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专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值
了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小
新课程考试要求
值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.
本节涉及所有的数学核心素养：逻辑推理（多例）、数学建模、直观想象（例2）、数
核心素养
学运算（多例）、数据分析等.
（1）以研究函数的单调性、单调区间等问题为主，根据函数的单调性确定参数的值或
范围，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合；
（2）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现；大题常与不等式、方程等结
合考查，综合性较强.其中研究函数的极值、最值，都绕不开研究函数的单调性．
考向预测 （3）以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与
方程、函数的图象等相结合，且有综合化更强的趋势．
（4）单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题
呈现；
（5）适度关注生活中的优化问题.
【知识清单】
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近
的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附
近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
2．函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单
调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
【考点分类剖析】
考点一 ：函数极值的辨析
【典例1】（2021·河北沧州市·高三三模）已知函数 ，则（ ）
A． 的单调递减区间为 B． 的极小值点为1C． 的极大值为 D． 的最小值为
【答案】C
【解析】
先对函数求导 ，令 ，再利用导数判断其单调性，而 ，从
而可求出 的单调区间和极值
【详解】
.令 ，则 ，
所以 在 上单调递减.因为 ，
所以当 时， ；当 时， .
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
故 的极大值点为1， 的极大值为
故选：C
y f x
【典例2】（2020·江苏高二期末）已知函数 的导函数的图象如图所示，下列结论中正确的是（
）
f x
A．1是函数 的极小值点
f x
3
B． 是函数 的极小值点
f x 3,1
C．函数 在区间 上单调递增f x
x0
D．函数 在 处切线的斜率小于零
【答案】BC
【解析】
x3 f(x)0 x3 f(x)�0
由图象得 时， ， 时， ，
f(x) (,3) (3,)
故 在 单调递减，在 单调递增，
x3 f(x)
故 是函数 的极小值点，
故选：BC．
【总结提升】
1.函数极值的辨析问题，特别是有关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象还是f ′(x)的
图象，若给的是f(x)的图象，应先找出f(x)的单调区间及极(最)值点，如果给的是f ′(x)的图象，应先找出f ′
(x)的正负区间及由正变负还是由负变正，然后结合题目特点分析求解．
2.f(x)在x＝x 处有极值时，一定有f ′(x)＝0，f(x)可能为极大值，也可能为极小值，应检验f(x)在x＝x 两
0 0 0 0
侧的符号后才可下结论；若f ′(x)＝0，则f(x)未必在x＝x 处取得极值，只有确认x1，则当x∈( ,1)时，f' (x)<0；
a
当x∈(1,+∞)时，f' (x)>0.
所以f(x)在x=1处取得极小值.
若a≤1，则当x∈(0,1)时，ax−1≤x−1<0，
所以f' (x)>0.
所以1不是f(x)的极小值点.
综上可知，a的取值范围是(1,+∞).
方法二：f' (x)=(ax−1)(x−1)ex.
（1）当a=0时，令f' (x)=0得x=1.
f' (x),f(x)随x的变化情况如下表：
x (−∞,1) 1 (1,+∞)
f' (x) + 0 −
f(x) ↗ 极大值 ↘∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
1
（2）当a>0时，令f' (x)=0得x = ,x =1.
1 a 2
①当x =x ，即a=1时，f' (x)=(x−1) 2ex≥0，
1 2
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，不合题意.
②当x >x ，即01时，f' (x),f(x)随x的变化情况如下表：
1 2
1 1 1
x (−∞, ) ( ,1) 1 (1,+∞)
a a a
f' (x) + 0 − 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
∴f(x)在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.
1
（3）当a<0时，令f' (x)=0得x = ,x =1.
1 a 2
f' (x),f(x)随x的变化情况如下表：
1 1 1
x (−∞, ) ( ,1) 1 (1,+∞)
a a a
f' (x) − 0 + 0 −
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘∴f(x)在x=1处取得极大值，不合题意.
综上所述，a的取值范围为(1,+∞).
【规律方法】
由函数极值（个数）求参数的值或范围．
讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式
求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点
两侧导数是否异号．
【变式探究】
1.（2021·四川成都市·石室中学高三一模（文））在 中， ， ， 分别为 ， ， 所对的
边，若函数 有极值点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
先求出 ，根据条件可得 有两个不同的实数根，从而其 ，得到 ，由
余弦定理得出 的范围，再由余弦的二倍角公式结合二次函数的性质可得答案.
【详解】
由 ，根据 有极值点，
则 有两个不同的实数根.
所以 ，即
由余弦定理可得 ，由 ，所以 ，由 ，则
所以 的范围是
故选：B
ax3 1
f x bx2 a2x
2.（2020·石嘴山市第三中学高二期末（理））设函数 3 3 在x1处取得极值为
ab
0，则 __________．
7
【答案】 9
【解析】
f(x)ax2 2bxa2
x 1
，因为函数y=f(x)在 处取得极值为0，所以
a 1 2 1
f(1) ba2 0, f(1)a2ba2 0 a ,b
3 3 ，解得a b1（舍）或 3 9 ，
2 1
a ,b
代入检验a b1时． f(x) x2 2x1(x1)2 0无极值．所以a b1（舍）． 3 9
7 7
符合题意．所以ab= 9 ．填 9 ．
【特别提醒】已知函数极值（个数），确定函数解析式中的参数时，注意以下两点：
(1)根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充分性．
考点五：利用导数求函数的最值【典例8】（2021·北京高考真题）已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处切线方程；
（2）若函数 在 处取得极值，求 的单调区间，以及最大值和最小值．
【答案】（1） ；（2）函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 ，
最大值为 ，最小值为 .
【解析】
（1）求出 、 的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；
（2）由 可求得实数 的值，然后利用导数分析函数 的单调性与极值，由此可得出结果.
【详解】
（1）当 时， ，则 ， ， ，
此时，曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ；
（2）因为 ，则 ，
由题意可得 ，解得 ，
故 ， ，列表如下：增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 的增区间为 、 ，单调递减区间为 .
当 时， ；当 时， .
所以， ， .
【规律方法】
求函数最值的四个步骤：第一步求函数的定义域；第二步求f′(x)，解方程f′(x)＝0；第三步列出关于x，
f(x)，f′(x)的变化表；第四步求极值、端点值，比较大小，确定最值．
特别警示：不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．
f(x)2x3ax2 2
【典例9】（2019·全国高考真题（文））已知函数 .
f(x)
（1）讨论 的单调性；
00,1>x>ln2;
f(x)<0,x0时， （ ）单调递增，故
fx ex 2x,x a
对 = ，
ex 2x, xa,
fx
当0ln2, 由(1)知fxf ln2,此时
fx
ax1, xa.
最小值为min fln2,fa,即fx
0
有最小值，综上a
0,
故答案为0 ；
