文档内容
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D. 2025
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了倒数，熟练掌握乘积等于1的两个数互为倒数是解题的关键．
利用倒数的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的倒数是 ．
故选：A．
2. 2025年4月21日，安徽省统计局发布本年一季度全省经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，
一季度全省地区生产总值12265亿元，按不变价格计算，同比增长6.2%，高于全国．数据“12265亿”用
科学记数法可表示为（ ）
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定 a和n的值．科学记数法的表示
形式为 的形式，其中 ，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了
多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，
n是负数．据此即可获得答案．【详解】解：12265亿 ．
故选：B．
3. 如图所示的是一个空心正方体．它的左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了几何体的三视图，明确左视图是由几何体的左边看到的图形是解题的关键；
根据几何体的左视图是由几何体的左边看到的图形即可作出判断，注意看不到的棱用虚线.
【详解】解：几何体的左视图是：
故选：A.
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方以及合并同类项．根据同底数幂的乘法法则对A进行判断；
根据幂的乘方法则对B进行判断；根据合并同类项对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，直线 ，将一块含 角的直角三角尺按如图所示的方式放置，其中点A和点B分别落在直
线a和b上．若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【 分 析 】 本 题 主 要 考 查 了 平 行 线 的 性 质 ， 根 据 两 直 线 平 行 ， 同 旁 内 角 互 补 得 到
，据此代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
故选：D．
6. 若一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点坐标为点 ，则k的值为
（ ）
A. 3 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查一次函数与反比例函数图像的交点问题，利用待定系数法进行求解即可．【详解】解：∵一次函数 的图像与反比例函数 的图像的一个交点坐标为点 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
7. 如图，图1为四等分数字转盘，图2为三等分数字转盘．同时自由转动两个转盘，当转盘停止转动后
（若指针指在边界处，则重转），两个转盘指针指向的数字的积满足不等式 的解的概率为（
）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了列表法球概率，解一元一次不等式，先列表得出所有符合条件的结果，再求出不
等式的解集，根据概率公式计算即可．
【详解】解：列表如下：
第一次 第
1 3
二次
1
2
3
4一共有12种符合条件的结果，每种结果出现的可能性相同．
解不等式 ，
解得 ，
可知符合条件的有3，4，3，6，9，12，共6种，
所以两个转盘指针指向数字的积满足不等式的解得概率是 ．
故选：C．
8. 已知实数m，n满足 ， ，则下列判断中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查不等式的性质，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式
的性质是解题关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
又 ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ， ，
故选：D．
9. 如图，E是 上一点， ， ， ，连接 ．若 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图所示，过点E作 于点F，首先得出 ，
得到 ，等量代换得到 ，即可判断A；结合 即可得
到 ，即可判断D；根据同角的余角相等得到 ，等量代换得到
，然后根据角平分线的性质定理得到 ， ，即可得到 ，进而
判断C；首先得到 ，证明出 ，得到 ，然后等量代换得到
，即可判断B；
【详解】解：如图所示，过点E作 于点F
∵ ，∴
∴ ，
∵
∴
∴ 平分 ，故A正确；
又∵
∴ ，故D正确；
∵ ， ，
∴
∴
∴
∵
∴
∵ ，
∴
∵ 平分
∴
∴ ，故C正确；
∴
∵ ，
∴∴
∴ ，即
∴ ，故B错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解
题的关键．
10. 如图， 为半圆的直径， 为 的中点， 为 上任意一点，连接 ， ，过点 作
交 于点 ，连接 ．若 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题是圆与三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，直径所对的圆周角为直角，勾股定理，
难度较大，解决问题的关键是动点的轨迹．以 为斜边作等腰直角三角形 ，则 ，连
接 ， ， ，由 ，得到点D的运动轨迹为以Q为圆心， 为半径的圆弧 ，利用
和 是定值，即可求得 的最小值．
【详解】解：如图，以 为斜边作等腰直角三角形 ，则 ，连接 ， ， ，
，∵ 的直径为 ，C为半圆弧 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴点D的运动轨迹为以Q为圆心， 为半径的圆弧 ，
∵ ，C为半圆弧 的中点，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11. 若代数式 有意义，则实数x的取值范围是__________．
【答案】 且
【解析】
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出 ，根据分
