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培优 01 勾股定理的证明与应用 5 大题型
题型1 勾股定理的证明
勾股定理证明策略核心：面积剖分等量代换，相似比例代数变换，构造辅助图形转化
面积法：拼补/切割图形证面积相等（如赵爽弦图）；
代数法：列方程恒等变形（如总统证法）；
辅助线法：作垂线/平行线构造可证图形（如加菲尔德证法）．
1．（2025八年级下·全国·专题练习）下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理
的是（ ）
A． B．C． D．
2．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（24-25八年级下·湖北黄石·期中）【课本再现】
（1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两
直角边长分别为 ， ，斜边长为 ．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明
了勾股定理 ．请写出证明过程．
【类比迁移】
（2）现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2，若 ， ，则空白部分的面积为
___________．
【能力提升】
（3）如图3，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 的长为 ，请求出
的值．4．（24-25七年级下·全国·假期作业）图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两条直角边长分别
为 和 ，斜边长为 ；图②是以 为直角边长的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明
勾股定理的图形．
(1)画出所拼图形的示意图，写出它是什么图形．
(2)用这个图形验证勾股定理．
(3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能再用图中所给的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形
吗？请你画出拼后的示意图（无需证明）．
5．（24-25八年级下·四川广元·期末） “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．在世界数学史上
具有独特的贡献和地位．现用四个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角
边长分别为a，b（ ），斜边为c，请利用这个图形解决下列问题：(1)试说明：
(2)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3，求 的值．
6．（24-25八年级下·北京·阶段练习）勾股定理在数学和许多其他领域中都有广泛的应用，勾股定理是一
个非常重要的数学定理，它在几何学、三角学、物理学、工程学等多个领域都有重要的应用．关于勾股定
理的证明方法到现在为止有500多种，勾股定理常见的一些证明方法是：几何证明、代数证明、向量证明、
复数证明、面积证明等．
当两个全等的直角三角形按图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明．
(1)以下是利用图1证明勾股定理的过程，请将证明过程补充完整：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中 ，求证：
证明：连结 ，过点 作 边上的高 于点 ，则 ．
，
又 ______________________，
______________________
．
(2)请参照上述证明方法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中 ，求证： ．
题型2 以弦图为背景的计算问题以弦图为背景的勾股定理计算问题的解题策略
1. 识结构：确认弦图由4个全等Rt +1个中心方形构成；
2.
标边长：设直角边a、b，斜边c（△内/外方边长对应a+b或c）；
3. 列等式：外方面积=内方面积+4 面积 → ；
4. 导结论：化简得 a2+b2=c2； △
变式关键：非等腰直角三角形中，弦图结构仍成立，只需调整边长参数．
7．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，我国汉代赵爽在注解《周脾算经》时给出的由四个全等的直
角三角形可以围成一个大的正方形，人们称它为“赵爽弦图”．若一个直角三角形两直角边和为17，小正
方形的面积为49，则图中大正方形的边长为（ ）
A．17 B．15 C．13 D．10
8．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形
与四边形 都是正方形，连接 ，分别交 ， 于点 ， 已知 ，且
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
9．（2025·山西吕梁·三模）如图1，这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它
为“赵爽弦图”．此图案的示意图如图2，其中四边形 和四边形 都是正方形， ，， ， 是四个全等的直角三角形．若 ，则 的长为 ．
10．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，其中四边形
与四边形 都是正方形，若 ，则小正方形与大正方形的边长之比为（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·安徽芜湖·三模）清代数学家梅文鼎先生在《梅氏丛书辑要》中运用“出入相补”原理证明了
