热点专题4-3三角函数图象与性质11类常考题型汇总（原卷版）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

热点专题 4-3 三角函数的图象与性质
近5年考情（2020-2024）
考题统计 考点分析 考点要求
2024年天津卷第7题，5分
2024年北京卷第6题，5分
以三角函数的图像、周期性、单 （1）正弦函数、余弦函数
2024年II卷第9题，6分 调性、奇偶性、对称性、最值等 和正切函数的图像性质
2024年I卷第7题，5分 重点内容展开，并结合三角公 （2）三角函数图像的平移
2023年甲卷第12题，5分 式、化简求值、平面向量、解三 与变换
2023年I卷第15题，5分 角形等内容综合考查，因此复习 （3）三角函数实际应用问
时要注重三角知识的工具性，以 题
2023·新高考Ⅱ卷T16 及三角知识的应用意识． （4）辅助角公式
2023·全国甲卷（理）T11
2022·全国乙卷数学（理）T15
模块一
【题型1】求单调区间
三角函数的单调性，需将函数 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数
单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．
如函数 的单调区间的确定基本思想是吧 看做是一个整体，
如由 解出 的范围，所得区间即为增区间；
热点题型解读（目录）
由 解出 的范围，所得区间即为减区间．
若 函 数 中 ， 可 用 诱 导 公 式 将 函 数 变 为 ， 则
的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数 的单调性的讨论与以上类似处理即可．
类型一：利用恒等变形和辅助角公式合并 2 个式子

1．函数 f(x) 3sin(x
3
)cosx的单调递减区间为
( )
 4  2
A．[ k, k],kZ B．[ k, k],kZ
3 3 6 3
 4  2
C．[ 2k, 2k],kZ D．[ 2k, 2k],kZ
3 3 6 3
【巩固练习1】（2024·高三·山东青岛·期末）函数 的单调减区间为 ．
【巩固练习2】函数y2sinxcosx2sin2x1，x[0，]的单调递减区间为 ________．
类型二：有负号的情况

2．函数 f(x)sin(2x )的单调增区间是
6 ( )
   
A．[n ，n ](nZ) B．[2n ，2n ](nZ)
6 3 6 3
2  2 
C．[n ，n ](nZ) D．[2n ，2n ](nZ)
3 6 3 6
【巩固练习1】（2024·全国·二模）已知函数 ， ，则函数 的单调递
减区间为 .
【巩固练习 2】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 在
为 函数．（填“增”或“减”）
类型三：复合函数型
 
ylog sin2x 
3．函数 1  4的单调减区间为（ ）
2
     
k ,k

kZ k ,k

kZ
A． 4  B． 8 8 3    3 
k ,k

kZ k ,k 

kZ
C． 8 8 D． 8 8 
类型四：利用单调性和诱导公式比大小
4．（襄阳市一中2023期末）（多选）下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
应用：函数值比大小
5．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个
单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
类型五：结合导数确定单调区间
6．函数 在 上的单调递减区间为 .
类型六：由单调性求参数范围
 π
7．若
f xsin

2x
6

在区间
t,t
上单调递增，则实数t的取值范围为（ ）
π π  π π π  π

,

0,
 
,

0,

A．6 2 B． 3 C．6 3 D． 6
【巩固练习1】若函数 f(x)2xsinxcosxacosx在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
【题型2】三角函数的对称轴，对称中心和周期
二、对称性与周期1.一般情况下，
f(x)=Asin(x+)(A0，0)
两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。
2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。
3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。
4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。
5.一般情况下，
f(x)=Asin(x+)+b(A0，0)
的最大值或者最小值，必在对称轴处。
6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。

