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第 02 讲 导数与函数的单调性
目录
01
模拟基础练 2
题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像............................................................................................2
题型二：求单调区间....................................................................................................................................................3
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围................................................................................4
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围............................................................................................6
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围....................................................................8
题型六：不含参数单调性讨论....................................................................................................................................9
题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析......................................................................................................10
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析..................................................................................................12
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析..................................................................................13
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析..............................................................................16
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析..........................................................................................17
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性..............................................................................................................20
02重难创新练.....................................................................................................................................21
03真题实战练.....................................................................................................................................34题型一：利用导函数与原函数的关系确定原函数图像
1．已知函数 的定义域为 且导函数为 ，如图是函数 的图像，则下列说法正确的是
（ ）
A．函数 的增区间是
B．函数 的减区间是
C． 是函数的极小值点
D． 是函数的极小值点
【答案】D
【解析】由图及题设，当 时， ；
当 ；
当 时， ；
当 时， ；
即函数 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
因此函数 在 时取得极小值，在 时取得极大值；
故A，B，C错，D正确.
故选：D.
2．（2024·高三·安徽亳州·期中）已知函数 的导函数是 ，则函数 的图象可能是
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题知 且不恒等于 ，又 在 上单调递减，在 上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
即当 时， 的值由小变大，再由大变小，
即函数 图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.
故选：B.
3．（2024·高三·辽宁抚顺·开学考试）如图为函数 的图象， 为函数 的导
函数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得函数 的单调增区间为 ， ，单调减区间为 ，
所以 时， ， 时， ，
由 ，可得 或 ，所以 .
故选：D.题型二：求单调区间
4．函数f（x）＝（x－1）ex－x2的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
【答案】 （－∞，0），（ln 2，＋∞） （0，ln 2）
【解析】解析：f（x）的定义域为R，f′（x）＝xex－2x＝x（ex－2），
令f′（x）＝0，得x＝0或x＝ln 2.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表，
（－∞， （ln 2，＋
x 0 （0，ln 2） ln 2
0） ∞）
f′（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 单调递减 单调递增
∴ f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（ln 2，＋∞），单调递减区间为（0，ln 2）.
5．（2024·高三·辽宁·期中）已知函数 的定义域为 ，导函数为 ，且
，则 的单调递增区间为 ．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，另 ，则 ，
所以 ，即 ，
又 ，则 ，
则 ，当 取等号，
所以 在 单调递增.
故答案为：
6．函数 的单调递减区间是 .
【答案】
【解析】易知 的定义域为 ，
则 ，令 ，解得 ；
即可知函数 在区间 上是单调递减的，
所以函数 的单调递减区间是 .故答案为：
题型三：已知含参函数在区间上的递增或递减，求参数范围
7．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数 在区间 上单调递增，则 的可能取值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】由题设 在区间 上单调递增，所以 恒成立，
所以 上 恒成立，即 恒成立，
而 在 上递增，故 .
所以A符合要求.
故选：A
8．若函数 在区间 单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若函数 在区间 单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立；
又函数 在 上递减，所以 恒成立，则
故 的取值范围是 .
故选：D.
9．设 在 上为增函数，则实数 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意， 在 上恒成立，即 恒成立，
而 ，故 .
故选：D
10．已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题可知， 在 上恒成立，
显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：D．
题型四：已知含参函数在区间上不单调，求参数范围
11．（2024·高三·福建三明·期中）已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不
必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，
令 ，
因为 在 上不单调，
在 上有变号零点，即 在 上有变号零点，
当 时， ，不成立；
当 时，只需 ，即 ，
解得 或 ，
所以 在 上不单调的充要条件是 或 ，
所以 在 上不单调的一个充分不必要条件是 ，
故选：B
12．（2024·高三·河南·期末）函数 在 上不单调，则实数 的取值范围为
（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 定义域为 ，
由题意，函数 在 上不单调，
所以 在 上有零点，
即方程 在 上有根，
即方程 在 上有根，
所以 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：C.
