文档内容
九年级下学期第二次阶段素质检测卷
数学试题
注意事项：
1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页。
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效。
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各数中，既是分数，又是负数的是（ ）
A. B. 0 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了有理数的分类和概念，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据有理数的分类逐项判
断即可．
【详解】解：A、 既是分数，又是负数，符合题意；
B、0是整数，既不是正数也不是负数，不符合题意；
C、 是小数，是正数，不符合题意；
D、 是整数，是负数，不符合题意；
故选：A．
2. 今年春节电影《哪吒之魔童闹海》《唐探1900》《封神第二部：战火西岐》《蛟龙行动》《射雕英雄
传：侠之大者》和《熊出没·重启未来》在网络上持续引发热议，根据国家电影局2月5日发布数据，我国
2025年春节档电影票房达95.10亿元，创造了新的春节档票房纪录．其中数据95.10亿用科学记数法表示
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值
与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】数据95.10亿用科学记数法表示为 ．
故选：B．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、 与 不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、 ，则此项错误，不符合题意；
C、 ，则此项错误，不符合题意；
D、 ，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题
关键．
4. 若代数式 和 的值相等，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程.根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式
方程，解方程并检验即可得到答案.
【详解】解：代数式 和 的值相等，则 ，
去分母得，
解得 ，
经检验， 是分式方程的解，
故选：C
5. 如图，一块直角三角板 的斜边 与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为 ，则 的
度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了 的圆周角所对的弦为直径，圆周角定理等知识．熟练掌握 的圆周角所对的弦
为直径，圆周角定理是解题的关键．
如图，记 的中点为 ，连接 ，由题意知， ， 四点共圆，由圆周角定
理可得 ，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，记 的中点为 ，连接 ，
由题意知， ，∵ ，
∴ 四点共圆，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：A．
6. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流 和它们两端的电压
，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象． 根据图象及物理学知识 ，可
判断这四个用电器中电阻 最大的是 （ ）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图像与反比例函数的应用．根据图示得出 利用不等式的性
质得出 则可得出丙的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，丁的电
阻大于乙的电阻，即可求解．
【详解】解：由题意可得 ，
由图象可知：∴
∴丙 的电阻大于甲的电阻，丙的电阻大于丁的电阻，同理丁的电阻大于乙的电阻，
∴这四个用电器中电阻 最大的是丙．
故选：C．
7. 数据分析是从数据中获取重要信息的有效手段．小刚通过调查得到一组样本数据后，在分析时列出了方
差的计算公式 ，由公式提供的信息知，下列说法中错误
的是( )
A. 样本方差是 B. 样本容量是 C. 样本中众数是 D. 样本中平均数是
【答案】A
【解析】
【分析】由题意，得：样本数据为： ， ， ， ，进而根据样本容量的定义，众数，平均数，方差，
求解即可．
【详解】解：由题意，得：样本数据为： ， ， ， ，
∴样本容量为 ，故B正确，不符合题意；
样本中 出现 次，是出现最多的，即众数为 ，故C正确，不符合题意；
样本的平均数为： ，故D正确，不符合题意；
样本方差 ，故A不正确，
故选：A．
【点睛】本题考查了样本的容量，众数，平均数，方差，熟练掌握以上知识是解题的关键．
8. 已知二次函数 的图像如图，其对称轴为 ，它与x轴的一个交点的横坐标为 ，
则一次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）．A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次函数图像开口向下可得 ，根据二次函数图像的对称轴可知 ，然后由二
次函数图像经过y轴正半轴可知 ，利用a与b和c的关系求得一次函数和反比例函数是否有交点，再
利用排除法即可求解．
【详解】解：∵二次函数 图像开口向下，
∴ ，
∵二次函数 图像对称轴为 ，
∴ ，
∵次函数 图像经过 轴正半轴，
∴ ，
由 ， 可知：直线 经过第一、二、四象限，由 可知：反比例函数 图像经
过第一、三象限，
∵二次函数 图像过 ，
∴ ，即 ，令 ，即 ，
∵ ，
∴一次函数 与反比例函数 有交点，
故选：C．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质、反比例函数图像与性质，解题的关
键是熟练掌握以上函数图像与性质．
9. 若 ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．先求得 ，得到 ，解得 ，再分别求
得 、 和 的取值范围即可得解．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
∴ ，则 ，