7、求函数 f(x)=Asin(x+)+b(A0，0)的对称轴的方法；令 x k(kZ)，得
2

k
2 ；对称中心的求取方法；令 ，得 k，即对称中心为
x (kZ) x
 xk(kZ) 
k 

，b．
  

k
8、求函数 的对称轴的方法；令 得 2 ，即
x
y Acos(x)b(w0) xk(kZ) 
类型一：求对称轴（中心），周期
8．（武汉市部分省示范高中期末联考）（多选）对于函数 ，下列说法正确的是
（ ）
A．最小正周期为 B．其图象关于点 对称
C．对称轴方程为 D．单调增区间
9．（陕西汉中市期末）已知函数 ，下列说法正确的有（ ）
①函数 最小正周期为 ；②定义域为
③ 图象的所有对称中心为 ；
④函数 的单调递增区间为 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【巩固练习1】（多选）已知函数 f(x)2 3sin2xcos2xcos42xsin42x，则( )
f(x) 
A． 的最小正周期为

B． f(x)的图象关于直线x
6
对称
k  k 
C． f(x)的单调递增区间为[
2

6
,
2

12
](kZ)

D． f(x)的图象关于点(
24
,0)对称
  
【巩固练习2】已知函数 f(x)sin(3x)(  )的图象关于直线x 对称，则
2 2 4 ( )
 
A．函数 f(x)在[
12
,
3
]上单调递增

B．函数 f(x )为偶函数
12

C．若 ，则 的最小值为
| f(x ) f(x )|2 |x x | 3
1 2 1 2

D．函数 f(x)的图象向右平移
4
个单位长度得到函数ycos3x的图象
 π  π
【巩固练习3】（多选）已知函数 f xcos2x  3sin2x 1，则下列判断正确的是（ ）
 3  3
 π 
A． f x 的最小正周期为π B． f x 的图象关于点    4 ,0 对称
π
C． f x 的值域为 1,3 D． f x 的图象关于直线 x 对称
2
【巩固练习4】（多选）已知函数 ，则（ ）A． 的图象关于直线 轴对称
B． 的图象关于点 中心对称
C． 的所有零点为
D． 是以 为周期的函数
类型二：对称性的应用
10．已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为 ．
【 巩 固 练 习 1 】 已 知 函 数 f(x)acosxb(a0)的 最 大 值 为 3 ， 最 小 值 为 1 ， 则 函 数

y f(2x)2f(x)(x[ ,]的值域为 ．
3
π
【巩固练习2】已知 f xasinxcosx的图象关于x 对称，则函数gxsinxacosx的图象的一条对
3
称轴是x（ ）
π π 2π 5π
A． B． C． D．
6 3 3 6
【巩固练习 3】（多选）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数，
时， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的周期为4 B．
C． 在 上为单调递减函数 D．方程 有且仅有四个不同的解
【题型3】三角函数的值域问题
求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．（1） ，设 ，化为一次函数 在 上的最值求解．
（2） ，引入辅助角 ，化为 ，求解方法同类型
（1）
（3） ，设 ，化为二次函数 在闭区间 上的最值求解，
也可以是 或 型．
（4） ，设 ，则 ，故 ，
故原函数化为二次函数 在闭区间 上的最值求解．
（5） 与 ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求
最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 或 的函数求解释务必注意 或
的范围．
（6）导数法
类型一：二次函数型
11．（2017·全国·高考真题）函数 （ ）的最大值是 ．
【巩固练习1】函数ysin2x4cosx6的值域是（ ）
2,10 0,10 2,10 10,2
A． B． C． D．
【巩固练习2】函数 的值域为 .
类型二：通过辅助角公式，诱导公式合并
1  
12．函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为
5 3 66 3 1
A． B．1 C． D．
5 5 5
【巩固练习】已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR)．
（Ⅰ）求 f(x)的最小正周期及对称轴方程；

（Ⅱ）当 ， ]时，求函数 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的
x[0 2 f(x)
自变量x的值．
类型三：已知值域求参数范围
π 
13．已知函数
f(x)4sin2 
2
x

4sinx ，x0,a
的值域为
4,5
，则实数a的取值范围为（ ）
π π π  5π 
A．  6 , 2   B．   π 6 , 5 6 π  C．  6 ,π   D．   6 ,π  
 1 1 1
【巩固练习】已知函数 f(x)sinxsin(x ) 的定义域为 ， ，值域为[ , ]，则 的
3 4 [m n](mn) 2 4 nm
取值范围为 ．
类型四：换元或结合导数
14．已知函数 ，该函数的最大值为__________．
【巩固练习1】函数 在区间 上的最大值与最小值之和是 .
【巩固练习2】函数 的值域为_____________．
【题型4】三角函数图像的平移与伸缩变换

