热点专题3-3利用导数研究函数的单调性8类题型（解析版）-2025年高考数学热点题型追踪与重难点专题突破（新高考专用）_02高考数学_2025年新高考资料_二轮复习

热点专题 3-3 利用导数研究函数的单调性 近5年考情（2020-2024） 考题统计 考点分析 考点要求 2024年甲卷(文)，第20(1),5分 高考中，利用导数研究函数 单调性为重要考点。考生需 2024年北京卷，第20(1),5分 掌握导数定义、性质及求导 2023年I卷第第19(1),5分 方法，通过导数正负判断函 2023年乙卷(文)，第20(2)，7分 数单调区间。此考点强调导 （1）函数的单调区间 （2）单调性与导数的关 数与函数单调性的直接联 2023年乙卷（理）第16题，5 系 系，要求考生能准确求解导 分 （3）含参函数单调性讨 数并据此分析函数在特定区 论 2022年新高考II卷，第6题,5分 间的单调性。备考时，应注 2022年甲卷第12题，5分 重基础知识的巩固与解题技 巧的提升，通过大量练习增 2021年浙江卷第7题，5分 强实际应用能力。 模块一 热点题型解读（目录） 【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参） 【题型2】函数与导函数图像之间的关系 【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围 【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围 【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析 【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解） 【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解） 模块二 核心题型·举一反三 【题型1】求单调区间或讨论单调性（不含参） 判断函数y＝f(x)的单调性的步骤：第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得 出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间用“和”或“，”隔开． 1．（2024·四川成都·三模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， 的单调递增区间为 ． 【答案】 【解析】当 时， , 由 ，解得 ，所以 在区间 上单调递增， 因为函数 是定义在 上的奇函数， 所以函数 图象关于原点对称， 所以 在区间 上单调递增. 2．函数 的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导后，根据导函数的正负即可得到结果. 【详解】由题意得：函数 的定义域为 ， ， 当 时， ；当 时， ； 的单调递增区间为 . 3．已知函数 ，判断 的单调性，并说明理由； 【解析】 令 ， 在 上递增， ， ， 在 上单调递增.4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性. 【解析】因为 ，定义域为 ， ， 令 ，因为 ，则 ， 可得 在 上单调递减，所以 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 【巩固练习1】函数 的严格递减区间是 . 【答案】 . 【解析】函数 的定义域为 ， ， 令 ，则 且 ，即 的严格递减区间为 . 【巩固练习2】函数 的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，解不等式 可得. 【详解】 的定义域为 解不等式 ，可得 ， 故函数 的递减区间为 . 【巩固练习3】（2024·四川巴中·一模）已知奇函数 的导函数为 ，若当 时 ，且 .则 的单调增区间为 .【答案】 【解析】因为 时 ，则 ， 又 ，则 ，即 ， 所以 ， 令 ，即 ，即 ， 又 ，则 ，解得 ， 令 ，即 ，即 ， 即 ，解得 ， 所以 在 单调递增， 又 为奇函数， 当 时， 在 单调递增， 所以 的单调增区间为 . 【巩固练习4】（2024·河北保定·二模）已知函数 .若 ，讨 论 的单调性； 【解析】函数 的定义域为 ， 当 时， ，所以 ， 设 ，因为 、 都在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，且 ， 所以 时， 单调递减； 时， 单调递增. 所以 在 上单调递减，在 上单调递增. 【巩固练习5】（2024·湖南邵阳·三模）已知函数 ，若 ，求 的 单调区间. 【解析】若 ，则 的定义域为 ，且 ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ； 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 【巩固练习6】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，讨论函数 的单 调性． 【解析】当 时，可得 ，其中 ，则 ， 设 ，则 ， 令 ，可得 恒成立， 所以 为 上的增函数，且 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ， 所以 ，所以 ，所以 在 上单调递增． 【题型2】函数与导函数图像之间的关系 原函数的单调性与导函数的函数值的符号的关系，原函数 单调递增 导函数 （导函 数等于0，只在端点成立，其余点满足 ）；原函数单调递减 导函数 （导函数 等于0，只在端点成立，其余点满足 ）． 导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时 函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比 较“平缓”． 5． 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有可能是下列选 项中的（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当 时， ，函数 单调递增， 当 时， ，函数 单调递减， 当 时， ，函数 单调递增，只有选项C符合 6．函数 的图象如图所示， 为函数 的导函数，则不等式 的解集 为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 的图象得到 的单调区间，即得 的取值情况，从而得解. 