热点专题4-3三角函数图象与性质11类常考题型汇总（原卷版）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习_2025年高考数学二轮热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）

热点专题 4-3 三角函数的图象与性质 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年天津卷第7题，5分 2024年北京卷第6题，5分 以三角函数的图像、周期性、单 （1）正弦函数、余弦函数 2024年II卷第9题，6分 调性、奇偶性、对称性、最值等 和正切函数的图像性质 2024年I卷第7题，5分 重点内容展开，并结合三角公 （2）三角函数图像的平移 2023年甲卷第12题，5分 式、化简求值、平面向量、解三 与变换 2023年I卷第15题，5分 角形等内容综合考查，因此复习 （3）三角函数实际应用问 时要注重三角知识的工具性，以 题 2023·新高考Ⅱ卷T16 及三角知识的应用意识． （4）辅助角公式 2023·全国甲卷（理）T11 2022·全国乙卷数学（理）T15 模块一 【题型1】求单调区间 三角函数的单调性，需将函数 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数 单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式． 如函数 的单调区间的确定基本思想是吧 看做是一个整体， 如由 解出 的范围，所得区间即为增区间； 热点题型解读（目录） 由 解出 的范围，所得区间即为减区间． 若 函 数 中 ， 可 用 诱 导 公 式 将 函 数 变 为 ， 则 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数 的单调性的讨论与以上类似处理即可． 类型一：利用恒等变形和辅助角公式合并 2 个式子  1．函数 f(x) 3sin(x 3 )cosx的单调递减区间为 ( )  4  2 A．[ k, k],kZ B．[ k, k],kZ 3 3 6 3  4  2 C．[ 2k, 2k],kZ D．[ 2k, 2k],kZ 3 3 6 3 【巩固练习1】（2024·高三·山东青岛·期末）函数 的单调减区间为 ． 【巩固练习2】函数y2sinxcosx2sin2x1，x[0，]的单调递减区间为 ________． 类型二：有负号的情况  2．函数 f(x)sin(2x )的单调增区间是 6 ( )     A．[n ，n ](nZ) B．[2n ，2n ](nZ) 6 3 6 3 2  2  C．[n ，n ](nZ) D．[2n ，2n ](nZ) 3 6 3 6 【巩固练习1】（2024·全国·二模）已知函数 ， ，则函数 的单调递 减区间为 . 【巩固练习 2】将函数 的图象向右平移 个单位后得到函数 的图象，则 在 为 函数．（填“增”或“减”） 类型三：复合函数型   ylog sin2x  3．函数 1  4的单调减区间为（ ） 2       k ,k  kZ k ,k  kZ A． 4  B． 8 8 3    3  k ,k  kZ k ,k   kZ C． 8 8 D． 8 8  类型四：利用单调性和诱导公式比大小 4．（襄阳市一中2023期末）（多选）下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 应用：函数值比大小 5．（2023·全国·统考高考真题）函数 的图象由函数 的图象向左平移 个 单位长度得到，则 的图象与直线 的交点个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 类型五：结合导数确定单调区间 6．函数 在 上的单调递减区间为 . 类型六：由单调性求参数范围  π 7．若 f xsin  2x 6  在区间 t,t 上单调递增，则实数t的取值范围为（ ） π π  π π π  π  ,  0,   ,  0,  A．6 2 B． 3 C．6 3 D． 6 【巩固练习1】若函数 f(x)2xsinxcosxacosx在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【题型2】三角函数的对称轴，对称中心和周期 二、对称性与周期1.一般情况下， f(x)=Asin(x+)(A0，0) 两个点关于中心对称，则函数值互为相反数。 2.对称中心之间的距离是半个周期的整数倍。 3.周期与轴之间的距离，是四分之一周期的整数倍。 4正余弦与水平线交点的中点，是函数的对称轴。 5.一般情况下， f(x)=Asin(x+)+b(A0，0) 的最大值或者最小值，必在对称轴处。 6.对称轴之间的距离，是半个周期的整数倍。  7、求函数 f(x)=Asin(x+)+b(A0，0)的对称轴的方法；令 x k(kZ)，得 2  k 2 ；对称中心的求取方法；令 ，得 k，即对称中心为 x (kZ) x  xk(kZ)  k   ，b．     