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培优 01 函数概念有关类型题（7 大题型）
题型1 函数概念的辨析
紧扣函数定义“任意一个自变量x有唯一确定的y值与之对应”。判断是否为函数时，可垂直x轴画直
线，若与图象至多一个交点则是函数。同时注意区分函数与方程、不等式的本质差异．
1．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】本题考查函数的定义和函数图象，根据“自变量的每一个值，因变量有唯一的值与之对应”判定
即可．
【详解】解：从A、C、D选项中的图象可知，每一个 ，都有唯一的 值与之对应，因此能表示y是x的
函数，不符合题意；
B选项中，当 时，每一个 ，都有两个 值与之对应，因此不能表示y是x的函数，符合题意；
故选：B．
2．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）下图中所反映的两个量中，y是x的函数的有几个？（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的定义，解题的关键是熟练掌握函数的定义．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，逐个进行判断即可．
【详解】解：根据函数的定义得，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，
符合题意的有（1）（2）（3）（5）共4个，
故选：B．
3．（25-26八年级上·全国·随堂练习）下列变量之间的关系中，不属于函数关系的是（ ）
A．人的身高与体重 B．某地一天的气温与时间
C．存款在银行中产生的利息与时间 D．正方形的周长与面积
【答案】A
【分析】本题主要考查了函数的定义，在一个变化过程中，有两个变量 ， ，对于 的每一个取值，
都有唯一确定的值与之对应，则 是 的函数， 叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于 的每一个
取值， 都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
【详解】解：A、人的身高与体重，因为身高相同的人体重可能不同，给定一个身高，可能有多个体重与
之对应，因此人的身高与体重不属于函数关系，故选项符合题意；
B、某地一天中，每一时刻对应的气温是唯一确定的值，故一天的气温和时间是函数关系，故选项不合题
意；
C、在银行中利息与时间是函数关系，每一天对应的利息是唯一的，故选项不合题意；D、正方形的面积等于 ，是函数关系，故选项不合题意；
故选：A．
4．（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）下列关系式：（1） ，（2） ，（3） ，（4）
，（5） ，y不是x的函数有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据函数的定义，对于每个自变量x的值，因变量y有且只有一个值与之对应．依次对每个关系
式进行分析，判断其是否满足函数的定义．本题主要考查了函数的定义，熟练掌握函数的定义（对于每个
自变量 的值，因变量 有且只有一个值与之对应）是解题的关键．
【详解】解：对于
∵对于任意非零的 ， 有唯一确定的值
∴ 是函数．
对于
∵每个 对应唯一的 值
∴ 是函数．
对于
∵当 时， 可取 ，即一个 对应两个 值
∴ 不是函数．
对于
∵变形为 ，每个 对应唯一的 值
∴ 是函数．对于
∵当 时， 可取 ，即一个 对应两个 值
∴ 不是函数．
综上， 不是 的函数的关系式有 个，
故选：B．
5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）下列关于变量 ， 的关系，其中 不是 的函数的是（ ）
A． B． C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数，熟记函数的定义（一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量 与 ，并且
对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量， 是 的函数）是解
题关键．根据函数定义逐项进行判断即可．
【详解】解：A、对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，所以 是 的函数，此项不符
题意；
B、对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，所以 是 的函数，此项不符题意；
C、对于 的每一个确定的值，有两个 的值与其对应，所以 不是 的函数，此项符合题意；
D、对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应，所以 是 的函数，此项不符题意．
故选：C．
6．（24-25七年级下·广东深圳·期末）随着暑期的到来，西瓜的价格也趋于稳定，小若去水果店买西瓜，如图是称西瓜所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的自变量是（ ）
A．数量 B．金额 C．单价 D．金额和数量
【答案】A
【分析】本题考查变量与常量，解答本题的关键要明确：变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量．
根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，金额 单价 数量，单价不变，数量与金额是变化的量，
