文档内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 考情透视·目标导航..................................................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..................................................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..................................................................................................................................................4
知识点1：函数的概念..................................................................................................................................................4
知识点2：函数的三要素..............................................................................................................................................4
知识点3：函数的表示法..............................................................................................................................................5
知识点4：分段函数......................................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：函数的概念....................................................................................................................................................7
题型二：同一函数的判断............................................................................................................................................9
题型三：给出函数解析式求解定义域......................................................................................................................12
题型四：抽象函数定义域..........................................................................................................................................13
题型五：函数定义域的综合应用..............................................................................................................................15
题型六：待定系数法求解析式..................................................................................................................................17
题型七：换元法求解析式..........................................................................................................................................19
题型八：方程组消元法求解析式..............................................................................................................................21
题型九：赋值法求解析式..........................................................................................................................................23
题型十：求值域的7个基本方法...............................................................................................................................26
题型十一：数形结合求值域......................................................................................................................................33
题型十二：值域与求参问题......................................................................................................................................36
题型十三：判别式法求值域......................................................................................................................................39
题型十四：三角换元法求值域..................................................................................................................................42
题型十五：分段函数求值、求参数问题..................................................................................................................44
题型十六：分段函数与方程、不等式......................................................................................................................46
04真题练习·命题洞见................................................................................................................................................47
05课本典例·高考素材................................................................................................................................................48
06易错分析·答题模板................................................................................................................................................51
易错点：错求抽象函数的定义域..............................................................................................................................51
答题模板：求抽象函数的定义域..............................................................................................................................51考点要求 考题统计 考情分析
（1）了解函数的含义，会求
简单函数的定义域和值域． 高考对函数的概念及其表示的考
2024年上海卷第2题，5分
（2）在实际情景中，会根据 查相对稳定，考查内容、频率、题
2024年I卷第8题，5分
不同的需要选择恰当的方法 型、难度均变化不大．高考对本节的
2023年北京卷第15题，5分
（如图象法、列表法、解析 考查不会有大的变化，仍将以分段函
2022年浙江卷第14题，5分
法）表示函数． 数、定义域、值域及最值为主，综合
2021年浙江卷第12题，5分
（3）了解简单的分段函数， 考查不等式与函数的性质．
并会简单的应用．
复习目标：
1、掌握函数的概念，了解构成函数的要素
2、会求常见函数的定义域和值域
3、掌握求函数解析式的方法知识点1：函数的概念
A B f A B
（1）一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素x，都有 中唯一
y A B A B
确定的 与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到集合 的一个函数．记作：
x→y=f(x)， x∈A
．集合
A
叫做函数的定义域，记为
D
，集合
¿ ¿
，
x∈A¿¿叫做值域，记为 C
．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
【诊断自测】下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】任作一条垂直于x轴的直线 ，移动直线，
根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点，
结合选项可知D不满足要求，因此D中图象不表示函数关系．
故选：D.
知识点2：函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．【诊断自测】下列四组函数：① ；② ；③
； ④ ；其中表示同一函数的是（ ）
A．②④ B．②③ C．①③ D．③④
【答案】B
【解析】① ，两个函数对应法则不一样，不是同一函数；
② ，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
③ ，两个函数定义域和对应法则一样，是同一函数；
④ ，两个函数定义域不一样，不是同一函数.
故选：B.
知识点3：函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
【诊断自测】已知函数 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】令 ，则 ，由于 ，则 ，
可得 ，
所以 .
故选：B.
知识点4：分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分
段函数．【诊断自测】（2024·吉林·模拟预测）已知 若 ，则实数 的值为（ ）
A．1 B．4 C．1或4 D．2
【答案】B
【解析】当 时， ，则 ，解得： （舍去）；
当 时， ，则 ，解得： .
故选：B.
解题方法总结
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求 的定义域，遵循
两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1） 的值域是 ．
（2） 的值域是：当 时，值域为 ；当 时，值域为
．
（3） 的值域是 ．
（4） 且 的值域是 ．
（5） 且 的值域是 ．题型一：函数的概念
【典例1-1】下列对应是从集合A到集合B的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，对集合A中的任意一个数x，集合B中都有唯一的数y与之对应，是函数；
对于B选项， 时， ，有两个y与之对应，不是函数；
对于C选项，当 时， 不存在，不是函数；
对于D选项，集合A中的元素0在集合B中没有对应元素，不是函数.
