文档内容
2024-2025 学年度第二学期质量检测卷
九年级数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的倒数为（ ）
A. 3 B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数为 ，
故选：D．
2. 下列运算正确的是( )
A. m6÷m2＝m3 B. 3m2－2m2＝m2 C. (3m2)3＝9m6 D. m·2m2＝m2
【答案】B
【解析】
【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以单项式
运算法则分别分析得出答案．
【详解】解： A、m6÷m2=m4，故此选项错误；
B、3m2﹣2m2=m2，正确；
C、（3m2）3=27m6，故此选项错误；
D、 m•2m2=m3，故此选项错误；
3. 如图，几何体的俯视图是（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据俯视图是从上面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：由题意得，该几何体的俯视图是一个正方形，且该正方形中还有一个正方形，即看到的图形
如下：
故选：D．
4. 据统计，2024年我国粮食总产量为14130亿斤，稳居世界第一．其中14130亿用科学记数法表示为（
）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数，这种
记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定 的值时，要看把原数变成 时，
小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得．
【详解】解：14130亿 ，
故选：B．
5. 已知，如图，直线 ，一个含 角的直角三角板的直角顶点恰好在直线 上，若 ，则
的度数是（ ）A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质（两直线平行同位角相等），三角形的内角和为180°解
答；
的
【详解】解：如图，一个含 角 直角三角形是等腰直角三角形，两个底角都是45°，
∵直线a∥b，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选： ．
【点睛】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟记性质和定理是解题
关键．
6. 在“一分钟跳绳”项目的三次测试中，某班4名同学所得成绩的平均数及方差如下，如果选一名同学代表班级参加学校运动会，那么最适合的是（ ）
甲 乙 丙 丁
平均数 189 192 189 192
方差 61 24 31 17
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了用平均数和方差做决策，根据题意可知应该选择平均数大且方差小的那名同学参
加运动会，据此可得答案．
【详解】解；从平均数来看，应该从乙、丁中选取一人参加运动会，
从方差来看，应该选择丁参加运动会，
故选：D．
7. 某直播带货公司去年12月份的营业额为a元，春节期间该公司营业额一直增长，若该公司今年元月和2
月的营业额的月平均增长率为x，则该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了（ ）
A. a（2+x）x元 B. a（1+x）2元 C. a（1+x）元 D. a（1+x）x元
【答案】A
【解析】
【分析】由该公司去年12月份的营业额及连续两个月的营业额的月平均增长率，可得出该公司今年2月份
营业额为 ，再减去去年12月份的营业额即可得出结论．
【详解】解： 该公司去年12月份的营业额为 元，且该公司今年元月和2月的营业额的月平均增长率为
，
该公司今年2月份营业额为 ，
该公司今年2月份营业额比去年12月营业额增长了 元．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据各数量之间的关系，解题的关键是掌握用含 的代数式表
示出该公司今年2月份营业额．
8. 如图， 的直径 与弦 垂直，且 ，则 的度数为（ ）A. 50° B. 60° C. 80° D. 70°
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，弧与圆心角之间的关系，连接 ，根据垂径定理得到
，则由弧与圆心角的关系和圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接 ，
∵ 的直径 与弦 垂直，
∴ ，
∴ ，
故选：C．
9. 如图，在锐角 中，D为 边上一点， ，将 绕点C顺时针旋
转 后得到 ，且点D，B的对应点分别为A，E， 交 于点O，连接 ．下列结论错误的
是（ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据旋转的性质、等边三角形的性质、平行线的证明、平行线分线段成比例定理对选项逐一判断
即可得到答案．
【详解】解：由题意知 ，
又∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
故A项正确；
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故B项正确；
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故C项正确；
根据已知条件推不出 ，故D项错误．故选：D．
【点睛】本题考查了图形的旋转的性质，等边三角形的证明，平行线的证明，平行线分线段成比例定理，
熟练掌握图形旋转前后对应边相等，对应角相等．平行线分线段成比例定理是解题的关键，
10. 如图， 中， ． ，点D是射线AB上的动点（点D不与点A、B重
合），点E在线段AC的延长线上，且 ．连接DE、BE，在AB的下方过点D作DF平行且等于
BE．设 ．四边形DEBF的面积为y，下列图象能正确反映出y与x函数关系的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先证得四边形DEBF为平行四边形，可得S =2S ，然后分两种情况讨论：当02时，点D在AB的延长线上，即可求解．
