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重难点突破 01 外接球
一．选择题（共28小题）
1．如图，在三棱锥 中， ， ，平面 平面
，则三棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：由于 ，故 是等腰直角三角形，取 的中点 ，
在 上取点 ，使得 ，
由面面垂直的性质可知 平面 ，
由于 是 的外心，故球心必然在 上，
注意到 ，故 点为三棱锥 外接球的球心，
由 可得 ，
且 ，故球的半径 ，球的表面积 ．
故选： ．
2．已知某正六棱柱的所有棱长均为2，则该正六棱柱的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：正六棱柱的所有棱长均为 2，故正六棱柱的外接球球心为上下底面中心连线
的中点，
故 ，表面积为 ．
故选： ．
3．三棱锥 为正三棱锥，且 ，侧棱 ，则三棱锥 的外接球
的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：因为三棱锥 为正三棱锥，且 ，侧棱 ，
所以 ， ，
即三棱锥 与正方体 有相同的外接球，
所以三棱锥 的外接球的半径 ，表面积为 ．
故选： ．4．已知圆锥的底面积为 ，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：设圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，
由题意得 ，所以 ，
因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以 ，得 ，
易知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，其外接圆的半径 即圆锥外接球的半径，
所以 ，
故该圆锥外接球的表面积 ．
故选： ．
5．正四棱锥 的高为3，体积为32，则其外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设正四棱锥底面的中心为 ，
正四棱锥 的高为 ，又球心 在正四棱锥的高上，
该正四棱锥的体积为 ， ， ，
设外接球的半径为 ，则在直角三角形 中，，解得 ．
球的表面积 ．
故选： ．
6．在三棱锥 中， 、 、 两两互相垂直， ， ， ，
则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，因为 ， ， 两两互相垂直，故将三棱锥 补成一
个长方体，
由题意知球心 为 中点，所以外接球半径 ，
因为 ， ， ，所以 ，
则 ，
所以球 的表面积为 ．
故选： ．
7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ，则三棱锥
的外接球半径为
A．3 B． C． D．6【解答】解：由正弦定理得， 外接圆直径为 ，得 ，
设球心到平面 的距离为 ，则 ，
三棱锥 的外接球半径为 ．
故选： ．
8．已知三棱锥 的四个顶点均在同一个球面上，底面 满足 ，
，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为
A． B． C． D．
【解答】解： ， ，则 是等腰直角三角形，
为 所在截面圆的直径，
取 的中点 ，则 为 外接圆圆心，
设三棱锥 外接球的球心为 ，
则 平面 ，
底面 的面积为定值，
当 ， ， 共线且 ， 位于截面同一侧时，棱锥的最大高度为 ，棱锥的体积最
大，
则三棱锥 的体积 ，解得 ，
设外接球的半径为 ，则 ， ，
在 中， ，
在 中， ，
由勾股定理得： ，解得 ．
外接球的体积 ．
故选： ．9．在三棱锥 中，已知 底面 ， ， ，则三棱锥
外接球的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：由 ， ，所以 的外接圆直径 ，
，
由于 底面 ， ，
所以外接球的半径 ，
，
所以外接球的体积 ．
故选： ．
10．已知在三棱锥 中， 平面 ， ， ，则
三棱锥 外接球表面积的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设 ， ， 为 的外心， 为三棱锥
外接球的球心，则 平面 ，又 平面 ，所以 ， 平面 ，
则 ，四边形 是直角梯形，设 ， ， ，
由 平面 ， 平面 ，得 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
，
令 ，则 ，
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以三棱锥 外接球表面积 ．
故选： ．
11．三棱锥 中， 与 均为边长为2的等边三角形，若平面 平面
，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，取 中点 ，连接 ， ，则 ， ，
平面 平面 ， 平面 ， 平面 ，
取 的外心 ， 的外心 ，
分别过 ， 作平面 与平面 的垂线交于点 ， 即为球心，连接 ，
由 与 均为边长为2的等边三角形，得 ， ，
，
三棱锥外接球的表面积 ．
故选： ．
12．在四棱锥 中，平面 平面 ，且 是边长为2的正三角形，
