文档内容
数学试题卷
注意事项：
1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟．
2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页．
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1. 下列四个实数中，最大的是（ ）
.
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，掌握绝对值越大的负数本数越小成为解题的关键．
根据实数的大小比较方法即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选B．
2. 2024年11月至12月，安徽财政提前下达2025年农业相关转移支付资金157.4亿元．其中， 中央财政
137.5亿元、省财政19.9亿元，用以支持江淮粮仓建设、农业产业发展、二轮延包及动物防疫等工作．数
据“157.4亿”可用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表现形式为 的形式，其中 ，n为整
数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：数据“157.4亿”可用科学记数法表示为 ；
故选：C．3. 如图所示为一个工件的示意图，该工件的左视图为（ ）
A B. C. D.
.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了三视图，掌握三视图中看不见的线条用虚线表示成为解题的关键．
根据左视图就是从几何体左侧看到的图形是解题的关键．
【详解】解：该工件的左视图为：
故选C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了单项式除以单项式、幂的乘方、合并同类项、同底数幂相乘，根据单项式除以单项式、
幂的乘方、合并同类项、同底数幂相乘的运算法则逐项分析即可得解．
【详解】解：A、 ，故原选项计算正确，符合题意；
B、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
C、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
D、 ，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：A．5. 有一组数据：3，7，4，6，2，4，6，6．这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 6 和 4 B. 6 和 5 C. 4 和 5 D. 4和6.5
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了中位数，众数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最
中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止
一个．将这组数据排序后处于中间位置的数（或中间两个数的平均数）就是这组数据的中位数，出现次数
最多的数为这组数据的众数．
【详解】解：数据重新排序得：2，3，4，4，6，6，6，7，
6出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据的众数是6；
中位数是第4、5个数的平均数，即为 ，
故选：B．
6. 已知反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于点A，一次函数 与 y 轴交
于点B．若 ，则k的值为（ ）
A. 8 B. 12 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点、求反比例函数解析式等知识点，掌握求反比例函
数的方法是解题的关键．
由反比例函数 与一次函数 的交点在第一象限，即 ；再求得 ，即 ；设
，根据 可得 ，即可确定 ，最后求得k即可．
【详解】解：∵反比例函数 与一次函数 的图像在第一象限交于点A，
∴ ，∵一次函数 与 y 轴交于点B，
∴ ，即 ，
设 ，
∵ ，
∴ ，即 ，解得： ，
∴ ，
∴ ．
故选C．
7. 如图，在矩形 中 ， ， ，以点B为圆心、 的长为半径画圆弧交对角线 于
点M，则 的长为（ ）
A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，由矩形的性质结合勾股定理可得，连接 ，作 于 ，则 ，
，求出 ，再由勾股定理求出 的长，即可得解．
【详解】解：∵在矩形 中 ， ， ，
∴ ，
如图，连接 ，作 于 ，
由题意可得： ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选：B．
8. 如图，在 中， ， ， 的半径为 ，圆心为点A．若在 内任取
一点，则这个点恰好在图中的阴影部分的概率为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了几何概率，扇形 的面积．先求得 和 ，再利用概率公式求解即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
设 ，
∴ ， ，
∴这个点恰好在图中的阴影部分的概率为 ，
故选：B．
9. 若 ， ，则下列判断错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质．先求得 ，得到 ，解得 ，再分别求
得 、 和 的取值范围即可得解．
【详解】解：∵ ，∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ；
∴ ，则 ，
即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ；
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，即 ，
观察四个选项，选项D符合题意，
故选：D．
10. 如图，在 中， ， ， ，点D 是边 上一动点，以 为腰作等腰
三角形 ，使 ， ，连接 ，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形、垂线段最短，在 上取一点
，使 ，证明 ，得出 ，推出当 最小时， 最小，而当
时， 最小，由勾股定理可得 ，得出 ，解直角三角形得出 ，即可得解．
【详解】解：在 上取一点 ，使 ，
，
∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当 最小时， 最小，而当 时， 最小，
∵在 中， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为 ，
故选：C．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11. 计算： ______．【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数的运算，求一个数的算术平方根，根据 ，再计算有理数加减即可．
【详解】原式 ．
故答案为：3．
12. 据说，正五边形的边与对角线之比 是最先被发现的无理数，比较大小： _________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比较无理数的大小、无理数的估算，求出 ，再估算出
，得出 ，即可得解．
详解】解： ，
【
∵ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
13. 已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值为_____________ ．
【答案】
【解析】【分析】本题考查了根与系数的关系．根据根与系数的关系得到 ， ，然后利用整体代入
的方法计算．
【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根，
∴ ， ，
所以 ．
故答案为： ．
14. 有一张矩形纸片 ，点 E 为边 上一点， ，点F在边 上．把该纸片沿 折
叠，点A，B的对应点分别为 ， ， 与 相交于点G，且 的延长线经过点D (如图所示)．
(1)若 ，则 ________________________． (用含 的代数式表示)
(2)若 ， ，则 __________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由矩形的性质可得 ，得出 ， ，据折叠的性质可
得 ， ，计算即可得解；
（2）设 ，则 ， ，结合题意可得 ，由折叠的性质可得 ，， ， ，证明 ，由相似三角形的性
质可得 ，求出 ，再由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：（1）∵四边形 是矩形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
根据折叠的性质可得： ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ；
（2）∵ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵把该纸片沿 折叠，点A，B的对应点分别为 ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，∵ ，
∴ ，
解得： （负值舍去），
∴ ，
故答案为： ．
三、本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根
据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解： ，
解不等式①得： ，
解不等式②得： ，
∴不等式组的解集为 ．
16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，O均在格点(网格线的交点)上．（1）以点O 为旋转中心，将 旋转 得到 ，画 出 ．
（2）连接 ， 计算四边形 的面积．
（3）在图中利用无刻度的直尺画出点D，使 点D 是 的中点．
【答案】（1）见解析 （2）10
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图-中心对称变换、四边形的面积、矩形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题
的关键．
（1）先根据中心对称的性质找出各点的对应点，然后顺次连接即可；
（2）根据割补法求解即可；
（3）根据网格图及矩形的性质即可找出所求点．
【小问1详解】
解：如图： 即为所求．
【小问2详解】
解：四边形 的面积为： ．
【小问3详解】
解：如图：点D即为所求．
17. 某工程队对某段道路进行升级改造，计划20天完成任务，为了尽量减少施工对交通的影响，工程队加快施工进度，每天实际修路的长度比原计划的2倍少180米，结果比原计划提前5天完成任务，求原计划
每天修路的长度以及该段道路的长度．
【答案】原计划每天修路270米，该段道路的长度为5400米．
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设原计划每天修路 米，则实际每天修路 米，根据
题意列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设原计划每天修路 米，则实际每天修路 米，
根据题意得 ，
解得 ，
∴ （米），
答：原计划每天修路270米，该段道路的长度为5400米．
18. 观察下列各式的规律
第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
┈┈
（1）根据上述规律，直接写出第4个等式：
（2）猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立．
【答案】（1）
（2） ，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算．（1）模仿题意，直接写出第4个等式 ，即可作答．
（2）结合（1）的结论，易得 ，再把等式左边进行变形整理，即可作答．
【小问1详解】
解：∵第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
∴第4个等式 ；
故答案为： ；
【小问2详解】
解：由（1）的规律得第 个等式： ，
证明如下：
左边
右边，
∴ 成立．19. 小鹏想测量学校内一棵古树的高度．如图，小鹏在B 处测得树顶A的仰角α为 ，然后他向前走了
到达C处，测得树顶A的仰角β为 ．已知 ，点B，C，O在同一条直线上，请你
帮助小鹏计算出古树的高度 ．(结果精确到 ，参考数据： ， ，
， )
【答案】古树的高度 约为 ．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设 ，在 中，求得 ，在
中，求得 ，根据 ，列式计算即可求解．
【详解】解：延长 交 于点F，则 ，
