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专题 15.8 分式章末八大题型总结（培优篇）
【人教版】
【题型1 分式有意义的条件】..................................................................................................................................1
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】..............................................................................................................1
【题型3 分式的化简求值】......................................................................................................................................2
【题型4 比较分式的大小】......................................................................................................................................2
【题型5 解分式方程的一般方法】..........................................................................................................................3
【题型6 裂项相消法解分式方程】..........................................................................................................................4
【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】.........................................................................................................5
【题型8 利用倒数法求分式的值】..........................................................................................................................5
【题型1 分式有意义的条件】
【例1】（2023下·河南南阳·八年级校联考阶段练习）下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是
（ ）
1 5 3x+1 x
A． B． C． D．
x2+5 3x+2 x2 2x-1
x-2
【变式1-1】（2023下·山西太原·八年级统考期末）下列x的值中，使分式 无意义的是（ ）
x-3
A．x=3 B．x=-3 C．x=2 D．x=-2
x+3
【变式1-2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）当x=2时，分式 没有意义，则m的值等于（ ）
x+m
A．-2 B．-3 C．2 D．3
1
【变式1-3】（2023上·上海浦东新·八年级上海市民办新竹园中学校考阶段练习）已知y= ，无
x2+2x-c
论x取任何实数，这个式子都有意义，则c的取值范围 .
【题型2 利用分式的基本性质解决问题】
【例2】（2023下·河南南阳·八年级统考期中）下列代数式变形正确的是（ ）A．2a+1 2a B． x- y -x+ y C． 0.2x 2x D．a a2
= - = = =
b+1 b x+ y x+ y 0.1x+2y x+2y b b2
2x+3 y
【变式2-1】（2023下·重庆万州·八年级重庆市万州第一中学校联考期中）把分式 的x、y均缩小
x2- y2
为原来的10倍后，则分式的值（ ）
1 1
A．为原分式值的 B．为原分式值的
10 100
C．为原分式值的10倍 D．不变
x 0.5+0.01x
【变式2-2】（2023上·重庆北碚·八年级统考期末）将 - =1的分母化为整数，得
0.2 0.03
（ ）
x 0.5+0.01x 50+x
A． - =1 B．5x- =100
2 3 3
x 0.5+0.01x 50+x
C． - =100 D．5x- =1
20 3 3
2x2
【变式2-3】（2023下·江苏南京·八年级校联考期末）若分式 的值为6，当x、y都扩大2倍后，所得
x- y
分式的值是 ．
【题型3 分式的化简求值】
【例3】（2023下·江苏盐城·八年级景山中学校考期中）先化简，再求值：( x2 9 ) x-1 ，
+ ÷
x-3 3-x x2-2x+1
其中x满足x2+2x-2026=0
【变式3-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）先化简，再求值：( x+1 x ) x+1 ，其中
+ ÷
x2-1 x-1 x2-2x+1
-1≤x<2且x为整数．请你选一个合适的x值代入求值．
(
x+2 x-1) x-4
【变式3-2】（2013·重庆·中考真题）先化简，再求值： - ÷ ，其中x是不等式
x x-2 x2-4x+4
3x+7>1的负整数解．
【变式3-3】（2023上·广西柳州·八年级校考期中）已知x2-10x+25与|y-3|互为相反数，求(
y2
)
2 x2+ y2-2xy x2- y2的值．
⋅ ÷
x- y y3 x+ y
【题型4 比较分式的大小】
2x x+1
【例4】（2023·河北石家庄·统考二模）要比较A= 与B= 中的大小（x是正数），知道A-B的正
x+1 2
负就可以判断，则下列说法正确的是（ ）
A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B
a+1 a+3
【变式4-1】（2023下·江苏扬州·八年级南海中学阶段练习）已知：A= ,B=
a+2 a+4
m
（1）若A=1- ，求m的值；
a+2
（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；
（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．