由函数 的图像变换为函数y2sin(2x )3的图像的步骤；
y sinx 3 
方法一：(xx 2x )．先平移后伸缩．
3 3

向左平移个单位 ysin(x )的图像 所有点的横坐标变为原来的1
ysinx的图像3  3 2
纵坐标不变
 
ysin(2x )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍 y2sin(2x )的图像
3 横坐标不变 3

y2sin(2x )3
向上平移3个单位 3
 
方法二：(xx 2x )．先伸缩后平移．
2 3

ysinx的图像  所  有  点的  横坐  标变  为原  来  的1 2 y sin2x的图像 向  左  平移 6 个  单位 
纵坐标不变
 
ysin2(x )sin(2x )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍
6 2 横坐标不变
 
y2sin(2x )的图像向上平移3个单位 y2sin(2x )3
3 3
注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，
无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x而言的，即图像变换要看“变量 x”发生多大变化，而不是
“角x”变化多少．
注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名
【易错分析】： 函数 中，参数 的变化引起图象的变换：
的变化引起图象中振幅的变换； 的变化引起横向伸缩变换； 的变化引起左右平移变换； 的变化引
起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．
类型一：不改变函数名
 π
ysinx 
15．将函数  3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向
π
左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ）
31 1 π
A． ysin x B． ysin x 
2 2 6
ysin   1 x π  ysin  2x π 
C． 2 2 D．  6
【巩固练习1】要得到函数 ， 的图象，只需将函数 ， 的图象
（ ）
A．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变
B．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
C．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变
D．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变

【巩固练习2】把函数 f(x)sin(2x )的图象向左平移 个单位可以得到函数 的图象，若
3 (0) g(x)
g(x)是偶函数，则的值为( )
5  5  5 11
A． B． C． 或 D． 或
12 6 12 6 12 12
【巩固练习3】将函数 f xsinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ，纵坐标不变，再将所得图象向
2
左平移0
个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的值可能是（ ）
π π π 3π
A． B． C． D．
6 3 2 4

【巩固练习4】（多选）将函数 f x2sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标
6
变为原来的
1 倍，纵坐标不变，得到gx
的图象，下面四个结论中，错误的是（ ）
2
 
0,
A．函数
gx
在区间

 3

上为增函数

B．将函数gx的图象向左平移
6
个单位长度后得到的图象关于
y
轴对称 
,0
C．点

6
 是函数gx
图象的一个对称中心
π 
D．函数 gx在
2
,π 

上的最大值为1
类型二：改变函数名（结合诱导公式变形）
 π π
f x3cos6x 
16．将函数  3图象上所有的点都向左平移12个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点
3
gx gx
的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）
 2π  π
3sin2x  3sinx 
A．  3  B．  3
 π 1 2π
3cos2x  3cos x 
C．  4 D． 6 3 
【巩固练习 1】已知曲线 ， ，若想要由 得到 ，下列说法正确的是
（ ）
A．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位
B．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位
C．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位
D．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位
x x
【巩固练习2】要得到ysin 的图像，只要将ycos 的图像（ ）
2 2
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
2 2
C．向左平移π个单位长度 D．向右平移π个单位长度
 π
【巩固练习3】要得到函数 的图象，只需将y3sin2x+ 的图象上所有的点（ ）
y3cosx  4π
A．横坐标变为原来的1 （纵坐标不变）再向左平移 个单位长度
4
2
π
1
B．横坐标变为原来的 （纵坐标不变）再向左平移 个单位长度
2 8
π
C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移 个单位长度
4
π
D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移 个单位长度
8
 π
【巩固练习5】为得到函数ycos2x 的图像，只需将函数 的图像（ ）
 3 ysin2x
5π 5π
A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位
12 12
5π 5π
C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位
6 6
 11π π 
【巩固练习5】为了得到y3sin2x 的图象，只要把 y3cos 2x的图象向左平移（ ）个单
 12  4 
位长度
π π 2π 7π
A． B． C． D．
12 3 3 6
类型三：求最短距离或参数范围