13．已知函数 在 上不单调，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可知， ，
若函数 在 上单调，则 或 ，
当 时， 恒成立，
当 ，转化为 ，或 ，
设 ，则 或 恒成立，
即 或 ，
，
所以 ，所以函数 在 上不单调，则 .
故选：B
14．已知 在 上不单调，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由于 ，可得 ，
可得函数 的极值点为： ， ，
由 在 上不单调，
可得 或 ，
解得 ．
故选：D．
题型五：已知含参函数在区间上存在增区间或减区间，求参数范围
15．函数 的一个单调递增区间为 ， ，则减区间是（ ）
A． B． C． D． ，
【答案】B
【解析】函数 ，则 ，
当 时， 恒成立，函数 在其定义域内是递增．
当 时，令 ，解得： ，
当 时， ，函数 是递增．
函数 的一个单调递增区间为 ，故得： ，解得： ，
在 时， ，函数 是递减．
故选：B．
16．已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
【答案】C【解析】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
17．（2024·高三·陕西汉中·期末）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】定义域为 ，而 ，由已知得函数 在区间 内存在
单调递增区间，则 在 上有解，化简得 ，令 ，由幂函数性质得 在
上单调递增， ，则 .
故答案为：
18．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上存在单调递减区间，则m的取值范
围是 ．
【答案】
【解析】因为 ，
所以 ，
则原问题等价于 在 上有解，即 在 上有解，即 在
上有解，
令 ，则 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，此时 ，
所以 ，则 ，所以 ，即 .
故答案为： .
题型六：不含参数单调性讨论
19．设函数 当 时，求 的单调区间；
【解析】当 时， 其定义域为
当 时， 当 时，
所以 的单调递减区间为 单调递增区间为
20．若函数 ，求 的单调区间.
【解析】由函数 ，可得其定义域为 ，
且 ，
令 ，可得 ，
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增．
综上， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
21．已知函数 （a为实数）．当 时，求函数 的单调区间；
【解析】函数 的定义域为 ， ．
当 时， ，所以当 时， ，
当 时， ，所以 的单调递减区间为 ，递增区间为 .
22．已知函数 ．求函数 的单调区间．
【解析】因 ，
由 可解得， 或 ；由 可解得， .
故函数 的单调递增区间为： 和 ；
函数 的单调递减区间为： .题型七：导函数为含参一次函数的单调性分析
23．（2024·山东聊城·统考三模）已知函数 ．
讨论 的单调性；
【解析】 ， ，
①当 ，即 时， ， 在区间 单调递增．
②当 ，即 时，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递增；在区间 单调递减．
③当 ，即 时，
若 ，则 ， 在区间 单调递增．
若 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在区间 单调递减；在区间 单调递增．
综上， 时， 在区间 单调递增；在区间 单调递减；
时， 在区间 单调递增
时， 在区间 单调递减、在区间 单调递增．
24．已知函数 ．求函数 的单调区间；
【解析】 的定义域为 ， ，
当 时， ，则 单调递减区间为 ，无单调递增区间；
当 时，令 ，解得： ；
当 时， ；当 时， ；
的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ；
综上所述： 时，则 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
时， 的单调递减区间为 ；单调递增区间为 ．25．（2024·河南·模拟预测）已知函数 .讨论 的单调性；
【解析】 的定义域为 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递增；
当 时，当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增.
题型八：导函数为含参准一次函数的单调性分析
26．（2024·北京·统考模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 的单调性；
【解析】（1） ，
，
，
当 时， ，
切点坐标为 ，
又 ， 切线斜率为 ，
曲线 在 处切线方程为：
.
（2） ， ，
， ，
， ，
①当 时， 成立，
的单调递减区间为 ，无单调递增区间.
②当 时，令 ，
所以当 时， ， 在 上单调递减
时， ， 在 上单调递增综上: 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
27．已知函数 .
讨论 的单调性；
【解析】∵ ，∴ ，
①当 时， 恒成立，此时 在 上单调递增；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 上单调递减，
当 时， ， 在区间 上单调递增.
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在区间 上单调递减，在
区间 上单调递增.
题型九：导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析
28．已知函数 .
