文档内容
2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（北师大版）
易错06 垂直平分线与角平分线易错
【典型例题】
1．（2021·内蒙古赤峰市·八年级期末）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连
接MB
（1）若∠ABC=65°，则∠NMA的度数为
（2）若AB=10cm，△MBC的周长是18cm
①求BC的长度
②若点P为直线MN上一点，则△PBC周长的最小值为 cm
【答案】
解：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠C
∵∠ABC=65°，∴∠C=65°，
∴∠A=50°，
∵MN是AB的垂直平分线，
∴∠ANM＝90°，
∴∠NMA=90°-50°=40°；
（2） ①∵MN是线段AB的垂直平分线 ，
∴AM=MB．∵△MBC的周长是18cm ，AB=10cm，
∴BM+MC+BC=AM+MC+BC=AC+BC=AB+BC=18cm ，
∴BC=18-AB=18-10=8cm；
②∵MN是线段AB的垂直平分线 ，
∴点A和点B关于直线MN对称，
∴当点P与点M重合时，△PBC周长的值最小，
∴△PBC的周长的最小值为18cm．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称-最短路线问题，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的
性质和等腰三角形的性质．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·重庆万州区·八年级期末）如图，DE是AC的垂直平分线，CE=5，△BDC的周长为15，则△ABC的周长是（
）
A．15 B．20 C．25 D．30
【答案】C【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的定义与性质，掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
2．（2020·苏州市吴江区铜罗中学八年级月考）如图，△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，且∠DAE＝
20°，则∠BAC＝（ ）
A．100° B．120° C．150° D．160°
【答案】A
【点睛】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是
具体点关键．
3．（2021·全国八年级）如图， 中， 平分 ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连
接 ，若 ， ，则 的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【点睛】
本题主要考查角平分线的定义、三角形内角和及垂直平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和及垂直平分线的性质定理是解题的关键．
4．（2021·山东滨州市·八年级期末）如图，已知 ，点O为 与 的平分线的交点，且
于D．若 ，则四边形ABOC的面积是（ ）
A．36 B．32 C．30 D．64
【答案】B
【点睛】
本题考查了角平分线的性质和三角形的面积，能根据角平分线的性质得出OD＝OE＝OF＝3是解此题的关键．
5．（2021·山东济南市·八年级期末）如图，CD、BD分别平分∠ACE、 ∠ABC，∠A＝80°，则∠BDC＝（ ）
A．35° B．45° C．30° D．40°
【答案】D
【点睛】
本题主要考查了三角形外角性质和角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，是解题的关键．
二、填空题
6．（2021·北京延庆区·八年级期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，AB＝10，AD＝5，AC＝4，则
△ABD的面积为 ____________．【答案】15
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质定理，勾股定理，正确作出辅助线是解答本题的关键．
7．（2021·山东潍坊市·八年级期末）如图， 中， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点
，且 ，连接 ．若 的周长为 ，则 的长是____ ．
【答案】5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些性质是解题关键．
8．（2021·河北衡水市·八年级期末）如图，若P是 的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，且PE＝3，AE＝4，点F在
边AB上运动，当运动到某一位置时， 的面积恰好是 面积的 ，则此时AF的长是_______________．【答案】2
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质，三角形的面积，掌握角平分线的性质是解题的关键．
9．（2020·河南省鹤壁市湘江中学八年级月考）如图，等腰 底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分
线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则 的周长最小值为_____cm．
【答案】8
【点睛】
本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质，关键是根据垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质得到最短
路径长，进而可求解．
10．（2020·福建福州市·八年级期中）如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N
为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．
【答案】45°
【点睛】
本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定
点P及点N的位置是关键．三、解答题
11．（2020·浙江绍兴市·八年级其他模拟）如图， 中， ，边 的垂直平分线交 、 分别于点
D，点E，连结 ．
（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求 的周长．
【答案】
解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠ABE=40°，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=10°；
