文档内容
2025 年中考模拟考试九年级数学试卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效．
4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回．
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个
选项，其中只有一个是符合题目要求的．
1. 的相反数是（ ）
A. B. 10 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查相反数的求解，解题的关键是熟知a的相反数为 ．根据相反数的定义即可求解．
【详解】解： 的相反数是 ，
故选：B．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算以及整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握幂的运算法则（同底数幂相乘、
相除，幂的乘方等）以及整式加减的规则．分别对每个选项根据相应的运算法则进行计算，判断其正确性．
【详解】A、 ， 与 不是同类项，不能合并，所以该选项错误；
B、 ，则 ， 与 不是同类项，不能合并，所以该选项错误；
C、 ，所以该选项错误；D、 ，所以该选项正确．
故选：D．
3. 据统计，2024年国庆假期全省接待游客超过“6530万”人次．其中6530万用科学记数法表示为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是正确确定 的值以及 的值．
将6530万转化为普通数字，根据科学记数法的规则确定 和 ，进而得出结果．
【详解】因为1万 ，
所以6530万 ，
，
故选：B．
4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根据三视图选择几何体，解题关键是熟悉常见几何体的三视图．
根据三视图，想像出几何体，再作出选择．
【详解】解：根据三视图，可知几何体由上、下两部分组成，
上面是一个圆柱，下面是一个长方体，
故选： ．
5. 一座人民烈士纪念碑由烈士雕像和基座两部分组成．烈士雕像与基座高度的比值为 ，这个比值介于整数 和 之间，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法求出 的范围即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 介于整数 和 之间，
∴ ，
故选：C．
6. 如图，以正九边形一边 为边画平行四边形 若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，正多边形内角问题，由正多边形内角和定理可求出