k 8、求函数 的对称轴的方法；令 得 2 ，即 x y Acos(x)b(w0) xk(kZ)  类型一：求对称轴（中心），周期 8．（武汉市部分省示范高中期末联考）（多选）对于函数 ，下列说法正确的是 （ ） A．最小正周期为 B．其图象关于点 对称 C．对称轴方程为 D．单调增区间 9．（陕西汉中市期末）已知函数 ，下列说法正确的有（ ） ①函数 最小正周期为 ；②定义域为 ③ 图象的所有对称中心为 ； ④函数 的单调递增区间为 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【巩固练习1】（多选）已知函数 f(x)2 3sin2xcos2xcos42xsin42x，则( ) f(x)  A． 的最小正周期为  B． f(x)的图象关于直线x 6 对称 k  k  C． f(x)的单调递增区间为[ 2  6 , 2  12 ](kZ)  D． f(x)的图象关于点( 24 ,0)对称    【巩固练习2】已知函数 f(x)sin(3x)(  )的图象关于直线x 对称，则 2 2 4 ( )   A．函数 f(x)在[ 12 , 3 ]上单调递增  B．函数 f(x )为偶函数 12  C．若 ，则 的最小值为 | f(x ) f(x )|2 |x x | 3 1 2 1 2  D．函数 f(x)的图象向右平移 4 个单位长度得到函数ycos3x的图象  π  π 【巩固练习3】（多选）已知函数 f xcos2x  3sin2x 1，则下列判断正确的是（ ）  3  3  π  A． f x 的最小正周期为π B． f x 的图象关于点    4 ,0 对称 π C． f x 的值域为 1,3 D． f x 的图象关于直线 x 对称 2 【巩固练习4】（多选）已知函数 ，则（ ）A． 的图象关于直线 轴对称 B． 的图象关于点 中心对称 C． 的所有零点为 D． 是以 为周期的函数 类型二：对称性的应用 10．已知函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 的值为 ． 【 巩 固 练 习 1 】 已 知 函 数 f(x)acosxb(a0)的 最 大 值 为 3 ， 最 小 值 为 1 ， 则 函 数  y f(2x)2f(x)(x[ ,]的值域为 ． 3 π 【巩固练习2】已知 f xasinxcosx的图象关于x 对称，则函数gxsinxacosx的图象的一条对 3 称轴是x（ ） π π 2π 5π A． B． C． D． 6 3 3 6 【巩固练习 3】（多选）已知函数 的定义域为 ，且 为奇函数， 为偶函数， 时， ，则下列结论正确的是（ ） A． 的周期为4 B． C． 在 上为单调递减函数 D．方程 有且仅有四个不同的解 【题型3】三角函数的值域问题 求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．（1） ，设 ，化为一次函数 在 上的最值求解． （2） ，引入辅助角 ，化为 ，求解方法同类型 （1） （3） ，设 ，化为二次函数 在闭区间 上的最值求解， 也可以是 或 型． （4） ，设 ，则 ，故 ， 故原函数化为二次函数 在闭区间 上的最值求解． （5） 与 ，根据正弦函数的有界性，即可用分析法求最值，也可用不等式法求 最值，更可用数形结合法求最值．这里需要注意的是化为关于 或 的函数求解释务必注意 或 的范围． （6）导数法 类型一：二次函数型 11．（2017·全国·高考真题）函数 （ ）的最大值是 ． 【巩固练习1】函数ysin2x4cosx6的值域是（ ） 2,10 0,10 2,10 10,2 A． B． C． D． 【巩固练习2】函数 的值域为 . 类型二：通过辅助角公式，诱导公式合并 1   12．函数f(x)= sin(x+ )+cos(x− )的最大值为 5 3 66 3 1 A． B．1 C． D． 5 5 5 【巩固练习】已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sinxcosx(xR)． （Ⅰ）求 f(x)的最小正周期及对称轴方程；  （Ⅱ）当 ， ]时，求函数 的最大值、最小值，并分别求出使该函数取得最大值、最小值时的 x[0 2 f(x) 自变量x的值． 类型三：已知值域求参数范围 π  13．已知函数 f(x)4sin2  2 x  4sinx ，x0,a 的值域为 4,5 ，则实数a的取值范围为（ ） π π π  5π  A．  6 , 2   B．   π 6 , 5 6 π  C．  6 ,π   D．   6 ,π    1 1 1 【巩固练习】已知函数 f(x)sinxsin(x ) 的定义域为 ， ，值域为[ , ]，则 的 3 4 [m n](mn) 2 4 nm 取值范围为 ． 类型四：换元或结合导数 14．已知函数 ，该函数的最大值为__________． 【巩固练习1】函数 在区间 上的最大值与最小值之和是 . 【巩固练习2】函数 的值域为_____________． 