17．函数 f xsin2x的图象向右平移 个单位得到函数gx的图象，若gxgx，当最小
6
时，φ的值是（ ）
   
A． B． C． D．
6 6 3 3
【巩固练习1】将函数 f xcos  x π (0)的图象向左平移 π 个单位长度后得到的函数为奇函数，
 4 3
则实数的最小值为（ ）
9 5 3 1
A． B． C． D．
4 4 4 4
 2 
【巩固练习2】将函数ysin2x 的图象沿水平方向平移 个单位后得到的图象关于直线x 对称
 3   4
（0向左移动，0向右移动），当最小时，则（ ）
   
A． B． C． D．
3 12 6 3【巩固练习3】将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若
对满足 的 ，总有 的最小值等于 ，则 （ ）
A． B． C． D．
π
【巩固练习4】将函数 f x 3sin2xcos2x向右平移  （ 0 ）个单位长度后得到一个关于x 12 对称
的函数，则实数

的最小值为（ ）
5π π 5π π
A． B． C． D．
12 12 6 6
【题型5】三角函数相关图像的识别
先看奇偶性，再看正负，最后看单调性
18．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家
万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数
 1
的图象的特征，如通过函数
y

x
x


cosx
的解析式可判断其在区间
,
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．2
19．函数 f(x)( 1)cosx图象的大致形状是（ ）
1ex
A． B．
C． D．
20．（2023·广东广州·统考一模）函数 在 上的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
21．（湖南常德·统考一模）函数 的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
【题型6】求三角函数解析式
一、根据函数必关于 轴对称，在三角函数中联想到 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最
值点或单调性来求解．
二、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式的解决思路
由函数图像求解析式
确定 y  Asin(x)B(A0，0) 的步骤和方法:
M m M m
(1)求 ：确定函数的最大值 和最小值 ，则 A ，B  ；
A，B M m 2 2
2
(2)求 ：确定函数的周期
，则＝
；
 T T

(3)求 ：常用的方法有代入法和五点法．
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注
意交点是在增区间还是在减区间)．

②五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．
类型一：由基本性质求解析式或基本量
22．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线
和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）A． B． C． D．
23．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T．若
，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【巩固练习1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲线
的两个交点， ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
【巩固练习2】已知函数 f xsinx 在区间    π 6 , 2 3 π  上单调递减，直线 x π 6和 x 2 3 π 为函数 y f x
π
的图象的两条相邻对称轴，则 f  （ ）
3
3 1 3
  1
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
 2π π π π π
【巩固练习3】已知函数 f xsin  x 3   (0) ，若 f  6    f  3  ，且 f x 在区间  6 , 3  上有最小
值无最大值，则 .【巩固练习4】已知函数 f(x)sin(x)在区间     π 6 , π 3   单调递增，直线 x π 6和 x π 3为函数 y f x
 π 
f  
的图像的两条相邻对称轴，则  12 （ ）
3 1 3
  1
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
1
【巩固练习5】已知函数 f xsin2xπ0，设方程 f x 最小的两个正根为x,x x x ，
2 1 2 1 2
x 4x 
若 2 1，则 ．
5π 2π
【巩固练习6】已知函数 f xsinx0有一个零点为 ,x 为其图象的一条对称轴．且函
12 3
5π 2π  π
数 f x 在区间  12 , 3  上单调递增，则 f    6    （ ）
1 3 3
1  
A． 2 B． 2 C． 2 D． 2
 π  π 
【巩固练习7】已知函数 f xsinx   0,0 2  满足 f x f  6  恒成立， f x f πx ，
f x 0,2π 
且 在区间 上有5个零点，则 .
 π π
【巩固练习8】函数 f xsinx(0) 满足 f    3   0 ，且 f x f  3  恒成立，若 f x 在区间
 π π
 , 
 3 3上有最小值而无最大值，则 .类型二：由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式
24．（2020·新高考1卷真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ）
A． B． C． D．
2023·新高考Ⅱ卷T16
25．已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两个交点，若 ，则
．
【巩固练习1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数 的图象如图所示
.将 的图象向右平移2个单位长度，得到函数 的图象，则 的解析式为
（ ）A．
B．
C．
D．
【巩固练习2】已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则函数
的解析式为 ．
【巩固练习3】已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则 的
解析式为（ ）
A． B．C． D．
【巩固练习4】若函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【巩固练习5】（多选）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，
其中 的图象与 轴的一个交点的横坐标为 ，则（ ）
A． 的最小正周期为π B． ，
C． 的图象关于点 中心对称 D． 在 上单调递增
【巩固练习7】已知函数 的部分图像如图所示，则 .【巩固练习8】（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列
正确的是（ ）
A． B．
C．函数 为偶函数 D．

