文档内容
第 01 讲 导数的概念及运算 (精讲+精练）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
高频考点一：导数的概念
高频考点二：导数的运算
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
②求切线方程（过型）
③已知切线方程（或斜率）求参数
④导数与函数图象
⑤共切点的公切线问题
⑥不同切点的公切线问题
⑦与切线有关的转化问题
第四部分：高考真题感悟
第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、平均变化率（1）变化率
事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值.
（2）平均变化率
一般地，函数 在区间 上的平均变化率为： .
（3）如何求函数的平均变化率
求函数的平均变化率通常用“两步”法：
①作差：求出 和
②作商：对所求得的差作商，即 .
2、导数的概念
（1）定义：函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数
在 处的导数,记作 .
（2）定义法求导数步骤：
① 求函数的增量： ；
② 求平均变化率： ；
③ 求极限，得导数： .
3、导数的几何意义
函数 在点 处的导数的几何意义，就是曲线 在点 处的切线的斜率 ，即
.
4、基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导数
( 为常数)
( )
( )( ， )
5、导数的运算法则
若 ， 存在，则有
（1）
（2）
（3）
6、复合函数求导
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间的关系为 ，即 对 的导数
等于 对 的导数与 对 的导数的乘积．
7、曲线的切线问题
（1）在型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：函数 在 或者 处的切线方程.
步骤：第一步：计算切点的纵坐标 （方法：把 代入原函数 中），切点 .
第二步：计算切线斜率 .
第三步：计算切线方程.切线过切点 ，切线斜率 。
根据直线的点斜式方程得到切线方程： .
（2）过型求切线方程
已知：函数 的解析式.计算：过点 （无论该点是否在 上）的切线方程.
步骤：第一步：设切点
第二步：计算切线斜率 ；计算切线斜率 ；
第三步：令： ，解出 ，代入 求斜率
第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程： .第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝f(x)在x＝x 处的导数值就是曲线y＝f(x)在x＝x 处的切线的斜率(
0 0
)
2．（2021·全国·高二课前预习）函数在x＝x 处的导数f′(x)是一个常数( )
0 0
3．（2021·全国·高二课前预习）函数y＝f(x)在x＝x 处的导数值与Δx的正、负无关.( )
0
4．（2021·全国·高二课前预习）设x＝x＋Δx，则Δx＝x－x，则Δx趋近于0时，x趋近于x，因此，f′(x)
0 0 0 0
＝ ＝ .( )
二、单选题
1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）函数 从1到2的平均变化率为（ ）
A． B．4 C． D．6
2．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·江西九江·二模）曲线 在 处的切线倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·安徽滁州·高二阶段练习）曲线 在 处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：导数的概念
1．（2022·河北邢台·高二阶段练习）已知函数 的图象如图所示， 是函数 的导函数，则
（ ）A． B．
C． D．
2．（2022·安徽·芜湖一中高二阶段练习）已知函数 在 处的导数为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二阶段练习（理））已知 ，则
________.
高频考点二：导数的运算
1．（多选）（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·重庆市青木关中学校高二阶段练习）已知函数 ，则 __________.
3．（2022·四川·攀枝花七中高二阶段练习（理））求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ．
4．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（理））求下列函数的导数．(1)f（x）=x3e－x；
(2)g（x）=cos2x+ln（2x）．
5．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高二期末（文））求下列函数的导数.
(1) ；
(2) .
高频考点三：导数的几何意义
①求切线方程（在型）
1．（2022·内蒙古·赤峰二中高二期末（文））曲线 在点 处的切线过点 ，则
实数 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2022·江西·临川一中高二期末（文））已知函数 ，则函数 在点 处的切线
方程为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津市滨海新区塘沽第一中学高二阶段练习）曲线 在 处的切线 与坐标轴围成的
三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南·一模）若曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2022·河南·模拟预测（文））函数 在 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·河南·沈丘县第一高级中学高二期末（文））已知函数 ，则曲线 在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
②求切线方程（过型）
1．（2022·江西·南昌大学附属中学高二期末（理））曲线y＝ln x在点M处的切线过原点，则该切线的斜
率为（ ）
A．1 B．e C．－1 D．
2．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 的一条切线经过点(8，3)，则此切线的斜率为（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
3．（2022·江苏·南京航空航天大学苏州附属中学高二阶段练习）已知函数 ，则过点
可作曲线 的切线的条数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2022·陕西安康·高三期末（文））曲线 过点 的切线方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·陕西·西北工业大学附属中学一模（理））已知 ，若过一点 可以作出该函数的
两条切线，则下列选项一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·江西·模拟预测（文））已知曲线 与过点 的直线 相切，则 的斜率为_______．
7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f(x)＝x＋ ，若曲线y＝f(x)存在两条过(1，0)点的切线，则a的
取值范围是________.
