文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：函数的概念....................................................................................................................................................2
题型二：同一函数的判断............................................................................................................................................2
题型三：给出函数解析式求解定义域........................................................................................................................3
题型四：抽象函数定义域............................................................................................................................................3
题型五：函数定义域的综合应用................................................................................................................................4
题型六：待定系数法求解析式....................................................................................................................................4
题型七：换元法求解析式............................................................................................................................................4
题型八：方程组消元法求解析式................................................................................................................................5
题型九：赋值法求解析式............................................................................................................................................5
题型十：求值域的7个基本方法.................................................................................................................................5
题型十一：数形结合求值域........................................................................................................................................7
题型十二：值域与求参问题........................................................................................................................................7
题型十三：判别式法求值域........................................................................................................................................8
题型十四：三角换元法求值域....................................................................................................................................8
题型十五：分段函数求值、求参数问题....................................................................................................................9
题型十六：分段函数与方程、不等式........................................................................................................................9
02 重难创新练....................................................................................................................................10
03 真题实战练....................................................................................................................................12题型一：函数的概念
1．已知 ，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
2．任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，则 是函数的一个充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
3．函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之
后，可以成为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：同一函数的判断
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
B．
C．D．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与 ； ② 与 ；
③ 与 ； ④ 与 ．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
7．下列函数中与函数 相等的函数是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
题型三：给出函数解析式求解定义域
9．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R} B．{x|x>0}
C．{x|0<x<5} D．
10．函数 的定义域为 ．
11．（2024·四川南充·三模）函数 的定义域为 .
12．函数 的定义域为 .
13．函数 的定义域为 .
题型四：抽象函数定义域
14．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
15．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 .16．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
17．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
题型五：函数定义域的综合应用
18．若函数 的定义域为 ，则实数 实数 的取值范围 ．
19．函数 的定义域为 ，则实数m的取值范围是 ．
20．若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
21．已知函数 的定义域为R，则a的范围是 ．
题型六：待定系数法求解析式
22．已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = ．
23．若 是 上单调递减的一次函数，且 ，则 .
24．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为
.
25．已知 是一次函数，且满足 ，求 ．
26．已知定义在 上的函数 对任意实数 ， ，恒有 ，并且函数 在 上单调
递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域）
题型七：换元法求解析式
27．（2024·高三·上海黄浦·开学考试）已知 ，则函数 的解析式为 .28．已知函数 满足 ，则 .
29．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
30．已知 是定义域为 的单调函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型八：方程组消元法求解析式
31．函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
32．设定义在 上的函数 满足 ，则 .
33．若对任意实数 ，均有 ，求
34．已知 ，求 的解析式 .
35．已知函数 满足 ，则 .
题型九：赋值法求解析式
36．设函数 的定义域是 ，且对任意正实数 ，y，都有 恒成立，已知
，则 .
37．已知 为定义在R上的奇函数， 为偶函数，且对任意的 ， ， ，都有
，试写出符合上述条件的一个函数解析式 .
38．已知函数 满足以下条件：①在 上单调递增；②对任意 ， ，均有 ；
则 的一个解析式为 .
题型十：求值域的7个基本方法
39．求下列函数的值域．(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) （ ）．
40．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
41．求下列函数的值域:
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)
42．求下列函数的值域：
(1) ， ；(2) ， ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ．
题型十一：数形结合求值域
43．求函数 的最小值.
44．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问
题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的
几何问题.结合上述观点，函数 ， 的值域为 .
45．（2024·陕西铜川·一模）若 ，则函数 的值域是 ．
46．函数 的值域是_______________.
题型十二：值域与求参问题
47．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
48．若函数 在区间 上的值域为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
49．已知函数 ，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
50．已知函数 的值域为 ，则常数 ．
题型十三：判别式法求值域
51．（2024·高三·北京·强基计划）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
52．函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
53．函数 的值域是 .
54．函数 的值域是 .
55．已知函数 的最大值是9，最小值是1，则 ， .
题型十四：三角换元法求值域
56．求 的值域57．（1）求函数 的最大值和最小值；
（2）求函数 的值域；
（3）求函数 的值域；
（4）已知 ，求 的最值．
题型十五：分段函数求值、求参数问题
58．（2024·吉林长春·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
59．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
60．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．6
61．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
题型十六：分段函数与方程、不等式
62．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数 ，则不等式 的解集为 .
63．（2024·江西南昌·二模）已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．64．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·四川·模拟预测）已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
5．已知 是定义域为 的单调递增的函数， ， ，且 ，则 （ ）A．54 B．55 C．56 D．57
6．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数 的定义域为 ，值域为 的子集，则满
足 的函数 的个数为（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
7．存在函数 满足，对任意 都有（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024·高三·全国·课后作业）已知函数 的值域为 ，则满足这样条件的函数的个
数为（ ）
A．8 B．9 C．26 D．27
9．（多选题）(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－
2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝ ，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若 的定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 的值域为
D．设数列 的前 项和为 ，则数列 是等差数列
11．（多选题）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数 与函数 ， 为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族
函数”的是（ ）
A． B． C．
D． E．
1 4
12．函数 > 的最大值是 ；最小值是 .
3 1713．已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为
14．函数 的值域是 ．
1．（2022年新高考北京数学高考真题）函数 的定义域是 ．
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
.
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，
且 ，则
A． B． C． D．
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数 ，若
，则
A． B． C． D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数 的定
义域为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数 则 ；若当时， ，则 的最大值是 ．
7．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数 的定义域是 ．
8．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））函数 的定义域为
.
9．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷））已知函数 ，则
， 的最小值是 ．
10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数 （
且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））设常数 ，函数
，若 ，则 .
