB＝13，EF＝12，F为AC中点，求BC的长．
【变式练3】（2024上海一模）如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC．若AD＝4，则△ADE的周
长为 ．
【变式练4】（2024河北唐山一模）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，
再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则∠O的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【变式练5】 （2024吉林一模）如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F
，若△ABC的周长是20，AB=4，AC=7，则△AEF的周长为（ ）
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A．4 B．7 C．9 D．11
【变式练6】（2024南京一模）如图，ΔABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，
DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．如果AB=5，AC=3，则AE= ．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
【例题4】（2024吉林省）图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水
深度，其示意图如图②，其中 ， 于点C， 尺， 尺．设
的长度为x尺，可列方程为______．
【变式练1】（2024陕西一模）如图，在 中， ， 是 边的中线，若
， ，则 的长度为________．
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【变式练2】（2024武汉一模）在△ABC中，D为BC边上的点，AB＝13，AD＝12，CD＝9，AC＝15，
求BD的长．
【变式练3】（2024上海一模）如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在
挖完后测量了一下，发现AB＝DC＝8m，AD＝BC＝6m，AC＝9m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的
是否合格？
考点5. 直角三角形的性质及计算
【例题5】（2024广州）如图，在 中， ， ， 为边 的中点，点
， 分别在边 ， 上， ，则四边形 的面积为（ ）
A. 18 B. C. 9 D.
【变式练1】（2024湖北荆州一模）如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被
湖隔开．若测得AB的长为10km，则M，C两点间的距离为（ ）
A．3km B．4km C．5km D．6km
【变式练2】（2024贵州黔西南一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在线段BC上，且
∠B＝30°，∠ADC＝60°，BC＝ ，则BD的长度为________．
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【变式练3】（2024苏州一模）如图，在Rt△ABC中∠ACT=90°，CD是斜边AB上的中线，
AC=4，CD=3。求直角边BC的长
考点1. 三角形的相关概念
1. （2024黑龙江齐齐哈尔）将一个含 角的三角尺和直尺如图放置，若 ，则 的度数
是（ ）
A. B. C. D.
2. （2024 四川德阳）如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图，其中 ，
，则 等于（ ）
A. B. C. D.
3. （2024江苏连云港）如图，直线 ，直线 ， ，则 __________ ．
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4. （2024四川达州）如图，在 中， ， 分别是内角 、外角 的三等分
线，且 ， ，在 中， ， 分别是内角 ，
外角 的三等分线．且 ， ，…，以此规律作下去．
若 ．则 ______度．
考点2. 三角形中的重要线段
1. （2024四川凉山）如图， 中， 是边 上的高，
是 的平分线，则 的度数是______．
2. （2024河北省）如图， 的面积为 ， 为 边上的中线，点 ， ， ， 是线段
的五等分点，点 ， ， 是线段 的四等分点，点 是线段 的中点．
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（1） 的面积为______；
（2） 的面积为______．
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1. （2024内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的
