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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆ 数学中考中，有关锐角三角函数的部分，
每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆ 以选择题、填空题、解答题的形式考查。
锐角三角函数的实际应用属于全国各省市
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆ 必考题，希望复习时强化训练。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1 特珠角的三角函数值
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A= = ，
（2）我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A= = ，
（3）我们把锐角A的对边与邻边的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A= = ．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
3. 30°、45°、60°角的三角函数值
4. 通过三角函数值求角度
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考点2 直角三角形的边角关系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有5 个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素
（至少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2. 直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为 （勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=90°
（3）30°角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3. 其他有关公式
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（1） = =
（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径 ，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
(1) ；
两直角边a，b
(2)由 求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
两边
(1) ；
一直角边a，斜边c
(2)由 求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
(1)∠B=90−∠A；
一直角边a，锐角A (2) ；
一边一锐角
(3) .
(1)∠B=90−∠A；
斜边c，锐角A (2)a=c·sin A；
(3)b=c·cos A.
【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角
形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所
考查的角置身在这个直角三角形中．
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴
作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定
理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明
确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转
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换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角
函数值替换。
考点3 锐角三角函数的实际应用
1. 仰角和俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与
水平线的夹角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 9 0 °的角，叫做方
位角。如图所示：
3. 坡度，坡角
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（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度.记作i，即i=h/l
（2）坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i=tanα.
坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
5. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高
度.
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考点1 特珠角的三角函数值
【例题1】（2024天津市） 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据
代入即可求解.
【详解】 ，故选：A.
【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】2sin45°=2× 故选B
【变式练2】（2024大庆一模）计算：cos245°+sin245°=（ ）
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A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】考点是 特殊角的三角函数值．首先根据cos45°=sin45°= ，分别求出cos245°、
sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．
∵cos45°=sin45°= ，
∴cos245°+sin245°
=
= =1．故选：B．
【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，
则α+β= ．
【答案】75°．
【解析】根据非负数的性质求出sinα、tanβ的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度
数。
∵|sinα﹣ |+ =0，
∴sinα= ，tanβ=1，
∴α=30°，β=45°，
则α+β=30°+45°=75°．
考点2 直角三角形的边角关系
【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在 中， ， ，则 的长是（
）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【答案】B
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【解析】本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理．正确作出辅助线是解题关键．过
点 A 作 于点 D．由等腰三角形三线合一的性质得出 ．根据
，可求出 ，最后根据勾股定理可求出 ，即得出 ．
【详解】如图，过点A作 于点D．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．故选B．
【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高， ，
(1) 求证：AC=BD；
(2)若 ，BC=12，求AD的长．
【答案】见解析。
【解析】(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．
∴∠ADB=90°，∠ADC=90°．
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在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵ = ， =
又已知
∴ = ．∴AC=BD．
(2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．
【变式练2】（2024广西一模）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（
） △
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠△A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性质，
并能进行推理计算是解决问题的关键．
考点3 锐角三角函数的实际应用
【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，
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已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风
对帆的作用力 为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不
起作用，与帆垂直的力 仪可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；
与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，
建 立 数 学 模 型 ： ， 则 ______ ． （ 单 位 ： ） （ 参 考 数 据 ：
）
【答案】128
【解析】此题考查了解直角三角形的应用，求出 ， ，由
得 到 ， 求 出 ， 求 出
在 中，根据 即可求出答案．
【详解】如图，
∵帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
由题意可知， ，
∴ ，
∴
在 中， ，
∴ ，
故答案为：
【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意
图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D，
，垂足为点C．设 ，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
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【解析】根据正弦三角函数的定义判断即可．
∵BC⊥AC，
∴△ABC是直角三角形，
∵∠ABC=α，
∴ ．
【点睛】本题考查了正弦三角函数的定义．在直角三角形中任意锐角∠A的对边与斜边之比叫做∠A
的正弦，记作sin∠A．掌握正弦三角函数的定义是解答本题的关键．
【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部
D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D
与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【答案】该铁塔的高AE为52米．
【解析】如图，过点C作CF⊥AB于点F．
设塔高AE=x，由题意得：
EF=BE-CD=56-27=29，AF=AE+EF=(x+29)，
在Rt△AFC中，
∵∠ACF=36°52′，AF=(x+29)，
∴CF= = =x+ ，
在Rt△ABD中，
∵∠ADB=45°，AB=x+56，∴BD=AB=x+56.
∵CF=BD，∴x+56=x+ . 解得：x=52.
