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专题 15.9 分式章末八大题型总结（拔尖篇）
【人教版】
【题型1 探究分式值为整数问题】..........................................................................................................................1
【题型2 探究利用分式性质求值问题】..................................................................................................................2
【题型3 探究分式的规律性问题】..........................................................................................................................2
【题型4 探究分式方程的正负解问题】..................................................................................................................3
【题型5 探究分式方程的整数解问题】..................................................................................................................4
【题型6 探究分式方程的无解问题】......................................................................................................................4
【题型7 探究分式方程的增根问题】......................................................................................................................5
【题型8 分式方程的应用】......................................................................................................................................5
【题型1 探究分式值为整数问题】
【例1】（2023上·山东烟台·八年级统考期中）请阅读下面材料，然后解决问题：在分式中，对于只含有
x+1 x2
一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如： ， ；
x-1 x-1
1 2x+1
当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如： ， ．我们知道，假分数可以
x+1 x2-1
12 10+2 2
化为带分数，例如： = =2+ ．类似的，假分式也可以化为“带分式”（整式与真分式和的形
5 5 5
x+1 x-1+1+1 2
式），例如： = =1+ ．
x-1 x-1 x-1
5x-1
(1)将分式 化为带分式；
x-2
5x-1
(2)在（1）问中，当x取哪些数值时，分式 的值也是整数；
x-2
(3)当 的值变化时，分式3x2+17的最大值为 ．
x
x2+34
【变式1-1】（2023下·江苏南京·八年级校联考期中）若分式 的值为整数，x的值也为整数，则x的最
x-1
小值为 ．
8x+2
【变式1-2】（2023上·重庆·八年级西南大学附中校考期中）若x是整数，则使分式 的值为整数的x
2x-1
值有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2 2 2x+18
【变式1-3】（2023下·河北保定·八年级统考期末）已知x为整数，且 - + 为正整数，则
x+3 x-3 x2-9
整数x= ．
【题型2 探究利用分式性质求值问题】
【例2】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知abc=1,a+b+c=2,a2+b2+c2=16，则
1 1 1
+ + 的值是
ab+3c+3 bc+3a+3 ca+3b+3
【变式2-1】（2023上·四川绵阳·八年级东辰国际学校校考期末）已知三个数，x，y，z满足
xy yz 4 zx 4
=-3, = , =- ，则y的值是
x+ y y+z 3 z+x 3
a+b+c a+b+d a+c+d b+c+d
【变式2-2】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）已知 = = = =m，则
d c b a
m的值 ．
【变式2-3】（2023·全国·八年级假期作业）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且
(x2-1)(y2-1) (y2-1)(z2-1) (z2-1)(x2-1) 1 1 1
+ + =4．求 + + 的值为 ．
xy yz zx xy yz zx
【题型3 探究分式的规律性问题】
【例3】（2023上·山东德州·八年级阶段练习）给定下面一列分式：x3，-x5 x7，-x9，．．．，（其
，
y y2 y3 y4
中x≠0）
（1）把任意一个分式除以前面一个分式，你发现了什么规律？
（2）根据你发现的规律，试写出给定的那列分式中的第7个分式．