【题型4】三角函数图像的平移与伸缩变换  由函数 的图像变换为函数y2sin(2x )3的图像的步骤； y sinx 3  方法一：(xx 2x )．先平移后伸缩． 3 3  向左平移个单位 ysin(x )的图像 所有点的横坐标变为原来的1 ysinx的图像3  3 2 纵坐标不变   ysin(2x )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍 y2sin(2x )的图像 3 横坐标不变 3  y2sin(2x )3 向上平移3个单位 3   方法二：(xx 2x )．先伸缩后平移． 2 3  ysinx的图像  所  有  点的  横坐  标变  为原  来  的1 2 y sin2x的图像 向  左  平移 6 个  单位  纵坐标不变   ysin2(x )sin(2x )的图像 所有点的纵坐标变为原来的2倍 6 2 横坐标不变   y2sin(2x )的图像向上平移3个单位 y2sin(2x )3 3 3 注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握， 无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x而言的，即图像变换要看“变量 x”发生多大变化，而不是 “角x”变化多少． 注：函数名称不一致的平移：诱导公式化同名 【易错分析】： 函数 中，参数 的变化引起图象的变换： 的变化引起图象中振幅的变换； 的变化引起横向伸缩变换； 的变化引起左右平移变换； 的变化引 起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”． 类型一：不改变函数名  π ysinx  15．将函数  3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向 π 左平移 个单位，得到的图象对应的解析式是（ ） 31 1 π A． ysin x B． ysin x  2 2 6 ysin   1 x π  ysin  2x π  C． 2 2 D．  6 【巩固练习1】要得到函数 ， 的图象，只需将函数 ， 的图象 （ ） A．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变 B．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变 C．横坐标向右平移 个单位长度，纵坐标不变 D．横坐标向左平移 个单位长度，纵坐标不变  【巩固练习2】把函数 f(x)sin(2x )的图象向左平移 个单位可以得到函数 的图象，若 3 (0) g(x) g(x)是偶函数，则的值为( ) 5  5  5 11 A． B． C． 或 D． 或 12 6 12 6 12 12 【巩固练习3】将函数 f xsinx的图象上各点的横坐标缩小为原来的 1 ，纵坐标不变，再将所得图象向 2 左平移0 个单位长度，所得图象关于y轴对称，则的值可能是（ ） π π π 3π A． B． C． D． 6 3 2 4  【巩固练习4】（多选）将函数 f x2sinx的图象向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标 6 变为原来的 1 倍，纵坐标不变，得到gx 的图象，下面四个结论中，错误的是（ ） 2   0, A．函数 gx 在区间   3  上为增函数  B．将函数gx的图象向左平移 6 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称  ,0 C．点  6  是函数gx 图象的一个对称中心 π  D．函数 gx在 2 ,π   上的最大值为1 类型二：改变函数名（结合诱导公式变形）  π π f x3cos6x  16．将函数  3图象上所有的点都向左平移12个单位长度，再把得到的曲线图象上所有点 3 gx gx 的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 （ ）  2π  π 3sin2x  3sinx  A．  3  B．  3  π 1 2π 3cos2x  3cos x  C．  4 D． 6 3  【巩固练习 1】已知曲线 ， ，若想要由 得到 ，下列说法正确的是 （ ） A．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向左平移 个单位 B．把曲线 上各点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再向右平移 个单位 C．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向左平移 个单位 D．把曲线 上各点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），再向右平移 个单位 x x 【巩固练习2】要得到ysin 的图像，只要将ycos 的图像（ ） 2 2 π π A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度 2 2 C．