(1)若函数 在定义域上单调递增，求实数 的取值范围;
(2)讨论函数 的单调性.
【解析】（1） 在 恒成立，即 ；
设 ，
所以 .
（2） 且定义域为 ，
，
令 ，解得 ， ，
若 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
若 ，当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增，
若 ， 在定义域内恒成立，函数 在 单调增，
若 ，
当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减；
当 时， ，函数 单调递增.
综上所述：
当 ， ，函数 单调递减； ， ，函数 单调递增.
当 ， ，函数 单调递增； ，函数 单调递减； ，函数
单调递增.
当 ，函数 在 单调递增.
当 ， ，函数 单调递增； ，函数 单调递减； ，函数 单调
递增.
29．已知函数 ，规范讨论函数 的单调性.
【解析】 定义域为 ，
，
令 ，得 或 ．
当 ，即 时，
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
当 ，即 时，
， ，函数 在 上单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
当 即 时，， ，函数 在 上单调递增；
当 即 时，
， ，函数 在 上单调递增；
， ，函数 在 上单调递减；
， ，函数 在 上单调递增；
综上：当 时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
当 时，单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时，单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ．
30．（2024·河北石家庄·三模）已知函数 ．讨论函数 的单调性；
【解析】 ，
当 时，当 时， 单调递增；当 时， 单调递
减．
当 时，当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；
当 时， 在 单调递增．
31．（山东省日照市2024届高三校际联考（三模）数学试题）已知函数 ，
.讨论函数 的单调性；
【解析】函数 的定义域为 ，求导得 ，
①当 时，有 ，此时函数 在区间 上单调递减；
②当 时，当 时， ，此时函数 在区间 上单调递增；
当 时， ，此时函数 在区间 上单调递减.
所以当 时，函数 在区间 上单调递减；
当 时，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
32．已知函数 .讨论 的单调性；【解析】由题意知函数 的定义域为 ， .
当 时， 恒成立， 在 上单调递减；
当 时，由 ，得 ，
由 ，得 .
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
题型十：导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析
33．已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.
【解析】函数 的定义域为 ，
又 ，
又 ，二次函数 ，开口向上，对称轴为 ，
当 时 ，所以关于 的方程 存在两个异号的实数根，
解得 ， ，
所以当 时 ，
当 时 ，
所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
34．已知函数 ， ，其中 ， ，讨论 的单调性.
【解析】因为 ， ， ，所以 ，定义域为 ，
则 ，
当 ，即 时 ，所以 在 上单调递减，
当 ，即 时，令 ，
解得 ， ，
所以当 时 ，
当 或 时 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
综上可得，当 时 在 上单调递减；
当 时 在 上单调递减，在 上单调递增，在
上单调递减.
35．已知函数 ， ．试讨论函数 的单调性．
【解析】 的定义域为 ，
， ，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时，令 ，可得 或 ，
因为 ，所以 舍去，
所以当 时， ，
则 在 上单调递减，所以当 时， ，
则 在 上单调递增，
综上，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
题型十一：导函数为含参准二次函数型的单调性分析
36．（2024·云南·模拟预测）已知函数 .讨论函数 的单调性.
【解析】由 ，
所以 .
①当 时，若 时， ，
所以 为 上的单调递减函数，
若 时， ，所以 为 上的单调递增函数，
②当 时， ，
若 时， ，
所以 为 上的单调递增函数，
若 时， ，
所以 为 上的单调递减函数，
若 时， ，所以 为 上的单调递增函数，
③当 时， ，
对 ，所以 为 上的单调递增函数，
④当 时， ，
若 时， ，所以 为 上的单调递增函数；
若 时， ，所以 为 上的单调递减函数；
若 ，所以 为 上的单调递增函数.37．已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
【解析】（1）当 时， ，得 ，
，则 ，
所以切线方程为： ，即 .
（2）由题 其定义域为R，可得 ，
当 时， ， ， 在 单调递减，
， ， 在 单调递增，
当 时，由 ，解得 ，
①当 ，即 时， ，则 在 上单调递增；
②当 ，即 时，在区间 上， ；
在区间 上， ；
所以 的单调增区间为 ；单调减区间为 ；
③当 ，即 时，
在区间 上， ，在区间 上， ，
所以 的单调增区间为 ；单调减区间为 .