【详解】由图可得 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增， 则当 时， ，当 时， ， 由 ，得 或 ，解得 或 ， 所以不等式 的解集为 . 【巩固练习1】已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下 列说法正确的是（ ）A．在 上单调递增 B．在 上单调递减 C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值 【答案】D 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时 的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当 或 时， ， 当 ， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 故选项A，B错误； 在 处取得极大值，且 ，故C错误，D正确 【巩固练习2】已知函数 的图象如图所示，则不等式 的解集为（ ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 的图象得到 的单调性，从而得到 的正负，即可得解. 【详解】由 的图象可知， 在 和 上单调递增，在 上单调 递减， 则当 时 ， 时 ， 时 ，所以不等式 的解集为 . 【巩固练习3】已知函数 的图象是下列四个图象之一，函数 的图象如图所示，则 函数 图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设导函数与横轴的交点为 ，设 ， 由导函数的图象可知：当 时， 单调递减，排除C,D 当 时， 单调递增， 当 时， 单调递减，由此可以确定选项A符合 【巩固练习4】 的图象如图所示，则 的图象最有可能是（ ）A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数与函数单调性的关系可得出合适的选项. 【详解】由导函数的图象可知，当 或 时， ；当 时， . 所以，函数 的增区间为 和 ，减区间为 ， 所以，函数 的图象为C选项中的图象. 【巩固练习5】（多选）已知函数 的定义域为R且导函数为 ，如图是函数 的图 象，则下列说法正确的是（ ） A．函数 的减区间是 ， B．函数 的减区间是 ， C． 是函数 的极小值点 D． 是函数 的极小值点 【答案】BC 【分析】根据给定的函数图象，确定函数 的单调区间及单调性，再逐项判断即得. 【详解】观察图象，由 ，得 或 ，显然当 时， ，当 ， ， 由 ，得 或 ，显然当 时， ，当 时， ， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增，A错误，B正确； 函数 在 处取得极小值，在 处取得极大值，C正确，D错误.【题型3】含参函数在某区间上递增或递减，求参数范围 已知函数的单调性问题 ①若 在某个区间上单调递增，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满 足 ，才能得出 在某个区间上单调递增； ②若 在某个区间上单调递减，则在该区间上有 恒成立（但不恒等于0）；反之，要满 足 ，才能得出 在某个区间上单调递减． 7．（23-24高三·江苏南京·期末）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 a的最小值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据题意， 恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案. 【详解】因为函数在 上单调递增，所以 对 恒成立， 即 恒成立，设 ， ， 当 时， ，所以 ，则 ， 所以实数a的最小值为 . 8．（23-24高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数 ，若 在区间 上单 调递增，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由 得 ， 由于函数 的定义域为 ，故令 ,解得 ，故 的单调递增区间为 ， 若 在区间 上单调递增，则 ，解得9．（2024·陕西西安·三模）若函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数 在区间 上单调递增， 所以 在区间 上恒成立， 即 在区间 上恒成立， 令 ， 则 ， 所以 在 上递增，又 ， 所以 . 所以 的取值范围是 . 【巩固练习1】（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知函数 在区间 上单调 递增，则a的最小值为（ ）． A． B．e C． D． 【答案】C 【解析】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ， 设 ，所以 ，所以 在 上单调递增， ，故 ，即 ，即a的最小值为 ． 【巩固练习2】（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设 ，若函数 在 上单调递增，则a的取值范围是 .【答案】 【解析】由函数的解析式可得 在区间 上恒成立， 则 ，即 在区间 上恒成立， 故 ，而 ，故 ， 故 即 ，故 ， 结合题意可得实数 的取值范围是 . 【巩固练习3】已知函数 在 ， 上为增函数，在（1，2）上为 减函数，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由 ，得 ， ∵ 在 ， 上为增函数； 上为减函数, ∴ 两根分别位于 和 中， 得 ，即 ，解得 . 【巩固练习4】（23-24高三上·山东青岛·期末）若函数 在 上单调递增，则 a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分 与 两种情况，求导，然后参变分离，构造函数，求出最值，得到答案. 【详解】 ，当 时， ， 令 得 ， 令 ， ， 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 又 ，所以 ，解得 ； 当 时， ， 令 得 ， 令 ， ， 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 其中 ，故 ，解得 ， 由于 ，即 在 处连续， 综上， . 