（2）∵∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴BE+CE=AC=8，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AC+BC=14．
【点睛】
本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；勾股定理，应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的
内容，并能灵活运用．12．（2021·广东肇庆市·八年级期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF=CB．
（1）求证：BE=FD；
（2）若CD=6，AD=8，求四边形ABCF的面积．
【答案】
（1） 平分 ， ，
，
在 和 中， ，
，
；
（2）由（1）已证： ，
，
在 和 中， ，
，
，则四边形ABCF的面积为 ，
，
，
，
，
，
，
即四边形ABCF的面积为48．
【点睛】
本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质，熟练掌握直角三角形全等的判定定理与性质是解题关键．
13．（2021·全国八年级）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝2∠B，AD平分∠CAB．
（1）求∠CAD的度数；
（2）延长AC至E，使CE＝AC，求证：DB＝DE．
【答案】（1）∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
又∵∠CAB＝2∠B，
∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，
∵AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°；
（2）∵∠DAB＝30°＝∠B，
∴AD＝DB，
∵AC＝EC，∠ACB＝90°，
∴AD＝DE，
∴DE＝DB．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，等腰三角形的判断以及线段中垂线的性质等知识，掌握等腰三角形的判断以
及线段中垂线的性质是解决问题的关键．
14．（2020·江苏泰州市·泰兴市实验初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，
DE⊥AB于E，点F在射线CA上，且BD=FD．
（1）当点F在线段CA上时．①求证：BE=CF；②若AC=6，AF=2，求CD的长；
（2）若∠ADF=15°，求∠BAC的度数．【答案】
解：（1）①证明：∵AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，∠C=90°，
∴DC=DE，
在Rt△FCD和Rt△BED中，
，
∴Rt△FCD≌Rt△BED，
∴BE=CF，
②在Rt△ACD和Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE=AC=6，
由①得BE=CF=AC-AF=4，
∴AB=10，
根据勾股定理 ，
设CD=x，BD=FD=8-x，
在Rt△FCD中，根据勾股定理
，
解得 ，即CD=3．
（2）如下图，当F在线段CA上时，设∠CAD=α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2α，
∵Rt△FCD≌Rt△BED，
∴ ，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴ ，解得 ，
即∠BAC=50°；
如下图，当F在CA的延长线上时，
设∠CAD=α，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2α，
∵Rt△FCD≌Rt△BED，∴ ，
∵∠C=90°，
∴∠BAC+∠B=90°，
∴ ，解得 ，
即∠BAC=70°．
综上所示∠BAC=50°或70°．
【点睛】
本题考查全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余．（1）中能根据勾
股定理建立方程是解题关键；（2）中能分类讨论是解题关键．
15．（2020·重庆开州区·八年级期末）已知在 中， 的平分线 与 的垂直平分线 交于点 ，
于 ， 交 的延长线于 ．
（1）证明： ；
（2）当 时，求 的度数．
【答案】
（1）证明：连接BD，DC，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC，
在Rt△DMB和Rt△DNC中，
，
∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），
∴BM=CN；
（2）解：由（1）得：∠BDM=∠CDN，
∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，
∴DM=DN，
在Rt△DMA和Rt△DNA中，
∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），
∴∠ADM=∠ADN，
∵∠BAC=80°，∴∠MDN=100°，∠ADM=∠ADN=50°，
∵∠BDM=∠CDN，
∴∠BDC=∠MDN=100°，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴∠EDC= ∠BDC=50°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=40°，
∴∠DCB=40°．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，熟悉角平分线的性质和线段垂直平分
线的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
16．（2021·全国八年级）在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，MN垂直平分AC，分别交AC，BC于
点M、N．
（1）如图1，若∠BAC＝112°，求∠EAN的度数；
（2）如图2，若∠BAC＝82°，求∠EAN的度数；
（3）若∠BAC＝α（α≠90°），直接写出用α表示∠EAN大小的代数式．
【答案】
解：（1）∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C ，
∴∠EAN＝∠BAC﹣∠BAE﹣∠CAN，
＝∠BAC﹣（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝68°，
∴∠EAN＝∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）＝112°﹣68°＝44°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC，
