文档内容
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1. 下列各数中，比 小1的数是（ ）
A. B. C. 4 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减运算． 有理数大小比较的法则∶ 正数
都大于0； 负数都小于0； 正数大于一切负数； 两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即
可．
【详解】解∶ A． ，
比 小1，故符合题意；
B． ，
比 大1，故不符合题意；
C． ，故不符合题意；
D． ，故不符合题意；
故选∶A．
2. 《中国冰雪旅游发展报告（2025）》预测：2024—2025冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数预计超5亿人次，
旅游收入有望超过 亿元．数据“ 亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ， 为整数．
确定 的值时，要看把原来的数，变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．
当原数绝对值 时， 是正数；当原数的绝对值 时， 是负数，确定 与 的值是解题的关键．
【详解】解： 亿 ．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项，零指数幂，根据相关计算法则求出对应选项
中式子的结果即可得到答案．
【详解】解：A、 ，原式计算错误，不符合题意；
B、 ，原式计算正确，符合题意；
C、 ，原式计算错误，不符合题意；
D、 ，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
4. 某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键．根据三视图的定义求解即可．
【详解】解：A、是主视图，故不符合题意；
B、是俯视图，故不符合题意；
C、是左视图，故不符合题意；
D、不是该几何体的三视图，故符合题意，
故选：D．
5. 如图，以正五边形 的边 为一边，向内作等边三角形 ，连接 ，则 的
度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由等边三角形性质得到 ， ，进而由正五边形性质得到相关角度与边的
关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值
求解即可得到答案．
【详解】解： 以正五边形 的边 为一边，向内作等边三角形 ，
， ，
是正五边形，
，且 ，
， ， ，在等腰 中， ，则 ，
，
故选：B．
【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及等边三角形的性质、正多边形性质、等腰三角形的判定与性质、
三角形内角和定理、正多边形内角与外角关系．数形结合，准确表示各个角度是解决问题的关键．
6. 某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的
一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为
y万辆．根据题意可列出的方程组是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可．
【详解】解：设电动汽车 万辆，燃油汽车 万辆，
∵电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，
∴ ，
∵燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆，
∴ ，
联立可得： ，故选：C．
7. 四张背面相同的卡片上分别写有李商隐《夜雨寄北》的四句诗：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池．
何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时．”将四张卡片背面朝上打乱洗匀，然后依次抽出四张卡片，四张卡片
上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了画树状图求概率，设 表示“君问归期未有期”， 表示“巴山夜雨涨秋池”， 表
示“何当共剪西窗烛”， 表示“却话巴山夜雨时”，画树状图如图，则一共有 种等可能结果，四张
卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样有 种结果，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概
率是解题的关键．
【详解】解：如图，设 表示“君问归期未有期”， 表示“巴山夜雨涨秋池”， 表示“何当共剪西窗
烛”， 表示“却话巴山夜雨时”，
画树状图如图，
一共有 种等可能结果，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样有 种结果，
∴四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是 ，
故选： ．
8. 已知双曲线 与直线 相交于点 ， ，其中 ，若点
在双曲线 上，则 ， ， 的大小关系为（ ）A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，关键是利用函数性质判断函数值大小．
先联立双曲线与直线方程，利用韦达定理及 、 正负判断 的符号，确定双曲线所在象限，再根据各点
横坐标正负及双曲线单调性，比较 、 、 大小 ．
【详解】联立双曲线与直线方程 ，可得
，即 ，
由韦达定理 ．
因为 ，
所以 ，双曲线 在二、四象限．
对于 ， ，则 ；
对于 ， ，则 ．
点 ， ，在双曲线第二象限分支， 随 增大而增大，
所以 ．
综上， ，
故选：A．