【巩固练习9】已知函数 ， ，|| )的部分图象如图所示，则 的解析
f(x) Asin(x)(A0 0 2 f(x)
式为 
A． f(x)2sin(2x ) B． f(x)2sin(2x )
6 6
 1 
C． f(x)3sin(2x ) D． f(x)3sin( x )
6 2 6
π
【巩固练习10】已知函数 f x Asinx （其中 A0,0, ）的部分图像如右图所示，则 f x
2
 π π
在  , 上的值域为 ．
 2 3
 π
【巩固练习11】已知函数 f xsinx   0,0 2  的部分图象如图所示，则 f π 的值为
.
 π
【巩固练习12】已知函数 f x Asin  x 3   A0,0 的部分图象如图所示，则 f 5π .【巩固练习13】（2024届广东省韶关市高三上学期第一次模拟考试数学试题）（多选）已知函数，
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象
C． ，都有
D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数
【巩固练习14】（多选）已知函数 的部分图象如图所示，若将
函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象，
则下列命题正确的是（ ）A．函数 的解析式为
B．函数 的解析式为
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 图象的一条对称轴是直线
【巩固练习15】（2024·辽宁·二模）A，B，C是直线 与函数 （ ， ）
的图象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则
（ ）
A． B．-1 C． D．2
【题型7】解三角函数不等式
数形结合，注意隐藏的定义域限制
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象
1 3
y  cosx
26．函数 lgsinx 2 的定义域为 .
【巩固练习1】函数 f(x)lg  14sin2x  的定义域为 .
【巩固练习2】已知 f x 是偶函数且在 0, 上单调递增，则满足 f sinx f cosx 的一个x值的区间可
以是（ ）
3π 7π  π π  3π 3π  π 
 ,   ,   ,   ,0
A． 2 4  B． 2 4 C． 4 5  D． 4 
π π π
【巩固练习3】已知函数 f x2sinx （其中 0, 2 ）在区间  6 , 2  上单调，且
π π 2π π
f  2   f  6    f   3  ，当 x 12时， f x 取得最大值，则不等式 f x1 的解集为（ ）
 π π   π π 
 kπ, kπ(kZ)  kπ, kπ(kZ)
A． 12 4  B．12 4 
 π π   π π 
 kπ, kπ(kZ)  kπ, kπ(kZ)
C． 12 2  D．12 2 
【题型8】三角函数的实际应用（1）研究 的性质时可将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成
数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．
27．已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每
30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的
过程中最佳观景时长约有（ ）
A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟
【巩固练习1】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱
里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，
设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）
A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．
【巩固练习2】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻
尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，
其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为 ，如图2，若该阻尼器在
摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为 ，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习3】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观
众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大
值） 米．
【巩固练习4】（2023·重庆南开中学）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之
物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画
——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小
南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离S应为（ ）40 2cm 44 5cm
A． B．76cm C．94cm D．
【题型9】带绝对值或带根号的三角函数问题
28．函数 的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【巩固练习1】（多选）关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ）
A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间 单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2
【巩固练习2】（襄阳四中2023期末）（多选）关于函数 ，有下述四个结论：
① 是偶函数；
② 在区间 单调递增；
③ 在 有4个零点；
④ 的最大值为2．
其中正确结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【巩固练习3】（多选）关于函数 有下述四个结论，其中正确的是（ ）
A． 是偶函数
B． 在区间 上单调递增
C． 的最大值为2D． 在 有4047个零点
【巩固练习4】（浙江省金华十校2023期末）（多选）已知函数 ，则 （ ）
A．图象关于 对称 B．最小正周期为
C．最小值为1 D．最大值为
【巩固练习5】（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 是周期函数
B．函数 的最小值为
C．函数 在 上单调递增
D． 在 上有两解
【题型10】由三角函数性质求“ω”范围
1．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2023·新高考Ⅰ卷T15
2．已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是 ．
2022·全国乙卷数学（理）T15
3．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则
的最小值为 ．【巩固练习1】已知函数 在区间 上有且只有3个零点，则ω的取
值范围是____________.
 π 
【巩固练习2】已知函数 f xsinx （0， π ），其图象关于点    6 ,0 成中心对称，相邻
π  7 
两条对称轴的距离为 ，且对任意 ，都有 f x f  π，则在下列区间中， f x为单调递减函数的
2 xR 12 
是（ ）
 π π  7   π π 7π 
 , 0, π , ,π
       