勾股定理 如图，已知 ，四边形 ， ， 均为正方形 若四边形 ，
的面积分别为 和 ，则 的长为 ．
12．（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如图，虚线部分是“赵爽弦图”示意图，它是由4个全等的直角三
角形围成的， ， ．现将4个直角三角形中边长为 的直角边分别向外延长1倍，得
到如图所示的“数学风车”，则这个“数学风车”的外围周长为 ．13．（24-25八年级下·福建福州·期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系
证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形(如图1)拼成的一个大正方形
和中间一个小正方形 (如图2)．设直角三角形的较短的直角边为 ，较长的直角边为 ，若 ，
较短直角边与较长直角边和为5，求正方形 的面积．
14．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）我国汉末三国时期赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示
的正方形 ，这个图称为“弦图”，并用它证明了勾股定理．
(1)如图1，在 中， ，设 ， ， ．利用该“弦图”证明：
；
(2)小雨同学通过学习发现：对“弦图”进行一定的变化可制作出如图2所示的“数学风车”．将图1中四
个直角三角形的直角边分别向外延长，使 ，连接 ， ， ， ，得到如图3所示的“数学风车”平面图．若 ， ， ，求“数学风车”外围轮廓
（图3中实线部分）的总长．
题型3 用勾股定理理解三角形
用勾股定理解三角形核心策略：
建代数方程求边，逆定理判直角，非直角时化斜为直构造辅助线；
求边长：遇直角三角形直接列 ；
解斜三角形：作高分割为双直角三角形，分段用勾股定理列方程．
15．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）已知一直角三角形的三边的平方和为200，则斜边长为（
）
A．20 B．15 C．10 D．400
16．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）在 中， ， ， ，则 的长
为（ ）
A．7 B．5 C．25 D．6
17．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）直角三角形的两条直角边的长分别为3，4，则斜边长为（
）
A．4 B．5 C．2 D．7
18．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，太原某公园安装的摄像头支架由水平、竖直方向的 ，
两段构成．若 ， ，则 段的长为 ．
19．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知 的两直角边分别是 ， ，则 的斜边
上的高是 ．
20．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在 中， 于点 ，且
，点 是 的中点，求 的长．21．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在 中， ．
(1)尺规作图：在 的 边上找到点 ，使得点 到 的距离等于 ；（请用圆规和无刻度直尺作
图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若 ， ，求 的长．
22．（2025·广西贵港·模拟预测）如图，在 中， ， ， ．
(1)尺规作图：作 的角平分线交 于点P；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)求AC的长．
题型4 以直角三角形的边为边的图形面积
以直角三角形的边为边的图形面积解题策略：
紧扣勾股关系，将图形面积拆解为直角三角形组合或转化为边平方表达式
核心步骤：
直接关联：若图形为正方形/半圆等，面积即 或 ，直接利用 关联；分割组合：将复杂图形分割成以 a,b,c 为边的直角三角形，用勾股表示各子面积再求和；
代数替换：遇含 的表达式，用 等勾股恒等式代换化简．
23．（23-24八年级上·广东河源·阶段练习）图中数字表示对应正方形的面积，则图中正方形
中边长为 的是（ ）
A． B． C． D．
24．（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）如图， 中， ，以 的三边为边向
外作正方形，其面积分别为 ， ， ，且 ， ．则 （ ）
A．5 B．12 C．15 D．16
25．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）有一个边长为1的正方形，经过一次“生长”后，在它
的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，
变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形
中所有的正方形的面积和是（ ）A．1 B．2026 C．2025 D．2024
26．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）如图，分别以等腰直角 的边 ， ， 为直径画半圆，
若当 时，则所得两个月形图案 和 的面积之和（图中阴影部分）的面积为
（ ）
A．2 B．3 C． D．
27．（24-25八年级下·广东惠州·期末）如图， ，两半圆的面积分别为132和108，则半圆m的
