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专题 5.3 三角函数的图象与性质【九大题型】
【新高考专用】
1、三角函数的图象与性质
三角函数的图象与性质是高考的重点、热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的
周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重
对三角函数的图象、几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或
偏下，复习是需要充分掌握三角函数的图象与性质，学会灵活求解.【知识点1 三角函数的定义域与值域的求解策略】
1．三角函数的定义域的求解思路
求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.
2．求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：
(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；
(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；
(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最
值).
【知识点2 三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解策略】
1．三角函数周期的一般求法
(1)公式法；
(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.
2．三角函数的对称轴、对称中心的求解策略
(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令
ωx+φ= kπ(k∈Z)（或令 ωx+φ=kπ(k∈Z)），求 x 即可；如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令
ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ= kπ(k∈Z)），求x即可.
(2)对于可化为 f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求 f(x)的对称中心的横坐标，只需令 ωx+φ=
(k∈Z)），求x即可.
3．三角函数的奇偶性的判断方法
三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在 y=Asin(ωx+φ)中代入
x=0，
若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.
若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ= kπ(k∈Z).
【知识点3 三角函数的单调性问题的解题思路】
1．三角函数的单调区间的求解方法
求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成 y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，
只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.
2．已知三角函数的单调性求参数的解题思路
对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数
的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选
择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.
【知识点4 三角函数的图象变换问题】
1．三角函数的图象变换问题的求解方法
解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：
(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；
(2)变同名：函数的名称要变得一样；
(3)选方法：即选择变换方法.【知识点5 由部分图象确定函数解析式的解题方法】
1．由部分图象确定函数解析式的方法
由y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的一段图象求其解析式时，A比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω
和φ，常用如下两种方法：
(1)如果图象明确指出了周期T的大小和“零点”坐标，那么由 即可求出ω；确定φ时，若能
求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标 ，则令 即可求出φ.
(2)代入点的坐标.利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，
若对A，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.
【题型1 三角函数的定义域、值域问题】
( π) [ π]
【例1】（2024·广东湛江·二模）函数f (x)=4sin 5x− 在 0, 上的值域为（ ）
6 5
A．[−2,2] B．[−2,4] C．[−2√3,4] D．[−2√3,2]
(x π)
【变式1-1】（2024·吉林·模拟预测）函数f (x)=−3tan + 的定义域是（ ）
2 4
A．¿ B．¿
C．¿ D．¿
π
【变式1-2】（2024·青海·二模）已知函数f(x)=sin ( x− ) 的定义域为[m,n]（m0,ω>0,|φ|<π)的部分图像
如图所示，则f ( π )+f ( − 7π ) =（ ）
4 6√2+√3 √2 √6
A． B． C．0 D．
2 2 2
【题型3 由部分图象求函数的解析式】
π
【例3】（2024·天津和平·二模）已知函数f (x)=sin(ωx+φ) ( x∈R,ω>0,|φ|< ) 的部分图象如下图
2
所示，则以下说法中，正确的为（ ）
π π
A．f (x)=sin ( x− )
4 4
√2
B．f (6)=
2
√2
C．不等式f (x)≤ 的解集为[8k−6,8k](k∈Z)
2
D．函数f (x)的图象的对称中心为(4k+1,0)(k∈Z)
【变式3-1】（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则
函数f (x)的解析式是（ ）
π
A．f(x)=2sin ( x− ) B．f(x)=2sin2x
4π
