文档内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：函数的概念..................................................................................................................................................4
知识点2：函数的三要素..............................................................................................................................................4
知识点3：函数的表示法..............................................................................................................................................5
知识点4：分段函数......................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：函数的概念....................................................................................................................................................6
题型二：同一函数的判断............................................................................................................................................7
题型三：给出函数解析式求解定义域........................................................................................................................8
题型四：抽象函数定义域............................................................................................................................................8
题型五：函数定义域的综合应用................................................................................................................................9
题型六：待定系数法求解析式..................................................................................................................................10
题型七：换元法求解析式..........................................................................................................................................10
题型八：方程组消元法求解析式...............................................................................................................................11
题型九：赋值法求解析式...........................................................................................................................................11
题型十：求值域的7个基本方法...............................................................................................................................12
题型十一：数形结合求值域......................................................................................................................................15
题型十二：值域与求参问题......................................................................................................................................15
题型十三：判别式法求值域......................................................................................................................................16
题型十四：三角换元法求值域..................................................................................................................................16
题型十五：分段函数求值、求参数问题..................................................................................................................17
题型十六：分段函数与方程、不等式......................................................................................................................17
04真题练习·命题洞见................................................................................................................................................18
05课本典例·高考素材................................................................................................................................................18
06易错分析·答题模板................................................................................................................................................20
易错点：错求抽象函数的定义域..............................................................................................................................20
答题模板：求抽象函数的定义域..............................................................................................................................20考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求
简单函数的定义域和值域． 高考对函数的概念及其表示的考
2024年上海卷第2题，5分
（2）在实际情景中，会根据 查相对稳定，考查内容、频率、题
2024年I卷第8题，5分
不同的需要选择恰当的方法 型、难度均变化不大．高考对本节的
2023年北京卷第15题，5分
（如图象法、列表法、解析 考查不会有大的变化，仍将以分段函
2022年浙江卷第14题，5分
法）表示函数． 数、定义域、值域及最值为主，综合
2021年浙江卷第12题，5分
（3）了解简单的分段函数， 考查不等式与函数的性质．
并会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
2、会求常见函数的定义域和值域
3、掌握求函数解析式的方法知识点1：函数的概念
A B f A B
（1）一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素x，都有 中唯一
y A B A B
确定的 与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数．记作：
x→y=f(x)， x∈A
．集合
A
叫做函数的定义域，记为
D
，集合
¿ ¿
，
x∈A¿¿叫做值域，记为 C
．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
【诊断自测】下列四组函数：① ；② ；③
； ④ ；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④知识点3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【诊断自测】已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
知识点4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．
【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） 的值域是 ．
（2） 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为．
（3） 的值域是 ．
（4） 且 的值域是 ．
（5） 且 的值域是 ．
题型一：函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例1-2】已知 是定义在有限实数集A上的函数，且 ，若函数 的图象绕原点逆时针
旋转 后与原图象重合，则 的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【方法技巧】
利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一
个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元
素.
【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重
合，则在以下各项中， 的定义域不可能是（ ）
A． B．
C． D．R
【变式1-2】将函数 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转 角得到曲线 ，已知
曲线 始终保持为函数图象，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．【变式1-3】存在定义域为 的函数 ，满足对任意 ，使得下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【典例2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【变式2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【变式2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数 ， ．（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．对于 ，若 ，则
D．对于 ，若 ，则
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为 ，底边长 是腰长 的函数，则函数的定义域为(
A． B． C． D．
【方法技巧】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式3-1】函数 的定义域是 .
【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
【变式3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数 的定义域是
题型四：抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】1、抽象函数的定义域求法：（1）若f(x)的定义域为(a，b)，求f[g(x)]中a0时可利用单调性法．
【变式10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数 的值域．
（2） 求函数 的值域．
（3）求函数 ， 的值域．
【变式10-2】求下列函数的值域：
(1) ；
(2) ；
(3) .【变式10-3】求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
题型十一：数形结合求值域
【典例11-1】函数 的值域为
【典例11-2】函数 的值域为 .
【方法技巧】
根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型．
【变式11-1】函数 的值域是 ．【变式11-2】函数 的值域是 ．
【变式11-3】函数 的值域为 .
【变式11-4】函数 的值域为 .
题型十二：值域与求参问题
【典例12-1】若函数 的值域为 ，则 的值为 .
【典例12-2】若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.
【变式12-1】已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】定义 若函数 ，则 的最大值为
；若 在区间 上的值域为 ，则 的最大值为 ．
【变式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范
围为 ．
题型十三：判别式法求值域
【典例13-1】函数 ， 的值域为 ．
【典例13-2】函数 的值域是 ．
【方法技巧】
判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须
为实数集R）．
【变式13-1】已知 ，且 ，则 的取值范围是 .
【变式13-2】已知 ，函数 的最大值为 ，则实数 的值为 .
【变式13-3】函数 的值域是 .
题型十四：三角换元法求值域
【典例14-1】求函数 的值域.
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
充分利用三角函数的有界性，求出值域．因为常出现反解出 y的表达式的过程，故又常称此为反解有
界性法．
【变式14-1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数 的值域为 .
题型十五：分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
【典例15-2】已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．2或3【方法技巧】
根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.
【变式15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．1或
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）设 ，若 ，则
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【变式15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
题型十六：分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意
检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围.
【变式16-1】（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解
集为 ．【变式16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
.
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 的定义域为R， ，且当
时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知 则 ．
3．（2023年北京高考数学真题）已知函数 ，则 ．
1．若 ，且 ， ，求 的值.
2．已知函数 ， ， ．（1）在图 中画出函数 ， 的图象；
（2）定义： ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别用图
象法和解析式法表示函数 ．（注：图象法请在图 中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
3．函数 的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交．
（1）函数 的定义域、值域各是什么？
（2）r取何值时，只有唯一的 值与之对应？
4．画出定义域为 ，且 ，值域为 的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点 的坐标满足 ，那么其中哪些点不能在图象上？
5．给定数集 ，方程 ，①（1）任给 ，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断 是否为函数；
（2）任给 ，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断 是否为函数.
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： 定义域不是指 的范围，而是指 的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路
解决本模板问题的要点是知道函数 中 的范围，也就是函数 中 的范围，解不等
式就可得到函数 的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数 的定义域，即 的取值范围，求出 的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
【易错题1】函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 .
【易错题2】若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 .