【题型4】含参函数在某区间上不单调，求参数范围 已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． 10．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是 ；若函数 在区间 内不单调，则 的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出导函数 ，由导函数在 内大于等于0恒成立求解 的取值范围；由函数 在区间 不是单调函数，得函数在区间上有极值，即导函数在区间 内有解， 由此求得 的取值范围．【详解】解：①由 ，得 ， 由函数 在区间 单调递增， 得 在 上恒成立，即 在 上恒成立， ． 的取值范围是 ； ② 函数 在区间 内不单调， 在区间 有解．并且解的两侧，导函数的符号相反， 由 ，解得 ， ． 而 在区间 上单调递减，在 ， 上单调递增． 的取值范围是 ． 11．（23-24高三上·山东济南·阶段练习）已知函数 在 上不是单调函数，则实 数m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】将问题转化为 有极值点，即 有变号零点，从而得解. 【详解】因为 ，所以 ， 又 不是单调函数，所以函数 有极值点，即 在 上有变号零点， 则 成立， 当 时， 可化为 ，显然不成立； 当 时， ， 因为 ， ，所以 或 ， 所以实数m的取值范围为 或 （因为要有变号零点，故不能取等号）， 经检验， 或 满足要求. 【巩固练习1】已知函数 在 上不单调，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意 ，故 在 上有零点，令 ，令 ，得 ，令 ，则 ，由 ，得 ， 单调递增，又由 ，得 ， 故 ，所以， 的取值范围 【巩固练习2】若函数 在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得 在 上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数 的单调性后可得实数 的取值范围. 【详解】解： 函数 ， ， 若函数 在区间 上不单调，则 在 上存在变号零点， 由 得 ， 令 ， ， ， 在 递减，在 递增，而 ， ， ， 所以 . 【巩固练习3】（2024·宁夏银川·三模）若函数 在区间 上不单调，则实数 m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数 的定义域为 ， 且 ， 令 ，得 ， 因为 在区间 上不单调，所以 ，解得： 【巩固练习4】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数 ，则 在 上 不单调的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导 ，令 ，根据 在 上不单调， 由 在 上有变号零点求解. 【详解】 ， 令 ， 因为 在 上不单调， 在 上有变号零点，即 在 上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在 上不单调的充要条件是 或 ， 所以 在 上不单调的一个充分不必要条件是 【题型5】含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围 存在增区间或减区间可以转化为导函数大于或小于零的相关不等式有解问题 12．若函数 在区间 上有单调递增区间，则实数 的取值范围是 ． 【答案】【分析】根据题意转化为 在 上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】 ，由题意 在 上有解， 即 在 上有解， 根据对勾函数的性质可知， 在 上单调递增，所以在 时取最大值， 故 ，故实数 的取值范围是 . 13．（23-24高三上·福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递增区间， 则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得出存在 ，使 成立，即存在 ，使 成 立，构造函数 ， ，求出 的最值即可解决问题. 【详解】因为函数 在 上存在单调递增区间， 所以存在 ，使 成立，即存在 ，使 成立， 令 ， ， 变形得 ，因为 ，所以 ， 所以当 ，即 时， ，所以 【巩固练习1】若函数 存在单调递减区间，则实数b的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先计算出 ,由 存在单调递减区间知 在 上有解即可得出结果. 【详解】函数 的定义域为 ，且其导数为 ．由存在单调递减区间知 在 上有解，即 有解．因为函数 的定义 域为 ，所以 ．要使 有解，只需要 的最小值小于 ，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ． 【巩固练习2】若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【解析】 ， 由题意知， 在 上有实数解， 即 有实数解， 当 时，显然满足， 当 时，只需 综上所述 【巩固练习3】若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数a的取值范围 是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把题意转化为 在 上有解，设 ，利用导数判断单 调性，即可求解. 【详解】由 可得： . 因为函数 在区间 内存在单调递增区间， 所以 在 上有解，即 在 上有解. 设 ，由 在 上恒成立，所以 在 单调递增， 所以 . 所以 .【巩固练习4】若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 ，则 ， 函数 在区间 上存在减区间，只需 在区间 上有解， 即 在区间 上有解， 又 ，则 ， 所以 在区间 上有解， 所以 ， ，令 ， ， 则 ， 令 ，则 在区间 恒成立， 所以 在 上单调递减，所以 ， 即 ，所以 ，所以实数 的取值范围是 ． 