C．f(x)=−2sin ( x− ) D．f(x)=−2sin2x
4
π
【变式3-2】（2024·四川自贡·三模）函数f(x)=Asin(ωx+φ)（ω>0，|φ|< ）的部分图象如图所示，
2
f(x)的图象与y轴交于M点，与x轴交于C点，点N在f(x)图象上，点M、N关于点C对称，下列说法
错误的是（ ）
A．函数f(x)的最小正周期是π
(5π
)
B．函数f(x)的图象关于点 ,0 对称
6
π π
( )
C．函数f(x)在 − ,− 单调递增
2 6
π
D．函数f(x)的图象向右平移 后，得到函数g(x)的图象，则g(x)为奇函数
6
π
【变式3-3】（2024·吉林长春·模拟预测）函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,|φ|< )的部分图象
2
如图所示，下列说法正确的是（ ）
π
A．A=2,φ=
6
B．函数f(x)的最小正周期为2π
π π
( )
C．函数f(x)在 , 上单调递减
3 2π
D．函数f(x) 的图象上的所有点向左平移 个单位长度后，所得的图象关于y轴对称
12
【题型4 三角函数图象变换问题】
【例4】（2024·山东青岛·三模）为了得到 y=sin2x+cos2x的图象，只要把 y=√2cos2x的图象上所
有的点（ ）
π π
A．向右平行移动 个单位长度 B．向左平行移动 个单位长度
8 8
π π
C．向右平行移动 个单位长度 D．向左平行移动 个单位长度
4 4
π
【变式4-1】（2024·江苏南京·二模）为了得到函数y=sin ( 2x+ ) 的图象，只要把函数y=sin2x图象上
3
所有的点（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
6 3
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 3
3π
【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=2sinωxcosωx+2sin2ωx−1(ω>0)，直线x=
8
7π ( 2π)
和x= 为函数y=f (x)图象的两条相邻对称轴，为了得到函数g(x)=−√2cos 2ωx− 的图象，则
8 3
将函数y=f (x)的图象至少（ ）
13π 13π
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
24 48
13π 13π
C．向左平移 个单位长度 D．向左平移 个单位长度
12 36
π
【变式4-3】（2024·湖南常德·二模）已知函数f
(x)=cos(
2x−
)
，g(x)=sin2x，将函数f (x)的图象
3
经过下列哪种可以与g(x) 的图象重合（ ）
π π
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
12 6
π π
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
12 6【题型5 三角函数的单调性问题】
【例5】（2024·四川泸州·一模）若函数f (x)=sin( ωx+ π ) (ω>0)在 [ 0, π] 上单调递增，则ω的取值范
3 6
围是（ ）
( 1] [1 ]
A．(0,2] B．(0,1] C． 0, D． ,1
2 2
【变式5-1】（2024·广东·二模）已知函数 （ ， π ），| ( π)| ，
f(x)=cos(ωx+φ) ω>0 − <φ<0 f − =1
2 6
(π) (π 5π)
f =0，且f(x)在区间 , 上单调，则ω的最大值为( ).
6 6 24
9 21 33 45
A． B． C． D．
2 2 2 2
π
【变式5-2】（2024·青海海南·二模）已知函数f(x)=cos ( ωx− ) ,ω>0,x∈R，且
3
π
f(α)=−1,f(β)=0.若|α−β|的最小值为 ，则f(x)的单调递增区间为（ ）
4
[ π π ] [ π π ]
A． − +kπ, +kπ ,k∈Z B． − +2kπ, +2kπ ,k∈Z
3 6 3 6
[ π 5π ] [ π 5π ]
C． − +kπ, +kπ ,k∈Z D． − +2kπ, +2kπ ,k∈Z
12 12 12 12
( π) ( 5π )
【变式5-3】（2024·四川·模拟预测）已知函数f (x)=sin ωx+ （ω>0）在区间 0, 上只有1个零
3 6
( 2π π)
点，且当x∈ − , 时，f (x)单调递增，则ω的取值范围是（ ）
3 6
(4 ] (4 5] (4 ] (5 ]
A． ,2 B． , C． ,1 D． ,2
5 5 4 5 4
【题型6 三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】
π
【例6】（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=3sin( 3x+ )+1，则下列结论不正确的是（ ）
6
(5π
)
A．f (x)的图象关于点 ,1 对称
18
kπ π
B．若f (x+t)是偶函数，则t= + ,k∈Z
3 9[ π] [ 1 5]
C．f (x)在区间 0, 上的值域为 − ,
3 2 2
π
D．f (x)的图象关于直线x= 对称
9
【变式6-1】（2024·河南新乡·三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中
心是 ( π )，点 ( √2)在 的图象上，下列说法错误的是（ ）
A ,0 B 0, f(x)
8 2
π 5π
A．f(x)=cos ( 2x+ ) B．直线x= 是f(x)图象的一条对称轴
4 8
C．f(x)在
[7π
,
11π]
上单调递减 D．f ( x+
π
) 是奇函数
8 8 8
1
【变式6-2】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数f (x)=cosx− ，现给出下列四个结论：
cosx
π
( )
①f (x)的图象关于点 ,0 对称；
2
②函数 的最小正周期为 ；
ℎ(x)=|f (x)| 2π
π
( )
③函数g(x)=2f (x)+|f (x)|在 0, 上单调递减；
2
π
④对于函数g(x)=2f (x)+|f (x)|,∀x∈ ( 0, ) ,3|g(x)|=g(x+π)．
2
其中所有正确结论的序号为（ ）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②③④
π
【变式6-3】（2024·天津南开·一模）关于函数y=3cos ( 2x+ ) ，则下列结论中：
3
①−π为该函数的一个周期；
π
②该函数的图象关于直线x= 对称；
3
π
③将该函数的图象向左平移 个单位长度得到y=3cos2x的图象：
6
[ π π]
④该函数在区间 − , 上单调递减.