即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
10. 如图， 是等腰直角三角形， ， 为 延长线上一点， 为 上一点，连接
交 于点 ，作 交直线 于点 ，若 ， ， ，则 （
）
A. B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰直角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，过点 E作 于
点M，作 于点N，根据正弦的定义求出EM和NE的长，然后证明 ，利用对应
边成比例解题即可．
【详解】解： 是等腰直角三角形， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
过点E作 于点M，作 于点N，
∴ ， ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得： ，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意可得 ，从而可得答
案．
【详解】解：∵代数式 有意义，
∴ ，
∴ ，
解得： ，故答案为：
12. 因式分解： ______________．
【答案】
【解析】
【分析】原式提取公因式 ，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：原式
故答案为： ．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
13. 如图，将一把直 尺放在正五边形 上，分别交 于点 ．则
______．
【答案】 ## 度
【解析】
【分析】本题考查了正多边形的内角和定理，平行线的性质，掌握正多边形的内角和定理是解题的关键．
根据正多边形的内角和定理及性质可得每个内角的度数为 ，如图所示，过点 作
，由两直线平行同位角相等得到 ，再根据即可求解．
【详解】解：∵五边形 是正五边形，
∴每个内角的度数为 ，
∴ ，
如图所示，过点 作 ，
∵将一把直尺放在正五边形 上，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
14. 如图，在正方形 中，点 分别为边 上的点，将 ， 分别沿 折
叠，点 恰好落在 上的点 处，再将 沿 折叠，点 落在 上的点 处，连接 与
交于点 ．（1） ______；
（2）若 ，则 的长为______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的性质，解直角三角形：
（1）根据折叠的性质可得 ，由平角的定义求得 ，进而求得 ，
根据正弦的概念计算即可；
（2）解 求得 ， ，进而求得 ，由折叠的性质可得 ， ，
求得 ，再解 ，即可求得 ．
【详解】（1）解：由折叠可知 ， ，
，
，
四边形 是正方形，
，
，
；故答案为： ；
（2）解： ， ，
，
在 中， ，
，
，
，
，
，
在 中， ，
，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 先化简，再求值： 其中 ．
【答案】 ， ．
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把 代入到化简后的结果中计算即可求
解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
当 时，
原式 ．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 ， ， ，请解答下列问题：
（1）若 经过平移后得到 ，已知点 的坐标为 ，请作出 ；
（2）将 绕点A按顺时针方向旋转 得到 ，请作出 ；
（3）当四边形 为平行四边形时，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得， 是向右平移5个单位长度，向下平移6个单位长度得到的△ ，根
据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
（3）结合平行四边形的性质可得答案．
本题考查作图 平移变换、旋转变换、平行四边形的性质，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质是解答本题的关键．
【小问1详解】
解：如图所示 即为所求
【小问2详解】
解：如图所示 即为所求
【小问3详解】
解： 四边形 为平行四边形，
， ，
点 的坐标为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 为积极响应国家“双碳”战略，推进绿色发展，某县全力打造生态优先、绿色低碳的工业园区，经反
复研讨与周密规划，决定在园区内大规模安装光伏板和风力发电机组，以此构建稳定可靠的绿色能源供应
体系．
这两类设备的安装需求各有不同，具体如下表所示：
设备类 每台所需技术人 每台投入成本（万
型 员 元）
光伏板
风力机
组
园区共有技术人员 人，全部参与安装且每人只负责一种设备，总投入资金为 万元．问光伏板和风力
发电机组的安装数量各是多少台？
【答案】安装光伏板 台，安装风力发电机组 台．
【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设安装光伏板 台，安装风力发电机组 台，由题意可得
，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键．
【详解】解：设安装光伏板 台，安装风力发电机组 台，
由题意可得， ，
解得 ，
答：安装光伏板 台，安装风力发电机组 台．
18. 在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：
（1）探索新知：
①第 个图形需要_________枚棋子；②第 个图形需要__________枚棋子．
（2）思维拓展：
小明说：“我要用 枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？如果能摆出，请问
摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）①16；② ；（2）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）①观察4个图形中的变化，得到变化规律，得到第5个图形的数量；
②根据前面发现的规律即可列式表示；
（2）将第n个图形的代数式等于360，计算出n的值，判断是否符合题意.