故选：A
【典例1-2】已知 是定义在有限实数集A上的函数，且 ，若函数 的图象绕原点逆时针
旋转 后与原图象重合，则 的值不可能是（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得到，问题相当于圆上由 个点为一组，每次绕原点逆时针旋转 个单位后与下一个点会
重合，
我们可以通过代入和赋值的方法，
当 时，此时得到的圆心角为 ，然而此时 或者 时，都有 个 与之对应，
而我们知道函数的定义就是要求一个 只能对应一个 ，
因此只有当 时旋转 ，此时满足一个 只会对应一个 .
故选.：C.
【方法技巧】
利用函数概念判断：（1）A，B是非空的实数集；（2）数集A中的任何一个元素在数集B中只有一
个元素与之对应，即 “多对一”，不能“一对多”，而数集B中有可能存在与数集A中元素不对应的元
素.【变式1-1】（2024·高三·上海虹口·期中）若函数 的图像绕原点逆时针旋转 后与原图像重
合，则在以下各项中， 的定义域不可能是（ ）
A． B．
C． D．R
【答案】B
【解析】对于函数 图象上任一点 逆时针旋转 可得 ，
即 也在函数 图象上，
所以 均在函数 图象上， 都在定义域内，
从而结合函数定义有 ，当 时，有
若定义域为 ，则 不存在满足题意的对应值，故B错误；
故选：B.
【变式1-2】将函数 的图象绕着原点沿逆时针方向旋转 角得到曲线 ，已知
曲线 始终保持为函数图象，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题设 ，在原点处的切线斜率 ，
所以切线方程为 ，设切线倾斜角为 ，则 ，
当 绕着原点沿逆时针方向旋转时，始终保持为函数图象，
则 ，故 ，显然 为锐角，
所以 ，故 的最大值为 ．
故选：B
【变式1-3】存在定义域为 的函数 ，满足对任意 ，使得下列等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【解析】对于A，因为 有两个不相等的根 和 ，所以当 时， ；
当 ， ，与函数的定义不符，故A不成立；
对于B，令 ，则 ，令 ，则 ，与函数定义不符，故B不
成立；
对于C，令 ，则 ，令 ，则 ，与函数定义不符，故C不成立；
对于D， ， ， 唯一确定，符合函数定义.故D成立，
故选：D.
题型二：同一函数的判断
【典例2-1】下列各组函数相等的是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【解析】对于A中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误；
对于B中，函数 的定义域为R， 的定义域为 ，
所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误；
对于C中，函数 的定义域为R，与 的定义域为 ，
所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误；
对于D中，函数 与 的定义域均为R，
可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确；
故选：D.
【典例2-2】（多选题）下列各项不能表示同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与C． 与 D． 与
【答案】ABD
【解析】对于A: 定义域为 ， 定义域为 ，A不能表示同一个函数,A选项正确；
对于B: 与 解析式不同，B不能表示同一个函数，B选项正确；
对于C:解析式及定义域都相同，C选项是同一函数，C选项不正确；
对于D: 定义域为 ， 定义域为 ，D不能表示同一个函数，D选项正确；
故选:ABD.
