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专题15.8 分式的加减（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
a b ab
上述法则可用式子表为：c c c .
要点提醒：
（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单
项式时，
括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
【知识点2】异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
上述法则可用式子表为： .
要点提醒：
（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减
法.
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分
式.
【知识点3】分式的混合运算
与分数的加、减、乘、除混合运算一样，分式的加、减、乘、除混合运算，也是先算乘、除，后算加、
减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序计算. 分式运算结果必须达到
最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式.
要点提醒：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正确进
行分式运算的基础，要牢牢掌握..
（2）运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的.
（3）运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律.能灵
活运用运算律，将大大提高运算速度.
【考点目录】
【考点一】同分母的分式相加减； 【考点二】异分母的分式相加减；
【考点三】整式与分式相加减； 【考点四】分式的加减混合运算；
【考点五】分式的加减乘除混合运算；【考点六】已知分式恒等式，确定分子和或分母；
【考点七】分式的化简求值； 【考点八】分式加减的实际应用；
【考点一】同分母的分式相加减
【例1】（2023上·八年级课时练习）计算：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）根据同分母分式的运算法则计算即可；
（2）根据同分母分式的运算法则计算即可．
（1）解：原式 ．
（2）解：原式
．
【点拨】本题考查了同分母分式的加减法以及平方差公式，熟练掌握同分母分式的加减法法则是解题
的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·天津西青·统考一模）计算 的结果是（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】D
【分析】根据同分母分式加法计算法则求解即可．
解：，
故选D．
【点拨】本题主要考查了同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题关键．
【变式2】（2023上·广东梅州·九年级校考开学考试）计算： ．
【答案】
【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
【考点二】异分母的分式相加减
【例2】（2024下·八年级课时练习）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问
题．
解： 第一步
第二步
第三步
第四步
小明的解法从第___________步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【答案】二，过程见分析解：正确的解答过程如下：
．
【易错点分析】把解方程中的“去分母”误用到分式运算中．
【举一反三】
【变式1】（2022上·全国·八年级专题练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据分式运算法则，逐项验证即可得到答案．
解：A、 ，选项A不符合题意；
B、 ，选项B不符合题意；
C、 ，选项C不符合题意；
D、 ，选项D符合题意；
故选：D．
【点拨】本题考查分式运算，涉及通分、分式加减运算法则等知识，熟练掌握分式相关运算法则是解
决问题的关键．
【变式2】（2021上·八年级课时练习）计算： 的结果是 ．
【答案】
【分析】将原式通分，相加后再约分即可得出结果．
解：原式 ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了异分母分式的相加减，熟练运用通分、约分法则是解本题的关键．
【考点三】整式与分式相加减【例3】（2023下·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）化简：
（1） ； （2） ．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）先化简，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可．
（1）解：
；
（2）
．
【点拨】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）化简 的结果是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据分式的加减混合运算法则即可求出答案．
解：．
故选D．
【点拨】本题考查了分式的化简，解题的关键在于熟练掌握分式加减混合运算法则．
【变式2】（2022下·河南南阳·八年级统考期中）计算 的结果是 ．
【答案】
【分析】根据分式的加减运算法则，先通分，再加减．
解：原式
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．
【考点四】分式的加减混合运算
【例4】（2023下·山东枣庄·八年级校考阶段练习）化简
（1） （2）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）利用分式的基本性质变形后用同分母分式加法则计算即可；
（2）先计算括号内的加减法，再计算除法即可．
解：（1）（2）
【点拨】此题考查了分式的加减运算和四则混合运算，熟练掌握分式的运算法是解题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2019·河北石家庄·八年级校联考期末）已知： ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】已知等式两边除以 ，求出 的值，再代入 即可得到结果．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故选：B．
【点拨】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等
式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立．