9. 如图，在 中， ， ，点D为 上一点， ，点P为平分线上一点，且 ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，过点 P作 于点
E， 于点F，由角平分线的性质得到 ，则可证明四边形CEPF是正方形，设 ，
则 ， ， 由 勾 股 定 理 结 合 可 得 方 程
，解方程即可得到答案．
【详解】解；如图所示，过点P作 于点E， 于点F，
平分 ， ， ，
∴ ，
又∵
∴四边形CEPF是矩形，矩形CEPF是正方形，
设 ， ，则 ，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
在 中，由勾股定理得
，
∴ ，
∴ ，
解得
，
故选：C．
10. 如图，在矩形 中， ， ，点P从A点出发，以每秒 的速度沿
的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作 的平行线交对角线 于点E．设点
P运动的时间为t， 的面积为S，则S与t的函数图像大致为（ ）
A. B.C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点 的位置
分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边 上；②点P在边 上；③点P在
边 上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断．
【详解】解： 矩形 ，
， ， ，
①当 时，点P在边 上，
，
， ，
，即 ，
，
；
②当 时，点P在边 上，点 与点 重合，，
；
③当 时，点P在边 上，
，
，
， ，
， ，
，
，即 ，
，
；
，
S与t的函数图像大致为故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 因式分解： ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解
是解题的关键．
根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可．
【详解】解： ，
故答案为： ．
12. 有一个圆形珠宝展柜，如图所示，商家在展柜的边缘A处安装了一个监控摄像头，它的监控角度为
．若要全方位监控圆形展柜，则至少要安装________个监控摄像头．
【答案】4
【解析】
【分析】此题考查了要圆周角定理．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所
对的弧所对的圆心角是 ，于是得到结论．解答时，注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生
活联系起来是解题关键．
【详解】解： ，所对弧所对的圆心角度数是 ，
，
至少要安装4个监控摄像头．
故答案为： ．
13. 在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分
钟清扫的面积比甲款扫地机器人多 ，甲款扫地机器人清扫 所用的时间比乙款扫地机器人多
．若设甲款扫地机器人每分钟清扫 ，根据题意可列方程为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的
方程即可．
本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键．
【详解】解：由题意可得：
，
故答案为： ．
14. 如图，在正方形 中， ，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，连接
并延长交 的延长线于点F， 与 交于点M，连接 ， 与 交于点N，连接 ．（1）若 ，则 ________．
（2） 的长为________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】（1）连接 ，证明 为 的中位线，得出 ， ，即可得出
，即 ，求出 ．
（2）根据 为 的中点，得出 ，根据相似三角形的性质得出 ，再根据相似三角形
的性质得出 ，由（1）知 ，证明 ，得出 ，
结合 ，勾股定理得出 ，即可得 ．
【详解】解：（1）∵在正方形 中， ，
，
连接 ，
为 的中点，E为 的中点，
为 的中位线，
， ，
，，
即 ，
．
故答案为：2．
（2） 为 的中点，
，
，
，
， ，
，
，
由（1）知 ，
，
∵ ，
，
，
，，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识
点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 解方程：
【答案】x=-3，x=4
1 2
【解析】
【详解】试题分析：先去括号，移项整理后再运用因式分解法求解即可.
试题解析： ，
整理得：x2-x-12=0，
∴（x+3）（x-4）=0,
∴x+3=0，x-4=0，
∴x=-3，x=4.
1 2
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的顶点均在格点（网络线的交点）
上．（1）先把 水平向右平移5个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度，得到 ，请画出
．
（2）将 以AC边所在的直线为轴进行翻折，请画出翻折后的图形 ．
（3）点P为AB上一点，请用无刻度直尺在 上求作一点Q，使 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移、翻折变换的性质，熟练掌握平移和翻折的性质是解题的关键．
（1）利用平移的性质，确定平移后各顶点的位置，进而画出平移后的三角形．
（2）依据翻折的性质，找出各顶点关于翻折轴的对称点，从而画出翻折后的图形．
（3）利用轴对称的性质，通过构造辅助线找到满足条件的点．
【小问1详解】
解：根据平移要求，将 的三个顶点 、 、 分别水平向右平移 个单位长度，再竖直向下平移
个单位长度，得到 、 、 ，然后依次连接 、 、 得到 ．
如图．【小问2详解】
解：以 边所在直线为轴进行翻折，分别找出点 关于 的对称点 ，然后连接 、 ，得到