式分母不为0，得出 ，即可得解．
【详解】解：由题意，得 ，
解得 ．
故答案为： 且 ．
12. 在实数范围内，因式分解： __________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查实数范围内的因式分解．先提公因式 ，然后根据平方差公式因式分解，即可求解．注
意因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分解到不
能分解为止．
【详解】
故答案为： ．
13. 如图，在矩形 中，点 ， 在 上，且 ， 平分 ．若 ，
，则 的长为__________．【答案】 ##
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据矩形的性质和 可
证 ，根据相似三角形的性质可以求出 ，根据角平分线的性质可证
，根据等边对等角可证 ，设 ，则 ，利用勾股定理
可得 ，解方程求出 的值即为 的长．
【详解】解： 四边形 是矩形，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
平分 ，，
四边形 是矩形，
，
，
，
，
设 ，则 ，
在 中， ，
，
解得： ．
故答案为： ．
14. 如图，在平面直角坐标系 中，正方形 的边长为5， 轴， 轴，且点A的坐
标为 ，点C的坐标为 ．若抛物线的顶点坐标为 ，且经过正方形的顶点D．
（1）二次函数的表达式为__________．
（2）将抛物线在正方形 内（含边界）的部分记为图像M．若直线 （ ）与图象M有唯一交点，则k的取值范围是__________．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质结合点A的坐标为 ，点C的坐标为 可得 ，设抛物线
表达式为 ，从而可得答案；
（2）设抛物线与正方形 边长的另一个交点为E，如图，可得点 ，结合直线
过定点 ，当 时， ，可得直线 （
）与 必有两个交点，结合直线 （ ）与图象M有唯一交点，再分析
即可．
【详解】解：（1）如图，∵点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，正方形 ，
∴点 ，
∴设抛物线表达式为 ，
把点 代入，得 ，
解得 ，
∴抛物线表达式为 ．
故答案为：
（2）设抛物线与正方形 边长的另一个交点为E，如图，当 时，
解得 ， ，
∴点 ．
∵直线 ，
∴直线 过定点 ．
当 时， ，
∴直线 （ ）与 必有两个交点．
∵直线 （ ）与图象M有唯一交点，
∴当 时，抛物线过点 ，
，即 ，
解得 ．
当 时，抛物线过点 ，
，即 ，
解得 ，
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解不等式 ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式．根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解
即可．
【详解】解：去分母，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
的
16. 在平面直角坐标系 中 位置如图所示．
（1）画出 关于y轴的对称图形 ．
（2）将 沿y轴向下平移3个单位长度得到 ，画出 ．
（3）在y轴上作一点P，使 的周长最小．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】【分析】本题主要考查了轴对称变换、平移变换、利用轴对称求最短路线等知识点，利用相关定义确定对
应点位置是解题关键．
（1）先根据轴对称的性质确定A、B、C的对应点 ，然后顺次连接即可；
（2）先根据平移的性质确定A、B、C的对应点 ，然后顺次连接即可；
（3）如图：连接 与y轴的交点即为所求．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．
【小问2详解】
解：如图： 即为所求．
【小问3详解】
解：如图：点P即为所求．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 我国古代《孙子算经》记载了“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问
人与车各几何？”其意思是“每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车
可乘，问人和车的数量各是多少？”求人和车的数量．
【答案】有39人，15辆车
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设有x个人，根据每3人共乘一辆车，恰好空余2辆车；每2
人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，再建立方程求解即可．
【详解】解：设有x个人，则根据题意列方程，得 ，
解得 ．
车的数量为 ．
答：有39人，15辆车．
18. 把三角形与正方形按如图所示的规律拼图案，回答下列问题．
（1）图案①中共有 个“△”，图案②中共有 个“△”，图案③中共有
个“△”若按此规律拼图案，则图案⑨中共有 个“△”．（2）第n个图案中“△”的个数为 （请用含n的式子表示）．
（3）结合图案中“△”的排列方式及规律；求正整数n，使得 的和是第n个图案中
“△”的个数的2倍多4．
【答案】（1）28 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．
（1）根据前几个图案的规律，即可求解；
（2）根据题意，结合图形规律，即可求解．
（3）根据题意，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
解：
故答案为28．
【小问2详解】
，
故答案为．
【小问3详解】
由题意，得 ，
即
解得 （不符合题意，舍去）
答：n的值为12．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，某型号火箭从地面O处成功发射，当火箭到达A处时，地面D处的雷达站测得 ，
仰角为 ， 后，火箭直线上升到达B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为 ．点O，C，D在同一直线上，已知C，D两处相距 ，求火箭从A处到B处的距离．（结果精确到 ；参考数据：
， ）
【答案】A处到B处的距离约为
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，先得 ，
．再在 中， ，
