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重难点突破 01 圆锥曲线压轴小题
一．选择题（共10小题）
1．已知双曲线 的焦点到渐近线的距离为 ，直线 与 相交于 ，
两点，若线段 的中点为 ，则直线 的斜率为
A． B．1 C． D．2
【解答】解：因为双曲线的标准方程为 ，
所以它的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，
化简得 ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
设 ， ， ， ，
所以 ①， ②，
① ②得 ，
化简得 ③，
因为线段 的中点为 ，所以 ， ，代入③，
整理得 ，显然 ， ，所以直线 的斜率 ．
故选： ．
2．设双曲线 的左、右焦点为 、 ，渐近线方程为 ，过 直线 交双
曲线左支于 、 两点，则 的最小值为
A．9 B．10 C．14 D．
【解答】解：根据题意可得 ， ，又 ， ，
，
当且仅当弦 为双曲线的通径（通径长为 ，即 垂直于 轴时，等号成立，
故 的最小值为9．
故选： ．
3．已知 ， 是椭圆 的左、右焦点， 是 的左顶点，点 在
过 且斜率为 的直线上，△ 为等腰三角形， ，则 的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可知： ， ， ，
直线 的方程为： ，
由 ， ，则 ，代入直线 ，整理得： ，
题意的离心率 ．
故选： ．
4．已知 为坐标原点， 是椭圆 的左焦点， ， 分别为 的左，
右顶点． 为 上一点，且 轴，过点 的直线 与线段 交于点 ，与 轴交于
点 ．若直线 经过 的中点，则 的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可设 ， ， ，
设直线 的方程为 ，
令 ，可得 ， ，令 ，可得 ，
设 的中点为 ，可得 ，
由 ， ， 三点共线，可得 ，即为 ，
化简可得 ，即为 ，
可得 ．
另解：由 ，
可得 ，
由 ，
可得 ，
即有 即 ，
可得 ．
故选： ．
5．已知 ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且 ，
则 的离心率为
A． B． C． D．
【解答】解： ， 是椭圆 的两个焦点， 是 上的一点，若 ，且
，可得椭圆的焦点坐标 ，
所以 ， ．可得： ，可得 ，可得 ，
，
解得 ．法二，由题意可得 ， ，
， ．
故选： ．
6．设直线 与抛物线 相交于 、 两点，与圆 相切于点 ，
且 为线段 的中点，若这样的直线 恰有4条，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【解答】解：设 ， ， ， ， ， ，
斜率存在时，设斜率为 ，则 ， ，
则 ，相减，得 ，
当 的斜率存在时，利用点差法可得 ，
因为直线与圆相切，所以 ，所以 ，
即 的轨迹是直线 ．
将 代入 ，得 ， ，在圆上， ， ，
直线 恰有4条， ， ，
故 时，直线 有2条；
斜率不存在时，直线 有2条；
所以直线 恰有4条， ，
故选： ．
7．已知双曲线 的离心率为2，过右焦点且垂直于 轴的直线与双曲
线交于 ， 两点．设 ， 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 和 ，且
，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得图象如图， 是双曲线的一条渐近线
，即 ， ，
， ， ， 是梯形，
是 的中点， ，
，
所以 ，双曲线 的离心率为2，可得 ，
可得： ，解得 ．
则双曲线的方程为： ．
故选： ．8．设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点 的直线
为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【解答】解：抛物线 的焦点坐标为 ，
则直线 的方程为 ，
双曲线 的方程为 的渐近线方程为 ，
的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，
， ，
， ，
双曲线 的方程为 ，
故选： ．
9．设 是椭圆 的上顶点，点 在 上，则 的最大值为
A． B． C． D．2【解答】解： 是椭圆 的上顶点，所以 ，
点 在 上，设 ， ， ， ，
所以
，
当 时， 取得最大值，最大值为 ．
故选： ．
10．已知点 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点 ，则
的最小值是
A．5 B． C．4 D．
【解答】解：依题意可知焦点 ， ，准线 ，延长 交准线于 点．则
．
，我们只有求出 最小值即可．
由三角形两边长大于第三边可知， ，①
设直线 与 抛物线交于 点，可计算得 ，另一交点 ， 舍去．
当 重合于 时， 可取得最小值，可得 ．
则所求为 ．
故选： ．二．多选题（共1小题）