【详解】（1）①第1个图需要棋子枚数：1+3，
第2个图需要棋子枚数： ，第3个图需要棋子枚数： ，
第4个图需要棋子枚数： ，
∴第5个图需要棋子枚数： ，
故答案为：16；
②由①得到：第n个图需要棋子枚数： ，
故答案为： ；
（2）不能，
当 =360时，得 ，
∵n为正整数，
∴不能摆出符合以上规律的图形.
【点睛】此题考查图形类规律的探究，能观察图形得到图形的变化规律并列式表示是解题的关键.
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 为了保护小吉的视力，妈妈为他购买了可升降夹书阅读架（如图1），将其放置在水平桌面上的侧面
示意图（如图2） ， 测得底座 高为 ， ，支架 为 ，面板长 为 ，
为 ． （厚度忽略不计）
（1）求支点 C离桌面l的高度；（计算结果保留根号）
（2）当面板 绕点C转动时，面板与桌面的夹角α满足 ，当面板与桌面的夹角增大时，
E离桌面l的高度也随之增大，问当面板 绕点 C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是多
少？ （精确到 ， 参考数据： ）【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用．把所求线段和所给角放在合适的直角三角形中是解决本题的关键．
（1）过点C作 于点F，过点B作 于点M，则四边形 是矩形，可得
，从而得到 ，再利用锐角三角函数，解答即可求解；
（2）过点C作 ，过E作 于点H，则 ，分别求出 所成的角为 和
时， 的值，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点C作 于点F，过点B作 于点M，则
，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即支点 C离桌面l的高度为 ；
【小问2详解】
解：如图，过点C作 ，过E作 于点H，则 ，
∵ ，
∴ ，
当 时， ；
当 时， ；
∴ ，
∴当面板 绕点 C转动过程中，E离桌面l最大高度与最小高度的差是 ．
20. 已知四边形 是 的内接四边形， 是 的直径， 是四边形 的一个外角，
平分 ．
（1）如图1， ，求 的度数；
（2）如图2，过点 作 的切线 交 的延长线于点 ，若 ， ，求 的长．【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】此题考查了切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理、勾股定理、矩形的判定和性质等知
识，熟练掌握圆内接四边形的性质和切线的性质是解题的关键．
（1）由圆内接四边形的性质得到 ．由角平分线得到 ．
是 的直径，则 ．即可得到 ．进一步求出
的度数；
（2）连接 ，过点 作 于点 ．由 是 的直径得到 ．根据勾股定理得
到 ．则 ．证明四边形 是矩形．
即可得到 ．
【小问1详解】
解： 是 的内接四边形 的外角， ，
∴ ．
又 平分 ，
．
是 的直径，
．
．
．
【小问2详解】
如图，连接 ，过点 作 于点 ．是 的直径，
．
在 中， ， ，
．
．
∵ ，
，
，
，
∵ 是 的切线， 是 的半径，
∴ ，
∴ ．∵ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ．
∴ ．
∴ ．
∴四边形 是矩形．
，
∴ ．
六、（本题满分12分）
21. 某校七年级为了了解家长和学生观看交通安全警示教育片的情况，随机抽取本校七年级部分学生调查，
把收集的数据按照A，B，C，D四类（A表示仅学生参与；B表示家长和学生一起参与；C表示仅家长参
与；D表示其它）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的不完整的条形统计
图和扇形统计图．根据图中信息解答下列问题：
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）已知该校七年级共有600名学生，估计七年级选B类的学生人数；
（3）李老师在批阅七年级一班同学写的观后感时，发现有5名同学的观后感写得非常优秀，其中有2名男
生，3名女生．现从这5名学生中随机抽取2名学生到当地某小学担任交通安全宣讲员．请用画树状图或
列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）共调查了 名学生（2）估计七年级选B类的学生人数 名
（3）
【解析】
【分析】本题考查了从统计图中获取信息，样本估计总体，列表法或树状图求概率；
（1）由选 的人数及所占百分比，即可求解；
（2）求出这次抽样调查中选B类的学生人数占百分比 ，即可求解；
（3）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式 ，进行计算即可；