∴单价常量，数量与金额是变量，其中数量是自变量，金额是因变量，
故选：A．
7．（24-25七年级下·广东清远·期末）某居民小区电费标准为0.6元/千瓦时，收取的电费y（元）和所用电
量x（千瓦时）之间的关系式为y= 0.6 x，则下列说法正确的是（ ）
A．x是自变量，0.6是因变量 B．0.6是自变量，x是因变量
C．x是自变量，y是因变量 D．y是自变量，x是因变量
【答案】C
【分析】本题考查了常量和变量，在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量
称为常量．根据常量和变量的定义来解答即可．
【详解】解：在这个问题中，x是自变量，y是因变量，0.6元/千瓦时是常数．
故选：C．
8．（24-25七年级下·河南周口·期末）“随着气温上升，雪糕的销量开始上涨．”在这个情境中，自变量
是 ．
【答案】气温
【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中有两个变量 ，如果对于在某一范围内的每一个确定
的 值，都有唯一确定的 值与它对应，那么就称 是 的函数，其中 叫做自变量， 叫做因变量．
【详解】解：雪糕的销量随着气温的上升而上涨，故自变量为气温；
故答案为：气温．
9．（24-25七年级下·广东河源·期末）半圆的面积公式 中，常量是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了常量的定义，常量是在事物的变化中保持不变的量，据此可得答案．【详解】解；半圆的面积公式 中，常量是 ，
故答案为： ．
10．（24-25八年级下·河北邢台·阶段练习）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是( )
①圆的周长 是半径 的函数；②表达式 中， 是 的函数；
③如表， 是 的函数；④如图，曲线表示 是 的函数．
n
A．①③④ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查的是函数的定义，函数的表示方法，理解函数定义与表示方法是解本题的关键．根据函
数的定义与函数的表示方法逐一分析即可得到答案．
【详解】解：①圆的周长C是半径r的函数，每一个半径 都只有一个周长C与之对应，表述正确，故①
符合题意；
②表达式 中，y是x的函数，每一个 都只有一个 与之对应，表述正确，故②符合题意；
③由表格信息可得：对应m的每一个值，n都有唯一的值与之对应，故③符合题意；
在④中的曲线，当 时的每一个值，y都有两个值与之对应，故④不符合题意；
故选：C．
题型2 确定自变量的取值范围
遵循两大原则：①代数意义：分母≠0，偶次根式被开方数≥0，零指数幂底数≠0；②实际意义：如人数
为正整数，时间非负等。最终结果为各限制条件的公共解集．
11．（16-17八年级·海南海口·单元测试）已知等腰三角形的周长为 ，将底边长表示为 ，腰长表示为 ， 、 的关系式是 ，则其自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．一切实数 D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数关系式、等腰三角形三边关系的性质、三角形三边关系定理，得出不等式组是解
题的关键．根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定自变量的取值范围．
【详解】解：根据三角形的三边关系得：
，
解得： ．
故选：B．
12．（24-25八年级下·辽宁盘锦·阶段练习）函数 的自变量取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了函数自变量，二次根式有意义的条件，解一元一次不等式等知识点．熟练掌握各知识
点并灵活运用是解题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须非负即可解答．
【详解】解：根据题意可知： ，
解得： ，
故选 ：D．
13．（24-25八年级下·江西上饶·阶段练习）已知 关于 的函数图象如图所示，则当 时，自变量 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】D【分析】本题主要考查了函数的图象，利用 时，即对应图象在x轴及其上方，进而求出x的取值范围．
【详解】解：如图所示：当 时， 或 ．
故选：D．
14．（2025·云南红河·三模）函数 中自变量 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了求函数自变量的求值范围，二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件得到
，求出结果即可．
【详解】解： ，
，
，
故选：C．
15．（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）函数 的定义域是 ．
【答案】
【分析】根据分式有意义的条件 ，形如 的式子叫作二次根式解答．
本题考查了二次根式有意义条件，正确理解 是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得 ，且 ，
解得 ，且 ，
故 ，
故答案为： ．
16．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）在函数 中，自变量x的取值范围为 ．
【答案】全体实数
【分析】本题考查了函数自变量的取值范围计算，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．根据分式有
意义的条件解答即可．