，由五边形内角和定理可得 ，进而可
得 ， 由 平 行 线 的 性 质 得 到 ， 则 可 得 到
．【详解】解：由题意得， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
故选：B．
7. 已知关于 的一元二次方程 有两个相等实数根，则实数 的值为（ ）
A. B. 1 C. 4 D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练掌一元二次方程 的根的判别式
：当 时，方程有两个不相等的实数根；当 ，方程有两个相等的实数根；当 ，
方程没有实数根．
先把方程整理成一般式，再根据方程有两相等实数根，得 ，求解即可．【详解】解：∵ ，即 有两个相等实数根，
∴
解得： ，
故选：A．
8. 在平行四边形 中，对角线 相交于点 ，下列条件中，能推出四边形 是正方形
的是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是正方形的判定，据选项依次进行判断即可．
【详解】选项A条件：
（邻边相等）且 （对角线垂直）．
结论：邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直也是菱形，因此无法确定为正方形。
选项B条件：
（邻边垂直）且 （对角线相等）．
结论：邻边垂直的平行四边形是矩形，对角线相等也是矩形，因此无法确定为正方形．
选项C条件：
（对角线相等，即 ）且 （邻边相等）．
结论： ，平行四边形对角线互相平分，说明是矩形．
，邻边相等，说明是菱形．
既是菱形又是矩形，因此能推出正方形．
选项D条件：
（对角线相等）且 （重复对角线相等）．结论：仅说明是矩形，无法确定邻边是否相等，因此不能推出正方形．
故选：C．
9. 已知实数 满足 ，则下列判断正确的是（ ）
A. B.
.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，分式的加减等知识，熟练掌握不等式的性质是解答本题的关键．根据
不等式的性质可判断A和B，先求 ， ，然后根据不等式的性质可判断C和D．
【详解】解： ，
，故A错误；
，
，
，
，故B错误；
，
，
，
，故C错误；，
，故D正确．
故选：D．
10. 如图，在 中， ， ， ，点 在边 上， ，
经过点 与 交于点 ．设 ， ，则 关于 的函数图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】如图，作 于 ，勾股定理求出 ，然后等面积法求出 ，得到 ， ，然后
表示出 ，证明出 ，得到 ，然后表示出 ，然后代入表示出，然后根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】如图，作 于 ，
，
∴ ，即
∴
∴
∴
∵设
∴
∵
∴又∵
∴
∴ ，且 ．
故选：B．
【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，相似三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质
等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 函数 中的自变量 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求自变量的取值范围，解题关键是根据
函数有意义列出不等式．
根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列出不等式求解即可．
【详解】解：∵要使 有意义，
∴ ，解得： ，
故答案为： ．
12. 经过多年实验，农科院发现甲、乙两种杂交水稻的平均亩产量均为 千克，但甲种杂交水稻的平均
亩产量较为稳定，记甲、乙两种杂交水稻平均为产量的方差分别为 ， ，比较大小： _______
（填“>”或“<）．【答案】
【解析】
【分析】本题考查了根据稳定性判断方差的大小，解题关键是理解方差的意义．
根据方差越小，数据越稳定求解．
【详解】解：∵农科院发现甲、乙两种杂交水稻的平均亩产量均为 千克，但甲种杂交水稻的平均亩
产量较为稳定，
∴甲种杂交水稻的平均亩产量的方差较小，
记甲、乙两种杂交水稻平均为产量的方差分别为 ， ，
则
故答案为： ．
13. 如图，在平面直角坐标系中．四边形 的一边 所在直线为 ．A， 两点均在反比
例函数 的图象上．已知 ，则 的值为_______．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用．解题的关键是通过设点坐标，利用平行关系、线
段长度关系以及反比例函数性质建立等式求解．
设出点设 点坐标为 ，根据直线 的解析式表示出点 坐标的关系，再代入反比例函数得到 与
点 横坐标的关系，利用平行关系和线段长度关系求出点 的坐标，代入反比例函数，结合已知条件求出
的值．
【详解】设 点坐标为 ，点 在直线 上，
．
又 点 在反比例函数 的图象上，
．
， ，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ．
，相似比为 ，
，
，
，则 ，
点坐标为 ．
点在反比例函数 上，
．
又 ，则 ．解得 或 （不合题意，舍去），
把 代入 ，
得 ．
故答案为：12．
14. 如图，折叠正方形纸片 ，点A，C两点均落在G处，分别得到抓痕 ，然后还原．已知
．
（1） 的值为_________．
（2）连接 交 于P，若 ，则 的长为________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形与折叠问题，求角的正切值，一次函数与几何综合，坐标系中两点距离计