向左平移π个单位长度 D．向右平移π个单位长度  π 【巩固练习3】要得到函数 的图象，只需将y3sin2x+ 的图象上所有的点（ ） y3cosx  4π A．横坐标变为原来的1 （纵坐标不变）再向左平移 个单位长度 4 2 π 1 B．横坐标变为原来的 （纵坐标不变）再向左平移 个单位长度 2 8 π C．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移 个单位长度 4 π D．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）再向左平移 个单位长度 8  π 【巩固练习5】为得到函数ycos2x 的图像，只需将函数 的图像（ ）  3 ysin2x 5π 5π A．向左平移 个长度单位 B．向右平移 个长度单位 12 12 5π 5π C．向左平移 个长度单位 D．向右平移 个长度单位 6 6  11π π  【巩固练习5】为了得到y3sin2x 的图象，只要把 y3cos 2x的图象向左平移（ ）个单  12  4  位长度 π π 2π 7π A． B． C． D． 12 3 3 6 类型三：求最短距离或参数范围  17．函数 f xsin2x的图象向右平移 个单位得到函数gx的图象，若gxgx，当最小 6 时，φ的值是（ ）     A． B． C． D． 6 6 3 3 【巩固练习1】将函数 f xcos  x π (0)的图象向左平移 π 个单位长度后得到的函数为奇函数，  4 3 则实数的最小值为（ ） 9 5 3 1 A． B． C． D． 4 4 4 4  2  【巩固练习2】将函数ysin2x 的图象沿水平方向平移 个单位后得到的图象关于直线x 对称  3   4 （0向左移动，0向右移动），当最小时，则（ ）     A． B． C． D． 3 12 6 3【巩固练习3】将函数 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的图象，若 对满足 的 ，总有 的最小值等于 ，则 （ ） A． B． C． D． π 【巩固练习4】将函数 f x 3sin2xcos2x向右平移  （ 0 ）个单位长度后得到一个关于x 12 对称 的函数，则实数  的最小值为（ ） 5π π 5π π A． B． C． D． 12 12 6 6 【题型5】三角函数相关图像的识别 先看奇偶性，再看正负，最后看单调性 18．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家 万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也可用函数的解析式来琢磨函数  1 的图象的特征，如通过函数 y  x x   cosx 的解析式可判断其在区间 , 的图象大致为（ ） A． B． C． D．2 19．函数 f(x)( 1)cosx图象的大致形状是（ ） 1ex A． B． C． D． 20．（2023·广东广州·统考一模）函数 在 上的图像大致为（ ） A． B． C． D． 21．（湖南常德·统考一模）函数 的图象大致是（ ） A． B．C． D． 【题型6】求三角函数解析式 一、根据函数必关于 轴对称，在三角函数中联想到 的模型，从图象、对称轴、对称中心、最 值点或单调性来求解． 二、由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式的解决思路 由函数图像求解析式 确定 y  Asin(x)B(A0，0) 的步骤和方法: M m M m (1)求 ：确定函数的最大值 和最小值 ，则 A ，B  ； A，B M m 2 2 2 (2)求 ：确定函数的周期 ，则＝ ；  T T  (3)求 ：常用的方法有代入法和五点法． ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注 意交点是在增区间还是在减区间)．  ②五点法：确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口． 类型一：由基本性质求解析式或基本量 22．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图像的两条相邻对称轴，则 （ ）A． B． C． D． 23．（2022·全国·统考高考真题）记函数 的最小正周期为T．若 ，且 的图象关于点 中心对称，则 （ ） A．1 B． C． D．3 【巩固练习1】（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数 ，如图 是直线 与曲线 的两个交点， ，则 （ ） A．