文档内容
第 01 讲 函数的概念及其表示(精讲+精
练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：函数的概念
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域；②抽象函数定义域
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）②换元法求解析式（换元必换范
围）
③待定系数法；④方程组消去法
高频考点四：分段函数
①分段函数求值②已知分段函数的值求参数
③分段函数求值域（最值）
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域；②分式型函数求值域
③根式型函数求值域；④根据值域求参数
⑤根据函数值域求定义域
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 01 讲 函数的概念及其表示（精练）第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、函数的概念
设 、 是两个非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在
集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么称 为从集合 到集合 的一个函数，记作
， .
其中： 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域
与 的值相对应的 值叫做函数值，函数值的集合 叫做函数的值域．
2、同一（相等）函数
函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
同一（相等）函数：如果两个函数的定义和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等
的依据．
3、函数的表示
函数的三种表示法
解析法（最常用） 图象法（解题助手） 列表法
就是把变量 ， 之间的关 就是把 ， 之间的关系绘
就是将变量 ， 的取值列
系用一个关系式 来 制成图象，图象上每个点的
成表格，由表格直接反映出
表示，通过关系式可以由 坐标就是相应的变量 ，
两者的关系.
的值求出 的值. 的值.
4、分段函数
若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函
数．
5、高频考点结论
5.1函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：
(1)分式型函数：分母不等于零.
(2)偶次根型函数：被开方数大于或等于0.
(3)一次函数、二次函数的定义域均为
(4) 的定义域是 .
(5) ( 且 )， ， 的定义域均为 .
(6) ( 且 )的定义域为 .
(7) 的定义域为 .
5.2函数求值域（1）分离常数法：
将形如 ( )的函数分离常数，变形过程为：
，再结合 的取值范围确定 的取值范围，从而确定
函数的值域.
（2）换元法：
如：函数 ，可以令 ，得到 ，函数
可以化为 ( )，接下来求解关于t的二次函数的值域问题，
求解过程中要注意t的取值范围的限制．
（3）基本不等式法和对勾函数
（4）单调性法
（5）求导法
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 和 是相同的函数( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）函数 的定义域是 ( )
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知 则 .( )
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）函数 的定义域为 .( )
二、单选题
1．（2022·宁夏·青铜峡市高级中学高二学业考试）如图，可以表示函数 的图象的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·全国·高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·黑龙江·铁人中学高一开学考试）以下各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
4．（2022·安徽·北大培文蚌埠实验学校高三开学考试（文））设函数 ，若
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：函数的概念
1．（2022·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
2．（2022·湖南·高一课时练习）设集合 ， ，那么下列四个图形中，能表
示集合 到集合 的函数关系的有（ ）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
3．（2022·江西赣州·高一期末）如图所示某加油站地下圆柱体储油罐示意图，已知储油罐长度为 ，截面
半径为 （ ， 为常量），油面高度为 ，油面宽度为 ，油量为 （ ， ， 为变量），则下列说法错
误的（ ）
A． 是 的函数 B． 是 的函数
C． 是 的函数 D． 是 的函数
4．（2022·江苏泰州·高一期末）若函数 和 ．分别由下表给出：
0 1
1 0
1 2 3
0 1
则不等式 的解集为（ ）．
A． B． C． D．
高频考点二：函数定义域
①具体函数的定义域
1．（2022·广东汕尾·高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）函数 的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·广东潮州·高一期末）函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．②抽象函数定义域
1．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知函数y＝f（x＋1）定义域是[－2，3]，则y＝f（x－2）
的定义域是（ ）
A．[1，6] B．[－1，4] C．[－3，2] D．[－2，3]
2．（2022·重庆巴蜀中学高一期末）已知函数 的定义域为[1，10]，则 的定义域为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
高频考点三：函数解析式
①凑配法求解析式（注意定义域）
1．（2022·全国·高一）已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知 = ，则 的表达式是（ ）
A． B．
C． D．
②换元法求解析式（换元必换范围）
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·高三专题练习）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．3．（2022·全国·高三专题练习）若 ，那么 等于（ ）
A．8 B．3 C．1 D．30
③待定系数法
1．（2022·全国·高三专题练习）已知 是一次函数，且 ，则 的解析式为
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
2．（2022·湖南·高一课时练习）已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数
f（x）的解析式为___________.