答：该铁塔的高AE为52米．
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西
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40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是
（ ）
A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【答案】A
【解析】根据题意可得∠ABC＝75°，AD∥BE，AB＝AC，再根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝
∠C＝75°，从而求出∠BAC的度数，然后利用平行线的性质可得∠DAB＝∠ABE＝40°，从而求出
∠DAC的度数，即可解答．
如图：由题意得：
∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝40°+35°＝75°，AD∥BE，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝75°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝30°，
∵AD∥BE，
∴∠DAB＝∠ABE＝40°，
∴∠DAC＝∠DAB+∠BAC＝40°+30°＝70°，
∴小岛C相对于小岛A的方向是北偏东70°．
．
【点睛】本题考查了方向角，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖
边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），
再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔
顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB
的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
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A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
【答案】D
【分析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，根据斜坡DE的坡度
（或坡比）i＝1：2.4可设EF＝x，则DF＝2.4x，利用勾股定理求出x的值，进而可得出EF与DF的
长，故可得出CF的长．由矩形的判定定理得出四边形EFCM是矩形，故可得出EM＝FC，CM＝
EF，再由锐角三角函数的定义求出AM的长，进而可得出答案．
【解析】过点E作EF⊥DC交DC的延长线于点F，过点E作EM⊥AC于点M，
∵斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，DE＝CD＝78米，
∴设EF＝x，则DF＝2.4x．
在Rt△DEF中，
∵EF2+DF2＝DE2，即x2+（2.4x）2＝782，
解得x＝30，
∴EF＝30米，DF＝72米，
∴CF＝DF+DC＝72+78＝150米．
∵EM⊥AC，AC⊥CD，EF⊥CD，
∴四边形EFCM是矩形，
∴EM＝CF＝150米，CM＝EF＝30米．
在Rt△AEM中，
∵∠AEM＝43°，
∴AM＝EM•tan43°≈150×0.93＝139.5米，
∴AC＝AM+CM＝139.5+30＝169.5米．
∴AB＝AC﹣BC＝169.5﹣144.5＝25米．
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考点1. 特珠角的三角函数值
1. （2024深圳）计算： ．
【答案】
【解析】本题考查特殊锐角三角函数值，零指数幂，绝对值以及负整数指数幂．先将各项化简，再
算乘法，最后从左往右计算即可得
【详解】
．
考点2. 直角三角形的边角关系
1. （2024 云南省）在 中，∠B=90°，已知 ，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据三角函数的定义求解即可．
∵∠B=90°， ，
∴ = ，故选：C．
【点睛】本题考查了三角函数的求法，解题关键是理解三角函数的意义，明确是直角三角形中哪两
条边的比．
2. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，
，其中点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）
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A. 2 B. C. D. 3
【答案】B
【解析】本题考查了菱形的性质，解直角三角形，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别
在格点上，根据菱形的性质，进而得出 ，解直角三角形求得 的长，根据对顶
角相等，进而根据正切的定义，即可求解．
【详解】如图所示，延长 交格点于点 ，连接 ， 分别在格点上，
依题意， ，
∴
∴
又 ，
∴
∴ 故选：B．
3. （2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓
（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知 于点B， 与水平线l相交于点O，
．若 分米， 分米． ，则点 C 到水平线 l 的距离 为
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________分米（结果用含根号的式子表示）．
【答案】 ##
【解析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长 交l于点H，连接 ，根
据题意及解三角形确定 ， ，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．
【详解】解：延长 交l于点H，连接 ，如图所示：
在 中， ，
，
即 ，
解得： ．
4. （2024 深圳）如图，在 中， ， ，D 为上一点，且满足
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，过D作 交 延长线于点E，则 ________．
【答案】
【解析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，平行线分线段成比例，先设 ，根据
， ， 得 出 再 分 别 用 勾 股 定 理 求 出
， 故 ， 再 运 用 解 直 角 三 角 形 得 出
， ，代入 ，化简即可作答．
【详解】解：如图，过点A作 垂足为H,
∵ ， ，
设 ，
∴ ，
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∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过点C作 垂足为M，
∴ ， ，
∵ , ，
∴ ，
∴
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，
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小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（
）（参考数据： ， ， ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形 、
、 是 矩 形 ， 再 设 ， 表 示 ， 然 后 在
以 及 运 用 线 段 和 差 关 系 ， 即
，再求出 ，即可作答．
【详解】如图：延长 交 于一点 ，
∵
∴四边形 是矩形
∵
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∴四边形 是矩形
同理得四边形 是矩形
依题意，得 ，
∴ ，
∴
∴设 ，则
在
∴
即
在
∴
即
∴
∴
∴
∴ 故选：A
2. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部
点 的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼
的高度为______m（结果保留根号）．
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【答案】 ##
【解析】本题考查解直角三角形—仰角俯角问题．注意准确构造直角三角形是解答此题的关键．根
据题意得 ，然后利用三角函数求解即可．
【详解】依题意， ．
在
中， ，
在 中， ，
∴ ．
3. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的点
P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测
得教学楼顶端点B的俯角为 ，则教学楼 的高度约为________m．（精确到 ，参考数据：
， ， ）
【答案】17
【解析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长 交直线 于点H，先用三角函数解
求出 ，进而求出 ，再证 ，最后根据 即可求解．
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【详解】解：如图，延长 交直线 于点H，则 ，
由题意知 ，
在 中， ，即 ，
解得 ，
，