A． 6 3 B． 12  C．12 2 D．12 
π π
【巩固练习3】已知函数 f(x) Asin(x) 其中 ， ，   的部分图象如下图所示，若
A0 0 2 2
f(x)在区间(m,m)上有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为 ．
f xsin   3 x   0 π x π
【巩固练习4】已知 4 （其中 2 ），其函数图像关于直线 3对称，若函数在区
2 
间 π,上有且只有三个零点，则 的范围为 ．
3  
【巩固练习5】将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，
若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 .
【巩固练习6】函数 在 上单调递增，则 的最大值为 ．
2024届·重庆市高三上学期入学调研【巩固练习7】已知函数 在区间 上是单调的，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
cos2x4sinxa0 a
【巩固练习8】已知方程 有解，则 的范围是 .
【题型11】三角函数新定义问题
sinx cosx ex lnx x
29．计算器是如何计算 、 、 、 、 等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如
x3 x5 x7 x2 x4 x6
sinxx   ，cosx1   ，其中 ，英国数学家泰勒
3 5 7 2! 4! 6! n!123n
（B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的sinx和cosx的
值也就越精确，运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ）
A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56
1 1
【巩固练习1】定义:正割sec ，余割csc .已知 为正实数，且 对任
cos sin m mcsc2 xtan2x15
  
意的实数xxk ,kZ均成立，则 的最小值为（ ）
 2  m
A．1 B．4 C．8 D．9
【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析
人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之
间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点
Ax,y  Bx ,y  dA,B x x  y y
1 1 ， 2 2 ，则曼哈顿距离为： 1 2 1 2 ，余弦相似度为：
x x y y
cosA,B 1  2  1  2
x2y2 x2y2 x2y2 x2y2 ，余弦距离为1cosA,B
1 1 2 2 1 1 2 2
3 4
(1)若 A1,2，B
5
,
5


，求A，B之间的曼哈顿距离 dA,B和余弦距离；1 2
(2)已知Msin,cos，Nsin,cos，Qsin,cos，若cosM,N ，cosM,Q
，求
5 5
tantan的值
(cid:6) (cid:6)
f xasinxbcosx pa,b f x f x p
【巩固练习3】已知函数 ，称向量 为 的特征向量， 为 的特征函
数.
3 
(1)设
gx2sinxsin
2
x
，求
gx
的特征向量；
(cid:6) 6   
(2)设向量 p  3,1  的特征函数为 f x ，求当 f x 5且 x   6 , 3  时，sinx的值；
(cid:6)  1 3
(3)设向量 p    2 , 2    的特征函数为 f x，记hx f2x 1 4 ，若hx在区间a,b上至少有40个零点，
求ba的最小值.