【详解】解：DF∥BE，DF=BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴S =2S ，
四边形DEBF BED
△
当02时，点D在AB的延长线上，此时 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，y与x的函数关系为：
，
∴在02上函数是一段递增的开口向上的抛物线．
故选：B
【点睛】本题考查了动点问题函数的图象，体现了分类讨论的数学思想，求出函数的表达式是解题的关键．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 分解因式： =______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【解析】
【分析】先提取公因式，再根据平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，掌握a2-b2=（a+b）（a-b）是解题的关键．
12. 一个不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋子除颜色外无其他差别．从盒子中随机取出一枚
棋子，如果它是黑棋的概率是 ，则它是白棋的概率是______．【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，根据概率计算公式可得 ，据此求出x、y的关系式，
再求出 的值即可得到答案．
【详解】解：∵一个不透明的盒子中有x枚黑棋和y枚白棋，从盒子中随机取出一枚棋子，它是黑棋的概率
是 ，
∴ ，
∴ ，
∴它是白棋的概率是 ，
故答案为： ．
13. 如图，点A，B在反比例函数 （ ）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
OA⊥AB，则k的值为_________．
【答案】8【解析】
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，通过证得 AOM∽△BAN，即可得到关于k
的方程，解方程即可求得． △
【详解】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥AM于N，
∵∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∵∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BAN=∠AOM，
∴△AOM∽△BAN，
∴ ，
∵点A，B在反比例函数 （k＞0）的图象上，点A的横坐标为2，点B的纵坐标为1，
∴A（2， ），B（k，1），
∴OM=2，AM= ，AN= -1，BN=k-2，
∴ ，
解得k=2（舍去），k=8，
1 2
∴k的值为8，
故答案为：8．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，表示出点的坐标是解题
的关键．
14. 如图，在 中， ， ， ，点P从点A出发沿 方向运动，到
点B时停止运动，连接 ，点A关于直线 的对称点 ，连接 ， ．
（1）线段 的长为______；
（2）在运动的过程中，点 到直线 距离的最大值是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形、含30度角的直角三角形的性质、圆的性质、轴对称的性质，较难的是
题（2），正确找出点 的运动轨迹是解题关键．
（1）过点 作 于点 ，先根据含30度角的直角三角形的性质可得 ，解直角三角形可
得 ，再解直角三角形可得 ，从而可得 的长，然后根据轴对称的性质可得 ，
由此即可得；
（2）先确定点 在以点 为圆心、 长为半径的圆的一段圆弧上，再根据圆的性质可得当
时，点 到直线 的距离最大，然后根据含30度角的直角三角形的性质可得 的长，再求出 的长，由此即可得．
【详解】解：（1）如图，过点 作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
由轴对称的性质得： ，
故答案为： ．
（2）由轴对称的性质得： ，
∴如图，点 在以点 为圆心、 长为半径的圆的一段圆弧上，
由圆的性质可知，当 时，点 到直线 的距离最大，
如图， ，交于 延长线于点 ，则 即为所求，∵在 中， ，
∴ ，
∴ ，
即在运动的过程中，点 到直线 距离的最大值是 ，
故答案为： ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值的运算、二次根式的运算，熟练掌握
运算法则是解题关键．先计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二
次根式乘法与加减法即可得．
【详解】解：
．
16. 如图，在边长为1个单位长度的正方形网格中建立平面直角坐标系， 的顶点都在格点（网格线
的交点）上．（1）作 关于原点O对称的 ，并写出点 的坐标．
（2）将线段 绕点A顺时针旋转 得到线段 ，求点B所走的路径 的长度（结果保留 ）．
【答案】（1）见解析；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了作图—中心对称，旋转变换：
（1）找到点A，B，C关于原点的对称点，再顺次连接，即可求解；
（2）根据弧长公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：如图， 即为所求；
点 的坐标为 ；
【小问2详解】解：根据题意得： ，
∴点B所走的路径 的长度为 ．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作之一，其中记载的“荡杯问题”很有趣．《孙子算经》记载“今
有妇人河上荡杯．津吏问曰：‘杯何以多？’妇人曰：‘家有客．’津吏曰：‘客几何？’妇人曰：‘二人共饭，三
人共羹，四人共肉，凡用杯六十五．’不知客几何？”译文：“2人同吃一碗饭，3人同吃一碗羹，4人同吃一
碗肉，共用65个碗，问有多少客人？”
【答案】x=60
【解析】
【分析】设有x个客人，根据题意列出方程，解出方程即可得到答案.