【方法技巧】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数．
【变式2-1】（多选题）下列各组函数表示的是不同函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】ACD
【解析】A. 的定义域为 ，且 ， 的定义域为
，解析式不同，所以不是同一函数，故错误；
B. 的定义域为R， 定义域为R，且解析式相同，所以是同一函数，故正确；
C. 的定义域为R， 的定义域为 ，所以不是同一函数，故错误；
D.，由 得 ，所以 的定义域为 ，由 ，得 或 ，
所以函数 的定义域为 或 ，所以不是同一函数，故错误；
故选：ACD
【变式2-2】以下四组函数中，表示同一个函数的是（ ）
A． 与
B． 与
C． 与
D． 与
【答案】B【解析】从定义域，对应关系，值域是否相同，逐项判断即可．
对于A： 的值域为 ， 的值域为 ，所以A错误；
对于B： 的定义域需满足 ，即为 ，
的定义域满足 ，即为 ，且 ，
所以 和 是同一个函数，B正确；
对于C： 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以C错误；
对于D： 的定义域满足 ，即为 ，
的定义域需满足 ，即为 ，所以D错误，
故选：B
【变式2-3】（多选题）（2024·高三·浙江金华·期末）已知函数 ， ．（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．对于 ，若 ，则
D．对于 ，若 ，则
【答案】CD
【解析】对A：若 ，则 ， ，故A错误；
对B：若 ，则 ， ，
，故B错误；
对C：若 ，则 ， ，
又 ，故 ，故 ，即 ，
即 恒成立，故 ，故C正确；
对D：若 ，则 ，
，又 ，故 恒成立，
即 ，故 ，
即 恒成立，故 ，即 ，故D正确.故选：CD.
题型三：给出函数解析式求解定义域
【典例3-1】（2024·北京通州·二模）已知函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得 ,解得
故定义域为 .
故答案为：
【典例3-2】已知等腰三角形的周长为 ，底边长 是腰长 的函数，则函数的定义域为(
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题设有 ，
由 得 ，故选A.
【方法技巧】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
【变式3-1】函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】由 的解析式可得 ，
解得 ；
所以其定义域为 .
故答案为：
【变式3-2】（2024·北京怀柔·模拟预测）函数 的定义域是 .
【答案】【解析】函数 有意义，则 ，解得 或 ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为：
【变式3-3】（2024·北京平谷·模拟预测）函数 的定义域是
【答案】
【解析】函数 有意义的条件是 ，解得 且 ，
所以函数 定义域为 .
故答案为： .
题型四：抽象函数定义域
【典例4-1】已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 的定义域是 ，所以 ，
所以 ，所以函数 的定义域为 ，
所以要使函数 有意义，则有 ，解得 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：A.
【典例4-2】已知 的定义域为 ，则 的定义域为（ ）
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】因为 定义域为 ，所以 的定义域为 ，解得 ，
由分母不为 ，得 ，即 ，所以函数定义域为： .
故选： .
【方法技巧】
1、抽象函数的定义域求法：（1）若f(x)的定义域为(a，b)，求f[g(x)]中a0时可利用单调性法．【变式10-1】求下列函数的值域．
（1）求函数 的值域．
（2） 求函数 的值域．
（3）求函数 ， 的值域．
【解析】(1) .
当 时，y取最小值 ，
所以函数值域是 ．
（2）由函数解析式得 .
①当 时，①式是关于x的方程有实根．
所以 ，解得 .
又当 时，存在 使解析式成立，
所以函数值域为 ．
（3）令 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
所以该函数值域为 ．
【变式10-2】求下列函数的值域：
(1) ；
(2) ；
(3) .
【解析】（1）令 ，则 ， ，所以 ，
所以 的值域为 .
（2） ，
由反比例函数性质可知， 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 的值域为 .
（3） ,
令 ，则 ，
由对勾函数性质可知， 在 上单调递增，所以 ，
由反比例函数性质可知， 在 单调递减，
所以 ，即 的值域为 .
【变式10-3】求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；（10） .
【解析】（1）分式函数 ，
定义域为 ，故 ，所有 ，
故值域为 ；
（2）函数 中，分母 ，
则 ，故值域为 ；
（3）函数 中，令 得 ，
易见函数 和 都是减函数，
故函数 在 时是递减的，故 时 ，
故值域为 ；
（4） ，
故值域为 且 ；
（5） ，
而 ， ，
， ，
即 ，故值域为 ；
（6）函数 ，定义域为 ，令 ，
所以 ，所以 ，对称轴方程为 ，
所以 时，函数 ，故值域为 ；
（7）由题意得 ，解得 ，
则 ，故 ， ， ，
由y的非负性知， ，故函数的值域为 ；
（8）函数 ，定义域为 ， ，故
，即值域为 ；
（9）函数 ，定义域为 ，
故 ，所有 ，故值域为 ；
（10）函数 ，
令 ，则由 知， ， ，
根据对勾函数 在 递减，在 递增,
可知 时， ，故值域为 .