翻折后的图形 ，如图．
【小问3详解】
解：连接 与 相交，作以 为端点，过 与 的交点作射线 ，交 于 ，则 为所求．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，某图案是由基本图形（由一个边长为 的正方形和两个边长为 的等边三角形组成）拼
接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用 型材料围成，内部（虚线部分）用 型材料焊接．
（1）第5个图案中正三角形的个数为________；第 个图案中正三角形的个数为________（用含 的代数
式表示）．
（2）第5个图案中 型材料的总长为________ ， 型材料的总长为________ ．
（3）当一个图案所用的 型材料的总长比 型材料的总长多 时，求这是第几个图案．
【答案】（1） ； ．
（2） ，（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键．
（1）根据图形找到规律，第 个图案中正三角形的个数为 个，
（2）根据图形，分别求得前几个图案中 型材料和 型材料的总长，即可求解；
（3）根据（2）的规律得出 型材料的总长为 ， 型材料的总长为 ，结合题
意列出方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中 ，
第2个图案中正三角形的个数为6，其中 ，
第3个图案中正三角形的个数为10，其中 ，
第4个图案中正三角形的个数为14，其中 ，
第5个图案中正三角形的个数为18，其中 ，
……
的
第 个图案中正三角形 个数为 个，
故答案为： ； ．
【小问2详解】
解：第1个图案中 型材料的总长为 ，其中 ， 型材料的总长为 ，其中
，
第2个图案中 型材料的总长为 ，其中 ， 型材料的总长为 ，其中 ，
第3个图案中 型材料的总长为 ，其中 ， 型材料的总长为 ，其中
，第4个图案中 型材料的总长为 ，其中 ， 型材料的总长为 ，其中
，
第5个图案中 型材料的总长为 ，其中 ，其中 型材料的总长为 ，
，
故答案为： ， ．
【小问3详解】
根据（2）可得第 个图案中， 型材料的总长为 ， 型材料的总长为 ．
则 ，
解得 ．
18. 如图，一位渔民在靠近海岸拐角的地方围了一个天然养殖场 是直的海岸线，
， ， ．该渔民在附近海域选了一点D，用围网连接 和 ，使
．若 ，求所需围网的总长．（计算结果保留整数．参考数据： ，
， ）
【答案】所需围网的总长约为390m
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作垂线构造直角三角形是解题的关键．
过点A作 于点E，过点C作 于点F，四边形 是矩形，则 ，
先解 ，求出 ，那么即可求解 ，再解 求出 ，最后即可求解 ．
【 详 解 】 解 ： 如 图 ， 过 点 A 作 于 点 E ， 过 点 C 作 于 点 F ， 则
．
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
∴ ，
在 中， ，
， ．
，
，
， ．
在 中， ， ，
， ，
， ，，
．
答：所需围网 的总长约为390m．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 某厂家生产一种体积为 的长方体零件，其底面为边长 的正方形，高为 ．请结合函数
知识回答下列问题：
（1）写出 关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（2）根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像．
1 2 3 4 5 6 …
6 m n …
表格中 ________， ________．
（3）直线 经过点 ，其解析式为________．当 时，x的取值范围是________．
【答案】（1）
（2） ，见解析
（3） ，
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键．（1）根据长方体体积计算公式求解即可；
（2）分别把 和 代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可得到m、n的值，再描点，连线
画出对应的函数图象即可；
（3）先利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出函数 与函数 的交点
坐标为 ，再结合函数图象即可得到答案．
【小问1详解】
解： 某厂家生产一种体积为 的长方体零件，其底面为边长 的正方形，高为 ，
，
；
【小问2详解】
解：在 中，当 时， ，当 时， ，
∴ ；
故答案为： ， ；
函数图像如下图，为所求；
【小问3详解】
解：∵直线 经过点 ，∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，当 时， ，当 时， ，
∴函数 与函数 的交点坐标为 ，
∴由函数图象可得当 时，x的取值范围是 ．
故答案为： ， ．
的
20. 是 直径，点C为 的中点，弦 交 于点E．
（1）如图1，连接 ，若 ，求证： ．（2）如图2，过点A作 的切线交 的延长线于点F，若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）8
【解析】
【分析】（1）连接 ，由直径得到 ，然后求出 ，求出
，然后由 得到 ，进而求解即可；
（2）连接 ，过点O作 于点G，证明出 ，得到 ，勾
股定理求出 ，进而求解即可．
【小问1详解】
证明：如图1，连接 ．
为直径，
，
点C为 的中点，
， ，
，
，
， ，
．
，，
，
．
【小问2详解】
解：如图2，连接 ，过点O作 于点G，
则 ，
为 的切线，
， ，
．
， ，
．
．
．
，
．在 中， ，
．
【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握
以上知识点．
六、（本题满分12分）