④方程组消去法
1．（2022·全国·高三专题练习）若函数 满足 ，则 （ ）
A．0 B．2 C．3 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，且 ，则
A． B．
C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知 满足 ，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
高频考点四：分段函数
①分段函数求值
1．（2022·甘肃张掖·高一期末）已知 ，则 为（ ）
A． B．2 C．3 D． 或3
2．（2022·安徽阜阳·高一期中）函数 则 （ ）
A． B． C． D．3．（2022·河南·高一阶段练习）若 是奇函数，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．5
4．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高一开学考试）设 ，则 的值为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
②已知分段函数的值求参数
1．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）函数 ，若 ，则实数a的值为（ ）
A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1
2．（2022·新疆乌鲁木齐·二模（理））已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B．2或 C． 或2 D． 或
3．（2022·江西南昌·一模（理））已知 若 ，则 （ ）
A．2 B． C．1 D．0
4．（2022·河南洛阳·二模（文））已知函数 ，且 ，则
（ ）
A．26 B．16 C．－16 D．－26
③分段函数求值域（最值）
1．（2022·全国·高三专题练习） ，若 是 的最小值，则 的取值范围为
（ ）.
A．[ 1，2] B．[ 1，0] C．[1，2] D．
2．（2022·江西·景德镇一中高一期末）已知函数 的值域为 ，那么实数 的取
值范围是（ ）
A． B．C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为R，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·北京平谷·高一期末）已知函数
(1)求 ， 的值；
(2)作出函数的简图；
(3)由简图指出函数的值域；
5．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数f(x)＝ 求f(x)的最大值、最小值．
高频考点五：函数的值域
①二次函数求值域1．（2022·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高三期末（理））函数y＝x2－2x＋2在区间[－2，3]上的最大
值、最小值分别是（ ）
A．10，5 B．10，1
C．5，1 D．以上都不对
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域和值域都是 ，则 （ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
②分式型函数求值域
1．（2022·全国·江西科技学院附属中学模拟预测（文））函数 的值域（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为________________．
③根式型函数求值域
1．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域为（ ）A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高二）函数 的值域是（ ）
A． B．
C． D．
④根据值域求参数
1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，求a的取值范围为
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 在 上的值域为 ，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值
为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
6．（2022·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
⑤根据函数值域求定义域
1．（2021·山西·怀仁市第一中学校高一阶段练习）已知函数f（x）=x2-2x-3的定义域为[a，b]，值域为[-4，
5]，则实数对（a，b）的不可能值为（ ）
A．（-2，4） B．（-2，1） C．（1，4） D．（-1，1）
2．（2021·江苏·高一专题练习）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数
为“同族函数”.那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．无数个
3．（2021·江西省泰和中学高二开学考试（理））定义区间 的长度为 ，已知函数
的定义域为 ，值域为 ，则区间 的长度的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
4．（2021·全国·高一课时练习）已知函数 的值域为 ，则函数 的定义域为______.
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·山东·高考真题）函数 的定义域为（ ）
A． 且 B．
C． 且 D．
2．（2020·山东·高考真题）函数 的定义域是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·浙江·高考真题）已知 ，函数 若 ，则 ___________.
4．（2021·湖南·高考真题）已知函数
（1）画出函数 的图象；
（2）若 ，求 的取值范围.5．（2020·山东·高考真题）已知函数 .
（1）求 的值；
（2）求 ，求实数 的取值范围.
第五部分：第 01 讲 函数的概念及其表示（精练）
一、单选题
1．（2022·全国·高一）已知 ， ，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的
函数的是（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末（文））下列各组函数表示同一函数的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则 的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·四川成都·二模（文））已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·辽宁朝阳·高一开学考试）若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一期末）某校要召开学生代表大会，规定各班每 人推选一名代表，当班人数除以 的
余数大于 时，再增选一名代表，则各班推选代表人数 与该班人数 之间的函数关系用取整函数 （
表示不大于 的最大整数，如 ， ）可表示为（ ）
A． B． C． D．8．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（理））设集合 ，函数 ，若
，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．（ ， ）
C． D．（ ，1]
二、填空题
9．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数 若 ，则a的值为______．
10．（2022·全国·高三专题练习）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒，
出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 毫克/立方米时，顾客方可进
入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度 （毫克/立方米）与时间 （分钟）之间的函数关系
为 （ 为常数），函数图象如图所示．如果商场规定10：00顾客可以进入商场，那么开
始喷洒药物的时间最迟是______
11．（2022·河南开封·高一期末）已知函数 ， ，对 ，用 表示 ，
中的较大者，记为 ，则 的最小值为______.
12．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一期末）已知函数 若 是函数 的最
小值，则实数a的取值范围为______．
三、解答题
13．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex，简称AQI）
与时间 （单位：小时）的关系 满足下图连续曲线，并测得当天AQI的最大值为103．当时，曲线是二次函数图象的一部分；当 时，曲线是函数 （
且 ）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．
(1)求函数 的解析式；
(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由．
14．（2022·湖南·高一课时练习）已知函数
(1)求 的值；
(2)对函数 ，若存在点 ，使得 ，求实数 的值．15．（2022·湖北省广水市实验高级中学高一阶段练习）已知函数 ，
(1)若函数 在区间 上存在零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ，总存在 ，使得 成立，求实数a的取值范围.