题型十一：数形结合求值域
【典例11-1】函数 的值域为
【答案】
【解析】 表示点 与点 连线的斜率，
的轨迹为圆 ，
表示圆 上的点与点 连线的斜率，由图象可知：过 作圆 的切线，斜率必然存在，
则设过 的圆 的切线方程为 ，即 ，
圆心 到切线的距离 ，解得： ，
结合图象可知：圆 上的点与点 连线的斜率的取值范围为 ，
即 的值域为 .
故答案为： .
【典例11-2】函数 的值域为 .
【答案】
【解析】原式为 ，即可看作是动点
到定点 的距离之和，
设 关于 轴的对称点为 ，连接 交 轴于 ，此时 最小，且最小值为
，故函数 的值域为 ，
故答案为：
【方法技巧】
根据所给数学式子的特征，构造合适的几何图形模型．
【变式11-1】函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】设函数 ，令 ，则点 位于一个单位圆x轴的上半部分，如图所示．将函数 改写为 ，则表示定点 与点 所连直线 的斜率．
当直线 与上半单位圆相切时，在直角三角形 中， ，所以
．又 ，所以 ．即函数 的值域为 ．
【变式11-2】函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】 ，
由 ，解得 ，
令 ，即 ，
将函数 的值域转化为 与 有交点时的t的取值范围，
在同一坐标系中作函数 与 的图象如图所示：
由图象知：当直线 与半圆 相切时，t最小，
此时 ，解得 ，由图象知 ，
当直线 过点 时，t最大，此时 ，
所以 ，即 的值域是 ，
故答案为：
【变式11-3】函数 的值域为 .
【答案】【解析】由题设 ，
所以所求值域化为求 轴上点 到 与 距离差的范围，如下图示，
由图知： ，即 ，
当 三点共线且 在 之间时，左侧等号成立；
当 三点共线且 在 之间时，右侧等号成立，显然不存在此情况；
所以 ，即 ，
所以函数值域为 .
故答案为：
【变式11-4】函数 的值域为 .
【答案】
【解析】设 ，则有 ， ，
其几何意义为半圆 上一动点 到定点 的连线的斜率．
如图： ,则 ，
设过点A的直线为 ，
整理为 ，由点到直线的距离公式可得
，化简得 或 （舍），
所以 ，
故答案为:题型十二：值域与求参问题
【典例12-1】若函数 的值域为 ，则 的值为 .
【答案】
【解析】设 ，可得 ，
由题意可知，关于 的方程 在 上有解，
若 ，可得 ，则 ；
若 ，则 ，即 ，
由题意可知，关于 的二次方程 的两根为 、 ，
由韦达定理可得 ，解得 .
综上所述， .
故答案为： .
【典例12-2】若函数 的值域为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】当 时， ，即值域为 ，满足题意；
若 ，设 ，则需 的值域包含 ，
，解得： ；
综上所述： 的取值范围为 .
故选：C.
【方法技巧】值域与求参问题通常采用分类讨论，数形结合，转化化归等方法解决.
【变式12-1】已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 在 ， 上单调递减，
因为函数的值域为 ， ，
所以 ，
，
， ， ， ，
，
， ，结合 可得： ， ，
， ．
故选： ．
【变式12-2】定义 若函数 ，则 的最大值为
；若 在区间 上的值域为 ，则 的最大值为 ．
【答案】
【解析】当 时，解得 或 ，
所以 ，
作出 的图象如下图所示：由图象可知：当 时， 有最大值，所以 ；
当 时，解得 或 或 ；
当 时， 或 ，
由图象可知：当 ， 时， 的值域为 ，此时 的最大值为
；
当 时， 的值域为 ，此时 ，
由上可知， 的最大值为 ，
故答案为： ； .
【变式12-3】（2024·上海青浦·一模）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范
围为 ．
【答案】
【解析】当 时， ，此时 ，
当 且 时， ，
此时 ，且 ，所以不满足；
当 且 时， ，
由对勾函数单调性可知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，此时 ，若要满足 的值域为 ，只需要 ，解得 ；
当 且 时，因为 均在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，且 时， ， 时， ，
所以此时 ，此时显然能满足 的值域为 ；
综上可知， 的取值范围是 ，
故答案为： .