， ，
，
，
．
4. （2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功
着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，
该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆点 ，从 点测得地面 点
的俯角为 ， 米， 米．
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（1）求 的长；
（2）若模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的时间．
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1） 的长约为8米； （2）模拟装置从 点下降到 点 时的间为 秒．
【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰俯角问题，灵活运用锐角三角函数求边长
是解题关键．
（1）过点 作 交 于点 ，根据余弦值求出 的长即可；
（2）先由勾股定理，求出 的长，再利用正弦值求出 的长，进而得到 的长，然后除以速
度，即可求出下降时间．
【小问1详解】解：如图，过点 作 交 于点 ，
由题意可知， ，
，
在 中， ， 米，
，
米，
即 的长约为8米；
【小问2详解】解： 米， 米，
米，
在 中， ， 米，
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，
米，
米，
模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，
模拟装置从 点下降到 点的时间为 秒，
即模拟装置从 点下降到 点的时间为 秒．
5. （2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后到
达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行 海里后到达 港，再沿北
偏东 方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东 方向航行一定距离到达 港，再
沿南偏东 方向航行一定距离到达 港．（参考数据： ， ， ）
（1）求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通
过计算说明．
【答案】（1） ， 两港之间的距离 海里；
（2）甲货轮先到达 港．
【解析】【分析】（ ）过 作 于点 ，由题意可知： ， ，
求出 ， 即可求解；
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（ ）通过三角函数求出甲行驶路程为： ，乙行驶路程为：
，然后比较即可；
本题考查了方位角视角下的解直角三角形，构造直角三角形，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．
【小问1详解】
如图，过 作 于点 ，
∴ ，
由题意可知： ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ （海里），
∴ ， 两港之间的距离 海里；
【小问2详解】
由（ ）得： ， ， ，
∴ ，
∴ ，
由题意得： ， ，
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∴ ，
∴ ， （海里），
∴甲行驶路程为： （海里），乙行驶路程为：
（海里），
∵ ，且甲、乙速度相同，
∴甲货轮先到达 港．
6. （2024重庆市B）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在
的正北方向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向，
千米．（参考数据： ， ， ）
（1）求 的长度（结果精确到 千米）；
（2）甲、乙两人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为：
．请计算说明谁选择的路线较近？
【答案】（1） 千米
（2）甲选择的路线较近
【解析】
【小问1详解】
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解：如图所示，过点B作 于E，
由题意得， ，
∴ ，
在 中， 千米，
∴ 千米，
在 中， 千米，
∴ 的长度约为 千米；
【小问2详解】
解：如图所示，过点C作 于D，
在 中， 千米，
∴ 千米，
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在 中， 千米，
千米，
在 中， ，
∴ 千米，
千米，
∴ 千米，
千米，
∵ ，
∴甲选择的路线较近．
7. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，
造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学
兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 的实践活动． 为乾元塔的
顶端， ，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即
米）测得 点仰角为 ，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为 ，请根据测量数据，求乾
元塔的高度 ．（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
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【答案】乾元塔的高度 约为 米
【解析】本题考查解直角三角形的应用，设 平移后得到 ，延长 交 于点 ，设
，分别解 ，表示出 的长，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设 平移后得到 ，延长 交 于点 ，则： ，
， ，
设 ，则： ，
在 中， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
答：乾元塔的高度 约为 米．
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8. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实
现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电
机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风
电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧，
，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶
点A的仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据：
， ， ．）
【答案】
【解析】【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，过点 作
于G，连接 ，则四边形 是矩形，可得 ， ，再证
明四边形 是矩形，则 ， ，进一步证明 三点共线，得到
；设 ，解 得到 ；解 得到 ；则
，解得 ，即 ，则 ．
【详解】解：如图所示，过点 作 于G，连接 ，则四边形 是矩形，
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∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
由题意可得 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 三点共线，
∴ ；
设 ，
在 中， ，
∴
∴ ；
在 中， ，
∴
∴ ；
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∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴风电塔筒 的高度约为 ．
9. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合
性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线
与水槽内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射
光线， 为折射光线．）
【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
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（参考数据： ， ， ）
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思
想解答．
（1）根据等腰三角形的性质计算出的值；
（2）利用锐角三角函数求出 长，然后根据 计算即可．
【小问1详解】
解：在 中， ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
解：由题可知 ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ．
考点1. 特珠角的三角函数值
1. = ______.