【变式2】（2020下·湖北武汉·九年级统考阶段练习）计算 结果是 ．【答案】
【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
解：原式＝
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【考点五】分式的加减乘除混合运算
【例5】（2023上·山东聊城·八年级统考期中）计算：
（1） （2）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
（1）根据分式的加减法法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
（1）解：（2）解：
【举一反三】
【变式1】（2023上·山东威海·九年级统考期中）试卷上一个正确的式子
被莹莹不小心滴上墨汁，被墨汁遮住的部分的代数式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式的混合运算，据已知分式得出被墨汁遮住部分的代数式是
，再根据分式的运算法则进行进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
解：由题意可得：
被墨汁遮住部分的代数式是 ，，
故选：D．
【变式2】（2023上·湖南娄底·八年级统考阶段练习）已知 （ 且 ）， ，
，…， ，则 等于 （用含 的代数式表示）．
【答案】 /
【分析】分别求出 、 、 ，发现：每三个为一个循环，用2023除以3即可得到答案．
解：∵ ， ，
∴ ，
，
，
，
∴发现：每三个为一个循环，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了数字计算类的规律探究，分式的加减计算法则，分式的化简，正确掌握运算法则
得到计算结果的规律是解题的关键．
【考点六】已知分式恒等式，确定分子和或分母
【例6】（2022上·云南昆明·八年级昆明市第三中学校考阶段练习）阅读下列材料：若 ，试求A、B的值
解：等式右边通分，得
根据题意，得 ，解之得 ．
仿照以上解法，解答下题．
（1）已知 （其中M、N为常数）求M、N的值；
（2）若 对任意自然数n都成立，则 _________， _________．
（3）计算： _________．
【答案】（1） ；（2） ， ；（3）
【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值；
（2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值；
（3）由 ， ， ，利用裂项相消，即可求解．
（1）解：等式右边通分，得
，
根据题意，得 ，解之得 ；
（2）解：等式右边通分，得
，根据题意，得 ，解之得 ；
故答案为： ， ；
（3）解：
故答案为： ．
【点拨】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【举一反三】
【变式1】（2023下·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）对于任意的 值都有
，则 ， 值为（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
【答案】B
【分析】对等式右边通分并进行加法运算，再根据对应项系数相等列方程组求解即可．
解：∵ ，
∴ ，解得： ．
故选：B．
【点拨】本题考查分式的加法，二元一次方程组．掌握分式的加减运算法则是解题的关键．
【变式2】（2022上·八年级单元测试）已知实数 ， 满足 ，求 的
值．
【答案】3
【分析】根据分式的性质对 通分，运算得 ，由此可得方程组
，解方程组即可求得 ， 的值．
解：∵
∴ ，解得
∴ ．
【点拨】本题考查分式的通分，把 通分化为 是解题的关键．
【考点七】分式的化简求值
【例7】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）先化简，再求值．
已知 ，求 的值．【答案】 ，
【分析】本题主要考查的是分式的化简求值，掌握分式的性质，乘法公式的运用，代入求值是解题的
关键．先运用分式的性质，乘法公式将进行分式的化简，再整体代入求值即可．
解：
，
∵ ，则 ，
∴原式 ．
【举一反三】
【变式1】（2022下·湖北武汉·九年级统考自主招生）已知 ，则代数式
的值为（ ）
A．2021 B．2024 C．2027 D．2030
【答案】D
【分析】先对原代数式的分子进行因式分解，然后再约分，最后再整体代入求值．
解：∵
∴
∴
即原式的值为2030．
故选：D．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是对分式中的分子进行复杂的因式分解，以达到约
分的目的．
【变式2】（2023上·山东威海·八年级统考期中）若 ，则 的值为 ．
【答案】
【分析】取原式两边的倒数，可得 ，再取分式的倒数并变形得：
，最后代入求值即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运
算法则是解答此题的关键．
解：由 得 ，
∴ ，
而 ，
∴ ．
故答案为： ．
【考点八】分式的加减的实际应用
【例8】（2023上·河北石家庄·八年级校考开学考试）甲、乙两个工程队分别承担一条20 公路的
维修任务，甲队有一半时间每天维修公路 ，另一半时间每天维修 ；乙队维修前10 公路时，每天维修 ，维修后10 公路时，每天维修 ， 问甲、乙两队哪一队先完成任务？
【答案】乙队先完成任务
【分析】设甲共用时间为 天，依题意得， ，解得 ，由题意知，乙用的时间
为 ，由 ，作答即可．
解：设甲共用时间为 天，
依题意得， ，解得 ，
由题意知，乙用的时间为 ，
∵ ，
∴甲的时间更长，即乙队先完成任务，
∴乙队先完成任务．
【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，分式加减运算，完全平方公式．解题的关键在于对知识的
熟练掌握与灵活运用．
【举一反三】
【变式1】（2022上·山东泰安·八年级统考期中）一项工程甲单独做 天完成，乙单独做 天完成，
两人合作可比乙单独做提前（ ）天完成
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】可求甲的工作效率为 天，乙的工作效率为 天，从而可求两人合作完成工作的天数 ，
即可求解．
解：由题意得；
故选：C．
【点拨】本题考查了工程问题，分式运算，理解工作效率，列出分式是解题的关键．
【变式2】（2023下·陕西西安·八年级高新一中校考期中）八年级某班同学原来计划租一俩大巴车去
研学，大巴车的租价为800元，实际又增加了3名同学，租车价不变，若设原来计划参加研学的同学共有
x人，实际每个同学比原来少分摊车费 元．
【答案】
【分析】根据题意列出分式，然后进行运算即可．
解：实际每个同学比原来少分摊车费：
（元）．
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式加减的应用，解题的关键是根据题意列出分式，熟练掌握分式加减运算
法则，准确计算．