是正方形，则四棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：连接 交 于 ，球心 在底面的射影必为点 ，取 的中点 ，在
截面 中，连结 ，如图，
在等边 中， 的中点为 ，
所以 ，又平面 平面 ， 是交线，
所以 平面 ，且 ，设 ，外接球半径为 ，
则在正方形 中， ， ，
在 中， ，
而在截面 中， ，
由 可得：
解得 ，
所以 ，
所以 ．
故选： ．
13．三棱锥 中， 平面 ， 为直角三角形， ， ，
，则三棱锥 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， ，又因为 ，
所以三棱锥的外接球，就是以 ， ， 为长宽高的长方体的外接球，
外接球的直径等于长方体的对角线，
即 ，所以外接球的表面积为 ，
故选： ．14．已知直三棱柱 中，底面边长分别为 、 、3，高 ，则该三
棱柱的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【 解 答 】 解 ： 不 妨 设 ， 由 余 弦 定 理 可 得
，
且 ，则 ，
所以 的外接圆半径 ，
可得该三棱柱的外接球的半径 ，
所以该三棱柱的外接球的表面积为 ．
故选： ．
15．三棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ， ， 为
中点且 ，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：棱锥 中， 是边长为 的正三角形， ， ，
为 中点且 ，
由题设易得 ，则 ，即 ，
又 ， ， ， 面 ，则 面 ，
若 的中心为 ，则外接球球心 在过 垂直于面 的直线上，又 ，结合线面垂直模型知：外接球的半径 ，
所以，外接球表面积为 ．
故选： ．
16．已知三棱锥 中， ， 底面 ， ， ，则该
三棱锥的外接球的体积为
A． B． C． D．
【解答】解：取 的中点 ，连结 、
平面 ， 平面 ， ，
又 ， ， 平面 ，
平面 ， ，
是 的斜边上的中线， ．
同理可得： 中， ．
，可得 、 、 、 四点在以 为球心的球面上．
中， 且 ，可得 ，
由此可得球 的半径 ， ，
故选： ．17．如图，正方体中的棱长为2， ， 分别为所在棱的中点，则四棱锥 的外接
球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，建立空间直角坐标系，
则 ，2， ， ，2， ， ，0， ， ，0， ，设球心为 ， ， ，外
接球半径为 ，
于是 ，解得 ，
即球心 ，球半径 ，显然 ，
符合题意，所以四棱锥 的外接球半径 ，表面积 ．
故选： ．
18．已知 是边长为4的等边三角形，将它沿中线 折起得四面体 ，使得
此时 ，则四面体 的外接球表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，折叠后的四面体中， ， ，且 ，
， ，
设 的外心为 ，外接圆半径 ，过 作 平面 ，过 作 ，则四
边形 为矩形，
，
中， ， ，故 ，
由正弦定理可得， ，即 ，则可得外接球球心 在 的中点，
，
四面体 的外接球表面积 ．
故选： ．19．在三棱锥 ，平面 平面 ， 是以 为斜边的等腰直角三角形，
为等边三角形， ，则该三棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：取 中点 ，连接 根据题意，因为 为等腰直角三角形，
所以 的外心为斜边 的中点 ， ，
又因为 ，所以 的外接圆半径为2，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
为等边三角形，所以 ，
所以 平面 ，
所以外接球球心 在直线 上，
且 ， 为 的外心，
因为 为等边三角形，所以 ，
所以由正弦定理有 ，
所以三棱锥的外接球的表面积为 ．
故选： ．
20．四棱柱 中，侧棱 底面 ， ，底面 中满
足 ， ， ， 为 上的动点， 为四棱锥 外
接球的球心，则直线 与 所成角的正弦值的最小值为
A． B． C． D．
【解答】解：因为在四棱柱 中，侧棱 底面 ，
所以四棱柱 为直四棱柱，所以 ， ，
因为 ，所以 ， ， 两两垂直，
所以以 为原点，以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
因为 ， ， ，
所以 ，0， ， ，2， ， ，2， ， ，0， ，，0， ， ，0， ， ，2， ， ，2， ，
球心 在平面 的投影坐标为 ，则设球心 ，
因为 ，所以 ，
解得 ，所以 ，
设 ，0， ， ， ，则 ，0， ， ，
所以 ，
设 ， 则
所以当 ，即 时， 有最大值 ，
此时直线 与 所成的角最小，则其对应的正弦值也最小，正弦值为 ．
故选： ．21．古代数学名著《九章算术 商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱
锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．若四棱锥 为阳马，
平面 ， ， ，则此“阳马”外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：因为四棱锥 为阳马， 平面 ， ， ，
将四棱锥 补成以 ， ， 为邻边的长方体，
则长方体体对角线即为外接球的直径，