【详解】解：根据题意，得 ，且 ，故自变量x的取值范围为全体实数，
故答案为：全体实数．
17．（23-24八年级下·江苏南通·期末）已知一次函数 ，当其函数值大于0时，自变量 的取值范
围是 ．
【答案】 /
【分析】本题主要考查了一次函数的性质，根据 ， 随 的增大而增大，即可求得 的取值范围，解
题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
【详解】解：当其函数值大于0时，可得 ，
可得 ，
故答案为： ．
18．（2025·黑龙江大庆·三模）函数 的自变量取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查函数的自变量及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件可进行求解．熟练掌握
分式有意义的条件是解题的关键．
【详解】解：由题意可得 ，
解得 ，
故答案为： ．
题型3 函数图象的识别
①设运动时间为自变量t；②用含t的式子表示动点坐标或关键线段的长度；③根据几何图形性质（如相
似、勾股定理）建立函数关系式；④分析t的取值范围，判断图象的起点、终点和变化趋势．
19．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期末）如图，在等腰三角形 中， ，点 为 中点，连接
,若 ， ，则下列能表示 与 之间的函数关系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了函数的图象、等腰三角形的性质及直角三角形中两锐角互余的性质．根据题意，
先得出 与 的函数关系式，再结合 的取值范围进行判断即可．
【详解】解：∵ ，点 为 中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴观察四个选项，C 选项符合题意，
故选：C ．
20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽
内壁向水槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画圆柱体水槽水面的高度 （厘米）与注水时间 （分）的关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是从图象中获取信息，根据由放入铁球后水槽内部空间的结构的变化可得答案．
【详解】解：将一个铁球固定在一个空的圆柱体水槽底部中央，现沿水槽内壁向水槽内匀速注水，直到水
槽注满为止．由放入铁球后水槽内部空间的结构可得水的上升高度先慢，再快，再慢，当水覆盖铁球后，
匀速上升；
∴C符合题意．
故选：C．
21．（2025八年级上·全国·专题练习）小哲匀速地向一个容器装水，直至装满容器．若在接水的过程中，
水面高度h随时间t的变化规律如图所示，则这个容器的形状可能是（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【分析】本题主要考查函数的图象，用到的知识点是函数图象的应用，掌握匀速地向一个容器内注水，容
器粗细与水面高度变化的关联情况是解题关键．
根据每一段函数的倾斜程度，反映了水面上升速度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【详解】解：从图中可以看出， 段水面上升速度最快， 段水面上升速度较慢， 段水面上升速度
较快，
由速度变化与所给容器的粗细有关，
则相应的排列顺序为下端较细，中间最粗，上端较粗．
故选：C．
22．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）一客车从甲地开往距甲地 的乙地，行驶 到达丙地停留
，又行驶 到达乙地．下列图象中，能大致描述客车行驶过程中距离乙地 （单位： ）与所
用时间 （单位： ）之间的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了函数图象，根据行驶 分钟时，客车离乙地距离逐渐减少；停留时，距离不变；继续
行驶，距离逐渐变短最后为 ，据此即可求解，读懂题目信息，明确整个过程分为三阶段进行是解题的关
键．
【详解】解：由题意可知，图象分三段：
第一段：行驶 ， 由 到 ，距离变短， 由 随 的增大而减少；
第二段：停留 ， 由 到 ，距离不变， 随 的增大而不变；
第三段：行驶 ，距离变短， 随 的增大而减少，最后为 ；
综上可知，符合题意的只有选项 ，
故选： ．23．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在坪山区聚龙山湿地公园中，白鹭捕食小鱼体现捕食关系，水鸟被
舌状绦虫寄生形成寄生关系，落羽杉与水生植物争夺阳光属竞争关系，而蜜蜂为荔枝树传粉、蚂蚁保护蚜
虫获取蜜露，生动展现了生物间的互利共生．捕食关系、寄生关系、竞争关系和共生关系在生态学中被称
为生物间的相互作用．它们可以通过不同形态的曲线来描述．其中共生关系又叫互利共生，是两种生物彼
此和谐互利地生活在一起，下列选项能表示共生关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了函数的图象，根据个体数量随时间的增大而变化解答是解题关键．
根据共生关系是两种生物个体数同步变化（“同生共死” ）的特征，对比各选项曲线形态，判断对应关
系，关键是理解不同生物关系的曲线差异．
【详解】解：A、生物A、B 个体数同步波动，符合共生，故此选项符合题意．
B、个体数此消彼长，是捕食，故此选项不符合题意．
C、生物B 先增后减，生物A 持续增，是竞争，故此选项不符合题意．
D、个体数反向波动，不符合共生，故此选项不符合题意．
