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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.4 锐角三角函数
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 特珠角的三角函数值 ☆ 数学中考中，有关锐角三角函数的部分，
每年考查1~2道题,分值为3~10分，通常
考点2 直角三角形的边角关系 ☆☆ 以选择题、填空题、解答题的形式考查。
锐角三角函数的实际应用属于全国各省市
考点3 锐角三角函数的实际应用 ☆☆☆ 必考题，希望复习时强化训练。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1 特珠角的三角函数值
1.锐角∠A的正弦、余弦、正切的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°。
（1）我们把锐角 A 的对边与_____的比叫做∠A的正弦，记作 sin A 即
sin A= = ，
（2）我们把锐角A的_____与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
cos A= = ，
（3）我们把锐角A的对边与_____的比叫做 ∠A 的正切，记作 tanA， 即
tan A= = ．
2.锐角三角函数的定义
sin A、cos A、tan A分别叫做锐角∠A的正弦、余弦、正切，统称为锐角∠A的三角函数．
3. 30°、45°、60°角的三角函数值
4. 通过三角函数值求角度
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考点2 直角三角形的边角关系
1. 解直角三角形
由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形。
注意：在直角三角形中，除直角外有个元素（即3条边、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至
少有1个是边），就可以求出其余的3个未知元素。
2. 直角三角形中边角关系
在直角三角形ABC中，如果∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，那么
（1）三边之间的关系为__________（勾股定理）
（2）锐角之间的关系为∠A+∠B=_____
（3）_____角所对直角边等于斜边的一半。
（4）直角三角形斜边上的_____等于斜边的一半。
（5）边角之间的关系为：（三角函数定义）
3. 其他有关公式
（1） = =
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（2）Rt△面积公式：
（3）直角三角形外接圆的半径 ，内切圆半径
（4）直角三角形斜边上的高
【方法总结1】解直角三角形的常见类型及一般解法
只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素.
Rt△ABC中的已知条件 一般解法
(1) ；
两直角边a，b
(2)由 求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
两边
(1) ；
一直角边a，斜边c
(2)由 求出∠A；
(3)∠B=90−∠A.
(1)∠B=90−∠A；
一直角边a，锐角A (2) ；
一边一锐角
(3) .
(1)∠B=90−∠A；
斜边c，锐角A (2)a=c·sin A；
(3)b=c·cos A.
【方法总结2】当用三角函数定义求角的三角函数值时，首先要判断这个三角形是否为直角三角
形，若是，还应明确哪个角是直角，切忌硬套定义式．对于复杂问题，需要构造直角三角形，将所
考查的角置身在这个直角三角形中．
方法总结1：结合平面直角坐标系求某角的正弦、余弦、正切，函数值，一般过已知点向x轴或y轴
作垂线，构造直角三角形，再结合勾股定理求解。
方法总结2：已知一边及其邻角的正弦、余弦、正切，函数值时，一般需结合方程思想和勾股定
理，解决问题。
方法总结3：在没有明确三角形是直角三角形的前提下，首先判定三角形是不是直角三角形，在明
确三角形是直角三角形的条件下，再使用锐角三角函数定义进行解证，否则，通过分割或补形法转
换成直角三角形。
方法总结4：依据同角或等角的三角函数值相等的性质，将一个的三角函数值用另一个等角的三角
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函数值替换。
考点3 锐角三角函数的实际应用
1. 仰角和俯角：在进行测量时，从_____看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从_____看，视线与水
平线的夹角叫做俯角。
2. 方位角：以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于____的角，叫做方
位角。如图所示：
3. 坡度，坡角
（1）如图：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面_____.记作i，即i=h/l
（2）坡面与水平面的夹角叫做____，记作α，有i=tanα.
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坡度通常写成1∶m的形式，如i=1∶6.
显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.
4. 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
① 将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
② 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
③ 得到数学问题的答案；
④ 得到实际问题的答案．
5. 利用三角函数测高
(1) 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
①在测点A安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；
②量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；
③量出测倾器的高度AC=a，可求出
MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
①在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MCE=α；
②在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角∠MDE=β；
③量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离 AB=b.根据测量数据，求出物体MN的高
度.