周长为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
2. （2024云南省）已知 是等腰 底边 上的高，若点 到直线 的距离为3，则点
到直线 的距离为（ ）
A. B. 2 C. 3 D.
3. （2024安徽省）如图，在 中， ，点 在 的延长线上，且 ，
则 的长是（ ）
A. B. C. D.
4. （2024重庆市B）如图，在 中， ， ， 平分 交 于点 ．
若 ，则 的长度为________．
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5. （2024湖南省）一个等腰三角形的一个底角为 ，则它的顶角的度数是________度．
6. （2024四川遂宁）在等边 三边上分别取点 ，使得 ，连结三点
得到 ，易得 ，设 ，则
如图①当 时，
如图②当 时，
如图③当 时，
……
直接写出，当 时， ______．
7.（2024湖北省） 为等边三角形，分别延长 ，到点 ，使
，连接 ， ，连接 并延长交 于点 ．若 ，则
______， ______．
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8. （2024江苏常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点， 相交于点G， ，
， ．
（1）求证： 是等腰三角形；
（2）连接 ，则 与l的位置关系是________．
考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1. （2024四川德阳）宽与长的比是 的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调的美感，世界
各国许多著名建筑为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．已知四边形 是黄金矩
形． ，点 是边 上一点，则满足 的点 的个数为（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. （2024江苏盐城）如图，在 中， ， ，点 是 的中点，
连接 ，将 绕点 旋转，得到 ．连接 ，当 时， ________．
3. （2024四川乐山）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡
秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
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送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地 1尺，将它往前推
进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉
的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索 的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置 释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为
β的地方 ，两次位置的高度差 ．根据上述条件能否求出秋千绳索 的长度？如果能，
请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
考点5. 直角三角形的性质及计算
1. （2024四川南充）如图，在矩形 中， 为 边上一点， ，将 沿
折叠得 ，连接 ， ，若 平分 ， ，则 的长为_____．
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2. （2024江苏连云港）如图，在 中， ， ， ．点P在边 上，
过点P作 ，垂足为D，过点D作 ，垂足为F．连接 ，取 的中点E．
在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为__________．
3. （2024四川成都市）如图，在 中， ， 是 的一条角平分线， 为
中点，连接 ．若 ， ，则 ______．
4. （2024黑龙江龙东）如图，菱形 中，点 是 的中点， ，垂足为 ， 交
于点 ， ， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
5. （2024山东枣庄）一副三角板分别记作 和 ，其中 ，
， ， ．作 于点 ， 于点 ，如图1．
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（1）求证： ；
（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点 与点 重合记为 ，
点 与点 重合，将图2中的 绕 按顺时针方向旋转 后，延长 交直线 于点 ．
①当 时，如图3，求证：四边形 为正方形；
②当 时，写出线段 ， ， 的数量关系，并证明；当 时，直
接写出线段 ， ， 的数量关系．
考点1. 三角形的相关概念
1．已知在△ABC中，AB＝4，BC＝7，则边AC的长可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．11
2. 如图，E为△ABC边CA边上一点，过点E作ED∥AB．若∠ABC＝110°，∠CED＝150°，则
∠C＝ °．
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考点2. 三角形中的重要线段
1. 在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
2．如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（ ）
A．AB＝2BF B．∠ACE＝ ∠ACB
C．AE＝BE D．CD⊥BE
3. 如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长
为（ ）
A．19cm B．22cm C．25cm D．31cm
考点3. 等腰三角形以及等边三角形
1．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．50° B．65°
C．50°或65° D．50°或80°或65°
2．如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于
点F，DE＝5cm，DF＝3cm，则△ABC的周长为 cm．
3．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交
BC于点E，则∠DAE＝ ．
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4．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，
则∠EBC＝ ．
5. 如图，在△ABC中，AC=4，BC边上的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，若△AEC的周
长是11，则直线DE上任意一点到A、C距离和最小为（ ）
A．28 B．18 C．10 D．7
6．如图，在△ABC中，BD、AE分别是AC、BC边上的高，它们相交于点F，且AF＝BC．
求证：△ABD是等腰三角形．
6．如图，已知△ABC中，∠ABC＝∠ACB，以点B为圆心，BC长为半径的弧分别交AC，AB于点
D，E，连接BD，ED．
（1）写出图中所有的等腰三角形；
（2）若∠AED＝114°，求∠ABD和∠ACB的度数．
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考点4. 直角三角形勾股定理及其应用
1．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为 ， ， ，由下列条件不能判定△ABC为直角三
角形的是（ ）A．∠A+∠B=∠C B．∠A∶∠B∶∠C =1∶2∶3C．
D． ∶ ∶ =3∶4∶62．已知两条线段的长为 和 ，当第三条线段的长为_________ 时，
这三条线段能组成一个直角三角形.3．如图，RtABC中，ACB90，AC 12，BC 5，延长
BC至点D，连接AD，若ABD是以AD为其中一腰的等腰三角形，则线段DC的长等于
．
4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：
(1)AC的长；
(2)S ；
△ABC
(3)CD的长．
5.探索与研究：
方法1：如图：
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对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且
四边形 ACFD 是一个正方形，它的面积和四边形 ABFE 的面积相等，而四边形 ABFE 的面积等于
Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；
方法2：如图：
该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证
明勾股定理的方法吗？
6. 如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，
恰好能组合得到如图2所示的四边形 ．若 ， ，则点 到 的距
离为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
考点5. 直角三角形的性质及计算
1．如图，有一架梯子斜靠在与地面 垂直的墙 上，在墙角点 处有一只猫紧紧盯住位于
梯子 正中间点 处的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同
一平面内的线或点，模型如图，若梯子 端沿墙下滑，且梯子 端沿地面向右滑行．在此滑动
过程中，猫与老鼠的距离将 （填“变大”、“变小”或“不变”）．
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2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E．求
证：E为AB的中点．
3. 如图 ,MN 为过 Rt△ABC 的直角顶点 A 的直线,且BD⊥MN 于点D,CE⊥MN 于点E,AB=AC,F 为BC
的中点,求证:DF=EF.
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