【答案】 .
【解析】根据特殊角的三角函数值填空即可.
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由特殊角的三角函数值，能够确定 = .故答案是
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.
考点2. 直角三角形的边角关系
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A= .求BC的长和tan B的值．
【答案】见解析。
【解析】用正弦的定义即可求得BC，而要求tan B则先要用勾股定理求得AC．
∵sin A= = ，AB=10，∴BC=4．
∵AC= ，
∴tan B= = ．
2. （2022广西贺州）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
△
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据直角三角形的两个锐角互余，即可得出∠A的度数．
∵Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，
∴∠△A=90°-∠B=90°-56°=34°．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余；熟练掌握直角三角形的性
质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
3. （2022江苏扬州）在 中， ， 分别为 的对边，若
，则 的值为__________．
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【答案】
【解析】如图所示：
在 中，由勾股定理可知： ，
，
，
， ， ，
，即： ，
求出 或 （舍去），
在 中： ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的概念及勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的
关键．在 中， ， ， ．
4. 如图，已知在Rt ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
△
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【答案】AC=4，sinA=
【解析】根据勾股定理求出AC，根据正弦的定义计算，得到答案．
∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴ ．
．
【点睛】本题考查的是勾股定理、锐角三角函数的定义，掌握正弦的定义是解题的关键．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ，在观测点 处测得大桥主
架顶端 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距
离 为60米，且 垂直于桥面．（点 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度 ；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度 ．（结果精确到1米）（参考数据
）
【答案】（1）大桥主架在桥面以上的高度 为 米；（2）大桥主架在水面以上的高度
约为50米．
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【解析】（1） 垂直于桥面
在 中，
（米）
答：大桥主架在桥面以上的高度 为 米．
（2）在 中，
（米）答：大桥主架在水面以上的高度 约为50
米．
【点睛】本题考查直角三角形的边角关系，锐角三角函数的意义，掌握锐角三角函数的意义是解决
问题的前提．
2. 如图， 岛在A岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是_____．
【答案】 或者85度
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【解析】过 作 交 于 ，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解．
岛在A岛的北偏东 方向，
，
岛在 岛的北偏西 方向，
，
过 作 交 于 ，如图所示：
，
，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的
性质是解决问题的关键．
3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B
均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D
的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据： ， ，
．
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【答案】96米
【解析】【分析】根据题意可得 是直角三角形，解 可求出 AC 的长，再证明
是直角三角形，求出BC的长，根据AB=AC-BC可得结论．
【详解】∵A，B均在C的北偏东37°方向上，A在D的正北方向，且点D在点C的正东方，
∴ 是直角三角形，
∴ ，
∴∴∠A=90°-∠BCD=90°-53°=37°，
在Rt ACD中， ，CD=90米，
△
∴ 米，
∵ ，
∴
∴ ，
∴ 即 是直角三角形，
∴ ，
∴ 米，
∴ 米，
答：A，B两点间的距离为96米．
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【点睛】此题主要考查了解直角三角形-方向角问题的应用，解一般三角形，求三角形的边或高的问
题一般可以转化为解直角三角形的问题．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此
时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点
与观测点A的距离为25 海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求
救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
【解析】（1）过点C作CE⊥AB于点E，根据题意可得∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25 海里，根
据勾股定理可得AE＝CE＝25（海里），由∠CBE＝30°，即可得结论；
（2）作CF⊥DB于点F，证明四边形CEBF是矩形，可得FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25
（海里），根据勾股定理求出CD的长，进而可得救援船到达C点需要的最少时间．
解：（1）如图，过点C作CE⊥AB于点E，
根据题意可知：∠ACE＝∠CAE＝45°，AC＝25 海里，
∴AE＝CE＝25（海里），
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∵∠CBE＝30°，
∴BE＝25 （海里），
∴BC＝2CE＝50（海里）．
答：观测点B与C点之间的距离为50海里；
（2）如图，作CF⊥DB于点F，
∵CF⊥DB，FB⊥EB，CE⊥AB，
∴四边形CEBF是矩形，
∴FB＝CE＝25（海里），CF＝BE＝25 （海里），
∴DF＝BD+BF＝30+25＝55（海里），
在Rt△DCF中，根据勾股定理，得
CD＝ ＝ ＝70（海里），
∴70÷42＝ （小时）．
答：救援船到达C点需要的最少时间是 小时．
43