③已知切线方程（或斜率）求参数
1．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）如图，函数 的图像在点P处的切线方程是 ，
则 （ ）A．-2 B．2 C．3 D．无法确定
2．（2022·湖南·长沙县实验中学高二阶段练习）已知函数 在点 处的切线与直线
垂直，则 （ ）
A．－2 B．－1 C．2 D．3
3．（2022·吉林白山·一模（理））函数 的图象在点 处的切线斜率为1，则
（ ）
A．1 B． C． D．2
4．（2022·江苏省苏州实验中学高二阶段练习）已知直线 是曲线 的切线，则 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·四川省绵阳南山中学高二阶段练习（理））若曲线 存在垂直于y轴的切线，
则a的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高三专题练习）点A在直线y＝x上，点B在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
④导数与函数图象
1．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）函数 的图像如图所示，下列不等关系正确的是
（ ）A．
B．
C．
D．
2．（2022·全国·高二单元测试）已知函数 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图
象如图所示，则该函数的图象是 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·江苏·高二）如图，函数 的图象在点 处的切线方程是 ，则
（ ）.A．1 B．3 C． D．
4．（2021·全国·高二单元测试）如图所示， 是可导函数，直线l：y=kx+3是曲线y=f（x）在x=1处
的切线，令 ， 是h（x）的导函数，则 的值是（ ）
A．2 B．1 C．-1 D．-3
⑤共切点的公切线问题
1．（2021·江西·高三阶段练习（理））若曲线 与曲线 在公共点处有公共切线，则实数
（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·重庆·高二阶段练习）已知两曲线 和 都经过点 ，且在点 处有公
切线，则当 时， 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·云南·曲靖一中模拟预测（理））设曲线 和曲线 在它们的公共点
处有相同的切线，则 的值为（ ）A． B．
C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知函数 ， ，若 与
在公共点处的切线相同，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝alnx（a∈R）与函数g（x） 在公共点处有共同的切线，
则实数a的值为（ ）
A．4 B． C． D．e
⑥不同切点的公切线问题
1．（2022·河北省唐县第一中学高三阶段练习）已知函数 ， ，若直线
与函数 ， 的图象都相切，则 的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2022·重庆市育才中学高三阶段练习）若直线 （ ）为曲线 与曲线
的公切线，则l的纵截距 （ ）
A．0 B．1 C．e D．
3．（2022·湖北·安陆第一高中高二阶段练习）若存在过点（0，－2）的直线与曲线 和曲线
都相切，则实数a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．－2
4．（2022·湖南永州·二模）若函数 与 存在两条公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山西吕梁·高二期末）若直线 是曲线 的切线，也是曲线 的切线，则
__________．
6．（2022·全国·高三专题练习）若曲线 与曲线 有公切线，则 的取值范围是
_____________.
7．（2022·四川·棠湖中学高二阶段练习（文））已知 （ 为自然对数的成数）， ，
直线 是 与 的公切线，则直线 的方程为________.
⑦与切线有关的转化问题1．（2022·全国·高三专题练习）已知 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·江苏·泰州中学高二开学考试）若实数 ， ， ， 满足 ，则
的最小值为______.
3．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（文））已知 ， ， 的
最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2022·全国·高三专题练习）若 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知点 ， 分别在函数 与 的图象上运动，则
的最小值为（ ）
A．1 B．
C．2 D．
第四部分：高考真题感悟
1．（2021·全国·高考真题）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·全国·高考真题（理））若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
3．（2019·全国·高考真题（文））曲线y=2sinx+cosx在点(π，–1)处的切线方程为
A． B．
C． D．第五部分：第 01 讲 导数的概念及运算（精练）
一、单选题
1．（2022·重庆市长寿中学校高二阶段练习）设 是可导函数，且 ，则
（ ）
A． B． C．0 D．
2．（2022·河北·武安市第三中学高二阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·福建省连城县第一中学高二阶段练习）已知直线 与曲线 在点
处的切线互相垂直，则 的值为（ ）
A． B． C．-1 D．1
4．（2022·云南昆明·一模（文））已知直线 与曲线 相切，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线 在点 处的切线方程为 ，则
的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2022·河北邢台·高二阶段练习）若直线 与函数 ， 的图象分别相切于点
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））函数 存在与直线 平行
（或重合）的切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）已知函数 ，直线 是曲线 的一条切线，
则 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
二、填空题
9．（2022·北京交通大学附属中学高二阶段练习）设函数 ，则 =__；
10．（2022·四川宜宾·二模（理））已知 ，则曲线 在点 处的切线方程为
___________.
11．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数 为偶函数，且当x＞0时，
，则 ______.
12．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习（理））已知函数 ，则
______．
三、解答题
13．（2022·湖南·高二课时练习）若函数 ，求 的值．
14．（2022·江苏·高二课时练习）求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．15．（2022·北京·北理工附中高二阶段练习）已知函数
(1)若 在点 处切线的倾斜角为 ，求 的值；
16．（2022·辽宁·沈阳市第一二〇中学高二阶段练习）已知两曲线 和 都经过点
，且在点P处有公切线．
(1)求a，b，c的值；
(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；