【题型6】最多有1个极值点的函数单调性分析 利用导数判断函数单调性的步骤 （1）确定函数 的定义域； （2）求出导数 的零点； （3）先讨论零点无意义或不在定义域内的情况，此时 的正负是确定的，即 单调（4）当零点在定义域内时，用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，由此得出函数 在定义域内的单调性； 14．（2024·全国·高考真题）已知函数 ． (1)求 的单调区间. 【分析】先求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； 【详解】（1） 定义域为 ， 当 时， ，故 在 上单调递减； 当 时， 时， ， 单调递增， 当 时， ， 单调递减. 综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ； 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . 15．（2023·全国·高考真题）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【分析】（1）先求导，再分类讨论 与 两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解； 【详解】（1）因为 ，定义域为 ，所以 ， 当 时，由于 ，则 ，故 恒成立， 所以 在 上单调递减； 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，则 在 上单调递减； 当 时， ，则 在 上单调递增； 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 16．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .判断函数 的单调性.【解析】因为 ，定义域为 ， ， 令 ，因为 ，则 ， 可得 在 上单调递减，所以 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减. 【巩固练习1】已知函数 .讨论函数 的单调性； 【解析】（1）函数 的定义域是 ， 因 ， ①若 ，则 在 上单调递增； ②若 ，则当 时， 单调递减； 当 时， 单调递增； 综上，当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 【巩固练习2】已知函数 ．讨论函数 的单调性； 【解析】由题意可知 的定义域为 ，且 ， 当 时， 恒成立， 所以 的单调递减区间是 ，无单调递增区间. 当 时，令 解得 ， 令 ，解得 ；令 ，解得 ， 所以 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 ； 综上所述：当 时， 的单调递减区间是 ，无单调递增区间； 当 时， 的单调递减区间是 ，单调递增区间是 .【巩固练习3】（2024·陕西渭南·二模）已知函数 ，其中 .讨论 的 单调性； 【解析】因为 ，易知其定义域为 ， ， 当 时， 在 上恒成立， 当 时，由 ，得到 ， 所以，当 时， ， 时， ， 综上所述，当 时， 的单调增区间为 ，无减区间， 当 时， 的单调增区间为 ，减区间 . 【巩固练习4】（2024·山东枣庄·模拟预测）已知函数 ， 为 的导数,讨论 的单调性； 【解析】由题知 ， 令 ，则 ， 当 时， 在区间 单调递增， 当 时，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 综上所述，当 时， 在区间 上单调递增； 当 时， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增. 【巩固练习5】（2024·浙江宁波·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性; 【解析】 ， 当 时， 恒成立，故 在 上单调递增， 当 时，令 ，解得 ， 所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递 减； 综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减【题型7】最多有2个极值点的函数单调性分析（可因式分解） 这类题型最多需要讨论五种情况，具体步骤如下： 第一步：求 的定义域 第二步：求出 ，通分 第三步：令 ，因式分解求出其2个根，一个含参一个不含参 第四步：先讨论含参的根不在定义域内或无意义的情况，此时 只有一个极值点 第五步：论含参的根在定义域内，分3种情况讨论两个根之间的大小关系，令 ，解出 的 取值范围，得函数的增区间；令 ，解出 的取值范围，得函数的减区间． 注意：若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“ ”、“或”连接， 而应用“和”、“，”隔开. 17．已知函数 .讨论函数 的单调性； 【解析】（1）因为 的定义域为 ， 又 ， 当 时，在 上 恒成立，所以 在 上单调递增； 当 时，令 ，解得 （舍去）， ； 当 ， ， 在 上单调递减； ， ， 在 上单调递增； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减， 在 上单调递增. 1 18．已知函数 f xax a1lnxa0 ，讨论函数 f x的单调性. x 1 【分析】（1）对函数求导，然后对参数 分类讨论，注意讨论正负以及与 ,1的关系。然后根据导 a a 数判断函数 f x 的单调性； 1 a1 ax2(a1)x1 (ax1)(x1) 【详解】（1）定义域：0,， f(x)a x2  x  x2  x2 I. a<0时ax- 1<0， 令 f 'x0，解得 0x1 ；令 f '(x)0，解得x1；所以 f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减； II. a0时 1 当 1时，即 时， a 0a1 1 1 令 f '(x)0，解得 或x ；令 fx0，解得1x ； 0x1 a a  1 1  所以 f x在0,1上单调递增，  1, a   上单调递减， a ,  上单调递增； 1 当 1时，即 时， a a1 f '(x)0恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增； 1 当 1时，即 时， a a1 1 1 令 f '(x)0 ，解得0x a 或 x1 ；令 fx0 ，解得 a x1；  1 1  所以 f x在  0, a   上单调递增， a ,1  上单调递减，1,上单调递增． 