故选：A ．
24．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器
皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱
形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（ ），则下列图象适合y与x之间关
系的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注
满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆
柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可．
【详解】解：分三段：
先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大；
注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小，
当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度
比第一段慢．
故选项B的图象符合题意．
故选：B．
25．（2025·贵州遵义·模拟预测）家用热水器在使用过程中通常会经历加热、保温、断电的过程，如图是
某家用热水器1小时内水的温度 随时间 的变化图象，设 表示从第0分钟到第 分钟热
水器内水的平均温度，则 随 的变化图象大致是（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查函数图象，根据加热、保温、断电的三个过程 随 的变化情况判断即可．
【详解】解：加热过程， 随 的增大而增大，平均温度应低于 ，保温过程、 随 的增大而逐渐降
低，降低速度较慢，断电过程 随 的增大而逐渐降低，降低速度较快，据此，只有D符合题意．
故选：D．
26．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图是两圆柱形连通容器，向甲容器匀速注水，下面可以近似地刻
画甲容器的水面高度 （ ）随时间 （ ）的变化情况的图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了用图象描述实际问题中变化情况的能力， 根据三个阶段甲容器的水面高度随时间的
增长速度确定出此题正确的结果．【详解】解：刚开始时注水都在甲容器，水面高度增长速度不变；
当甲容器中水位到达连通部分后注水开始流向乙容器，此时甲容器的水面高度不变；
当乙容器水位也到达连通部分后，甲、联通部分和乙三个容器水面一起升高，但升高速度较慢；
当水面超过联通部分，甲、乙两容器中水位同时上升，此时水面高度上升比三个容器一起上升的快，但速
度比只有甲容器时慢，
选项C中图象符合该变化过程．
故选：C．
27．（24-25八年级下·浙江台州·期末）匀速向如图所示的烧瓶中注水，直到把容器注满．在注水过程中，
下列图象能正确描述水面高度h随时间t的变化规律的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，正确识图是解题的关键．
根据烧瓶分三部分，最下边是“球肚”状、上边是圆柱，即可判断求解，
【详解】解：在球形底部部分，随着水位的升高，接触水的横截面积逐渐增大．在开始时，由于横截面积
较小，同样的注水量会导致水面高度迅速上升，但随着水位的增加，横截面积变大，水面高度的上升速度
会逐渐减慢，到球形瓶身最粗以后横截面逐渐变小，速度再变快．
∴水面高度 随时间 的变化曲线应该是先快速上升，然后逐渐变缓，再变快，
当水位到达细长圆柱部分时，横截面积保持不变，因此水面高度将随时间以恒定的速度上升，直到容器被
注满．
∴水面高度 随时间 的变化曲线应该是直线，
选项 C 显示了初始阶段曲线变化较大，随后逐渐变小，进入圆柱部分后变为一条直线，这符合烧瓶的结
构特点．其他选项不符合这一变化规律．
故选：C．
28．（24-25六年级下·山东威海·期末）小红同学站在操场上向空中抛出排球，那么排球从离开小红手到落地过程中，以下哪幅图大致能刻画出排球整个过程中距离地面高度的变化情况（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查函数图象的判断，根据排球整个运动过程中距离地面高度随时间的变化情况判断即可．
【详解】解：排球从离开小红手向空中抛出，整个过程中，开始时距离地面有一定距离，随着时间增大而
增大，到达最高点时，又随着时间增大而减小，最后落到地面时距离为0，故B选项符合题意；
A选项开始时距离地面为0，且排球没有落到地面，故A选项不符合题意；
C选项开始运动是距离随着时间增大而减小，后又距离随着时间增大而增大，故C选项不符合题意；
D选项开始时距离地面为0，故D选项不符合题意；
故选：B．
29．（24-25八年级下·河南省直辖县级单位·期末）下面说法错误的是（ ）
A．如图1，水中涟漪（圈）不断扩大，形成了许多同心圆，圆的面积随着半径的改变而改变，记它的半径
为r，圆面积为S．则圆的面积公式 中S是r的函数
B．如图2，是体检时的心电图，其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个
变量．在心电图中，y是x的函数
C．如图3，一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加 ，则小球速度ν是时间t的函
数
D．表达式 中y是x的函数
【答案】D
【分析】本题考查了函数的理解即两个变量x和y，变量y随x的变化而变化，且对于每一个x，y都有唯
一值与之对应,正确理解定义是解题的关键．根据函数的定义逐一分析即可.