题型十三：判别式法求值域
【典例13-1】函数 ， 的值域为 ．
【答案】
【解析】因为 ，整理得 ，
可知关于x的方程 有正根，
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
若 ，则 ，
可得 或 ，
解得 或 且 ，则 或 或 ；
综上所述： 或 ，
即函数 ， 的值域为 .
故答案为： .【典例13-2】函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】由题知函数的定义域为 ，
所以，将 整理得 ，
所以，当 时， ；
当 时， ，解得 ，
所以， ，即函数 的值域是
故答案为：
【方法技巧】
判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，
形如 ， 或 的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须
为实数集R）．
【变式13-1】已知 ，且 ，则 的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
又因为 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
【变式13-2】已知 ，函数 的最大值为 ，则实数 的值为 .
【答案】1
【解析】 ，
，
两边平方得： ，
即 ，再平方得： ，
化简得： ，
当 ，即 时， ，
此时 最大值为 ，不符题意.
所以 .
因为方程有解，所以 ，
即 ，
化简得： ，因为 ，所以 ，
又因为 的最大值为 ，所以 ，
所以 .
故答案为： .
【变式13-3】函数 的值域是 .
【答案】
【解析】 ，
因为
所以函数 的定义域为
令 ，整理得方程：
当 时，方程无解；
当 时，
不等式整理得：
解得：
所以函数 的值域为 .
故答案为：题型十四：三角换元法求值域
【典例14-1】求函数 的值域.
【解析】 ， 可设 ，
则 .
设 ，则 ，从而 .
（其中 ， ）， ，
， ， 且 . .
故函数的值域为 .
【典例14-2】（2024·高三·河南·期中）函数 的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意 且 ，所以函数 的定义域为 .
设 ， ，则 ， ，其几何含义表示点 与
的斜率， 为圆弧 上一动点，
如图，当 为圆弧为右端点 时，斜率最小，最小值为 ，
当 与圆弧相切时，直线 的斜率存在且最大，设 ，即 ，
则圆心到直线 的距离 ，即 ，如图，显然 ，所以 .
所以函数 的值域为 .
故选：C.【方法技巧】
充分利用三角函数的有界性，求出值域．因为常出现反解出 y的表达式的过程，故又常称此为反解有
界性法．
【变式14-1】（2024·上海徐汇·模拟预测）函数 的值域为 .
【答案】
【解析】 .
令 且θ∈[0，π]
∴
= ，表示两点（﹣3，﹣3）和（cosθ，sinθ）的斜率， ，故点
在单位圆的上半部分.
如图，斜率最小为 ，斜率最大值为直线与半圆相切时的斜率， ，化简得
，由 ，解得 ，故切线的斜率为
.所以斜率的取值范围，也即函数的值域为 .
故答案为：题型十五：分段函数求值、求参数问题
【典例15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 （ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】D
【解析】由题意知 ．
故选：D．
【典例15-2】已知函数 ，若 ，则 （ ）
A．0 B．2 C． D．2或3
【答案】B
【解析】当 时，则 ，解得： 或 （舍去）
当 时，则 ，解得： （舍去）
综上所述：
故选：B.
【方法技巧】
根据分段函数解析式求函数值，首先明确自变量的值属于哪个区间，其次选择相应的解析式代入解决.
【变式15-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的值为
（ ）
A．2或 B．2或 C． 或 D．1或【答案】A
【解析】当 时， ，解得 ，
当 时， ，得 ，
所以 的值是2或 ．
故选：
【变式15-2】（2024·全国·模拟预测）设 ，若 ，则
（ ）
A．14 B．16 C．2 D．6
【答案】A
【解析】因为 的定义域为 ，则 ，解得 ，
若 ，则 ，可得 ，不合题意；
若 ，则 ，可得 ，解得 ；
综上所述： .
所以 .
故选：A.