综上所述： 当a<0时， f x 在 0,1 上单调递增，在 1, 上单调递减；  1 1  当 0a1 时， f x在0,1上单调递增，  1, a   上单调递减， a ,  上单调递增； 当a1时， f x 在 0, 上单调递增；  1 1  当 a1 时， f x在  0, a   上单调递增， a ,1  上单调递减，1,上单调递增． 【巩固练习1】已知函数 ．讨论 的单调性； 【解析】函数 的定义域为 ， 则 ， ①当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增， ②当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ， 在 上单调递减，在 和 上单调递增， ③当 时， 恒成立， 在 上单调递增， ④当 时，令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，在 上单调递减，在 和 上单调递增， 综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增 【巩固练习2】（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数 ． (2)讨论 的单调性． 【解析】（2） 的定义域为 ，且 ， 当 时，则 ， 令 ，解得 ，令 ，解得 ， 所以 在 上单调递减， 在 上单调递增； 当 时，则有： 若 ，则 ，令 ，则 单调递增； 令 ，则 或 单调递减； 若 ，则 ，令 ，则 单调递增； 令 ，则 或 单调递减； 若 ，则 单调递减． 综上所述，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减． x2 【巩固练习3】已知函数 f x a1xalnx，讨论函数 f x单调性. 2 xax1 【详解】 fx ,x(0,)， x a0时，当0x1时， f(x)0，当x1时， f(x)0， f(x)在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增. 当0a1时，当0xa或1x时， fx0, f x 在 0,a 和 1, 上单调递增； 当ax1时， fx0, f x 在 a,1 上为减函数.(x1)2 当 时， fx 0上， f x在0,上为增函数. a1 x 当a1时，当0x1或ax时， fx0, f x 在 0,1 和(a,)为增函数； 当1xa时， fx0, f x 在 1,a 上为减函数. 综上，a0时， f(x)在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增； 0a1时， f(x)在 0,a 和 1, 上单调递增，在 a,1 上为减函数； a1时， f x 在 0, 上为增函数； a1时， f(x)在 0,1 和(a,)为增函数，在 1,a 上为减函数. 【巩固练习4】已知函数 ， .若 ，讨论函数 的单调性； 【解析】 . ①当 时，令 ，解得 ， 当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减； 在 上单调递减，在 上单调递增. ②当 时，令 ，解得 或 ， 当 即 时， 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 即 时， 在 上单调递增， 当 即 时， 在 单调递增，在 上单调递减，在 上 单调递增， 综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递 增， 当 时， 在 上单调递增， 当 时， 在 上单调递增；在 上单调递减，在 上单调递增. 【巩固练习5】设函数 ，其中 ，讨论 的单调性.【解析】由 ① 时，由 ，令 ，解得 ， 所以 时， 时， ， 则 在 单调递增，在 单调递减； ② 时，由 ， （i） 时，因为 ，则 在 单调递增， （ii） 时， ，解得 或 ， 所以 时， 时， ， 则 在 ， 上单调递增，在 单调递减； （iii） 时，由 ， 所以 时， 时， ， 则 在 ， 上单调递增，在 单调递减； 综上： 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ； 时， 的单调递增区间为 ； 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 【题型8】最多有2个极值点的函数单调性分析（不可因式分解） 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨 论. 19．设函数 ,求 的单调区间. 【解析】 ， ，若 ，则 ， 则 恒成立，此时 在 上单调递增. 当 或 ,由 解得 ， 当 时，列表如下： 当 时，列表如下： 综上, 当 时, 在 递减，在 递增，在 递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时 ， 在 递 增 ， 在 递 减 ， 在 递增. 【巩固练习1】已知函数 ．讨论 的单调性 【解析】 ， ， 当 时， ，所以 在 上单调递增． 当 时，令 ，则 ． 若 ，即 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．若 ，即 时，方程 的根为 ， 当 时， 或 ， 在 和 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减． 综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 和 上单调递增， 在 上单调递减． 【巩固练习2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ． (1)讨论 的单调性； 【分析】（1）求导，分 ， ， 三种情况讨论，综合可得； 【详解】（1）因为 ， 当 时， ，此时 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减； 当 时 ， 在 上 单 调 递 减 ， 所 以 在 上 有 唯 一 零 点 ， 当 时， ， 在 上单调递增， 当 时 在 上单调递减； 当 时， 在 上有零点 ， 当 和 时， ，所以 在 和 上单调递减，当 时， ，所以 在 上单调 递增． 综上：当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时 ， 在 和 上 单 调 递 减 ， 在 上单调递增．