算，熟知相关知识是解题的关键．
（1）设 ，则 ．进而得到 ．
由勾股定理得 ，解方程即可得到答案；
（ 2 ） 以 点 B 为 原 点 ， 以 所 在 的 直 线 为 y 轴 ， x 轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 则
，求出直线 解析式，进而求出点P的坐标即可得到答案．【详解】解：（1）设 ，则 ．
∴ ．
在直角 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
，
，
故答案为： ．
（2）如图所示，以点B为原点，以 所在的直线为y轴，x轴建立平面直角坐标系，
由（1）可得 ，则 ，
设直线 解析式为 ，则 ，解得 ，
∴直线 解析式为 ，
同理可得直线 解析式为 ，
联立 ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算： ．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了负指数幂、立方根的运算以及实数的加减运算．解题的关键是熟练掌握负指数幂和立
方根的运算法则，按照先乘除后加减的顺序进行计算．
分别计算各项的值，包括负指数幂、立方根．按照实数运算顺序进行计算．
【详解】解：原式
16. 在社会主义新农村建设中，某县准备修建一条 千米长的乡村公路．甲工程队每月比乙工程队能多完
成2千米，但甲工程队每月需要的经费比乙工程队多 ．已知这两个工程队单独完成这项工程所需经费
相同．求甲工程队单独修建这条公路所需要的时间．【答案】3个月
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程求解．
先设甲工程队每月修建 千米，可用 表示出乙工程队 的修建速度、甲单独完成该项工程量、乙单独
完成该项工程量，再乙工程队每月需要经费为 ，用 表示出甲工程队每月需要的经费，列出分式方程求
解．
【详解】解：设甲工程队每月修建 千米，则乙工程队每月能修建（ ）千米，甲单独完成该项工程量
为 千米，乙单独完成该项工程量为 千米．设乙工程队每月需要经费为 ，则甲工程队每月需要的
经费为
由题意得， ，解得 ．
经检验， 是原方程的根， （月）．
答：甲工程队单独修建这条公路需要3个月．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，四边形 的顶点均为格点（网格线的
交点）．
（1）画出线段 关于 所在直线对称的线段 （其中 与 对应）．
（2）将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，画出线段 ．（3）在所给的网格图中确定两个格点 ，使得直线 垂直平分线段 ．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了图形的轴对称变换、旋转变换以及线段垂直平分线的作法，解题的关键是掌握轴对称、
旋转的性质以及线段垂直平分线的特征．
（1）利用轴对称性质，通过找对称点 来画出对称线段；
（2）依据旋转性质，确定旋转后的对应点 ，进而画出旋转后的线段；
（3）根据线段垂直平分线的性质，借助网格确定垂直平分线上的格点 ．
【小问1详解】
如图，线段 即所求；
【小问2详解】
如图，线段 即所求；
【小问3详解】
如图，直线 即所求；18. 数学兴趣小组开展探究活动，很快就发现 这3个数的平均数是
，他们继续探究 这3个数的平均数 与 的关系．
他们发现如下结论．
表1
1
2
3
4
5
．．． ．．．
表2
1
23
4
5 _____
．．． ．．．
继续探究，他们发现，表1中N可改写，改写后可得表2．
按照表1和表2的规律，回答下列问题：
（1）补充表2．
（2）请你猜想 的平均数 与 之间存在的等量关系（用含 的式子表示），
并证明你的猜想．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字规律探究，解题的关键是通过观察表 1和表2的规律，找出数字之间的关系，并
利用平均数的定义进行猜想与证明．
（1）依据题意写出表2中第5行的数值即可；
（2）猜想这3个数的平均数与n的等量关系，再通过计算进行证明．
【小问1详解】
由题意可得，第5个等式为： ；
【小问2详解】
证明：左边右边 ，
左边 右边，
即 ，
故猜想成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 如图，两束光分别沿 ， 方向，经过平面镜 反射后，沿 ， 方向射出，反射后的光线
交于 点，已知 ．求 的度数及 ， 两点间的距离．参
考数据： ，
．
【答案】 ，
【解析】
【分析】本题考查了光的反射定律以及解直角三角形的知识，解题的关键是利用光的反射定律得出相关角
度关系，再通过解直角三角形求出线段长度．
根据光的反射定律求出 的度数．通过作作 于点 ，构造 ，利用三角函数求出
， 两点间的距离．
【详解】解： 入射角等于反射角，
，
同理 ，
如图，作 于点 ，在 中，设 ，
，
在Rt 中， ，
，
，
，
，
，
在Rt 中， ，
．
20. 如图，点 在直角 的斜边 上，以 为直径的半圆 与 相切于点 ，与 相交于点
．
（1）求证： ．
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线性质、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．解题的关键是利用圆的相
关性质构建角度和线段的关系，通过相似三角形求解线段长度．
（1）连接 ，利用切线性质、平行线判定及圆周角定理证明弧相等，进而证明弦相等．（2）先根据直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再证明 ，建立等式求解 的长