38．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)讨论 的单调性，并求出 的极小值．
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
所以 ，
又知 ，所以 在点 处的切线方程为 ．
（2）因为 ，
令 ，
则 或 ，
所以当 时， ，
当 或 时， ．
综上， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
所以 ．
题型十二：分段分析法讨论函数的单调性
39．已知函数 ， 且 ．讨论 的单调性；
【解析】易知 ．
① ．
当 时， ，即 ，所以 在 上单调递增，当 时，
，即 ，所以 在 上单调递减；
② ．当 时， ，即 ，所以 在 上单调递减，当 时，
，即 ，所以 在 上单调递增；综上所述，当 时， 在
上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
40．（2024·全国·模拟预测）设 ，函数 .
讨论 在 的单调性；
【解析】因为 ，所以 在 有定义，
，设 ，则
.
当 时， ，所以 在 单调递增，而 ，所
以当 时 时 ，
因此 在 单调递减，在 单调递增；
41．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ．
若 ，讨论 在 上的单调性．
【解析】因为 ，所以
．
因为 ，所以 ，所以 ．
①若 ，当 时， ，所以 在 上单调递增；
②若 ，当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调
递减，在 上单调递增；
③若 ，当 时， ，所以 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递减，在
上单调递增；当 时， 在 上单调递减．1．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数 （ ）
A．是偶函数，且在区间 上单调递增 B．是偶函数，且在区间 上单调递㺂
C．是奇函数，且在区间 上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数
【答案】A
【解析】 的定义域为 ， ，
为偶函数；
当 时， 在区间 上单调递增.
故选：A.
2．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数 ， ，则下列命题不正确的是（ ）
A． 有且只有一个极值点 B． 在 上单调递增
C．存在实数 ，使得 D． 有最小值
【答案】C
【解析】由 得 ，令 ，
则函数 可以看作为函数 与函数 的复合函数，
因为 为增函数，所以 与 单调性、图象变换等基本一致， ，
由 得 ，列表如下：
－ 0 ＋由表知， 在 上单调递减，在 上单调递增，
在 时，取得极小值（最小值） ，
所以 在 上单调递增，即B正确；
在 时，取得唯一极值（极小值，也是最小值） ，即A、D都正确，C错误.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，即 的定义域为 ；
，
当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ．
故选：A．
4．（2024·全国·模拟预测）若对任意的 ， ，且 ， ，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对任意的 ， ，且 ， ，易知 ，
则 ，所以 ，
即 ．
令 ，则函数 在 上单调递减．
因为 ，由 ，可得 ，所以函数 的单调递减区间为 ，
所以 ，故 ，
即实数 的取值范围为 ．
故选：C．
5．已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 ，可得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，可得 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ，可得 ，
令 ，可得
当 时， ，所以 单调递增，
又因为 ，
所以 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
6．（2024·重庆·模拟预测）已知函数 在区间 单调递增，则 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B【解析】因为函数 在区间 单调递增，所以 在区间 上恒成立，即
，
令 ， ，则 ，所以 在 上单调递增，则 ，故
，即 的最大值为 ，
故选：B
7．（2024·江西宜春·三模）已知 ，且 ，若函数 在 上单调递减，则a的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由函数 ，可得
因为 在 上单调递减，所以 在 上恒成立，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，
则 ，解得 ，即实数 的取值范围是 ．
故选：D．
8．（2024·云南·模拟预测）已知函数 ，且 在区间 上单调递
增，则 的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．-1
【答案】C
【解析】由 在区间 上单调递增，
所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
对于使得 取得最小值时，直线 和函数 的图象相切，
又由 ，可得 ，则 ，
可得 在点 的切线为 ，即 ，
令 ，所以 ，令 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 在 上存在单调递减区间，则实数
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 ，可得 ，
因为函数 在 上存在单调递减区间，
可得 在 上有解，
即 在 上有解，
令 ，则 ，且 ，
当 时， ，所以 ；
当 时， ，所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，故 ，所以 .