0 B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 f xsinx 在区间    π 6 , 2 3 π  上单调递减，直线 x π 6和 x 2 3 π 为函数 y f x π 的图象的两条相邻对称轴，则 f  （ ） 3 3 1 3   1 A． 2 B． 2 C． 2 D． 2  2π π π π π 【巩固练习3】已知函数 f xsin  x 3   (0) ，若 f  6    f  3  ，且 f x 在区间  6 , 3  上有最小 值无最大值，则 .【巩固练习4】已知函数 f(x)sin(x)在区间     π 6 , π 3   单调递增，直线 x π 6和 x π 3为函数 y f x  π  f   的图像的两条相邻对称轴，则  12 （ ） 3 1 3   1 A． 2 B． 2 C． 2 D． 2 1 【巩固练习5】已知函数 f xsin2xπ0，设方程 f x 最小的两个正根为x,x x x ， 2 1 2 1 2 x 4x  若 2 1，则 ． 5π 2π 【巩固练习6】已知函数 f xsinx0有一个零点为 ,x 为其图象的一条对称轴．且函 12 3 5π 2π  π 数 f x 在区间  12 , 3  上单调递增，则 f    6    （ ） 1 3 3 1   A． 2 B． 2 C． 2 D． 2  π  π  【巩固练习7】已知函数 f xsinx   0,0 2  满足 f x f  6  恒成立， f x f πx ， f x 0,2π  且 在区间 上有5个零点，则 .  π π 【巩固练习8】函数 f xsinx(0) 满足 f    3   0 ，且 f x f  3  恒成立，若 f x 在区间  π π  ,   3 3上有最小值而无最大值，则 .类型二：由图象确定 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式解析式 24．（2020·新高考1卷真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A． B． C． D． 2023·新高考Ⅱ卷T16 25．已知函数 ，如图A，B是直线 与曲线 的两个交点，若 ，则 ． 【巩固练习1】（2024·陕西渭南·模拟预测）函数 的图象如图所示 .将 的图象向右平移2个单位长度，得到函数 的图象，则 的解析式为 （ ）A． B． C． D． 【巩固练习2】已知函数 （ ）的部分图象如图所示，则函数 的解析式为 ． 【巩固练习3】已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示，则 的 解析式为（ ） A． B．C． D． 【巩固练习4】若函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能是（ ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（多选）已知函数 （ ， ， ）的部分图象如图所示， 其中 的图象与 轴的一个交点的横坐标为 ，则（ ） A． 的最小正周期为π B． ， C． 的图象关于点 中心对称 D． 在 上单调递增 【巩固练习7】已知函数 的部分图像如图所示，则 .【巩固练习8】（多选）已知函数 的部分图象如图所示，则下列 正确的是（ ） A． B． C．函数 为偶函数 D．  【巩固练习9】已知函数 ， ，|| )的部分图象如图所示，则 的解析 f(x) Asin(x)(A0 0 2 f(x) 式为  A． f(x)2sin(2x ) B． f(x)2sin(2x ) 6 6  1  C． f(x)3sin(2x ) D． f(x)3sin( x ) 6 2 6 π 【巩固练习10】已知函数 f x Asinx （其中 A0,0, ）的部分图像如右图所示，则 f x 2  π π 在  , 上的值域为 ．  2 3  π 【巩固练习11】已知函数 f xsinx   0,0 2  的部分图象如图所示，则 f π 的值为 .  π 【巩固练习12】已知函数 f x Asin  x 3   A0,0 的部分图象如图所示，则 f 5π .【巩固练习13】（2024届广东省韶关市高三上学期第一次模拟考试数学试题）（多选）已知函数， 的部分图象如图所示，则（ ） A． B．将 的图象向右平移 个单位，得到 的图象 C． ，都有 D．若方程 在 上有两个不相等的实数根，则实数 【巩固练习14】（多选）已知函数 的部分图象如图所示，若将 函数 的图象纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，得到函数 的图象， 则下列命题正确的是（ ）A．函数 的解析式为 B．函数 的解析式为 C．函数 在区间 上单调递增 D．函数 图象的一条对称轴是直线 【巩固练习15】（2024·辽宁·二模）A，B，C是直线 与函数 （ ， ） 的图象的三个交点，如图所示．其中，点 ，B，C两点的横坐标分别为 ，若 ，则 （ ） A． B．-1 C． D．2 【题型7】解三角函数不等式 数形结合，注意隐藏的定义域限制 函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象 1 3 y  cosx 26．