能从统计图中正确获取信息，会用样本估计总体，能熟练列表法或树状图求概率是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意得
（名），
故在这次抽样调查中，共调查了 名学生；
【小问2详解】
解：这次抽样调查中，选B类的学生人数为：
（名），
选B类的学生人数占百分比为： ，
（名），
答：估计七年级选B类的学生人数 名；
【小问3详解】
解：列表如下：
男1 男2 女1 女2 女3
男1 男1男2 男1女1 男1女2 男1女3男2 男2男1 男2女1 男2女2 男2女3
女1 女1男1 女1男2 女1女2 女1女3
女2 女2男1 女2男2 女2女1 女2女3
女3 女3男1 女3男2 女3女1 女3女2
共有20种等可能结果，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有 种结果，
．
答：恰好选中两名女生的概率 ．
七、（本题满分12分）
22. 如图， 中， ， 于点D， 于点E，M为 的中点，连接
交 于点F，连接 交 于点N．
（1）求证： ；
（2）求证：
（3）若 ，求 的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）先证明 ，可得 ，证明 ，可得；
（2）证明 ， ， ，可得 ，证明
，可得 ，即可得到结论；
（3）连接 交 于点G．证明 为 的垂直平分线， ， ，可
得 ，求解 ，可得 ，再证明 ，可得结论．
【小问1详解】
的
证明：∵ ，M为 中点，
∴ ，
∴
又 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
证明：∵ ， ，
∴ ， ，
在 和 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，∴ ，即 ；
【小问3详解】
解：连接 交 于点G．
∵ ，
∴ ，
∴
又 ，
∴ 为 的垂直平分线，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴
∵ ，
∵ ， ，∴ ，
∴ ，即 ．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定与
性质，相似三角形的判定与性质，掌握以上知识并灵活应用是解本题的关键．
八、（本题满分14分）
23. 如图1是一个高脚杯的截面图，杯体 呈抛物线形（杯体厚度不计），点 是抛物线的顶点，杯底
，点 是 的中点，且 ， ，杯子的高度（即 ， 之间
的距离）为 ．以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系（1个单
位长度表示 ）．
（1）求杯体 所在抛物线的解析式；
（2）将杯子向右平移 ，并倒满饮料，杯体 与 轴交于点 ，如图2，过 点放一根吸管，吸
管底部碰触到杯壁后不再移动，喝过一次饮料后，发现剩余饮料 的液面低于点 ，设吸管所在直线的
解析式为 ，求 的取值范围；
（3）将放在水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点 顺时针旋转 ，液面恰好到达点 处 ，如
图3．延长 交 于点 ，求 的长．【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到 ， ，设抛物线的解析式为 ，代入计算即可；
（2）先确定平移后的解析式为 ，再计算直线 的解析式和直线 的解析
式，结合喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点 ，确定范围即可．
（3）延长 ，交 于点 ，延长 ，交 于点 ．由旋转的性质得 ， ，求
出 ，然后根据 求解即可．
【小问1详解】
解： ，杯子的高度（即 ， 之间的距离）为 ．
， ，
设抛物线的解析式为 ，
，
解得 ，
抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：∵抛物线的解析式为 ，
∴平移后的解析式为 ．∴此时抛物线的对称轴为直线 ， ，
∴ 的对称点为 ，平移后 ．
设直线 的解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ．
设直线 的解析式为 ，
则 ，
解得 ，
∴ ．
根据题意，喝过一次饮料后，发现剩余饮料的液面低于点 ，
∴ ．
【小问3详解】
解：如图，延长 ，交 于点 ，延长 ，交 于点 ．
由题意得， ， ．
∵水平桌面上的装有饮料的高脚杯绕点 顺时针旋转 ，
∴ ， ，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长为 ．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，解直角三角形的应用，求二次函数，特殊角的三角函数值，旋转的
性质等，熟练掌握待定系数法，正切函数，求二次函数是解题的关键．