11．已知曲线 ．
A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， ，则 是两条直线
【解答】解： ．若 ，则 ，则根据椭圆定义，知 表示焦点在
轴上的椭圆，故 正确；
．若 ，则方程为 ，表示半径为 的圆，故 错误；
．若 ， ，则方程为 ，表示焦点在 轴的双曲线，故此时渐近线方
程为 ，
若 ， ，则方程为 ，表示焦点在 轴的双曲线，故此时渐近线方程为，
故 正确；
．当 ， 时，则方程为 表示两条直线，故 正确；
故选： ．
三．填空题（共9小题）
12．已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方．若线段 的中
点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是 ．
【解答】解：椭圆 的 ， ， ， ，
设椭圆的右焦点为 ，连接 ，
线段 的中点 在以原点 为圆心，2为半径的圆，
连接 ，可得 ，
设 的坐标为 ，可得 ，可得 ， ，
由 ，可得直线 的斜率为
．
另解：由 ， ， ，
可得 ，
，可得直线 的斜率为 ．
故答案为： ．
13．已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两
点．若 ，则 2 ．
【解答】解： 抛物线 的焦点 ，
过 ， 两点的直线方程为 ，
联立 可得， ，
设 ， ， ， ，
则 ， ，
， ，
，
， ， ， ，
，，
整理可得， ，
，
即 ，
．
故答案为：2
14．已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为 上一点， 与
轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方程为 ．
【解答】解：法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．
所以 ，所以 的方程为： ，
时， ，
，所以 ，解得 ，
所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．
故答案为： ．
15．斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，则
．
【解答】解：由题意可得抛物线焦点 ，直线 的方程为 ，代入 并化简得 ，
设 ， ， ， ，则 ；
，
由抛物线的定义可得 ．
故答案为： ．
16．设双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，若点 在双曲线上，且△ 为
锐角三角形，则 的取值范围是 ．
【解答】解：如图，
由双曲线 ，得 ， ，
．
不妨以 在双曲线右支为例，当 轴时，
把 代入 ，得 ，即 ，
此时 ，则 ；
由 ，得 ，
又 ，①
两边平方得： ，
，②
联立①②解得： ，此时 ．
使△ 为锐角三角形的 的取值范围是 ．
故答案为： ．
17．设直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于点
， ．若点 满足 ，则该双曲线的离心率是 ．
【解答】解：双曲线 的两条渐近线方程为 ，则
与直线 联立，可得 ， ， ， ，
中点坐标为 ， ，
点 满足 ，
，
，
，
．故答案为： ．
18．已知椭圆 ，焦点 ， ， ．若过 的直线和圆
相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该直线的斜率是
，椭圆的离心率是 ．
【解答】解：直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过 ，设直线的方程为 ，
直线和圆 相切，
圆心 到直线的距离与半径相等，
，解得 ，
将 代入 ，可得 点坐标为 ，
，
， ，
．
故答案为： ．19．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在
一点 使 ，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．
【解答】解：在△ 中，
由正弦定理得：
则由已知得： ，
即：
设点 ， 由焦点半径公式，
得： ，
则
解得：
由椭圆的几何性质知： 则 ，
整理得 ，解得： 或 ，又 ，
故椭圆的离心率： ，
故答案为： ．
20．已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，离心率为．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则 的周长是 13
．
【解答】解： 椭圆 的离心率为 ，
不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
△ 为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，解得
，
的周长等价于 ．
故答案为：13．
