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第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01
模拟基础练 2
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像............................................................................................2
题型二：求单调区间....................................................................................................................................................3
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围................................................................................3
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围............................................................................................3
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围....................................................................4
题型六：不含参数单调性讨论....................................................................................................................................4
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析........................................................................................................5
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析....................................................................................................6
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析....................................................................................6
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析................................................................................7
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析............................................................................................8
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性................................................................................................................8
02重难创新练.......................................................................................................................................9
03真题实战练.....................................................................................................................................12题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
1．已知函数 的定义域为 且导函数为 ，如图是函数 的图像，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的增区间是
B．函数 的减区间是
C． 是函数的极小值点
D． 是函数的极小值点
2．（2024·高三·安徽亳州·期中）已知函数 的导函数是 ，则函数 的图象可能是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·高三·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数 的图象， 为函数 的导
函数，则不等式 的解集为（ ）A． B． C． D．
题型二：求单调区间
4．函数f（x）＝（x－1）ex－x2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
5．（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，且
，则 的单调递增区间为 ．
6．函数 的单调递减区间是 .
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．设 在 上为增函数，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
11．（2024·高三·福建三明·期中）已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不
必要条件是（ ）A． B． C． D．
12．（2024·高三·河南·期末）函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
13．已知函数 在 上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
14．已知 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
15．函数 的一个单调递增区间为 ， ，则减区间是（ ）
A． B． C． D． ，
16．已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
17．（2024·高三·陕西汉中·期末）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是 ．
18．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上存在单调递减区间，则m的取值范
围是 ．
题型六：不含参数单调性讨论
19．设函数 当 时，求 的单调区间；20．若函数 ，求 的单调区间.
21．已知函数 （a为实数）．当 时，求函数 的单调区间；
22．已知函数 ．求函数 的单调区间．
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
23．（2024·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
讨论 的单调性；
24．已知函数 ．求函数 的单调区间；
25．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性；题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
26．（2024·北京·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
27．已知函数 .
讨论 的单调性；
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
28．已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围;
(2)讨论函数 的单调性.
29．已知函数 ，规范讨论函数 的单调性.
30．（2024·河北石家庄·三模）已知函数 ．讨论函数 的单调性；31．（山东省日照市2024届高三校际联考（三模）数学试题）已知函数 ，
.讨论函数 的单调性；
32．已知函数 .讨论 的单调性；
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
33．已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.
34．已知函数 ， ，其中 ， ，讨论 的单调性.
35．已知函数 ， ．试讨论函数 的单调性．题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
36．（2024·云南·模拟预测）已知函数 .讨论函数 的单调性.
37．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
38．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
39．已知函数 ， 且 ．讨论 的单调性；
40．（2024·全国·模拟预测）设 ，函数 .
讨论 在 的单调性；41．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
若 ，讨论 在 上的单调性．
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （ ）
A．是偶函数，且在区间 上单调递增 B．是偶函数，且在区间 上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间 上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调递增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·全国·模拟预测）若对任意的 ， ，且 ， ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）A． B．
C． D．
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在区间 单调递增，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
7．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，且 在区间 上单调递
增，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
10．（多选题）（2024·广东茂名·一模）若 是区间 上的单调函数，
则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中e是自然对数的底数，
则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 为奇函数
B．若 ，则 为偶函数
C．若 具备奇偶性，则 或
D．若 在 上单调递增，则a的取值范围为
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）A．当 时，函数 在 上单调
B．当 时，函数 在 上不单调
C．当 时，函数 在 上不单调
D．当 时，函数 在 上单调
13．（2024·江西·三模）已知函数 ，若 在其定义域上没有零点，则
的取值范围是 .
14．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
．
15．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，则m的
取值范围是 .
16．（2024·北京石景山·一模）设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 内单调递增，求k的取值范围.
18．（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围.
19．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 .(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间.
20．已知函数 ， .
(1)当 时，试判断函数 是否存在零点，并说明理由；
(2)求函数 的单调区间.
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 .（1）讨论 的单调性；
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
5．（2021年浙江省高考数学试题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
6．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；8．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
9．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
11．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 时，证明：当 时， 恒成立．
