文档内容
第 01 讲 导数的概念及其意义、导数的运算
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点1：导数的概念和几何意义.............................................................................................................................4
知识点2：导数的运算..................................................................................................................................................4
解题方法总结.................................................................................................................................................................6
题型一：导数的定义及变化率问题............................................................................................................................6
题型二：导数的运算....................................................................................................................................................7
题型三：在点P处的切线............................................................................................................................................9
题型四：过点P的切线................................................................................................................................................9
题型五：公切线问题..................................................................................................................................................10
题型六：已知切线或切点求参数问题......................................................................................................................11
题型七：切线的条数问题..........................................................................................................................................12
题型八：利用导数的几何意义求最值问题..............................................................................................................13
题型九：牛顿迭代法..................................................................................................................................................14
题型十：切线平行、垂直、重合问题......................................................................................................................16
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题..............................................................................................................17
题型十二：切线斜率的取值范围问题......................................................................................................................18
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................18
05课本典例·高考素材........................................................................................................................19
06易错分析·答题模板........................................................................................................................20
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置..........................................................................................................20
答题模板：求曲线过点P的切线方程......................................................................................................................20考点要求 考题统计 考情分析
2024年甲卷第6题，5分
2024年I卷第13题，5分
高考对本节内容的考查相对稳定，考查
（1）导数的定义
2023年甲卷第8题，5分 内容、频率、题型、难度均变化不大．重点
（2）导数的运算
2022年I卷第15题，5分 考查导数的计算、四则运算法则的应用和求
（3）导数的几何意义
2021年甲卷第13题，5分 切线方程为主．
2021年I卷第7题，5分
复习目标：
（1）了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．
（2）通过函数图象，理解导数的几何意义．
（3）能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数的导数．知识点1：导数的概念和几何意义
1、概念
函数 在 处瞬时变化率是 ，我们称它为函数 在
处的导数，记作 或 ．
知识点诠释：
①增量 可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0． 的意义： 与0之间距离要多近有
多近，即 可以小于给定的任意小的正数；
②当 时， 在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在一个常数与
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时
刻的瞬间变化率，即 ．
2、几何意义
函数 在 处的导数 的几何意义即为函数 在点 处的切线的斜率．
3、物理意义
函数 在点 处的导数 是物体在 时刻的瞬时速度 ，即 ； 在点 的导数
是物体在 时刻的瞬时加速度 ，即 ．
【诊断自测】设 为R上的可导函数，且 ，则 ＝（ ）
A．2 B．－2 C．1 D．－1
知识点2：导数的运算
1、求导的基本公式
基本初等函数 导函数（ 为常数）
2、导数的四则运算法则
（1）函数和差求导法则： ；
（2）函数积的求导法则： ；
（3）函数商的求导法则： ，则 ．
3、复合函数求导数
复合函数 的导数和函数 ， 的导数间关系为 ：
【诊断自测】求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ．
解题方法总结
1、在点的切线方程切线方程 的计算：函数 在点 处的切线方程为
，抓住关键 ．
2、过点的切线方程
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．（ 有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3、高考常考的切线方程
（1） 是 的切线，同时 是 的切线，也是 和 的切线.
（2） 是 的切线， 是y=tan x的切线.
（3） 是 的切线， 是 的切线.
题型一：导数的定义及变化率问题
【典例1-1】若函数 在区间 内可导，且 ，则 的值为（ ）
A． B．
C． D．0
【典例1-2】如图1，现有一个底面直径为 高为 的圆锥容器，以 的速度向该容器内注入
溶液，随着时间 （单位： ）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，
则当 时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】利用导数的定义，对所给函数式经过拆项、添项等变形和导数定义结构一致，然后根据导数定义求解．
【变式1-1】（多选题）已知 ， 在R上连续且可导，且 ，下列关于导数与极限的说
法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】（2024·上海闵行·二模）某环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整
改、设企业的污水排放量 与时间t的关系为 ，用 的大小评价在 这段时间内
企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.则下列正
确的命题是（ ）
A．在 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
B．在 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业弱；
C．在 时刻，甲、乙两企业的污水排放都不达标；
D．甲企业在 ， ， 这三段时间中，在 的污水治理能力最强
题型二：导数的运算
【典例2-1】求下列函数的导数．
(1)
(2) ；
(3)
(4) .【典例2-2】已知函数 满足满足 ；求 的解析式
【方法技巧】
（1）对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求
导问题．
(2)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
【变式2-1】已知 ，则 .