所以 ，
设外接球的半径为 ，
所以 ，
故 ，
所以 ，
故选： ．
22．如图，已知直三棱柱 的底面是等腰直角三角形， ， ，
点 在上底面 （包括边界）上运动，则三棱锥 外接球表面积的最大值为A． B． C． D．
【解答】解：因为 为等腰直角三角形， ，
所以 的外接圆的圆心为 的中点 ，且 ，
连接 与 的中点 ，则 ，所以 平面 ，
设球的球心为 ，由球的截面性质可得 在 上，
设 ， ，半径为 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以三棱锥 的外接球表面积的最大值为 ．故选： ．
23．在 中， ， 为 的中点．将 沿 进行旋转，得到三
棱锥 ，当二面角 为 时， 的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意 ， ，
二面角 的平面角是 ， ，
又 ，
由余弦定理可得 ，
平面 ，将三棱锥 补形成直三棱柱 ，
三棱锥的外接球球心就是直三棱柱的外接球球心，
取 外接圆的圆心 ， 外接圆的圆心 ，
根据对称性知直三棱柱的外接球球心 是 的中点，， ，
又 的外接圆的半径 ， ，
在 中， ，
即 ， 三棱锥 的外接球的表面积为 ．
故选： ．
24．已知四棱锥 的体积为 ，侧棱 底面 ，且四边形 是边长为
2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意四棱锥 的体积为 ，侧棱 底面 ，且四边形
是边长为2的正方形，
得 ，
，
设 为 的中点， 为 ， 的交点，连接 ， ，
则 为 的中点，故 ，且
因为 底面 ，故 平面 ，
平面 ，故 ，
而四边形 是边长为2的正方形，故 ，故 ，则 ，
又 ，故 ，
同理求得 ，即 ，
故 为四棱锥 的外接球的球心，则半径为 ，
则该四棱锥的外接球的表面积为 ．
故选： ．
25．我校开设通用技术选修课程，在学习完通用技术的必修模块——技术与设计后，老师
要求学生使用硬纸片制作一个表面积为 的圆柱（硬纸片的厚度不记），记该圆柱的底
面半径为 ，则当圆柱的外接球表面积取得最小值时，
A． B． C． D．
【解答】解：设圆柱的高为 ，
由题意可得 ，
所以 ，
设圆柱的外接球为 ，当 最小时，圆柱的外接球表面积最小，
由题意可得
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以当圆柱的外接球表面积取得最小值时， ．
故选： ．26．已知底面为正方形的四棱锥 的五个顶点在同一球面上， ， ，
，则四棱锥 外接球的表面积为
A． B． C． D．
【解答】解：
由题意知 ， ，又 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，而 平面 ，则平面 平面 ．
由条件知 ，所以 ．
如图，取 的中点 ，连接 ， 交于点 ，则 是 的外心， 为正方形
的中心，
过点 作平面 的垂线，则点 在该垂线上，所以 为四棱锥 外接球的球心．
由于 ，
所以四棱锥 外接球的表面积为 ．
故选： ．
27．在四面体 中， 底面 ， ， ，点 为三角形
的重心，若四面体 的外接球的表面积为 ，则
A． B．2 C． D．
【解答】解：设 的中点为 ，
点 是 的重心， ，
设 的外心为 ，由题意点 在 上，令 ，则 ，
即 ，解得 ，
平面 ，
四面体 的外接球的半径 满足 ，
由题意得， ，
解得 ，
．
故选： ．
28 ． 已 三 棱 锥 中 ， 是 以 角 为 直 角 的 直 角 三 角 形 ，
为 的外接圆的圆心， ，那么三棱
锥 外接球的半径为
A． B． C． D．
【解答】解：如图，设三棱锥 外接球的球心为 ，半径为 ，连接 ， ， ， ，
是以角 为直角的直角三角形， 为圆 的直径，
则 ，
， ， ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，得 ，
则 ，得 ， ，
， 为 的中点， ，
， ， 平面 ， 平面 ，
三棱锥 外接球的球心 在直线 上，得 ，
在 中，由 ，得 ，解得 ，
三棱锥 外接球的半径为 ．
故选： ．
二．填空题（共2小题）29．在三棱柱 中，已知 平面 ， ， ， ，
则该三棱柱外接球的表面积为 ．
【解答】解：设△ ，与 的外心分别为 ， ，
则线段 的中点 为外接球的球心．
设 外接圆的半径与该三棱柱外接球的半径分别为 ， ，
由正弦定理知 ，解得 ，
所以： ，
从而三棱柱 外接球的表面积 ．
故答案为： ．
30．在三棱锥 中， 是等边三角形， 平面 ， ， ，
是 的中点，球 为三棱锥 的外接球， 是球 上的一点，则三棱锥
体积的最大值是 ．
【解答】解：因为 是等边三角形， 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，又 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
因为 平面 ，且 平面 ，
所以 ，所以 的中点到点 ， ， ， 的距离相等，
所以三棱锥 外接球的球心为 的中点 ．
设三棱锥 外接球的半径为 ，
则 ，解得 ，
因为 外接圆的圆心为 的中点，
设为 ，连接 ，因为 ， 分别为 ， 的中点，
则 ，故 平面 ，如图．
则有 ，即 到平面 的距离为 ，
因此 到平面 距离的最大值为 ，
又 ，
所以三棱锥 体积的最大值是 ．
故答案为： ．