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考点1 特珠角的三角函数值
【例题1】（2024天津市） 的值等于（ ）
A. B. C. D.
【变式练1】（2024大连一模）2sin45°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【变式练2】（2024大庆一模）计算：cos245°+sin245°=（ ）
A． B．1 C． D．
【变式练3】（2024沈阳一模）已知α、β均为锐角，且满足|sinα﹣ |+ =0，
则α+β= ．
考点2 直角三角形的边角关系
【例题2】（2024甘肃临夏）如图，在 中， ， ，则 的长是（
）
A. 3 B. 6 C. 8 D. 9
【变式练1】（2024云南一模）如图，在△ABC中，AD是BC上的高， ，
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(1) 求证：AC=BD；
(2)若 ，BC=12，求AD的长．
【变式练2】（2024广西一模）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（
） △
A. B. C. D.
考点3 锐角三角函数的实际应用
【例题3】（2024福建省）无动力帆船是借助风力前行的．下图是帆船借助风力航行的平面示意图，
已知帆船航行方向与风向所在直线的夹角 为 ，帆与航行方向的夹角 为 ，风
对帆的作用力 为 ．根据物理知识， 可以分解为两个力 与 ，其中与帆平行的力 不
起作用，与帆垂直的力 仪可以分解为两个力 与 与航行方向垂直，被舵的阻力抵消；
与航行方向一致，是真正推动帆船前行的动力．在物理学上常用线段的长度表示力的大小，据此，
建 立 数 学 模 型 ： ， 则 ______ ． （ 单 位 ： ） （ 参 考 数 据 ：
）
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【变式练1】（2024长春一模）如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意
图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B， 垂直地面，垂足为点D，
，垂足为点C．设 ，下列关系式正确的是（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024湖北武汉一模）如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部
D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D
与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．(参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75)
【变式练3】（2024山东烟台一模）如图，某海域中有A，B，C三个小岛，其中A在B的南偏西
40°方向，C在B的南偏东35°方向，且B，C到A的距离相等，则小岛C相对于小岛A的方向是
（ ）
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A. 北偏东70° B. 北偏东75° C. 南偏西70° D. 南偏西20°
【变式练4】（2024江苏扬州一模）如图，垂直于水平面的5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖
边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），
再沿斜坡DE方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得5G信号塔
顶端A的仰角为43°，悬崖BC的高为144.5米，斜坡DE的坡度（或坡比）i＝1：2.4，则信号塔AB
的高度约为（ ）
（参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan43°≈0.93）
A．23米 B．24米 C．24.5米 D．25米
考点1. 特珠角的三角函数值
1. （2024深圳）计算： ．
考点2. 直角三角形的边角关系
1. （2024 云南省）在 中，∠B=90°，已知 ，则 的值为
（ ）
A. B. C. D.
2. （2024四川达州）如图，由8个全等的菱形组成的网格中，每个小菱形的边长均为2，
，其中点 ， ， 都在格点上，则 的值为（ ）
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A. 2 B. C. D. 3
3. （2024湖南省）如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓
（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知 于点B， 与水平线l相交于点O，
．若 分米， 分米． ，则点 C 到水平线 l 的距离 为
________分米（结果用含根号的式子表示）．
4. （2024 深圳）如图，在 中， ， ，D 为上一点，且满足
，过D作 交 延长线于点E，则 ________．
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1. （2024深圳）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 的测量仪 测得的仰角为 ，