【变式2-2】设函数 ，则 的值为（ ）
A．10 B．59 C． D．0
【变式2-3】在等比数列 中， ，若函数 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【变式2-4】若定义域都为R的函数 及其导函数 ，满足对任意实数x都有
，则 ．
【变式2-5】求下列函数的导数：
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ．题型三：在点P处的切线
【典例3-1】（湖南省2024届高三数学模拟试题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线为 ，则 在 轴上的截距
为（ ）
A． B． C．1 D．2
【方法技巧】
函数 在点 处的切线方程为 ，抓住关键 ．
【变式3-1】曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·山东济宁·三模）已知函数 为偶函数，当 时， ，则曲线
在点 处的切线方程是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·四川·三模）已知函数 ，则曲线 上一点 处
的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
题型四：过点P的切线
【典例4-1】已知函数 ，直线 过点 且与曲线 相切，则直线 的斜率为
（ ）
A．24 B． 或 C．45 D．0或45
【典例4-2】过点 可作 的斜率为1的切线，则实数 .
【方法技巧】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值．
【变式4-1】曲线 过点 的切线方程为 .【变式4-2】过点 作曲线 的切线，则切线方程为 .
【变式4-3】（2024·山西吕梁·二模）若曲线 在点 处的切线过原点 ，则
.
【变式4-4】（2024·高三·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数 ，过原点作曲线
的切线 ，则切线 的斜率为 ．
题型五：公切线问题
【典例5-1】若直线 与曲线 和曲线 同时相切，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】（2024·湖南长沙·一模）若直线 与曲线 相切，直线 与曲线
相切，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
【变式5-1】（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·辽宁大连·一模）斜率为 的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数
的值为（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【变式5-3】若存在直线 ，使得函数 和 对其公共定义域上的任意实数 都满足
，则称此直线 为 和 的“隔离直线”.已知函数 ，
，若 和 存在唯一的“隔离直线”，则 （ ）
A． B． C． D．
【变式5-4】（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若直线 是曲线 与曲线
的公切线，则 的方程为（ ）A． B．
C． D．
题型六：已知切线或切点求参数问题
【典例6-1】若直线 与曲线 相切，则实数 （ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为
（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
【变式6-1】已知直线 与函数 的图象相切，则 的最小值为 ．
【变式6-2】（2024·重庆·模拟预测）已知直线 与曲线 相切于点 ，若 ，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知函数 ，若曲线 在 处的切线方程为 ，则
．
【变式6-4】（2024·四川·模拟预测）已知 ，直线 与曲线 相切，则
．
【变式6-5】对给定的实数 ，总存在两个实数 ，使直线 与曲线 相切，则 的取值
范围为 .