(1+c 1) 1+c 1
【变式4-2】（2023上·河北唐山·八年级统考期末）由 - 值的正负可以比较A= 与 的大小，
3+c 3 3+c 3
下列正确的是（ ）
1 1
A．当c=-3时，A= B．当c=0时，A≠
3 3
1 1
C．当c<-3时，A> D．当c<0时，A<
3 3
【变式4-3】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知等式xy-2y-2=0
(1)①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
4 y + y 2
(2)设p= ，q= 1 2，y 、y 分别是分式 中的x取x 、x （x >x >2）时所对应
(x -2)+(x -2) 2 1 2 x-2 1 2 2 1
1 2
的值，试比较p、q的大小，说明理由．
【题型5 解分式方程的一般方法】
【例5】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程：
2 3
(1) = ；
x-3 x
x 3
(2) -1= ．
x-1 (x-1)(x+2)
【变式5-1】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）如图所示的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求得的值与原题的正确结果一样．则图中被污染掉的x的值是 ．
【变式5-2】（2023上·湖南怀化·八年级校考期中）解下列分式方程
40
(1) =20；
x+5
x 1
(2) + =1．
x-2 x2-4
【变式5-3】（2023上·河南省直辖县级单位·八年级校联考期末）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的
错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析
错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在
复习时发现一道这样的错题：
x+3 2x
解方程：1- =
2x-2 1-x
x+3 -2x
解：1- = ①
2(x-1) x-1
1-(x+3)=-4x②
1-x-3=-4x③
-x+4x=-1+3④
3x=2⑤
2
x= ⑥
3
(1)请你帮他找出这道题从第_______步开始出错；
(2)请完整地解答此分式方程；
(3)通过解分式方程，你获得了哪些活动经验？（至少要写出两条）
【题型6 裂项相消法解分式方程】
【例6】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：1 1 1 1 1 1 1 1 1 3
+ + =1- + - + - =1- = ，利用上面这个运算规律解决以下问题：
1×2 2×3 3×4 2 2 3 3 4 4 4
1 1 1
(1)求 + + 的值；
5×6 6×7 7×8
1 1 1 1 1
(2)证明： + + +⋯+ + <1；
1×2 2×3 3×4 (n-1)n n(n+1)
1 1 1 1 1
(3)解方程： + + + = ．
3x 15x 35x 63x x+1
【变式6-1】（2023下·安徽滁州·八年级校考阶段练习）解方程：
1 1 1 3
+ + = ．
x(x+3) (x+3)(x+6) (x+6)(x+9) 2x+18
【变式6-2】（2023下·安徽六安·八年级六安市第九中学校考阶段练习）解方程：
1 1 1 2
+ +⋯+ = ．
x(x+2) (x+2)(x+4) (x+98)(x+100) x+100
【变式6-3】（2023上·上海浦东新·八年级校考阶段练习）化简下式：
1 1 1
（1） + +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2004)(x+2005)
1 1 1 1
（2） + + +
x2-4x+3 x2-1 x2+4x+3 x2+8x+15
1 1 1
（3）分式方程 + - =1的解是_________（请直接写出答案）
x(x+2) (x+2)(x+4) 2x
【题型7 利用通分或约分代入求分式的值】
1 2 2a+3ab-4b
【例7】（2023下·江苏泰州·八年级校考阶段练习）已知 - =3，则分式 的值为 ．
b a 4ab-3a+6b
1 1 1
【变式7-1】（2023·湖南·武冈市第二中学八年级阶段练习）若 的值为 ，则 的
2y2+3 y+7 8 4 y2+6 y-9
值为（ ）
1 1 1 1
A． B．- C． D．- ．
2 2 7 7
1 1 4a-5ab+2b
【变式7-2】（2023·湖南邵阳·八年级期末）已知 + =2，那么分式 的值是______．
2a b ab-2a-b
1 1 3a+3ab-3b
【变式7-3】（2023下·安徽宿州·八年级统考期末）已知 - =3，求 分式的值为 ．
a b a-2ab-b【题型8 利用倒数法求分式的值】
x 1
【例8】（2023上·湖北咸宁·八年级统考期末）【阅读理解】阅读下面的解题过程：已知： = ，求
x2+1 3
x2 的值．
x4+1
x 1 x2+1 1
解：由 = 知x≠0，∴ =3，即x+ =3①
x2+1 3 x x
∴x4+1 =x2+ 1 = ( x+ 1) 2 -2=32-2=7 ②，故 x2 的值为1．
x2 x2 x x4+1 7
（1）第①步由x2+1 =3 得到 x+ 1 =3 逆用了法则：______；第②步 x2+ 1 = ( x+ 1) 2 -2 运用了公式：
x x x2 x
______；（法则，公式都用式子表示）
【类比探究】
（2）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知 x ，求 x2 的值；
=-1
x2-3x+1 x4-7x2+1
【拓展延伸】
1 1 1 1 1 1 1 1 1 abc
（3）已知 + = ， + = ， + = ，求 的值．
a b 6 b c 9 a c 15 ab+bc+ac
【变式8-1】（2023·山东滨州·八年级期末）
1 a
(1)已知实数a满足a+ =5，求分式 的值．
a 3a2+5a+3
1 b+1
(2)已知实数b满足b+ =9，求分式 的值．
b+1 b2+5b+5
【变式8-2】（2023下·江苏苏州·八年级校考开学考试）利用“倒数法”解下面的题目：
x 1
已知： = ，求：
x2+1 4
1
(1)代数式x+ 的值．
x(2)代数式 x2 的值．
x4+1
【变式8-3】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）若，求的值．