故选：D．
10．（多选题）（2024·广东茂名·一模）若 是区间 上的单调函数，
则实数 的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．4
【答案】CD【解析】由题意， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 或 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递减，
若函数 在区间 上单调，
则 或 或 ，解得 或 或 ，
即 或 .
故选：CD.
11．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，其中e是自然对数的底数，
则下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 为奇函数
B．若 ，则 为偶函数
C．若 具备奇偶性，则 或
D．若 在 上单调递增，则a的取值范围为
【答案】BCD
【解析】若 ， ，则 ，解得 ，故 的定义域为 ，不关
于原点对称，即A错误；
若 ， ，定义域为 ，满足 ，
故 为偶函数，即B正确；
当 时，由B可知 为偶函数，
当 时，易知 为奇函数，即C正确；
由题知， ，若 在 上单调递增，则函数 在 上单调
递增，则 在 恒成立，即 在 恒成立，解得 ，即D正
确.
故选：BCD
12．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则（ ）A．当 时，函数 在 上单调
B．当 时，函数 在 上不单调
C．当 时，函数 在 上不单调
D．当 时，函数 在 上单调
【答案】BCD
【解析】 ， ，
令 ， ．
①当 时， ，
则当 时， ，
即 ，当 时，则 ，即 ，
所以此时函数 在 上不单调，故A错误；
②当 时， ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以此时函数 在 上不单调，故B正确；
③当 时， ，
所以当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，
所以此时函数 在 上不单调，
当 时， ，
则当 时， ，即 ，
当 时， ，即 ，所以 在 上不单调，
所以当 时， 在 上不单调，故C正确；
④当 时， ，此时 恒成立，
函数 在 上单调递减，故D正确．
故选：BCD．
13．（2024·江西·三模）已知函数 ，若 在其定义域上没有零点，则
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为 在 上连续，又 ，
所以要使 无零点，需使 在其定义域上恒成立．
于是原问题转化为 ，求 的取值范围．
，
，
，
，
，
令 ，所以 在 上单调递增，又由 式得
，所以 ，即 恒成立．
令 ，令 得 ．
因为当 时， ，所以 在 上单调递增；
因为当 时， ，所以 在 上单调递减，
所以 是 的极大值点，
，所以 ，即 ．
综上所述， 的取值范围为 ．
故答案为： .14．（2024·山东滨州·二模）若函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是
．
【答案】
【解析】函数 ，求导得 ，由 在 上单调递减，
得 ， ，即 ，令 ，
求导得 ，当 时， ，当 时， ，
因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，
则 ，解得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
15．（2024·四川·模拟预测）已知函数 在区间 上不单调，则m的
取值范围是 .
【答案】
【解析】由题意知 ，
因为 在区间 上不单调，即 在区间 有变号零点，又 ，所
以 ， ， ，
所以 在区间 内，
所以 ，解得 ，即m的取值范围是 .
故答案为： .
16．（2024·北京石景山·一模）设函数 ，
①若 有两个零点，则实数 的一个取值可以是 ；
②若 是 上的增函数，则实数 的取值范围是 ．
【答案】 （ 内的值都可以） 或【解析】①函数 在 上单调递增， ，
所以函数 在区间 上无零点，
则函数 在 上有2个零点，
即 ， ，则 ，或 或 ， ，
则 ，解得： ，
所以 的一个值是 ；
②函数 在 上单调递增，
则在 上， 也单调递增，且 ，
若函数在 在区间 单调递增，
则 ，即 在区间 上恒成立，
即 ，即 ，
不等式 ，解得： 或 ，
综上可知， 或 .
故答案为： （ 内的值都可以）； 或
17．（2024·辽宁葫芦岛·二模）设函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 内单调递增，求k的取值范围.
【解析】（1）当 ， ， ，
，
又 .
所以 ，
整理得： .
（2）由题意， 在 内导数非负，
即 在 上恒成立，令 ，
从而需满足： 且 ，所以 且 ，经检验符合题意，
所以k的取值范围是 .