， ．设 ，
在 中， ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
由题意得 ，
∴ ，即 ，
解得 ，即 ．
∴ ．
答：古树的高度 约为 ．
20. 如图， 经过 的顶点B，与边 分别交于点E，F，与边 相切于点D，连接
，且 ．
（1）如图1，求证： ；
（2）如图2，连接 ，若 经过圆心O，且 ， ，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2） ．【解析】
【分析】（1）过点 作直径 ，连接 ，利用圆周角定理求得 ，利用切线的性
质求得 ，推出 ，证明 ，据此即可得证；
（2）由（1）的结果求得 ，利用等积法求得 ，利用勾股定理求得 ，同理证明
，求得 ， ， ，再证明 ，据此求解即可．
【小问1详解】
解：过点 作直径 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ；【小问2详解】
解：由（1） ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为 的直径，
∴ ，
∵ 为 的切线，
∴ ，
∴ ，
∵ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∵ ， ， ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确引出辅助线解
决问题是解题的关键．
21. 某校对九年级所有学生进行了安全知识测试(学生得分记为x， 满分为100分)，并从中抽取部分学生的
成绩进行统计，测试的结果分为四个等级：A. ；B． ；C． ；D．
．根据统计结果绘制的统计图如图所示(不完整)．请结合图中所给的信息解答下列问题．
（1）共抽取了____个学生的成绩进行统计，扇形统计图中D 等级的扇形所对应的圆心角的度数是______．
（2）请补全条形统计图．
（3）若A 等级的四个人中有一名是女同学，现从中选出两名同学进行表扬，求恰好选到女同学的概率．
【答案】（1）50，
（2）见解析 （3）
【解析】【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率．也考查了统计图．
（1）利用C等级的人数除以它所占的百分比即可得到总人数，然后用D等级的百分比乘以 得到D类
所对应的圆心角的度数；
（2）先计算出B等级的人数，然后补全条形统计图；
（3）由题意列出表格，然后根据概率公式，即可求出答案．
【小问1详解】
解：总人数 （人），
扇形统计图中D级所在的扇形的圆心角为 ，
故答案为：50， ；
【小问2详解】
解：B等级的人数 （人），
补全条形统计图如图，
；
【小问3详解】
解：列表如下，
男 男 男 女
男 男 ，男 男 ，男 男 ，女
男 男 ，男 男 ，男 男 ，女
男 男 ，男 男 ，男 男 ，女女 女，男 女，男 女，男
共有12种等可能结果，其中恰好选到女同学的有6种，
∴恰好选到女同学的概率是 ．
22. 如图1，在四边形 中， ，点 E 是 上一点，且 ．
（1）求证： ．
（2）若
①如图2，当 时，求证：
②如图3，当 ， ， ， 时，求 的长．
【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运
用是解此题的关键．
（1）证明 ，结合 即可得证；
（2） 证明：由相似三角形的性质可得 ，证明 为直角三角形，结合 ，
即可得证；②由相似三角形的性质可得 ， ，作 于 ， 于 ，求出，得到 ， ， ，由勾股定理可得
，设 ，则 ，由勾股定理可得 ， ，推出
， ，求出 ，即可得解．
【小问1详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【小问2详解】
证明：∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ 为直角三角形，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
②解：∵ ，∴ ，
∵ ， ， ，
∴ ， ，
如图，作 于 ， 于 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴设 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ， ，∴ ，
∴ ．
23. 如图，抛物线 与x轴交于A，B两点，与y 轴交于点C，点A的坐标为 ，直线
的解析式为 ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是抛物线上位于直线 下方的一个动点，过点M作 轴交 于点N，计算线段
的最大值；
（3）若点P是抛物线上一动点，则是否存在点P，使 ．若不存在，请说明理由；若存在，
请求出点P的坐标．
【答案】（1） ；
（2） 的最大值为 ；
（3）点P的坐标为 或 ．
【解析】
【分析】（1）先求得 ， ，设抛物线的解析式为 ，利用用待定系数法
求解即可；
（2）设 ， ，用 表示出 ，再利用二次函数的性质求解即可；（3）连接 ，作 于点 ，求得 是等腰直角三角形，利用三角函数再求得
， 设 ， 作 轴 于 点 ， 由 题 意 得 到
，再分别求解即可．
【小问1详解】
解：对于直线 ，
令 ，则 ，令 ，则 ，
∴ ， ，
设抛物线的解析式为 ，
将 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线的解析式为 ；
【小问2详解】
解：设 ， ，其中 ，
∴
，
∵ ，
∴当 时， 有最大值，最大值为 ；
【小问3详解】
解：连接 ，作 于点 ，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ 是等腰直角三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
设 ，作 轴于点 ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当 时，
整理得 ，解得 （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ；
当 时，
整理得 ，
解得 （舍去）或 ，
∴点P的坐标为 ；
综上，点P的坐标为 或 ．
【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、等腰直角三角形的判定和性质、锐角三角函数等
知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