6 6
所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①③④【题型7 三角函数的零点问题】
π π 7π
【例7】（2024·河南·模拟预测）已知− , 和 都是函数f (x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的零点，则ω的
4 4 12
最小值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
π π
【变式7-1】（2024·福建龙岩·三模）已知函数f(x)=sin(ωx+φ) ( ω>0,|φ|< ) ,x=− 为f(x)的零
2 4
π π
点，x= 为f(x)图象的对称轴，且f(x)在 ( 0, ) 上有且仅有1个零点，则ω的最大值为（ ）
4 6
A．11 B．9 C．7 D．5
π π
【变式7-2】（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ) ( A>0,ω>0,− <φ< )，且
2 2
π 2π
x= ,x= 是函数y= f(x)相邻的两个零点，∀x∈R,f(x)≤3，则下列结论错误的是（ ）
6 3
A．A=3 B．ω=2
π π π
C．φ=− D．f ( x− )=f ( −x− )
6 12 12
π
【变式7-3】（2024·湖南邵阳·三模）将函数f (x)=sinωx(ω>0)的图象向右平移 个单位长度后得到函
3ω
π π
数g(x)的图象，若g(x)在区间
(
− ,0
)
上单调递增，且在区间
( ,π)
上有且仅有1个零点，则ω的取
18 3
值范围为（ ）
(1 ) (4 7] (4 7) ( 1) (4 7]
A． ,1 ∪ , B．(0,1)∪ , C． 0, ∪ , D．
3 3 3 3 3 3 3 3
( 1) (4 )
0, ∪ ,3
3 3
【题型8 三角函数模型】
【例8】（2024·浙江·一模）古代农耕常用水车作为灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类
改造自然的成果之一.如图是一个半径为r的水车，以水车的中心为原点，过水车的中心且平行于水平面的
直线为 轴，建立平面直角坐标系，一个水斗从点 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋
x A(2√3,−2)
转一周用时60秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设P点的坐标为(x,y)，其纵坐标满足π
y=rsin(ωt+φ) ( t≥0,ω>0,|φ|< ) ，当t=45秒时，|PA|=（ ）
2
A．4√2 B．√10 C．4√2−√3 D．4
【变式8-1】（2024·山西晋中·模拟预测）如图所示的音乐喷泉曲线，我们叫葫芦曲线（像湖面上高低起伏
的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线），每过相同的间隔，它的振幅就
变化一次，且过点 (3π 3)，其对应的方程为 ( 1[2x]) （ ， ），其中
M , |y|= 2− |sinωx| x≥0 1<ω<3
4 2 2 π
7π
[x]为不超过x的最大整数.若该葫芦曲线上一点N的横坐标为 ，则点N的纵坐标为（ ）
6
√2 1 √3
A．±1 B．± C．± D．±
2 2 2
【变式8-2】（2024·四川凉山·三模）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里
慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为120m，转盘直径为110m，设
置48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近位置进仓，转一周大约需要
30min．某游客坐上摩天轮的座舱10min后距离地面高度约为（ ）A．92.5m B．87.5m C．82.5m D．(55√3 )
+65 m
2
【变式8-3】（2024·四川成都·二模）筒车亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具，唐
陈廷章《水轮赋》：“水能利物，轮乃曲成.升降满农夫之用，低徊随匠氏之程.始崩腾以电散，俄宛转以
风生.虽破浪于川湄，善行无迹；既斡流于波面，终夜有声.”如图，一个半径为4m的筒车按逆时针方向每分
钟转一圈，筒车的轴心O距离水面的高度为2m.在筒车转动的一圈内，盛水筒P距离水面的高度不低于4m
的时间为（ ）
A．9秒 B．12秒 C．15秒 D．20秒
【题型9 函数y=Asin(ωx+φ)与三角恒等变换的综合应用】
【例9】（2024·广东珠海·一模）函数f (x)=2√3sin2(ωx)+sin ( 2ωx+
2π
) ，其中ω>0，其最小正周
3
期为π，则下列说法错误的是（ ）
A．ω=1
π
( )
B．函数f (x)图象关于点 ,√3 对称
3
5π
C．函数f (x)图象向右移φ(φ>0)个单位后，图象关于y轴对称，则φ的最小值为
12
[ π]
D．若x∈ 0, ，则函数f(x)的最大值为√3+1
2
π
【变式9-1】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数f (x)=2√2sinxcos( x+ ) ，给出的下列四个选
4项中，正确的是（ ）
A．函数f (x)的最小正周期是2π
[π 5π ]
B．函数f (x)在区间 , 上是减函数
8 8
π
C．函数f (x)的图象关于点( − ,0 )对称