【详解】解：圆的半径为r，圆面积为S．则圆的面积公式 中S是r的函数，描述正确，不符合题意；
在体检时的心电图中，横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量．在心电图中，y是x的函数，描述正确，不符合题意；
由表格信息可得小球速度ν是时间t的函数，描述正确，不符合题意；
表达式 中，不满足函数定义，y不是x的函数，符合题意；
故选：D
30．（2025·河南驻马店·三模）现有质量相同、初温均为 的 两种物质，通过红外加热器加
热相同时间（即 相同），已知 ，则 的温度 随加热时间 变化的图象最符合的
是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据两种物质的初温均为 且M比N的温度升高得快，
即可得出M和N的温度 随加热时间 变化的图象．【详解】解：∵ 相同，两种物质的质量相同，且 ，
∴M比N的温度升高得快，
∵两种物质的初温均为 ，
∴M和N的温度 随加热时间 变化的图象是D．
故选：D．
题型4 从函数图象获取信息
做到“三看”：一看轴（横、纵轴表示的实际意义）；二看点（起点、终点、交点、拐点的坐标）；三
看线（线的上升/下降/水平变化趋势及其代表的实际含义）．
31．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，王爷爷以每千克0.8元的价格从批发市场购进若干千克西瓜
到市场上去销售，在销售了40千克西瓜之后，剩余的每千克降价0.4元，全部售完，销售金额与售出西瓜
的千克数之间的关系如图所示．根据图象提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A．降价前西瓜售价为1.8元
B．降价0.4元后每千克西瓜赚了0.6元
C．王爷爷从批发市场共购进55千克西瓜
D．王爷爷这次卖瓜赚了50元钱
【答案】D
【分析】本题考查从函数图象获取信息，根据销量、单价、金额、利润之间的关系，结合图中数据逐项判
断即可．
【详解】解：降价前每千克西瓜售价为 （元），故选项A结论正确，不合题意；
降价0.4元后每千克西瓜利润为： （元），故选项B结论正确，不合题意；王爷爷从批发市场购进西瓜总量为： （千克），故选项C结论正确，不合题
意；
王爷爷这次卖瓜赚的钱数为： （元），故选项D结论错误，符合题意；
故选D．
32．（24-25八年级下·云南德宏·期末）一辆汽车先从 地行驶到 地，在 地停留一段时间后，又沿原路
返回到 地，下图表示汽车行驶的时间 （小时）与汽车到 地的距离 （千米）的关系，根据图象，下列
说法错误的是（ ）
A．汽车去时的平均速度为 千米/小时 B．汽车返回时的平均速度为 千米 小时
C．汽车在 地停留了 小时 D． 、 两地相距 千米
【答案】B
【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是看懂图象，获取信息；根据函数图象逐项分析即可．
【详解】解：根据图象可知：
A.汽车去时的平均速度为 千米/小时，故该选项正确，符合题意；
B.汽车返回时的平均速度为 千米 小时，故该选项不正确，不符合题意；
C.汽车在 地停留了 小时，故该选项正确，符合题意；
D. 、 两地相距 千米，故该选项正确，符合题意；
故选：B．
33．（24-25八年级下·福建厦门·期末）甲乙两汽车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的
距离y与时刻t的对应关系如图所示，则下列结论正确的是（ ）A．甲车的平均速度为 B．乙车的平均速度为
C．甲车比乙车先到B城 D．甲车比乙车先出发
【答案】D
【分析】本题考查了函数的图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．根据图象逐项分析判断
即可．
【详解】解：由图象知：
A．甲车的平均速度为 ，故此选项不正确；
B．乙车的平均速度为 ，故此选项不正确；
