文档内容
专题15.9 分式的加减（分层练习）（基础练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023上·广西桂林·八年级校考期中）计算 的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023下·四川成都·八年级统考期末）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022上·山东临沂·八年级统考期末）计算 的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·山东菏泽·八年级统考期中）计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·北京海淀·八年级北京市十一学校校考期中）若 ，则 的值是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．4
7．（2023上·山东淄博·八年级统考期中）计算 的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
8．（2022下·河北保定·八年级统考期末）数学课上，老师让计算 ．佳佳的解答如下：解：原式 ①
②
③
＝3④
对佳佳的每一步运算，依据错误的是（ ）
A．①：同分母分式的加减法法则 B．②：合并同类项法则
C．③：逆用乘法分配律 D．④：等式的基本性质
9．（2023上·北京昌平·八年级校联考期中）生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯
克的糖水里含有 克糖，如果在这杯糖水里再加入 克糖（加入的 克糖可以全部溶化），则糖水更甜
了（糖水浓度更大了），其中 ．根据这一现象，可以列出的不等式为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023上·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）当 分别取 ，0，1，
， ，…， ， ， 时，计算分式 的值，再将所得结果相加，其和等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022上·广东肇庆·八年级统考期末）计算 ；
12．（2023下·江苏苏州·八年级苏州工业园区星湾学校校考阶段练习）计算：
．
13．（2023上·湖南永州·八年级校考期中）化简 的结果是
14．（2019下·山东菏泽·八年级统考期末）已知 ，则
．15．（2023上·山东泰安·八年级校考阶段练习）化简 的结果等于 ．
16．（2023下·山东青岛·八年级校考阶段练习）临近五一劳动节，甲厂决定包租一辆车送员工返乡过
节，租金为 元，出发时，乙厂有 名同乡员工也随车返乡（车费自付），总人数达到 名，如果包车
租金不变，那么甲厂为员工支付的人均车费可比原来 元（用最简分式表示）．
17．（2021·贵州铜仁·校联考模拟预测）如果记y f（x），并且f（1）表示当x＝1时y的值，
即f（1） ；f（ ）表示当x 时y的值，即f（ ） ，……，那么f（1）+f
（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+……+f（2021）+f（ ）＝ ．
18．（2022·四川成都·统考二模）甲、乙两个商贩去同一批发商场购买了两次白糖，两次白糖的价格
有变化，甲每次购买200千克的白糖，乙每次购买1000元钱的白糖，若两次购买的白糖的价格分别为m
元/千克和n元/千克（m、n均为正整数，且 ），则甲两次购买白糖的平均单价与乙两次购买白糖的
平均单价的差是 （用含m、n的代数式表示）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023上·北京石景山·八年级校考期中）计算：
（1） ； （2） ．
20．（8分）（2023·全国·八年级专题练习）计算：
（1） ； （2） ．21．（10分）（2023下·甘肃张掖·八年级校考期中）计算下列各式
（1） ； （2） ．
22．（10分）（2023上·山东聊城·八年级统考期中）计算：
（1） （2）
23．（10分）（2023上·山东聊城·八年级统考期中）（1）化简 ；
（2）先化简，再求值： ，其中 ；
（3）先化简，再求值： ，再从 ， ，0，2中选择一个合适的数a
代入求值．
24．（12分）（2023上·河北邢台·八年级统考阶段练习）【阅读理解】在比较两个数或代数式的大小时，解决策略一般是利用“作差法”，即要比较代数式M，N的大小，只要作出差 ，若 ，
则 ；若 ，则 ；若 ，则 ．
【解决问题】
（1）若 ，则 ______0（填“ ”“ ”或“ ”）；
（2）已知 ， ，当 时，比较A与 的大小，并说明理由；
（3）小王和小张的加油习惯不同，小王每次加300元的油（油箱未加满），而小张每次都把油箱加满．
现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，设第一次油价为x元/升，第二次油价为y元/升
．
①小王两次加油的平均单价为______元/升，小张两次加油的平均单价为______元/升（用含x，y的代
数式表示，化简结果）；
②请通过计算判断，小王和小张的两种加油方式中，哪种平均单价更低？
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了分式的加减法．根据“同分母分式相加减，那么分母不变，把分子直接相加减”
即可求解．
解：
．
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了分式相减和平方差公式的运算法则，准确的计算是解决本题的关键．
根据分式相加减和平方差公式的运算法则求解即可．解： ，
故答案为：D
3．C
【分析】根据分式的基本性质和运算法则，逐一判断，即可解答．
解： ，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误，
故选：C．
【点拨】本题考查了分式的基本性质和运算法则，熟知该法则是解题的关键．
4．A
【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案．
解：原式 ．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则．
5．B
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
解：
，故选：B．
6．A
【分析】将已知等式化为 ，再将所求式子利用完全平方公式变形为 ，代入计算即
可．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故选A．
【点拨】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是灵活运用完全平方公式变形．
7．C
【分析】本题考查了分式的加减运算，先将分式通分，然后对分式进行加减运算．
解：
故选：C．
8．D
【分析】根据分式的加减法法则计算即可．
解：①：同分母分式的加减法法则，正确；
②：合并同类项法则，正确；
③：提公因式法，正确；
④：分式的基本性质，故错误；
故选：D．