面积为（ ）
A．140 B． C． D．24
28．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）《周髀算经》是我国现存最早的一部数学典籍，此书有一段关于勾
股定理的记载：如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2
的方式放置在大正方形内，若直角三角形两直角边分别为4和3，则图2中阴影部分面积为（ ）A．5 B．6 C．7 D．无法计算
29．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图是勾股树衍生图案，它由若干个正方形和直角三角形构成，
分别表示其对应正方形的面积，若已知上方左右两端的两个正方形的面积分别是64，9，则
的值为（ ）
A．22 B．45 C．55 D．73
30．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在 中， ， ， ，以
为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是 ．
31．（24-25八年级下·广东潮州·期末）如图，分别以 的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记
为 ， ， ，若 ，则图中阴影部分的面积为 ．32．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在四边形 中， ，分别以四边形
的四条边为边向外作四个正方形，面积分别为a，b，c，d．若 ，求 的值．
33．（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）小林同学是一名剪纸爱好者，喜欢运用数学知识对自己的剪纸
作品进行分析思考，下面是他利用勾股定理对部分剪纸作品的数量关系进行探究思考的过程，请你帮助他
一起完成．
(1)如图①是以 的三条边为直径，向外作半圆，其面积分别记为 ， ， ，请写出 ， ，
之间的数量关系：___________；
(2)如图②是由四个全等的直角三角形紧密地拼接形成的飞镖状图案，测得外围轮廓（实线）的周长为 ，
，求该飞镖状图案的面积；
(3)如图③是由八个全等的直角三角形紧密地拼接形成的大正方形 ，记图中正方形 ，正方形
，正方形MNKT的面积分别为 ， ， 若 ，则 ___________．
．题型5 利用勾股定理构造图形解决问题
利用勾股定理构造图形解决问题的策略：
依题设构造直角三角形模型，化代数关系为几何直观，以图形性质反推结论
核心方法：
线段和/差最值：构造Rt 将折线转化为直线（如"将军饮马"问题）；
平方和等式证明：补弦图△或旋转图形，利用面积不变性；
代数式几何化：以线段长表代数式，用勾股建方程（如 作斜边）；
关键：通过辅助线将目标量嵌入直角三角形，激活勾股定理的应用条件．
34．（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点 处装一个由传感器控制的灯，点 离
地面 ，任何东西只要移至该灯 及 内范围，灯就自动发光．已知小军身高 ，若他走到 处
灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（ ）
A． B． C． D．2m
35．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）代数式 最小值为（ ）
A．4 B．5 C． D．
36．（2025·浙江·模拟预测）一无人超市门口的墙AB上装有一个传感器P，离地面高度 ，当人
从门外走到离该传感器 及 以内时，便自动发出语音“欢迎光临”．身高 的小明走到 处时，
恰好响起“欢迎光临”，则 的长为 ．37．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度 ，将它
往前推送 （水平距离 ）时，秋千的踏板离地的垂直高度 ，秋千的绳索始终拉得很直，
求绳索 的长度．
38．（24-25八年级下·新疆巴音郭楞·期末）某校在一次消防演练中，消防车按如图 所示的方式停放，
长的云梯 需要到 高的宿舍楼 的点 处，其示意图如图 ，已知云梯的底端 到地面的距
离 是 ，与宿舍楼 的水平距离 是 ．云梯的长度够吗？请说明理由．
39．（21-22七年级上·山东青岛·期末）如图，地面上放着一个小凳子（ 与地面平行），点A到墙面
（墙面与地面垂直）的距离为 ．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，
．(1)求小凳子的高度；
(2)在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若 ，木杆 比凳宽
长 ，求小凳子宽 和木杆 的长度．
40．（24-25八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观
的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具
体化，从而起到优化解题途径的目的．
(1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且 ，求 的最小值．通过分析，小明想
到了利用下面的构造解决此问题：如图， ， ， ， ， ，点E是线段
上的动点，且不与端点重合，连接 ， ，设 ， ．
①用含m的代数式表示 ________，用含n的代数式表示 ________；
②据此写出 的最小值是____________；
(2)【类比应用】根据上述的方法，求代数式 的最小值；
41．（24-25八年级下·广西桂林·期末）探究与理解
【思考探究】学习了勾股定理之后，小林同学对勾股定理的数学表达公式 （其中a，b为直角三