函数 lgsinx 2 的定义域为 . 【巩固练习1】函数 f(x)lg  14sin2x  的定义域为 . 【巩固练习2】已知 f x 是偶函数且在 0, 上单调递增，则满足 f sinx f cosx 的一个x值的区间可 以是（ ） 3π 7π  π π  3π 3π  π   ,   ,   ,   ,0 A． 2 4  B． 2 4 C． 4 5  D． 4  π π π 【巩固练习3】已知函数 f x2sinx （其中 0, 2 ）在区间  6 , 2  上单调，且 π π 2π π f  2   f  6    f   3  ，当 x 12时， f x 取得最大值，则不等式 f x1 的解集为（ ）  π π   π π   kπ, kπ(kZ)  kπ, kπ(kZ) A． 12 4  B．12 4   π π   π π   kπ, kπ(kZ)  kπ, kπ(kZ) C． 12 2  D．12 2  【题型8】三角函数的实际应用（1）研究 的性质时可将 视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题． （2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数． （3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成 数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． 27．已知某摩天轮的半径为60m，其中心到地面的距离为70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每 30分钟转动一圈．已知当游客距离地面超过100m时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的 过程中最佳观景时长约有（ ） A．5分钟 B．10分钟 C．15分钟 D．20分钟 【巩固练习1】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱 里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m， 设置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要 30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ） A．92.5m B．87.5m C．82.5m D． 【巩固练习2】阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻 尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动， 其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为 ，如图2，若该阻尼器在 摆动过程中连续四次到达同一位置的时间分别为 ，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的距离大于0.5m的总时间为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知大屏幕下端B离地面3.5米，大屏幕高3米，若某位观众眼睛离地面1.5米，则这位观 众在距离大屏幕所在的平面多远，可以获得观看的最佳视野？（最佳视野是指看到屏幕上下夹角的最大 值） 米． 【巩固练习4】（2023·重庆南开中学）2023年是农历癸卯兔年，在中国传统文化中，兔被视为一种祥瑞之 物，是活力和幸福的象征，寓意福寿安康.故宫博物院就收藏着这样一副蕴含“吉祥团圆”美好愿景的名画 ——《梧桐双兔图》，该绢本设色画纵约176cm，横约95cm，其挂在墙壁上的最低点B离地面194cm.小 南身高160cm（头顶距眼睛的距离为10cm），为使观赏视角最大，小南离墙距离S应为（ ）40 2cm 44 5cm A． B．76cm C．94cm D． 【题型9】带绝对值或带根号的三角函数问题 28．函数 的最小正周期为（ ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（多选）关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|的叙述正确的是（ ） A．f(x)是偶函数` B．f(x)在区间 单调递增 C．f(x)在[－π，π]有4个零点 D．f(x)的最大值为2 【巩固练习2】（襄阳四中2023期末）（多选）关于函数 ，有下述四个结论： ① 是偶函数； ② 在区间 单调递增； ③ 在 有4个零点； ④ 的最大值为2． 其中正确结论的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【巩固练习3】（多选）关于函数 有下述四个结论，其中正确的是（ ） A． 