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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错09 图形的平移与旋转易错
【典型例题】
1．（2020·枣阳市吴店镇清潭第一中学九年级期中）已知：如图，等边△AOB的边长为4，点C为OA中点．
（1）如图1，将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，设旋转角为α（0°＜α≤360°）．则此时α＝ ；
此时△COD是 三角形（填特殊三角形的名称）．
（2）如图2，固定等边△AOB不动，将（1）中得到的△OCD绕点O逆时针旋转，连接AC，BD，设旋转角为β（0°＜
β≤360°）．
①求证：AC＝BD；
②当OC∥AB时，直接写出旋转角β的度数为__________；
③当A、C、D三点共线时，请求出线段BD的长．
【答案】
解：（1）如图1，∵△AOB是等边三角形，
∴AO＝BO＝AB，∠AOB＝60°，
∵将OC绕点O顺时针旋转，使点C落到OB边的点D处，
∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°＝α，
∴△COD是等边三角形，故答案为：60°，等边；
（2）①∵△COD是等边三角形，
∴OC＝OD，∠COD＝∠AOB＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
又∵AO＝BO，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
②如图2，当点C在点O的上方时，若OC∥AB，
∴∠AOC＝∠OAB＝60°＝β，
如图2﹣1，当点C在点O的下方时，
若OC∥AB，
∴∠ABO＝∠BOC＝60°，
∴β＝360°﹣60°﹣60＝240°，
综上所述：β＝60°或240°；
故答案为：60°或240°；
③如图3，当点D在线段AC上时，过点O作OE⊥AC于E，∵等边△AOB的边长为4，点C为OA中点，
∴AO＝AB＝OB＝4，OC＝OD＝CD＝2，
∵∠AOB＝∠COD＝60°，
∴∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD，
∵OE⊥CD，OC＝OD，
∴CE＝DE＝1，
∴OE＝ ＝ ，
∴AE＝ ＝ ，
∴AC＝AE+CE＝1+ ＝BD；
如图4，当点C在线段AD上时，过点O作OF⊥AD于F，同理可求DF＝CF＝1，AF＝ ，
∴AC＝BD＝ ﹣1，
综上所述：BD＝ +1或 ﹣1．
【点睛】
本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用分类讨
论思想解决问题是本题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·山东烟台市·八年级期末）如图，将△ABC向右平移8个单位长度得到△DEF，且点B，E，C，F在同一条直线上，
若EC＝4，则BC的长度是（ ）A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【点睛】
本题考查了平移的性质，根据对应点间的距离等于平移的长度得到BC=EF是解题的关键．
2．（2021·陕西安康市·九年级期末）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转到△ADE的位置，且点D恰好在AC边上，则下列结
论不一定成立的是（ ）
A． B． C．AC平分 D．
【答案】D
【点睛】
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）如图，将△ABC沿AC方向平移 得到△DEF，若△ABC的周长为 ，则
四边形 的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点睛】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且
相等，对应角相等．得到CF=BE，EF=BC是解题的关键．
4．（2021·河南漯河市·九年级期末）如图，将△ABC绕点P顺时针旋转 得到△A'B'C'，则点P的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【点睛】
本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握确定旋转中心的方法．
二、填空题
5．（2021·湖北宜昌市·九年级期末）如图，将 绕直角顶点A顺时针旋转一定角度得到 ，点B的对应
点D恰好落在BC边上．若 ，则CD的长为______．
【答案】1
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形
全等．
6．（2020·濮阳市第一中学九年级月考）如图，将Rt△ABC沿CB的方向平移BE距离后得到Rt△DEF，已知AG=2，BE=4，
DE=8，则阴影部分的面积是______．
【答案】28
【点睛】
本题考查平移与图形的面积，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
7．（2020·三门峡市外国语中学九年级期中）如图，在 中， ， ， ，将
绕着点B旋转得到 ，且点A的对应点 落在BC的延长线上，连接 ，则 的长为________．
【答案】
【点睛】
本题考查了勾股定理、旋转的性质，熟练掌握勾股定理和旋转的性质是解答的关键．
8．（2021·惠水县第二中学九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(﹣4，0)，B(0，3)，对△AOB连续作旋转变
换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是_____，第（2020）个三
角形的直角顶点坐标是_____．【答案】（24，0） （8076，0）
【点睛】
本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋
转角．也考查了勾股定理以及图形变化的规律．
三、解答题
9．（2020·湖南师大附中博才实验中学九年级期中）如图，等腰Rt△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝90°，点D在AC上，将