，根据线段和差关系列式计算，即可作答．
【详解】解：由题意，得
在 中， ， ，
∴ ， ．
∵ ，
∴ ．
在 中， ，
∴ ，
∴ ．答：A处到B处的距离约为 ．
20. 如图，在 中， ，D为 的中点．
（1）以 为直径的 分别交 于点E，F，过点F作 于点G，求证： 是 的
切线．
（2）若 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）0.9
【解析】
【分析】（1）如图，连接 ，根据直角三角形的性质得到 ，得到 ，根据等
腰三角形的性质得到 ，得到 ，推出 ，即可求解；
（2）连接 ，根据勾股定理得到 ，根据圆周角定理得出 ，根据三角函数的定义即
可得出结论．
【小问1详解】
证明：如图，连接 ，
∵ ，D为 的中点，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 与 相切．
【小问2详解】
解：如图，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵D为 的中点，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，正确的
作出辅助线是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 为了庆祝五四青年节，某学校团委举办了“中国历史”知识竞赛活动．在“中国历史”知识竞赛中，
八（1）、八（2）两个班级分别选了5名同学进行对抗比赛，两班代表队在对抗比赛中，每名选手的成绩
如图所示．
（1）根据图示信息填写下表：
平均 中位 众
数/分 数/分 数/分
八（1）
班
八（2）
班
①上述表中 ， ；
②计算两班代表队的方差．
（2）结合两队的成绩进行分析，你认为哪个班的代表队更优秀呢？请结合图表中的数据从平均数、中位
数、众数、方差四个量中至少选两个说明理由．
【答案】（1）① ， ；② ．
（2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了条形统计图，平均数，众数，中位数，方差，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①根据条形统计图的数据计算即可，求平均数，众数；②根据方差的定义进行计算即可求解；
（2）根据表格中的数据举例说明即可．【
小问1详解】
解：①八（1）班得分依次为 （分），
八（1）中位数为： ，即
为
八（2）班得分依次 ： ，
众数为 ，则
②八（1）的平均分为：
方差为：
八（2）班平均分为：
方差为：
【小问2详解】
平均分：两队一样；
中位数：八（1）班85分高于八（2）班80分；
众数：八（2）班100分高于八（1）班85分；
方差：八（1）班70低于八（2）班160；
我认为八（1）班更优秀．因为从平均数来看，两个队一样好；但从中位数来看，八（1）班比八（2）班
高，而八（1）班方差比八（2）班小，相比而言八（1）班略胜一筹．
我认为八（2）班更优秀．因为从平均数来看，两个队一样好；但从众数来看，八（2）班100分的多，而
八（1）班85分的多，相比而言八（2）班略胜一筹（答案不唯一）．
七、（本题满分12分）
22. 四边形 是矩形．
（1）如图，点E，F分别在边 ， 上，且 于点H．①当 时，求证： ；
的
②若 ， 时，求 值．
（2）如图，若点E在边 上，且 ， ， ，点F是 上一动点，连接 ， ，
．当 的周长最小时，在 上取一点G，连接 ，求 的最小值．
【答案】（1）①证明见解析；②
（2）
【解析】
【分析】（1）① 利用矩形 推出是正方形，根据直角互余得 ，再明
，由全等性质得 ．② 通过矩形直角和 ，证明 ，
根据相似三角形对应边成比例列方程求出 ，再用勾股定理 计算．
（2）利用轴对称性质，作点 关于 的对称点 ，将 转化为 ，根据三点共线时线段和最小
确定 周长最小时 的位置；再通过作辅助线求 长度，利用三角形面积不同表示方法求出 最小值．
【小问1详解】
①证明：当 时，
∴矩形ABCD是正方形．
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在
和 中，
，
∴ ，
∴ ；
②解：在矩形 中， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ，
∴ ，
解得 或 （舍去），
∴ ．
【小问2详解】
如图，延长 到点 ，使得 ，连接 ，过点 作 交 的延长线于点
H，在 上取一点G，连接 ，
则D为 的中点，
∵ ， 为 的垂直平分线，
∴ ，
∵ 为定值，
∴ 的周长为 ，
当点B，F， 三点共线时， 有最小值，即 有最小值，则 的周长有最小值，
此时， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理，得 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
当 时， 有最小值，
∴ ，∴ ．
【点睛】本题考查矩形、正方形性质，全等三角形、相似三角形判定与性质，勾股定理及轴对称 - 最短路
径问题等；解题关键是利用图形性质找出角与边的关系，通过证明三角形全等、相似及运用轴对称性质转
化线段来求解．
八、（本题满分14分）
23. （1）已知二次函数 （ ， 为常数）的图像经过点 ，对称轴是直线 ．
①求 ， 的值；
②当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为 ，求 的取值范围．
（2）若抛物线 的顶点为 ， 为此抛物线与直线 （ ）的另一个交
点．当 时，若线段 （不含端点 ， ）上至少存在一个横坐标为整数的点，求 的取值范围．
【答案】（1）① ， ；② ；（2） 或
【解析】
【分析】（1）①根据对称轴是直线 ，得出 ，进而将 代入解析式，得出 ，即可求
解；
②分别计算 ， 的值，根据二次函数的对称性可得，当 ＜ 时，最大值仍然为函数本身的
最大值，最小值为 时，进而求得 的取值范围；
（2）联立直线与抛物线解析式求得 的坐标，进而根据线段 （不含端点 ， ）上至少存在一个横
坐标为整数的点，得出 ，即可求解．
【详解】解：（1）①∵对称轴是直线 ，
∴ ，∴ ，
∵ 的图像经过点 ，
∴ ，
∴ ；
②∵抛物线为 ；
∴其最大值为 ，
∵ 的对称轴是直线 ，
∴当 时，二次函数取得最大值 ；当 时，二次函数的值为 ，而 ，
∴当 时，恰好符合．
根据二次函数的对称性可得，当 ＜ 时，最大值仍然为函数本身的最大值，最小值为 时对应的
函数值，亦符合，故 ．
（2）联立 ，解得 或 ，
∴ ， ，
∵线段 （不含端点 ， ）上至少存在一个横坐标为整数的点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ 或 ．