21. 世界卫生组织采用体重指数 作为衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为“体重指数=体重
身高 ”[体重的单位为千克 ，身高的单位为米 ]，即 ， 表示体重过低，
表示体重正常， 表示超重， 表示肥胖．某校数学兴趣小组对
本校七年级学生的体重指数进行了调查，他们从七年级学生中随机选出10名男生和10名女生，测量他们
的身高和体重，并计算体重指数．
10名男生的 ：
10名女生的 ：
七年级20名学生 频数分布表如下表所示， 扇形统计图如图所示．
七年级20名学生 频数分布表
组别 男生频数 女生频数、
A 2 1
B 5 7
C a b
D c 0（1）补充频数分布表中所缺的数据： ________， ________， ________．扇形统计图中圆心角
________．
（2）已知该校七年级学生中男生有260人，女生有240人．
的
①估计该校七年级男生 人数；
②估计该校七年级学生中 的人数．
（3）根据以上统计数据，请你针对七年级学生的胖瘦程度提出一条合理化建议．
【答案】（1）2；2；1；
（2）①26人；②126人
（3）适当控制饮食，加强体育锻炼（答案不唯一，言之有理即可）
【解析】
【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，读懂统计图表获取必要的信息是解题的
关键．
（1）根据统计数据求出 的值，得出七年级学生 的人数占比，再乘以 即可求出
圆心角 ；
（2）①利用七年级男生 的人数占比乘以260即可得出答案；②分别估计七年级男生
的人数和七年级女生 的人数，再相加即可；
（3）根据统计数据，针对七年级学生的胖瘦程度提出合理化建议即可．
【小问1详解】
解：由题意得，七年级男生 有2人，七年级女生 有2人，七年级男生
有1人，
， ， ；，
扇形统计图中圆心角 ；
故答案为：2；2；1； ．
【小问2详解】
解：① （人），
答：估计该校七年级男生 的人数为26人．
② （人），
答：估计该校七年级学生中 的人数为126人．
【小问3详解】
解：适当控制饮食，加强体育锻炼（答案不唯一，言之有理即可）．
七、（本题满分12分）
22. 定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点
叫作“纵轴对称点”．
（1）概念理解：
①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________；
②若函数 是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”．
（2）概念应用：
①一次函数 是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由；
②已知函数 是“纵轴点对称函数”，与直线 （ ， ）交于点
， ，且 ．若 经过定点 ，求点 的坐标．
【答案】（1）① （答案不唯一）② 和（2）①不是，理由见解析②
【解析】
【分析】本题主要考查了关于 轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根
与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键．
（1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为 轴的二次函数，即可求解；
②根据关于 轴对称的点的坐标特征，设 对称点为 和 ，分别代入反比例函数和二次函
数，求得 的值，即可求解；
（2）①设点 、 均在直线 上，得出 ，则点 和点 为同一个
点，即可判断 不是“纵轴点对称函数”；
②若函数 是“纵轴点对称函数”，则 ，得出 ，根据点 ， 均为抛物
线与直线的交点，得出 、 是方程 的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出
，进而可得当 时， ，即可得出定点 的坐标．
【小问1详解】
解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为 轴的二次函数，都符合题意，
故答案为： （答案不唯一）；
②设 对称点 和 ，则 ， ，
为
，解得 ，
当 时， ，所以纵坐标对称点坐标为 和 ．
【小问2详解】
①不是，理由如下：设点 、 均在直线 上，则 两式相减，得 ．
，
，此时点 和点 为同一个点，
故 不是“纵轴点对称函数”；
②若函数 是“纵轴点对称函数”，则 ，
．
当 时， ，
点 ， 均为抛物线与直线的交点，
、 是方程 的两根，
， ，
，
，
，
，
当 时， ，
点 的坐标为 ．
八、（本题满分14分）
23. 在 中， ，将 绕点 按顺时针方向旋转 ，得到 ．（1）如图1，当 边落在 边上时，连接 ，则 的度数是 （用含 的代数式表
示）．
（2）如图2，当 时，若 ， ，求 的值．
（3）如图3，当 绕点 按顺时针方向旋转 时，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由旋转可知 ，根据 得出 ，进
而根据 即可求解；
（2）过点 作 于 ．先证明 ，设 ，根据 得出 ，
， ．求得 ，在 中，进而证明 ，根据相似三角形
的性质，即可求解；
（ 3 ） 过 点 作 交 于 点 ， 连 接 ． 证 明 ， ， ， 四 点 共 圆 ，
，得 为等边三角形，解 ，得出 ，即可得证．
【小问1详解】解：由旋转可知 ，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
如图1，过点 作 于 ．
，
， ．
，
．
，
．
设 ，
，
， ， ．， ，
．
在 中， ，
，
解得 ， ．
， ，
，
．
【小问3详解】
如图2，过点 作 交 于点 ，连接 ．
， ，
．
同理， ，
， ， ， 四点共圆，
，
．
，，
．
，
，
， ，
为等边三角形，
．
在 中， ， ，
．
，
．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的
性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