度．
【小问1详解】
证明：如图，分别连接 ， ，
为半圆 的切线，
．
又 是直角三角形， ，
即 ，
．
．
，
，
．
，
；
【小问2详解】
如图，连接 ，
为半圆O的直径，
．
，，
四点共圆，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
由（1）得 ，
，
即 ．
六、（本题满分12分）
21. 综合与实践
【项目背景】
某社区图书馆为进一步做好全民阅读推广工作，准备扩大规模，增加图书．为此，他们需了解成年读者的
年龄分布情况．
【数据收集与整理】
九（1）班部分志愿者参与收集整理数据，为该社区图书馆决策提供参考依据．他们在某天随机收集了20
位成年读者的年龄（单位：岁）．
上午：32，39，45，55，60，54，60，28，56，41．
下午：51，36，44，46，40，53，37，47，45，46．
任务1
这一天上午成年读者年龄的中位数是_________，众数是_________．
【数据分析与运用】
任务2
将以上20个数据按组距8（单位：岁）进行分组，请你补全下表及下图：20名读者年龄频数分布表
分组 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
年龄 （单位：岁）
频数 2 4 2
任务3
为宣传全民阅读推广活动，该社区图书馆准备从第1组和第5组 的4位读者中随机选取2位读者作为社
区阅读推广人，求被选取的2位读者不来自于同一组的概率．
【答案】任务1：49.5，60；任务2：见解析；任务3：
【解析】
【分析】任务1：中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据
个数是奇数）或者最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）．这里上午有10个数据，将其排序后，
取第5和第6个数求平均得到中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，通过观察找出出现次数最
多的数．
任务2：需要统计每个年龄分组区间内数据的个数，即频数．通过逐一查看20个年龄数据，分别确定其所
在分组区间，进而得到各区间的频数，完成频数分布表和频数直方图的补充 ．
任务3：利用树状图列举出从两组共4位读者中选取2位读者的所有等可能情况，再从中找出2位读者不来
自同一组的情况，最后根据概率公式“ ”（ 是所有等可能结果数， 是事件 发生的结果数）
计算概率．
【详解】解：任务1 将这10个数从小到大依次排列为：28 32 39 41 45 54 55 56 60 60，第5和第6两个数
分别为45和54，则它们两个的平均数为49.5，所以中位数为49.5．众数：出现次数最多的是60，出现了两次，所以众数为60．
故答案为49.5，60
任务2 补全的频数分布表：
第21题表
分组 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组
年龄 （单位：岁）
频数 2 5 7 4 2
补全的频数直方图：
任务3 设第1组和第5组的4位读者分别为 ，按题意画出树状图，
根据树状图可得共有12种等可能情况，其中被采访的2位读者不来自于同一组的有8种，所以其概率为
．
【点睛】本题主要考查了统计中的中位数、众数概念，频数分布表与直方图的绘制，以及概率的计算．解
题关键在于理解中位数、众数的定义并正确排序数据求解；准确统计各分组区间频数；利用树状图完整列
举所有可能情况并准确找出符合条件的情况来计算概率．
七、（本题满分12分）
22. 如图1，点 在 的平分线 上．（1）若 ，求证： ．
（2）如图2，若 ．
①已知 ，求 的度数．
②点 在 上，若 ，求证： ．
【答案】（1）见解析 （2）① ；②见解析
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的意义，解题关键是掌握全等三角形的判定方法．
（1）先利用 证明 ，再根据全等三角形的性质得出结论成立；
（2）①先利用 证明 ，再根据全等三角形的性质得出 ，
从而可证得 ，再根据等边对等角证得 ，进而求得 ；
②先利用 证明 ，再根据全等三角形的性质得出 ，根据
，得出 ，从而可得结论成立．
【详解】解：（1）证明： ，
．
平分 ，
．
又 ，
，．
（2）①如图，在 上截取 ，连接 ．
平分 ，
，
∵ ，
，
．
，
∴ ，
，
，
．
．
②证明：如图，连接 ，
在 和 中，
，
．
，
，
，．
八、（本题满分14分）
23. 已知抛物线L： 的系数 满足等式 ．
（1）若抛物线L经过点 ，求 的值．
（2）若 ，抛物线 还经过另一点 ，且 ．
①求b的取值范围．
②记抛物线 的顶点纵标为 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】本题考查了求二次函数的最值，求抛物线的对称轴，根据二次函数的性质求字母参数的范围，解
题关键是掌握二次函数的性质的进行求解．
（1）先抛物线 L 经过点 ，得到关于待定系数的关系式，再结合系数 满足等式
，求出 的值；
（2）①先求出 点的坐标，再求出抛物线 的对称轴，根据 ，求得 的取值范围．
②先根据抛物线 的顶点纵标为 ，得出 ，根据 ，得到 ，再根据
，得到 ，从而可用 表示出 ，然后可得当 时， 取最小值，求出 的最小值即可．
【详解】解：（1）∵抛物线L经过点 ，
∴当 时， ，
，
，
．
（2）①∵ ，
∴ ，
∴抛物线 经过 ，
抛物线 经过 ，
∴抛物线 的对称轴为 ．
．
的取值范围为 ．
② ．
．
．
由①知 ，
∴当 时， 取最小值．
的最小值为 ．