【详解】解：设有x个客人，则
解得：x=60；
∴有60个客人.
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关
键．
18. 在数学活动课中，某兴趣小组研究一种完全平方式，写出了下列几组等式：
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
……
（1）根据上述等式规律，
（ⅰ）第4个等式为： （______ ______ ） ；
（ⅱ）第n个等式为：______．
（2）小组成员小明和小华进一步探索上述规律：
小明同学猜想 ，其中a，b为正整数．小华同学提出反对意见，并通过如下计算进行了证明：
（__①__________），
∴ 不一定等于 ．
请你补全①中所缺内容，并写出当小明同学猜想成立时，a，b需要满足的数量关系．
【答案】（1）（ⅰ）4；5；（ⅱ）
（2） ，猜想成立时，
【解析】
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，完全平方公式，正确理解题意是解题的关键．
（1）（ⅰ）根据题意写出第4个等式即可；（ⅱ）第n个等式左边的第一项为n的平方，第二项为n的平方
乘以 的平方，第三项为 的平方，等式右边为 的平方，据此可得答案；
（2）利用完全平方公式展开 即可得到①的答案，再根据猜想成立时要满足
可得结论．
【小问1详解】
解：（ⅰ）由题意得，第4个等式为： ；
（ⅱ）第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式为： ；
……，
以此类推可知，第n个等式为： ．
【小问2详解】解：
，
∴ 不一定等于 ；
要使猜想成立，则 ，
∴ ，
∵ 为正整数，
∴ ，即 ．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某中心广场的塔楼是该市最高楼．如图，某学习研究小组利用无人机在该中心广场塔楼的正前方测量
并计算．当无人机飞行到点C处时，无人机到地面的距离 ，无人机测得该塔楼底端处点B的
俯角 ，测得该塔楼顶端处点A的仰角 ．点A、B、C、D、E都在同一平面内，
求塔楼的高度 ．（结果精确到 ，参考数据： ， ，
）
【答案】塔楼的高度 约为
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
延长 ，交 于点 ，先证出四边形 是矩形，根据矩形的性质可得 ，，再在 中，解直角三角形可得 的长，然后在 中，解直角三角
形可得 的长，最后根据 求解即可得．
【详解】解：如图，延长 ，交 于点 ，
由题意得： ，
∴四边形 是矩形，
∴ ， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴在 中， ，
∴ ，
答：塔楼的高度 约为 ．
20. 如图，四边形 内接于 ， 是 的直径，过点D作 交 的延长线于点G，
且 平分 ，连接 ．（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）2
【解析】
【分析】（1）先根据圆周角定理可得 ，根据平行线的判定与性质可得 ，
再证出 ，根据圆周角定理可得 ，从而可得 ，根据等量
代换可得 ，然后根据等腰三角形的判定即可得证；
（2）先解直角三角形可得 ，再过点 作 于点 ，根据等腰三角形的三线合一、矩形的
判定与性质可得 ，然后证出 ，根据相似三角形的性质即可得．
【小问1详解】
证明：∵ 是 的直径，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ 是 的直径，
∴ ，∴ ，
∴ ，
由圆周角定理得： ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ 是 的直径，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ，
如图，过点 作 于点 ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
由（1）已证： ，
∴ （等腰三角形的三线合一），
∴ ，
由（1）已证： ，由圆周角定理得： ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设AG=x(x>0)，则 ，
∴ ，
解得 或 （不符合题意，舍去），
∴ 的值为2．
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性
质、解直角三角形、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题
关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了丰富校园文化，促进学生全面发展．我市某区教育局在全区中小学开展“书法、武术、黄梅戏进校
园”活动．今年3月份，该区某校举行了“黄梅戏”演唱比赛，比赛成绩评定为A，B，C，D，E五个等级，
该校部分学生参加了学校的比赛，并将比赛结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息，解答
下列问题．
（1）求该校参加本次“黄梅戏”演唱比赛的学生人数；
（2）求扇形统计图B等级所对应扇形的圆心角度数；