C．甲车10时到达B城，乙车9时到达B城，所以乙车比甲车先到B城，故此选项不正确；
D．甲车5时出发，乙车6时出发，所以甲车比乙车早出发 ，故此选项正确，
故选：D．
34．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）光合作用和呼吸作用是植物生命活动中至关重要的两个过程，光
合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差越大越利于有机物的积累，植物生长越快，水果的品质越好．某
农科院为了更好地指导果农种植草莓，在 至 的气温，水资源及光照充分的条件下，对温度（单位：
）对光合作用产氧速率和呼吸作用耗氧速率的影响进行研究，并将得到的相关数据绘制成如图所示的图
象．请根据图象，判断下列说法中不正确的是（ ）
A．草莓的光合作用产氧速率先增大后减小
B．当温度为 时，草莓的呼吸作用耗氧速率最大
C．草莓的光合作用产氧速率比呼吸作用耗氧速率大
D．草莓中有机物积累最快时的温度约为
【答案】C
【分析】本题考查了函数图象，解题的关键是能够从函数图象中获得相应的信息．根据统计图获得相应的
信息，进行判断即可得．【详解】解：由图象，可知草莓的光合作用产氧速率随温度升高先增大后减小，故选项A正确；
由图象，当温度为 时，草莓的呼吸作用耗氧速率曲线达到最高点，草莓的呼吸作用耗氧速率最大，故
选项B正确；
由图象，可知光合作用产氧速率不总是大于呼吸作用耗氧速率，故选项C不正确；
由图象，当温度约为 时，光合作用产氧速率与呼吸作用耗氧速率相差最大，结合题意可知此时草莓生
长最快，故选项D正确；
故选：C．
35．（24-25八年级下·陕西安康·期末）随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图 是某餐厅
的机器人宝宝和贝贝，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，宝宝比贝贝先出发，且速度保持不变，贝
贝出发一段时间后将速度提高到原来的 倍．设宝宝行走的时间为 ，宝宝和贝贝行走的路程分别为 (
)， ( )， ， 与 的函数图象如图 所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．客人距离厨房门口 B．宝宝的速度为
C．贝贝出发 后将速度提高到原来的 倍 D．贝贝出发后 与宝宝相遇
【答案】B
【分析】本题考查了从函数图象的应用，一元一次方程的应用，根据函数图象逐项分析即可求解，函数图
象获取解题有关的信息是解题的关键．
【详解】解： 、由函数图象可知，客人距离厨房门口 ，该选项说法正确，不合题意；
、由函数图象可知，贝贝一开始的速度为 ，提速之后的速度为 ，
∴ ，
∴宝宝的速度为 ，该选项说法错误，符合题意；
、由函数图象可知，贝贝出发 后将速度提高到原来的 倍，该选项说法正确，不合题意；
、设贝贝出发后 与宝宝相遇，则 ，
解得 ，
∴贝贝出发后 与宝宝相遇，该选项说法正确，不合题意；
故选： ．
36．（2025·宁夏银川·模拟预测）甲、乙两人在一条长400米的直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速
跑步，先到终点的人原地休息，已知甲先出发3秒，在跑步过程中，甲、乙两人的距离y（米）与乙出发
的时间t（秒）之间的关系如图所示，有如下三个结论：①甲的速度是4米/秒；②离开起点后，甲、乙两
人第一次相遇时，距离起点60米；③甲、乙两人相距的最大距离为68米．上述所有正确结论的序号是
．
【答案】①②③
【分析】本题考查从函数图像获取信息，根据函数图象得出相关信息是解题关键．
根据图象及行程问题进行先求出甲、乙的速度即可求解．
【详解】解：由图可知：甲3秒跑了12米，
∴甲的速度是4米/秒；故①正确；
∴甲从起点到终点共用 （秒），
由图知，乙用80秒跑400米，
∴乙速度为5米/秒，
∴乙追上甲用的时间为 （秒），
此时距出发点 （米），故②正确；
乙出发80秒时，甲跑的路程是 （米），