△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．
（1）求∠DCE的度数；
（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．
【答案】
解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝45°，
由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴∠DCE＝∠BCE＋∠BCA＝45°＋45°＝90°；
（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，∴ ，
∵CD＝3AD，
∴ ， ，
由旋转的性质可知：
AD＝EC＝ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、等腰直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
10．（2020·吉林长春市·八年级期末）如图，点O是等边 内一点，将CO绕点C顺时针旋转 得到CD，连结
OD，AO，AD．
（1）求证： ．
（2）若 ， ， ，求 的面积．
【答案】
证明：（1）∵ 是等边三角形，
∴ ， ．由旋转得： ， ．
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ， ， ，
∴ ， ， ．
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∵ ，
∴ ， ．
∴ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质的运用，旋转的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性
质的运用，解答时证明三角形全等是关键．
11．（2020·东营市实验中学七年级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为 ， ，现将
线段AB平移到线段CD，其中点C坐标为 ，点D坐标为 ，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标；（2）在x轴上是否存在一点F，使得 ，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
解：（1）∵将线段AB平移到线段CD，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵ ， ，
∴AB=6=CD，
∵点C坐标为（0，a），点D坐标为 ，
∴a=4，b=6，
∴点C坐标为（0，4），点D坐标为（6，4）；
（2）∵ ，
∴ ，∴BF=6，
∴存在点F满足条件，且点F的坐标是（﹣2，0）或（10，0）．
【点睛】
本题考查了平移的性质和图形与坐标，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
12．（2021·湖北武汉市·八年级期末）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(﹣2，3)，B(﹣3，2)，C(﹣1，1)（1）将△ABC向右平移7个单位，试作出平移后的△ABC，并写出点A 的坐标 ；
1 1 1 1
（2）在图中作出△ABC关于y轴对称的△ABC，观察可知△ABC 与△ABC 关于直线l对称，请写出直线l与x轴的交点
2 2 2 1 1 1 2 2 2
D的坐标 ；
（3）在x轴上找一点P，使PB＋PC最短，则Р点坐标为 ．
【答案】
解：（1）△ABC 如图所示，
1 1 1
故答案为： ；
（2）△ABC 如图所示，
2 2 2
△A
1
B
1
C
1
与△A
2
B
2
C
2
关于直线l对称，直线l把B
1
B
2
垂直平分，故它的横坐标为 ，即D的坐标为： ，故答案为： ；
（3）作点B关于x轴对称点 ，连接 交x轴于P，点P即为所求，
设直线 的表达式为： ，
将 和C(﹣1，1)代入得
，解得 ，
所以 ，
当y=0时， ，
故 ．
【点睛】
本题考查坐标与图形变化—轴对称和平移，待定系数法求函数解析式，一次函数与坐标轴交点问题．借助网格分析是解题关
键．
13．（2021·河南信阳市·八年级期末）（1）（问题原型）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边
AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到
△BCD的面积为 ．
（2）（初步探究）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．
用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由．（3）（简单应用）如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接
CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）．
【答案】
解：【问题原型】
如图1中，
如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED=∠ACB=90°，
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，
∴AB=BD，∠ABD=90°．
∴∠ABC+∠DBE=90°．
∵∠A+∠ABC=90°．
∴∠A=∠DBE．
在△ABC和△BDE中，，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC=DE=8．
∵S = BC•DE
△BCD
∴S =32，
△BCD
故答案为32．
【初步探究】
△
BCD的面积为 a2．
理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E．
∴∠BED＝∠ACB＝90°
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE，