【变式15-3】（2024·江苏南通·二模）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为
由于 ，则 ．
故选：B题型十六：分段函数与方程、不等式
【典例16-1】已知函数 若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
若 ，则 ，即 ，解得 ，所以
若 ，则 ，即 ，解得 ，所以 ，
综上，不等式的解为 .
故选：D
【典例16-2】（2024·福建福州·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当 时，由 得 ，两边取以e为底的对数得： ，
当 时，由 得 ，解得 ，
综上 或 .
故选：A.
【方法技巧】
已知函数值或函数的范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但是一定要注意
检验所求自变量的值或范围是否符合相应段自变量的范围.
【变式16-1】（2024·湖北·一模）已知函数 ，则关于x的不等式 的解
集为 ．
【答案】
【解析】当 时， 得 ，当 时， ，得 ，所以 ，
综上： 的解集为 ，
故答案为： .
【变式16-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集是
.
【答案】
【解析】当 时，由 得 ，解得 ，此时， ；
当 时，由 得 ，即 ，解得 ，此时， .
综上所述，不等式 的解集是 .
故答案为： .
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数为 的定义域为R， ，且当
时 ，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当 时 ，所以 ，
又因为 ，
则 ，
，
，
，
，则依次下去可知 ，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.故选：B.
2．（2024年上海夏季高考数学真题（网络回忆版））已知 则 ．
【答案】
【解析】因为 故 ，
故答案为： .
3．（2023年北京高考数学真题）已知函数 ，则 ．
【答案】1
【解析】函数 ，所以 .
故答案为：1
1．若 ，且 ， ，求 的值.
【解析】因为 ,且 ,
则 ,解方程组可得
则
所以
2．已知函数 ， ， ．（1）在图 中画出函数 ， 的图象；
（2）定义： ，用 表示 ， 中的较小者，记为 ，请分别用图
象法和解析式法表示函数 ．（注：图象法请在图 中表示，本题中的单位长度请自己定义且标明）
【解析】（1） ， 的图象如下图所示：
（2）当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 ；
综上所述： .
图象如下图所示：
3．函数 的图象如图所示，曲线l与直线m无限接近，但永不相交．
（1）函数 的定义域、值域各是什么？
（2）r取何值时，只有唯一的 值与之对应？【解析】（1）由图可知，函数 的定义域为 ，值域为 ；
（2）由图可知，当 或 时，只有唯一的 值与之对应，故 .
4．画出定义域为 ，且 ，值域为 的一个函数的图象.
（1）将你的图象和其他同学的相比较，有什么差别吗？
（2）如果平面直角坐标系中点 的坐标满足 ，那么其中哪些点不能在图象上？
【解析】1）由题意可知：定义域为 ，且 ，值域为 ，图象可以是如
下图所示：
（2）由题意可知中：线段 ，和线段 上的点不在图象上如下图所
示：
5．给定数集 ，方程 ，①
（1）任给 ，对应关系f使方程①的解v与u对应，判断 是否为函数；
（2）任给 ，对应关系g使方程①的解u与v对应，判断 是否为函数.
【解析】（1） ，对于任意 ，有唯一的 与之对应，所以 是函数.
（2）取 ，则 ，即对于 ，A中有两个数与v对应，所以 不是函数.
易错点：错求抽象函数的定义域
易错分析： 定义域不是指 的范围，而是指 的范围.
答题模板：求抽象函数的定义域
1、模板解决思路解决本模板问题的要点是知道函数 中 的范围，也就是函数 中 的范围，解不等
式就可得到函数 的定义域．
2、模板解决步骤
第一步：由函数 的定义域，即 的取值范围，求出 的取值范围．
第二步：用集合或区间表示所求定义域．
【易错题1】函数 的定义域为 ，则函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】根据抽象函数求定义域的基本原则可得出关于实数 的不等式组，由此可解得原函数的定义域.函
数 定义域为 ，对于函数 ，有 ，
解得 且
因此函数 的定义域为 .
故答案为： .
【易错题2】若函数 的定义域为 ，则 的定义域为 .
【答案】
【解析】先由函数 的定义域求出 的范围，进而可得 ，解不等式组可得函数
的定义域．函数 的定义域为 ，则 ，
可得
进而有 ，解得 ，故
则 的定义域为