题型七：切线的条数问题
【典例7-1】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．【典例7-2】若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
设切点为 ，则斜率 ，过切点的切线方程为： ，
又因为切线方程过点 ，所以 然后解出 的值，有多少个解对应有多少条
切线．
【变式7-1】（2024·内蒙古·三模）若过点 可以作曲线 的两条切线，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式7-2】若曲线 有且仅有一条过坐标原点的切线，则正数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-3】（2024·全国·二模）若曲线 有三条过点 的切线，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式7-4】已知 ，如果过点 可作曲线 的三条切线.则下列结论中正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【变式7-5】已知函数 ，若过点 可作两条直线与曲线 相切，则下列结论正
确的是（ ）．
A． B．
C． 的最大值为2 D．
【变式7-6】过点 作曲线 的两条切线，切点分别为 ， ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式7-7】（2024·高三·北京海淀·期末）若关于 的方程 （ 且 ）有实数解，则
的值可以为（ ）
A．10 B． C．2 D．题型八：利用导数的几何意义求最值问题
【典例8-1】（2024·四川眉山·三模）若关于 的不等式 恒成立，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
【典例8-2】（2024·四川凉山·二模）已知点 是曲线 上任意一点，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
【变式8-1】（2024·湖北·模拟预测）设 ，其中 ，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】（2024·辽宁辽阳·一模）设曲线 在点 处的切线为l，P为l上一点，Q为圆
上一点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-3】（2024·宁夏银川·一模）已知实数 满足 ， ，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-4】设点 在曲线 上，点 在曲线 上，则 的最小值为 .
【变式8-5】已知 ，则 的最小值为 .
【变式8-6】（2024·高三·山东青岛·期末）已知动点P，Q分别在圆 和曲线
上，则 的最小值为 ．
【变式8-7】（2024·河南·一模）记函数 的图象为 ，作 关于直线 的对称曲线得到 ，则曲线 上任意一点与曲线 上任意一点之间距离的最小值为 ．
【变式8-8】已知函数 的图象与函数 的图象关于某一条直线 对称，若 ， 分别为它们
图象上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-9】（2024·全国·模拟预测）若函数 ，点 是曲线 上任意一点，则点
到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-10】若点 ，则 两点间距离 的最小值为 .
【变式8-11】实数 满足 ， , 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【变式8-12】已知 是曲线 的一条切线，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型九：牛顿迭代法
【典例9-1】（2024·山东潍坊·三模）牛顿迭代法是求方程近似解的一种方法．如图，方程 的根
就是函数 的零点 ，取初始值 的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为
的图象在点 处的切线与 轴的交点的横坐标为 ，一直继续下去，得到 ，它
们越来越接近 ．设函数 ， ，用牛顿迭代法得到 ，则实数 （ ）
A．1 B． C． D．【典例9-2】已知函数 ，若曲线 在 处的切线交 轴于点 ，在 处的切线
交 轴于点 ，依次类推，曲线 在 处的切线交 轴于点 ，则
的值是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
数形结合处理.
【变式9-1】（2024·湖北咸宁·模拟预测）英国数学家牛顿在17世纪给出一种求方程近似根的方法一
Newton-Raphson method译为牛顿-拉夫森法.做法如下：设 是 的根，选取 作为 的初始近似值，
过点 做曲线 的切线 ： ，则 与 轴交点的横坐标为
，称 是 的一次近似值；重复以上过程，得 的近似值序列，其中
，称 是 的 次近似值.运用上述方法，并规定初始近似值不得超过零
点大小，则函数 的零点一次近似值为（ ）（精确到小数点后3位，参考数据：
）
A．2.207 B．2.208 C．2.205 D．2.204
【变式9-2】（2024·北京·模拟预测）给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列
为函数 的牛顿数列．已知 为 的牛顿数列， ，且
，数列 的前 项和为 ．则 （ ）
A． B．
C． D．
【变式9-3】英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天
中应用广泛，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列．如果函数 ，数
列 为牛顿数列，设 ，且 ， ．数列 的前 项和为 ，则 ．
【变式9-4】令函数 ，对抛物线 ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：在点 处
作抛物线的切线，交x轴于 ；在点 处作抛物线的切线，交x轴于 ；在点处作抛物线的切线，交x轴于 ；……由此能得到一个数列 随着n的不断增大， 会越来越接近
函数 的一个零在点 ，因此我们可以用这种方法求 零点 的近似值. 设 ，则
①
；②用二分法求方程 在区间 上的近似解，根据前4步结果比较，可以得到
牛顿切线法的求解速度 （快于､等于､慢于）二分法.