角形的两条直角边，c为直角三角形的斜边）与乘法公式 进行了“联合”探究．
【理解分析】小林这样认为：如果乘法公式中的a，b表示直角三角形的两条直角边的边长，那么根据以上两个公式可以得出另外的等式： ，在这个等式里，可以将 ， ， 分别看成三个量，
由此，只要知道其中任意两个量就可以求出第三个量．
【解决问题】
(1)在一直角三角形中：
①已知两条直角边长的和为7，积为12，求斜边的长；
②已知两条直角边的平方和为169，且两条直角边的乘积为60，求该直角三角形的周长；
(2)如图，在四边形 中，已知 ， ， ，求 的面积．
培优综合练
42．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点P是长方形 边上的一个动点，从A点开始，沿
顺时针运动一周，运动速度是 ．当运动时间t为 或 时，点P均满足
，则 的长为 ．
43．（24-25七年级上·重庆·开学考试）如图，正方形 的内部包含另一个正方形 ，线段 和
相交于点H，小正方形的对角线 ，且三角形 的面积比四边形 的面积大7平方厘米，
求正方形 的面积．44．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在 中， ， ，以点A为圆心，适
当长为半径画弧分别交 ， 于点M和点N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧交于点P，连接 并延长交 于点D．若 ，则线段 的长为 ．
45．（24-25八年级下·广东潮州·期末）综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间
完成了实地测量，测量结果如表．
课
测量游乐园秋千
题
成
组长：小明 组员：小华、小丽、小红
员
工
卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器
具
如图所示，平台B处荡秋千到平台C
测
量 处， 垂直于地面，点A为秋千静止
示 时在 上的位置．过平台B、C分别
意 作 的垂线段 、 ，即
图 于点D， 于点E．
测 测量项目 测量大小点B距地面高度
的长度
量
数
据
的长度
的大小
(1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千 的长度．
(2)请求出秋千离地面的最小距离．
46．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）数学兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图①，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围；
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 到E，使得 ，再连接 （或将
绕点D逆时针旋转 得到 ），把 ， ， 集中在 中，利用三角形的三边关
系可得 ，则 ；
(2)解决问题：受到（1）的启发，请你解决下面的问题：如图②，在 中，D是 边上的中点，
， 交 于点 ， 交 于点F，连接 ．
①求证： ；
②若 ，探索线段 ， ， 之间的等量关系，并加以证明．
47．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图 ，在 中， ， ，若点 是 延长
线上一点，连接 ，以 为腰作等腰直角 ，且 ， ，连接 ．
(1)求证： ≌ ；(2)试说明： ；
(3)如图 ，当点 是 延长线上一点改成点 是直线 上一点，其它条件不变，连接 ，若 ，
，请直接写出 的值．
48．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）对于一个图形，我们通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到
一个数学等式．例如，图1中的面积关系可以解释等式 ．
【探索发现】
（1）用四个长与宽分别为a，b的小长方形拼成如图2所示的图形．根据图中条件，猜想 与
之间的关系为： ________；
（2）用四个完全相同的直角三角形（其中直角边长分别为a，b，斜边长为c），拼出如图3所示的图形．
根据图中条件，猜想并验证a，b，c之间的等量关系．
【拓展提升】
（3）对于自然数中前n个奇数之和，可以通过计算正方形的面积得到．如图4，将边长为1的正方形的一
组邻边逐渐增加1，形成了一系列的新正方形．新正方形与原正方形相比，面积逐步增加3，5，7，…，
．请你依据这个图形补全下面的等式：
________．
（4）类似的，如图5，将边长为1的正方形的一组邻边逐渐增加2，3，4，…，n，形成了一系列的新正方
形．请你依据这个图形直接写出一个关于n的等式．49．（24-25八年级下·安徽亳州·期中）【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有
著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的 和
按如图1方式放置，其三边长分别为a，b，c， ．
(1)请你利用图1证明勾股定理；
(2)如图2，在 中， ， ， ，且 ，当 是钝角三角形时，猜想 与
之间的关系，并说明理由；
(3)已知 的三边为a，b，c（c为斜边），其中a，b满足 ，求 的
斜边的长．
50．（24-25九年级上·湖北襄阳·期中）已知正方形 和正方形 ．
(1)如图1，当正方形 在正方形 在外部时，连接 ， ．求证： ；(2)如图 2，将（1）中正方形 绕点C旋转，使点G落在 上．
①若 ， ，求线段 的长；
②如图 3，连接 ，若点O是 的中点，连接 ．判断线段 与 的数量关系并说明理由．