小军在小明的前面 处用高 的测量仪 测得的仰角为 ，则电子厂 的高度为（
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）（参考数据： ， ， ）
A. B. C. D.
2. （2024黑龙江绥化）如图，用热气球的探测器测一栋楼的高度，从热气球上的点 测得该楼顶部
点 的仰角为 ，测得底部点 的俯角为 ，点 与楼 的水平距离 ，则这栋楼
的高度为______m（结果保留根号）．
3. （2024江苏盐城）如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升距地面 的点
P处，测得教学楼底端点A的俯角为 ，再将无人机沿教学楼方向水平飞行 至点Q处，测
得教学楼顶端点B的俯角为 ，则教学楼 的高度约为________m．（精确到 ，参考数据：
， ， ）
4. （2024广州）2024年6月2日，嫦娥六号着陆器和上升器组合体（简称为“着上组合体”）成功
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着陆在月球背面．某校综合实践小组制作了一个“着上组合体”的模拟装置，在一次试验中，如图，
该模拟装置在缓速下降阶段从 点垂直下降到 点，再垂直下降到着陆点 ，从 点测得地面 点
的俯角为 ， 米， 米．
（1）求 的长；
（2）若模拟装置从 点以每秒2米的速度匀速下降到 点，求模拟装置从 点下降到 点的时间．
（参考数据： ， ， ）
5. （2024重庆市A）如图，甲、乙两艘货轮同时从 港出发，分别向 ， 两港运送物资，最后到
达 港正东方向的 港装运新的物资．甲货轮沿 港的东南方向航行 海里后到达 港，再沿北
偏东 方向航行一定距离到达 港．乙货轮沿 港的北偏东 方向航行一定距离到达 港，再
沿南偏东 方向航行一定距离到达 港．（参考数据： ， ， ）
（1）求 ， 两港之间的距离（结果保留小数点后一位）；
（2）若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠 、 两港的时间相同），哪艘货轮先到达 港？请通
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过计算说明．
6. （2024重庆市B）如图， ， ， ， 分别是某公园四个景点， 在 的正东方向， 在
的正北方向，且在 的北偏西 方向， 在 的北偏东 方向，且在 的北偏西 方向，
千米．（参考数据： ， ， ）
（1）求 的长度（结果精确到 千米）；
（2）甲、乙两人从景点 出发去景点 ，甲选择的路线为： ，乙选择的路线为：
．请计算说明谁选择的路线较近？
7. （2024甘肃临夏）乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的北山公园内，共九级，为砼框架式结构，
造型独特别致，远可眺太子山露骨风月，近可收临夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹．某校数学
兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了测量乾元塔高度 的实践活动． 为乾元塔的
顶端， ，点 ， 在点 的正东方向，在 点用高度为1.6米的测角仪（即
米）测得 点仰角为 ，向西平移14.5米至点 ，测得 点仰角为 ，请根据测量数据，求乾
元塔的高度 ．（结果保留整数，参考数据： ， ， ）
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8. （2024甘肃威武）习近平总书记于2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实
现碳中和．甘肃省风能资源丰富，风力发电发展迅速．某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电
机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风
电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒 垂直于地面，测角仪 ， 在 两侧，
，点C与点E相距 （点C，H，E在同一条直线上），在D处测得简尖顶
点A的仰角为 ，在F处测得筒尖顶点A的仰角为 ．求风电塔筒 的高度．（参考数据：
， ， ．）
9. （2024贵州省）综合与实践：小星学习解直角三角形知识后，结合光的折射规律进行了如下综合
性学习．
【实验操作】
第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处，入射光线
与水槽内壁 的夹角为 ；
第二步：向水槽注水，水面上升到 的中点E处时，停止注水．（直线 为法线， 为入射
光线， 为折射光线．）
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【测量数据】
如图，点A，B，C，D，E，F，O，N， 在同一平面内，测得 ， ，折射角
．
【问题解决】
根据以上实验操作和测量的数据，解答下列问题：
（1）求 的长；
（2）求B，D之间的距离（结果精确到0.1cm）．
（参考数据： ， ， ）
考点1. 特珠角的三角函数值
1. = ______.
考点2. 直角三角形的边角关系
1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sin A= .求BC的长和tan B的值．
2. （2022广西贺州）如图，在Rt ABC中，∠C=90°，∠B=56°，则∠A的度数为（ ）
△
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A. B. C. D.
3. （2022江苏扬州）在 中， ， 分别为 的对边，若
，则 的值为__________．
4. 如图，已知在Rt ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．
△
考点3. 锐角三角函数的实际应用
1．如图，小明利用学到的数学知识测量大桥主架在水面以上的高度 ，在观测点 处测得大桥主
架顶端 的仰角为30°，测得大桥主架与水面交汇点 的俯角为14°，观测点与大桥主架的水平距
离 为60米，且 垂直于桥面．（点 在同一平面内）
（1）求大桥主架在桥面以上的高度 ；（结果保留根号）；
（2）求大桥主架在水面以上的高度 ．（结果精确到1米）（参考数据
）
2. 如图， 岛在A岛的北偏东 方向， 岛在 岛的北偏西 方向，则 的大小是_____．
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3. 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得A，B
均在C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得A在D的正北方向，B在D
的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．参考数据： ， ，
．
4．如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此
时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点
与观测点A的距离为25 海里．
（1）求观测点B与C点之间的距离；
（2）有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到海轮的求
救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要的最少时间．
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