18．（2024·重庆·三模）已知函数
(1)当 时，求 在点 处的切线方程；
(2)若 在区间 上单调递增，求实数a的取值范围.
【解析】（1）当 时， ，
，
则 ， ，
所以当 时， 在点 处的切线方程为
（2） ，
因为 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
所以 在区间 上恒成立，
因为当 时， ，
所以 ，即a的取值范围是
19．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求 的单调区间.
【解析】（1）当 时， ，
， ，
故曲线 在点 处的切线方程为 .
（2） ，其定义域为 ，则 ．
①当 ，即 时，令 ，得 ，令 ，得 ，
故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
②当 ，即 时，由 ，得 .
（ⅰ）当 ，即 时，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
（ⅱ）当 ，即 时， ，
故 的单调递增区间为 ，无单调递减区间.
（ⅲ）当 ，即 时，
令 ，可得 或 ；令 ，可得 ，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
综上，当 时， 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
当 时， 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；
当 时， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
20．已知函数 ， .
(1)当 时，试判断函数 是否存在零点，并说明理由；
(2)求函数 的单调区间.
【解析】（1）当 时 ， ，
则 ，所以当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以
，
所以 恒成立，则 不存在零点.
（2）函数 ， ，
则 ，
①当 时可知当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
②当 ，即 时，
可知当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
③当 ，即 时， 恒成立，
所以 在 上单调递增；
④当 ，即 时，
可知当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
综上可得：当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；
当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， ；
当 时 的单调递增区间为 ，无单调递减区间；当 时 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， .
1．（2021年浙江省高考数学试题）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；
对于B， ，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
故选：D.
2．（2021年全国新高考I卷数学试题）已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
【解析】(1) 的定义域为 ．由 得， ，
当 时， ；当 时 ；当 时， ．
故 在区间 内为增函数，在区间 内为减函数，
3．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知 且 ，函数 ．
（1）当 时，求 的单调区间；
【解析】（1）当 时， ,
令 得 ,当 时， ,当 时， ,
∴函数 在 上单调递增； 上单调递减；
4．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设函数 ，其中 .
（1）讨论 的单调性；
【解析】（1）函数的定义域为 ，
又 ，
因为 ，故 ，
当 时， ；当 时， ；
所以 的减区间为 ，增区间为 .
5．（2021年浙江省高考数学试题）设a，b为实数，且 ，函数
（1）求函数 的单调区间；
【解析】(1) ，
①若 ，则 ，所以 在 上单调递增；
②若 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增.
综上可得， 时， 的单调递增区间为 ,无减区间；时，函数的单调减区间为 ，单调增区间为 .
6．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
【解析】(1)由函数的解析式可得： ，
当 时，若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时，若 ，则 单调递增，
若 ，则 单调递减，
若 ，则 单调递增；
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）设函数 ．
(1)求 的单调区间；
【解析】（1） ，
当 ， ；当 ， ，
故 的减区间为 ， 的增区间为 .
8．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数 ．
(1)当 时，讨论 的单调性；
【解析】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
故 的减区间为 ，增区间为 .
9．（2022年新高考北京数学高考真题）已知函数 ．(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，讨论函数 在 上的单调性；
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即切点坐标为 ，
又 ，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）因为 ，
所以 ，
令 ，
则 ，
∴ 在 上单调递增，
∴
∴ 在 上恒成立，
∴ 在 上单调递增.
10．（2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ））已知函数 .
（1）当 时，讨论 的单调性；
【解析】（1）当 时， ， ，
令 ，解得 ，令 ，解得 ，
所以 的减区间为 ，增区间为 ；
11．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 ．
(1)求 的单调区间；
(2)若 时，证明：当 时， 恒成立．
【解析】（1） 定义域为 ，
当 时， ，故 在 上单调递减；当 时， 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减.
综上所述，当 时， 的单调递减区间为 ；
时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（2） ，且 时， ，
令 ，下证 即可.
，再令 ，则 ，
显然 在 上递增，则 ，
即 在 上递增，
故 ，即 在 上单调递增，
故 ，问题得证