题型十：切线平行、垂直、重合问题
【典例10-1】（2024·高三·广东深圳·期末）已知曲线 与 轴交于点 ，设 经过原点的切线为 ，
设 上一点 横坐标为 ，若直线 ，则 所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【典例10-2】（2024·高三·广西·开学考试）曲线 在A点处的切线与直线 垂
直，则切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
利用导数的几何意义进行转化，再利用两直线平行或重合则斜率相等，两直线垂直则斜率之积为-1.
【变式10-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 的图象上存在不同的两点 ，使得
曲线 在点 处的切线都与直线 垂直，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-2】（2024·河北邢台·二模）已知函数 的图像在 ， 两个
不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-3】已知函数 ，过坐标原点O作曲线 的切线l，切点为A，
过A且与l垂直的直线 交x轴于点B，则 面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式10-4】已知函数 的图象上存在不同的两点 、 ，使得曲线 在这两
点处的切线重合，则点 的横坐标的取值范围可能是（ ）A． ， B． C． ， D．
题型十一：奇偶函数图像的切线斜率问题
【典例11-1】已知函数 ， 为 的导函数，则
.
【典例11-2】（2024·海南海口·二模）已知函数 的定义域为 ， 是偶函数，当 时，
，则曲线 在点 处的切线斜率为（ ）
A． B． C．2 D．
【方法技巧】
奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.
【变式11-1】（2024·北京·模拟预测）记函数 的最小正周期为T，
为 的导函数．若 ， 为偶函数，则 的最小值为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式11-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，
为 的导函数，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式11-3】（2024·全国·模拟预测）已知 为奇函数，且当 时， ，其中 为自然对数
的底数，则曲线 在点 处的切线方程为 ．
题型十二：切线斜率的取值范围问题
【典例12-1】过函数 图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角范围为（ ）
A． B．
C． D．【典例12-2】（2024·广东深圳·一模）已知函数 ，设曲线 在
点 处切线的斜率为 ，若 均不相等，且 ，则 的最小值为 ．
【方法技巧】
利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题.
【变式12-1】（2024·广东广州·模拟预测）已知直线 恒在曲线 的上方，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【变式12-2】点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为 ，则角 的范围是（ ）
A． B． C． D．
1．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在 处的切线与坐标轴围成的面积
为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数 ，则曲线 在 处的切线
与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
4．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点 B． 有三个零点C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
5．（2022年新高考全国I卷数学真题）若曲线 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是
．
1．在高台跳水运动中， 时运动员的重心相对于水面的高度（单位：m）是 ．高度
h关于时间t的导数是速度v，速度v关于时间t的导数 的物理意义是什么？试求v， 关于时间t的函数
解析式．
2．求下列函数的导数；
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3．设函数 的图象与x轴相交于点P，求曲线在点P处的切线方程．
4．已知函数 满足 ，求 在 的导数．5．设曲线 在点 处的切线与直线 垂直．求a的值．
易错点：求曲线的切线方程时忽视点的位置
易错分析：对导数的几何意义理解错误，切线的斜率 k是在切点处的导数．解题时，要注意所给的点
是否是切点．
答题模板：求曲线过点P的切线方程
1、模板解决思路
求函数图象过某点的切线方程，关键是求该函数的导函数，先设出切点坐标，再将切点的横坐标代入，
即可得切线的斜率，最后根据切点及斜率写出切线方程．
2、模板解决步骤
第一步：设切点 ，则以 为切点的切线方程为 ；
第二步：根据题意点 在切线上，点 在曲线 上，得到方程组
，从而求出切点 ，代入方程 ，即可求得切
线方程．
【易错题1】（2024·高三·山东德州·开学考试）过点 与曲线 相切的直线与 轴的交
点坐标为 .
【易错题2】已知曲线方程为 ，则过点 且与曲线相切的直线方程为 .