是偶函数 B． 在区间 上单调递增 C． 的最大值为2D． 在 有4047个零点 【巩固练习4】（浙江省金华十校2023期末）（多选）已知函数 ，则 （ ） A．图象关于 对称 B．最小正周期为 C．最小值为1 D．最大值为 【巩固练习5】（多选）已知函数 ，下列说法正确的是（ ） A． 是周期函数 B．函数 的最小值为 C．函数 在 上单调递增 D． 在 上有两解 【题型10】由三角函数性质求“ω”范围 1．设函数 在区间 恰有三个极值点、两个零点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2023·新高考Ⅰ卷T15 2．已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范围是 ． 2022·全国乙卷数学（理）T15 3．记函数 的最小正周期为T，若 ， 为 的零点，则 的最小值为 ．【巩固练习1】已知函数 在区间 上有且只有3个零点，则ω的取 值范围是____________.  π  【巩固练习2】已知函数 f xsinx （0， π ），其图象关于点    6 ,0 成中心对称，相邻 π  7  两条对称轴的距离为 ，且对任意 ，都有 f x f  π，则在下列区间中， f x为单调递减函数的 2 xR 12  是（ ）  π π  7   π π 7π   , 0, π , ,π         A． 6 3 B． 12  C．12 2 D．12  π π 【巩固练习3】已知函数 f(x) Asin(x) 其中 ， ，   的部分图象如下图所示，若 A0 0 2 2 f(x)在区间(m,m)上有且仅有两个零点，则实数m的取值范围为 ． f xsin   3 x   0 π x π 【巩固练习4】已知 4 （其中 2 ），其函数图像关于直线 3对称，若函数在区 2  间 π,上有且只有三个零点，则 的范围为 ． 3   【巩固练习5】将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象， 若函数y=g(x)在 上为增函数，则ω的取值范围是 . 【巩固练习6】函数 在 上单调递增，则 的最大值为 ． 2024届·重庆市高三上学期入学调研【巩固练习7】已知函数 在区间 上是单调的，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． cos2x4sinxa0 a 【巩固练习8】已知方程 有解，则 的范围是 . 【题型11】三角函数新定义问题 sinx cosx ex lnx x 29．计算器是如何计算 、 、 、 、 等函数值的?计算器使用的是数值计算法，如 x3 x5 x7 x2 x4 x6 sinxx   ，cosx1   ，其中 ，英国数学家泰勒 3 5 7 2! 4! 6! n!123n （B．Taylor，1685-1731）发现了这些公式，可以看出，右边的项用得超多、计算得出的sinx和cosx的 值也就越精确，运用上述思想，可得到cos1的近似值为（ ） A．0.50 B．0.52 C．0.54 D．0.56 1 1 【巩固练习1】定义:正割sec ，余割csc .已知 为正实数，且 对任 cos sin m mcsc2 xtan2x15    意的实数xxk ,kZ均成立，则 的最小值为（ ）  2  m A．1 B．4 C．8 D．9 【巩固练习2】人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析 人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识别中为了检测样本之 间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点 Ax,y  Bx ,y  dA,B x x  y y 1 1 ， 2 2 ，则曼哈顿距离为： 1 2 1 2 ，余弦相似度为： x x y y cosA,B 1  2  1  2 x2y2 x2y2 x2y2 x2y2 ，余弦距离为1cosA,B 1 1 2 2 1 1 2 2 3 4 (1)若 A1,2，B 5 , 5   ，求A，B之间的曼哈顿距离 dA,B和余弦距离；1 2 (2)已知Msin,cos，Nsin,cos，Qsin,cos，若cosM,N ，cosM,Q ，求 5 5 tantan的值 (cid:6) (cid:6) f xasinxbcosx pa,b f x f x p 【巩固练习3】已知函数 ，称向量 为 的特征向量， 为 的特征函 数. 3  (1)设 gx2sinxsin 2 x ，求 gx 的特征向量； (cid:6) 6    (2)设向量 p  3,1  的特征函数为 f x ，求当 f x 5且 x   6 , 3  时，sinx的值； (cid:6)  1 3 (3)设向量 p    2 , 2    的特征函数为 f x，记hx f2x 1 4 ，若hx在区间a,b上至少有40个零点， 求ba的最小值.