8
π
D．函数f(x) 的图象可由函数 y=√2sin2x 的图象向右平移 个单位，再向下平移1个单位得到
8
1
【变式9-2】（2024·四川绵阳·模拟预测）关于函数f(x)=√3sinxcosx−cos2x+ ，有下列命题：
2
π
( )
①f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)的图象关于 ,0 对称；
12
[π π] 5π
③f(x)在区间 , 上单调递增；④将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后所得到的图象与函
3 2 12
数y=sin2x的图象重合．
其中正确的为（ ）
A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④
π
【变式9-3】（2024·江苏宿迁·三模）已知函数f(x)=cosx+cos(x− )+1，则下列结论正确的是
3
（ ）
π π
A．[− , ]是f (x)的一个单调增区间
2 4
π
( )
B． − ,0 是f (x)的一个对称中心
3
2π 1 5
C．f (x)在[− ,0]上值域为[− , ]
3 2 2
5π
D．将f (x)的图象向右平移 个单位，再向下平移一个单位后所得图象的函数解析式为y=√3cosx
6
1．（2023·天津·高考真题）已知函数y=f (x)的图象关于直线x=2对称，且f (x)的一个周期为4，则f (x)
的解析式可以是（ ）
(π ) (π )
A．sin x B．cos x
2 2(π ) (π )
C．sin x D．cos x
4 4
2．（2023·天津·高考真题）已知函数f (x)的部分图象如下图所示，则f (x)的解析式可能为（ ）
A．5ex−5e−x B．5sinx
x2+2 x2+1
C．5ex+5e−x D．5cosx
x2+2 x2+1
π π
3．（2023·全国·高考真题）函数y=f (x)的图象由函数y=cos ( 2x+ ) 的图象向左平移 个单位长度得
6 6
1 1
到，则y=f (x)的图象与直线y= x− 的交点个数为（ ）
2 2
A．1 B．2 C．3 D．4
(π 2π )
4．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),(ω>0)在区间 , 单调递增，直线
6 3
x=
π
和x=
2π
为函数y=f (x)的图像的两条相邻对称轴，则f ( −
5π
) =（ ）
6 3 12
√3 1 1 √3
A．− B．− C． D．
2 2 2 2
5．（2024·北京·高考真题）设函数 .已知 ， ，且 的最小值为
f (x)=sinωx(ω>0) f (x )=−1 f (x )=1 |x −x |
1 2 1 2
π
，则ω=（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（ ）
f (x)=−x2+(ex−e−x)sinx [−2.8,2.8]
A． B．
C． D．
π
7．（2024·天津·高考真题）已知函数f (x)=3sin( ωx+ ) (ω>0)的最小正周期为π．则f (x)在区间
3
[ π π]
− , 上的最小值是（ ）
12 6
3√3 3 3
A．− B．− C．0 D．
2 2 2
8．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A． ex−x2 B． cosx−x2 C． ex−x D． sinx−x
y= y= y= y=
ex+x2 x2+1 ex+x x2+1
9．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ， ，当 时，
f(x)=a(x+1) 2−1 g(x)=cosx+2ax x∈(−1,1)
曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点，则a=（ ）
1
A．−1 B． C．1 D．2
2
( π)
10．（2024·广东江苏·高考真题）当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin 3x− 的交点个数为
6
（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
π
11．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x− )，下列说法中正确的有
4
（ ）A．f(x)与g(x)有相同的零点 B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
12．（2023·北京·高考真题）已知命题p:若α,β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命
题的一组α,β的值为α= ，β= ．
13．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数f (x)=cosωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有3个零点，
则ω的取值范围是 ．
1
14．（2023·全国·高考真题）已知函数f (x)=sin(ωx+φ)，如图A，B是直线y= 与曲线y=f (x)的两个交
2
π
点，若|AB|= ，则f (π)= ．
6
15．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对
[π π]
称.若α∈ , ，则cosβ的最大值为 ．
6 3