（3）已知A等级的4名学生中有1名男生，3名女生，现从中任意选取2名学生作为全校训练的示范者，
请你用列表法或画树状图的方法，求出恰好选1名男生和1名女生的概率．【答案】（1）50；（2）115.2°；（3）
【解析】
【分析】（1）用A等级的人数除以其所占百分比即可求出本次比赛的学生人数；
（2）先求出B等级的学生人数，进一步即可求出B等级所对应扇形的圆心角度数；
（3）首先列表得出所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：（1）参加本次比赛的学生有： （人）；
（2）B等级的学生共有： （人），
∴所占的百分比为： ，
∴B等级所对应扇形的圆心角度数为： ，
（3）列表如下：
男 女1 女2 女3
男 ﹣﹣﹣ （女1，男） （女2，男） （女3，男）
女1 （男，女1） ﹣﹣﹣ （女2，女1） （女3，女1）
女2 （男，女2） （女1，女2） ﹣﹣﹣ （女3，女2）
女3 （男，女3） （女1，女3） （女2，女3） ﹣﹣﹣
∵共有12种等可能的结果，选中1名男生和1名女生结果的有6种；
∴P（选中1名男生和1名女生） ．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及求两次事件的概率，属于常考题型，通过列表法或树状
图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事
件A或B的概率．通过扇形统计图求出扇形的圆心角度数，应用数形结合的思想是解决此类题目的关键．七、（本题满分12分）
22. 如图1，在矩形 中，E为 延长线上一点，且 ， 交 于点F， ．
（1）求证： ；
（2）求证： ；
（3）如图2，G为 上一点， ， 相交于点O，连接 ．若 ，且 ，
求 的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据 证明 ，得出 即可；
（2）证明 ，得出 ，根据 ， ，得出 ，求
出结果即可；
（3）连接 ，证明 ，得出 ，根据直角三角形的性质得出
，求出 ．设 ，则 ，根据谷歌定理求出 ，
得出 （负值舍去）．求出 ， ，根据勾股定理求出 ．
【小问1详解】证明：∵四边形 为矩形，
∴ ， ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，由（1）可知 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 ．
【小问3详解】
解：连接 ，如图所示：
∵ ，且 ，
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵O为 的中点，∴ ，
∵ ，
∴ ．
由（2）可知： ，则 ，设 ，则 ，
在 中， ，即 ，
解得： （负值舍去）．
∴ ， ，
又∵ ，
∴ ，
∴在 中， ．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，直角三
角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等和三角形相似的判定方法．
八、（本题满分14分）
23. 在平面直角坐标系 中，点 在二次函数 的图像上，记该二次函数
图像的对称轴为直线 ．
（1）求 的值；
（2）若点 在 的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新
的二次函数的图像．当 时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；
（3）设 的图像与 轴交点为 ， ．若 ，求 的取值
范围．
【答案】（1）
（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；（3）
【解析】
【分析】（1）把点 代入 可得 ，再利用抛物线 的对称轴公式
可得答案；
（2）把点 代入 ，可得： ，可得抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ，再
利用二次函数的性质可得答案；
（3）由根与系数的关系可得 ， ，结合 ，
，再建立不等式组求解即可.
【小问1详解】
解：∵点 在二次函数 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为： ，
∴抛物线的对称轴为直线 ，
∴ ；
【小问2详解】
解：∵点 在 的图像上，
∴ ，
解得： ，
∴抛物线为 ，
将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，
∵ ，
∴当 时，函数有最小值为 ，
当 时，函数有最大值为
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为 ；
【小问3详解】
∵ 的图像与 轴交点为 ， ．
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 即 ，
解得： .
【点睛】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二
次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键.