＝（∠B+∠C）﹣∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝98°，
∴∠EAN＝∠BAE+∠CAN﹣∠BAC＝98°﹣82°＝16°；
（3）当0°＜α＜90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠在△ABC中，∠
∴∠
当180°＞α＞90°时，
∵DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B，
同理可得：∠CAN＝∠C，
∴∠
在△ABC中，∠
所以，当0°＜α＜90°时，∠EAN＝180°﹣2α；当180°＞α＞90°时，∠EAN＝2α﹣180°．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，整体思想的
利用是解题的关键．
17．（2020·隆昌市知行中学八年级月考）如图，在 的平分线上取点B作 于点C，在直线AC上取一动
点P，在直线AE上取点Q使得
（1）如图1，当点P在线段AC上运动时，求证： ；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间的数量关系．【答案】
（1）证明：过点B作 于M
∵BA平分 ，
∴
在 和 中
∴ （HL）
∴
又∵∴
（2）解：
理由如下：如图2，作 于M
∵
∴
在 和 中
∴ （AAS）
∴ ， ，在 和 中
∴ （HL）
∴
∴
（3）当点P在线段AC上时，如图1，
理由如下：∵
∴
由（2）可知：
∴
当点P在线段AC的延长线上时，如图3，理由如下：作 于M
∵
∴
由（2）可知：
∴
故答案为： 或 ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
18．（2021·四川资阳市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，垂足是D，F是
BC上一点，EF平分∠AFC，EG⊥AF于点G．
（1）试判断EC与EG，CF与GF是否相等；（直接写出结果，不要求证明）
（2）求证：AG＝BC；
（3）若AB＝10，AF+BF＝12，求EG的长．
【答案】
（1）解：EC＝EG，CF＝GF，
理由是：∵∠C＝90°，EG⊥AF，EF平分∠AFC，∴CE＝EG，
∵EF＝EF，
∴由勾股定理得：
CF＝GF．
（2）证明：连接BE，
∵AB的垂直平分线DE，
∴AE＝BE，
在Rt△AGE和Rt△BCE中，
，
∴Rt△AGE≌Rt△BCE（HL），
∴AG＝BC．
（3）解：
AG＝BC＝BF+GF，
∴AG＝BC＝ ×12＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
设EG＝EC＝x，则AE＝8﹣x，
在Rt△AGE中，由勾股定理得：62+x2＝（8﹣x）2，
解得：
∴EG的长是
【点睛】
本题考查的是角平分线的性质定理，勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质定理，直角三角形全等的判定与性质，掌握
以上知识是解题的关键．
19．（2020·浙江省临海市临海中学八年级期中）（1）如图①，△ABC的周长为15，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点
P．
①如果∠A=80°，求∠BPC的度数；
②如果BC=5，过P作GH∥BC交AB、AC于G、H，则△AGH的周长为 ；③如果∠ABC=60°，BP=3，则△ABC的面积为 ；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，直接写出∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【答案】
解：（1）①∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠BPC＝180°﹣ （∠ABC+∠ACB）＝180°﹣ ×100°＝130°，
②∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵GH∥BC，
∴∠GPB =∠CBP，
∴∠ABP=∠GPB，
∴BG=GP，
同理，CH=PH，
GH=BG+HC，
△AGH的周长为：AG+GH+AH=AG+BG+AH+HC=AB+AC，
△ABC的周长为15，BC=5，
15-5=10，
∴△AGH的周长为10；
故答案为：10，
③过点P分别作BC、AB、AC的垂线，垂足分别为D、R、F，连接AP，∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴PD=PR，PD=PF，
∵∠ABC=60°，
∴∠PBD=30°
∵BP=3，
∴PD=1.5，
∴PR=PF=1.5，
， ， ，
，
，
，
，
故答案为： ；（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB＝ （∠MBC+∠NCB）
＝ （360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝ [360°﹣(180°-∠A）]
＝ （180°+∠A）
＝90°+ ∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+ ∠A）＝90°﹣ ∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E＝ ∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ
＝ ∠ABC+ ∠MBC
＝ （∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线的性质和等腰三角形的判定等知识；灵活运用所涉
及的知识进行分类讨论是解题的关键．
20．（2021·广东肇庆市·八年级期末）如图1， 是直角三角形， ， 的角平分线 与 的垂
直平分线 相交于点 ．
（1）如图2，若点 正好落在边 上．
①求 的度数；
②证明： ．
（2）如图3，若点 满足 、 、 共线．线段 、 、 之间是否满足 ，若满足请给出证
明；若不满足，请说明理由．
【答案】
（1）①解：∵ 平分
∴
又∵ 是 的垂直平分线
∴
∴ ，
∴
又∵
∴ ；②证明：∵ 平分 ，且 ，
∴ ，
在 中，
∴ ，
；
（2）解：线段 、 、 之间满足 ，证明如下：
过点 作 于点 ，
∵ 是 的垂直平分线，且 、 、 共线
∴ 也是 的垂直平分线
∴
又
∴ 是等腰直角三角形．
∴
∴ 是等腰直角三角形．
∴
∵ 平分 ，且 ，
∴∴ ，
在 和 中
∴
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的性质，垂直平分线的性质，直角三角形全等的判定与性质，含 的直角三
角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．