【变式3-1】（2023下·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知S =a+1（a不取0和-1），
11 1 1
S = ，S = ，S = ，… 按此规律，请用含a的代数式表示S = ．
2 1-S 3 1-S 4 1-S 2022
1 2 3
【变式3-2】（2023上·湖南永州·八年级统考期中）探究题：观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1- ， = - ， = - ， = - ，……
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4 4×5 4 5
1
(1)计算：若n为正整数，猜想 =______；
n(n+1)
1 1 1 1
(2) + + +⋯⋯+ ；
x+2023 x(x+1) (x+1)(x+2) (x+2022)(x+2023)
1 1 1 1 1
(3)若|ab-2|+|b-1|=0，求 + + + +⋯+ 的
ab (a+1)(b+1) (a+2)(b+2) (a+3)(b+3) (a+21)(b+21)
值．
【变式3-3】（2023下·江苏扬州·八年级统考期末）定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即
A-B=AB，则称分式B是分式A“友好分式”．
1 1 1 1 1 1 1 1
如 与 ，因为 - = ， × = ，
x+1 x+2 x+1 x+2 (x+1)(x+2) x+1 x+2 (x+1)(x+2)
1 1
所以 是 的“友好分式”．
x+2 x+1
2 2
(1)分式 ______ 分式的“友好分式”（填“是”或“不是”）；
2y+5 2y+3
1
(2)小明在求分式 的“友好分式”时，用了以下方法：
x2+ y2
1 1 1
设 的“友好分式”为N，则 -N= ×N，
x2+ y2 x2+ y2 x2+ y2
∴( 1 ) 1 ，
+1 N=
x2+ y2 x2+ y2
1
∴N= ．
x2+ y2+1
x
请你仿照小明的方法求分式 的“友好分式”．
x-3
b
(3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式 的“友好分式”：______．
ax+b
n+2 m-1
②若 是 的“友好分式”，则m+n的值为______．
mx+m2+n mx+n2【题型4 探究分式方程的正负解问题】
【例4】（2023上·重庆·八年级重庆一中校考期中）若关于x的不等式组¿有且仅有3个整数解，且关于y的
2 ay-5
分式方程 - =1的解是正数，则符合条件的所有整数a的和为（ ）
3- y y-3
A．6 B．8 C．9 D．10
x-a 1
【变式4-1】（2023上·山东日照·八年级统考期末）已知关于x的分式方程 = 的解是非负数，那么a
x-2 2
的取值范围是（ ）
A．a≥1 B．a≤1 C．a≥1且a≠2 D．a≥1且a≠1
【变式4-2】（2023·云南·统考中考真题）若整数a使关于x的不等式组¿，有且只有45个整数解，且使关于
2y+a+2 60
y的方程 + =1的解为非正数，则a的值为（ ）
y+1 1+ y
A．-61或-58 B．-61或-59 C．-60或-59 D．-61或-60或-59
【变式4-3】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期末）若实数m使关于x的不等式组¿有
1 m-6
整数解且至多有4个整数解，且使关于y的分式方程 = -2的解为非负数，则满足条件的所有整
y-1 1- y
数m的和为 ．
【题型5 探究分式方程的整数解问题】
【例5】（2023下·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）若关于x的不等式组¿有解且至多有
1 my
5个整数解，且关于y的方程 +3= 的解为整数，则符合条件的整数m的个数为（ ）
y-1 1- y
A．0 B．1 C．2 D．3
2 m
【变式5-1】（2023上·河北邢台·八年级邢台市第七中学校考期末）若关于x的分式方程 = 有正整
x-1 x
数解，则整数m的值是（ ）
A．2或3 B．4或5 C．3或5 D．3或4
【变式5-2】（2023上·重庆渝北·八年级统考期末）若关于x的一元一次不等式组¿有且只有3个整数解，
4 2a
且关于y的分式方程 = -2的解是奇数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
y-3 3- y
A．-15 B．-10 C．-6 D．-4
【变式5-3】（2023下·重庆·八年级西南大学附中校考开学考试）若关于x的一元一次不等式组¿的解集恰2y-a 3 y-2
好有3个负整数解，且关于y的分式方程 - =1有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和
y-1 1- y
为（ ）
A．6 B．9 C．-1 D．2
【题型6 探究分式方程的无解问题】
【例6】（2023下·重庆·八年级重庆巴蜀中学校考开学考试）已知关于x的分式方程
mx 2 3
+ = 无解，且关于y的不等式组¿有且只有三个偶数解，则所有符合条件的整数m
(x-2)(x-6) x-2 x-6
的乘积为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
3 6 x+k
【变式6-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程 + - =0有解，则k满
x x-1 x(x-1)
足 ．
1 a 2(a+1)
【变式6-2】（2023·八年级单元测试）若以x为未知数的方程 - = 无解，则a= .