∴AB＝BD，∠ABD＝90°．
∴∠ABC+∠DBE＝90°．
∵∠A+∠ABC＝90°．
∴∠A＝∠DBE．在△ABC和△BDE中，
，
∴△ABC≌△BDE（AAS）
∴BC＝DE＝a．
∵S ＝BC•DE
△BCD
∴S ＝ a2；
△BCD
【简单应用】
△
BCD的面积为 a2．
如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，
∴∠AFB=∠E=90°，BF= BC= a．
∴∠FAB+∠ABF=90°．
∵∠ABD=90°，
∴∠ABF+∠DBE=90°，
∴∠FAB=∠EBD．∵线段BD是由线段AB旋转得到的，
∴AB=BD．
在△AFB和△BED中，
，
∴△AFB≌△BED（AAS），
∴BF=DE= a．
∵S = BC•DE，
△BCD
∴S = • a•a= a2．
△BCD
∴△BCD的面积为 a2．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运
用，解答时证明三角形全等是关键．
14．（2020·江苏南通市·九年级月考）问题：如图①，在 中， ， 为 边上一点（不与点 ，
重合），将线段 绕点 逆时针旋转90°得到 ，连接 ，则线段 ， ， 之间满足的等量关系式为
______．探索：（1）如图②，在 与 中， ， ，将 绕点 旋转，使点 落在
边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（2）如图②，在 中， ， 为 边上一点（不与点 ， 重合），将线段 绕点 逆时
针旋转90°得到 ，连接 交 与点 ，求 的最大值；
应用：如图③，在四边形 中， ．若 ， ，求 的长．
【答案】
解：问题：BC=DC+EC，
理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，
BC=BD+CD=EC+CD，
故答案为：BC=DC+EC；探索：（1）BD2+CD2=2AD2，
理由如下：连接CE，
由（1）得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B，
∵∠B+∠ACB=90°，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2，
在Rt△ADE中，AD2+AE2=ED2，又AD=AE，
∴2AD2 =ED2，
∴BD2+CD2=2AD2；
（2）由旋转的性质得，△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE=45°，
CF取得最大值时，则AF取得最小值，由垂线段最短可知此时AF⊥DE，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AF=DF，
同理可证CF=DF，
∴CF=AF= AC=2；
应用：作AE⊥AD，使AE=AD，连接CE，DE，∵∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE=9，
∵∠ADC=45°，∠EDA=45°，
∴∠EDC=90°，
∴DE= ，
∵∠DAE=90°，
∵AD2+AE2=DE2，AE=AD，
∴AD=AE= DE=6．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理、以及旋转变换的性质，掌
握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
15．（2019·河南周口市·九年级二模）（1）（探索发现）
如图1，正方形ABCD中，点M、N分别是边BC、CD上的点，∠MAN＝45°，若将△DAN绕点A顺时针旋转90°到△BAG位
置，可得△MAN≌△MAG，若△MCN的周长为6，则正方形ABCD的边长为 ．
（2）（类比延伸）
如图（2），四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B+∠D＝180°，点M、N分别在边BC、CD上的点，∠MAN＝
60°，请判断线段BM，DN，MN之间的数量关系，并说明理由．
（3）（拓展应用）
如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝10，∠ADC＝120°，点M，N分别在边BC，CD上，连接AM，MN，△ABM是等边三
角形，AM⊥AD，DN＝5（ ﹣1），请直接写出MN的长．
【答案】
解：（1）如图1中，
∵△MAN≌△MAG，
∴MN＝GM，∵DN＝BG，GM＝BG+BM，
∴MN＝BM+DN，
∵△CMN的周长为：MN+CM+CN＝6，
∴BM+CM+CN+DN＝6，
∴BC+CD＝6，
∴BC＝CD＝3，
故答案为3．
（2）如图2中，结论：MN＝NM+DN．
延长CB至E，使BE＝DN，连接AE，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠D＝∠ABE，
在△ABE和△ADN中，
，
∴△ABE≌△ADN，
∴AN＝AE，∠DAN＝∠BAE，
∵∠BAD＝2∠MAN，
∴∠DAN+∠BAM＝∠MAN，∴∠MAN＝∠EAM，
在△MAN和△MAE中，
，
∴△MAN≌△MAE，
∴MN＝EM＝BE+BM＝BM+DN，即MN＝BM+DN；
（3）解：如图3，把△ABM绕点A逆时针旋转150°至△ADG，连接AN．作NH⊥AD于H，在AH上取一点K，使得
∠NKH＝30°
在Rt△DHN中，∵∠NDH＝60°，DN＝5（ ﹣1），
∴DH＝ DN＝ ，HN＝ DH＝，
在Rt△KNH中，KN＝2HN＝15﹣5 ，HK＝ HN＝ ，
∴AK＝AH﹣HK＝15﹣5 ，
∴AK＝KN，
∴∠KAN＝∠KNA，∵∠NKH＝∠KAN+∠KNA，
∴∠NAK＝15°，
∴∠MAN＝75°＝ ∠BAD，
由（2）得，MN＝BM+DN＝10+5（ ﹣1）＝5+5 （米）．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、旋转变换、全等三角形的判定定理和性质定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会
添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