【点拨】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．
9．A【分析】有一杯 克的糖水里含有 克糖，则糖占糖水的百分比是 ，设有一杯 克的糖水里含有 克
糖，如果在这杯糖水里再加入 克糖（加入的 克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是 ，则
，根据 得 ，即可得．
解：有一杯 克的糖水里含有 克糖，则糖占糖水的百分比是 ，
设有一杯 克的糖水里含有 克糖，如果在这杯糖水里再加入 克糖（加入的 克糖可以全部溶化），
则糖占糖水的百分比是 ，
∵
=
=
=
=
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，
,
故选：A．
【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算
顺序．
10．A【分析】先求出 和 时，分式 的值的和，再归纳出一般规律，由此即可得．
解：当 和 时，
当 时， ，
则所求的和为 ，
故选A．
【点拨】本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的运算法则和归纳出一般规律是解题关键．
11．1
【分析】本题考查了同分母分式相加减．根据“同分母分式相加减，分母不变，分子相加减”进行计
算即可．熟练掌握同分母分式相加减法则是解题的关键．
解： ，
故答案为：1．
12．
【分析】根据分式的加减混合运算求解即可．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解．13．
【分析】先通分，再用平方差公式计算，再合并同类项即可求出最终结果．
解：
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了分式的加减混合运算，平方差公式等知识，熟练掌握运算法则和公式是解题
的关键．
14．7
【分析】根据题意可进行通分，即
，然后问题可求解．
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
①+②得： ；
故答案为：7．
【点拨】本题主要考查分式的加法，熟练掌握分式的加法运算是解题的关键．15． /
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果．
解：
．
故答案为： ．
【点拨】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．
【分析】直接根据题意表示出平均每人要付的车费，进而结合分式的加减运算法则计算得出答案．
解：由题意可得： （元）；
故答案为： ．
【点拨】此题主要考查了最简分式，分式的加减，正确掌握分式的加减运算法则是解题关键．
17．2020.5
【分析】通过计算f（2），f（3），f（ ）的值得到f（2）+f（ ）=1，f（3）+f（ ）=1，从而得到
规律f（x）+f（ ）=1，然后利用此规律得到f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2021）+f（
）的值．
解：∵f（2）= = ，f（ ）= = ，
∴f（2）+f（ ）=1，∵f（3）= = ，f（ ）= = ，
∴f（3）+f（ ）=1，
同理可得f（2021）+f（ ）=1，
∴f（1）+f（2）+f（ ）+f（3）+f（ ）+…+f（2021）+f（ ）
= +1+1+…+1= +1×2020=2020.5．
故答案为：2020.5．
【点拨】本题考查了分式的加减法：同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分
子相加减．
18．
【分析】利用两次购买所花的总金额除以两次购买白糖的总重量即可得到两次购买的白糖的平均价格，
以此分别求出甲、乙二人两次购买白糖的平均价格再相减即可得解．
解：甲两次购买白糖的平均价格为： ，
乙两次购买白糖的平均价格为： ，
则甲乙两次购买白糖的平均价格之差为： ，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了列代数式的应用，准确理解题目的数量关系是解答本题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】本题考查了分式的加减运算；（1）进行同分母分式加减运算即可；
（2）先将异分母分式化为同分母分式，再进行同分母分式加减运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（1） ；（2）
【分析】（1）根据同分母分式的加减法运算法则进行运算即可．
（2）利用分式的除法法则进行运算再进行加减运算，注意要先因式分解．
（1）解：
；
（2）解：【点拨】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是正确使用分式的运算法则，如同分母分式相减，
分母不变，分子相减，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数．
21．（1） ；（2）
【分析】（1）根据分式的除法法则进行计算即可；
（2）先通分，再把分子相加减即可．
（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点拨】本题考查的是分式的除法及分式的加减法，熟知运算法则是解题的关键．
22．（1） ；（2） ．
【分析】本题考查的是分式的混合运算，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
（1）根据分式的加减法法则进行计算即可；
（2）先算括号里面的，再算乘除，最后算加减即可．
（1）解：（2）解：
23．（1） ；（2） ， ；（3） ， 时，原式
【分析】本题考查了分式的化简求值；
（1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解；
（2）先计算括号，同时将除法转化为乘法，然后化简，将字母的值代入，即可求解；
（3）先计算括号，同时将除法转化为乘法，然后化简，将字母的值代入，即可求解．
解：（1）
；
（2）解：原式，
当 时，原式 ．
（3）解：
，
当 时，原式没有意义，
则当 时，原式
24．（1） ；（2） ；（3）① ， ；②小王加油的平均单价更低．
【分析】（1）根据分式的基本性质化简得到 ，进而求解；
（2）化简 ，由 可得 ，进而求解；
（3）①根据加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量列代数式即可；
②用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等
于0则费用一样；
（1）解： ，
，
，
则 ，，
故答案为： ；
（2）解：∵ ， ，
∴
，
∵ ，∴ ，∴ ，即 ；
（3）解：①小王两次所加油的平均单价为：
元/升；
设小张油箱加满能加a升．
小张两次加油的平均单价为 元/升；
故答案为： ， ；
② ，
∵ ， ，
∴当 时， ，即 ，
两种加油方式的平均单价相同；
当 时，
即 ，即 ，
答：小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．
【点拨】本题考查分式的基本性质，解题关键是掌握分式的基本性质，通过题干方法作差求解．