x-1 2-x x2-3x+2
x+a 5
【变式6-3】（2023下·八年级课时练习）已知关于x的分式方程 - =1.
x-2 x
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
【题型7 探究分式方程的增根问题】
x-1 2-m
【例7】（2023上·河北邯郸·八年级校考期中）若关于x的分式方程 = +2有增根，且关于y的不
x-3 3-x
等式m+n≤ y≤8中有2个整数解，则整数n是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
1 3x-m
【变式7-1】（2023下·江苏无锡·八年级统考期末）若关于x的方程 + =1有增根，则这个增根
x-2 2-x
为x= ，m的值是 ．
【变式7-2】（2023下·上海浦东新·八年级上海市张江集团中学校考阶段练习）如果在解关于x的方程
x+1 x kx+2
- = 时产生了增根，那么k的值为 ．
x+2 x-1 x2+x-2
ax+b
【变式7-3】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于x的方程 =b，其中a，b均为整数且
x-1a≠0．
(1)若方程有增根，则a，b满足怎样的数量关系？
(2)若x=a是方程的解，求b的值．
【题型8 分式方程的应用】
【例8】（2023·浙江温州·统考一模）1月份，甲、乙两商店从批发市场购进了相同单价的某种商品，甲商
店用1050元购进的商品数量比乙商店用1260元购进的数量少10件．
(1)求该商品的单价；
(2)2月份，两商店以单价a元/件（低于1月份单价）再次购进该商品，购进总价均不变．
①试比较两家商店两次购进该商品的平均单价的大小．
②已知a=15，甲商店1月份以每件30元的标价售出了一部分，剩余部分与2月份购进的商品一起售卖，2
月份第一次按标价9折售出一部分且未超过1月份售出数量的一半，第二次在第一次基础上再降价2元全
部售出，两个月的总利润为1050元，求甲商店1月份可能售出该商品的数量．
【变式8-1】（2023下·上海长宁·八年级上海市延安初级中学校考阶段练习）某厂家接到定制5400套防护
服任务，可以选择甲、乙两条流水线中的一条承担此任务，已知乙流水线每天比甲流水线多加工90套防护
服，甲流水线加工这批防护服所花的时间比乙流水线多10天，且甲、乙两条流水线每天的生产成本分别为
0.6万元与0.8万元，问厂家选择哪条流水线可使生产成本较小？为什么？
【变式8-2】（2023上·重庆江北·八年级统考期末）“巩固脱贫成果，长兴乡村经济”，大力发展高山生态
经济林是一重大举措．某村委会决定在红光、红旗、红锦三个村民小组种植高山脆李和晚熟香桃两种果树，
初步预算这三个村民小组各需两种果树之和的比为4∶5∶6，其中需要高山脆李树的棵数分别为4千棵，
3千棵和7千棵，并且红光、红旗两个村民小组所需晚熟香桃树之比为2∶3．在购买这两种果树时，高山
脆李树的价格比预算低了10%，晚熟香桃树的价格高了20%，晚熟香桃树购买数量减少了12.5%．结果发
现购买两种果树的总费用与预算总费用相等，则实际购买高山脆李树的总费用与实际购买晚熟香桃树的总
费用之比为 ．
【变式8-3】（2023上·湖北武汉·八年级统考期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工30
1
天完成总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，完成全部工程．
3
(1)求乙队单独施工多少天完成全部工程？
(2)若甲队工作4天，乙队工作3天共需支付工程劳务费42000元，甲队工作5天，乙队工作6天共需支付
工程劳务费75000元，求甲、乙两队工作一天的劳务费分别为多少元？
(3)在（2）的条件下，若两个工程队不同时施工，在总劳务费不超过28万元的情况下，则最快______天能完成总工程．