此时甲、乙两人相距距离最大，最大距离是 （米），故③正确；
故答案为：①②③．
37．（24-25七年级下·宁夏银川·期末）某校科技节启用无人机航拍活动，在操控无人机时可调节高度，已
知无人机在上升和下降过程中速度相同，设无人机的飞行高度 （米）与操控无人机的时间 （分钟）之间
的关系如图中的实线所示，根据图象回答下列问题：(1)图中的自变量是___________，因变量是___________；（用文字表达）
(2)无人机在75米高的上空停留的时间是___________分钟；
(3)在上升或下降过程中，无人机的速度为___________米／分；
(4)图中 ___________， ___________．
【答案】(1)操控无人机的时间，无人机的飞行高度
(2)5
(3)25
(4)2，15
【分析】此题考查函数图象问题，从图象中获取信息是学习函数的基本功，要结合题意熟练掌握．
（1）根据图象信息得出自变量和因变量；
（2）根据图象信息得出无人机在75米高的上空停留的时间 分钟；
（3）根据“速度=路程÷时间”计算即可；
（4）根据（3）中结果，计算时间即可．
【详解】（1）解：横轴是时间，纵轴是高度，所以自变量是操控无人机的时间，因变量是无人机飞行的
高度；
故答案为：操控无人机的时间，无人机飞行的高度；
（2）解：无人机在75米高的上空停留的时间是 （分），
故答案为：5；
（3）解：在上升或下降过程中，无人机的速度 （米/分），
故答案为：25．
（4） ， ，
故答案为：2；15．
38．（24-25七年级下·陕西西安·期末）某运输公司派出甲、乙两车负责运送一批货物，已知两车同时从M
城出发驶往N城，甲车到达N城后立即按原路返回M城（卸载货物的时间忽略不计），乙车到达N城后停
止，如图是甲车、乙车离M城的距离y（千米）与甲车行驶的时间x（小时）的关系，请结合图象回答下
列问题：(1)甲车驶向N城的速度为_______千米/小时，返回M城的速度为_________千米/小时；
(2)在甲、乙两车相遇之前，出发多长时间两车相距10千米？
【答案】(1)60，90
(2)在甲、乙两车相遇之前，出发 小时或 小时，两车相距 10 千米
【分析】本题考查函数图象，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
（1）由甲车图象过 得，甲车驶向 城的速度为 （千米／小时），甲车返回 城的速
度为 （千米／小时）；
（2）分两种情况列方程，即可解得答案．
【详解】（1）解：由甲车图象过 得，甲车驶向 城的速度为 （千米／小时），
由甲车图象过 得，甲车返回 城的速度为 （千米／小时）；
故答案为： 60，90 ；
（2）解：乙车的速度为 （千米／小时），
设出发 两车相距 10 千米，
分两种情况：
当甲车驶向 城时， ，
解得 ；
当甲车返回 城，与乙车相遇前： ，
解得 ；
∴在甲、乙两车相遇之前，出发 小时或 小时，两车相距 10 千米．
39．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x
之间的函数关系，根据图象进行以下探究：
(1)【信息读取】甲、乙两地相距 千米，两车出发后 小时相遇；普通列车到达终点共需
小时，普通列车的速度是 千米/小时；
(2)【解决问题】普通列车行驶t小时后，动车到达终点，求此时普通列车还需行驶多少千米到达甲地？
【答案】(1)1000，3，12， ．
(2)
【分析】本题考查了从函数图象获取信息，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）观察图象并根据速度=路程÷时间计算即可；
（2）求出动车的速度，从而求出动车到达乙地所用时间，进而根据普通列车的速度×（普通列车到达终点
需要的时间﹣已行驶的时间）计算即可．
【详解】（1）解：由图可知：
甲、乙两地相距1000千米，两车出发后3小时相遇；
普通列车到达终点共需12小时，
普通列车的速度是 （千米/小时）．
故答案为：1000，3，12， ．
（2）动车的速度为 （千米/小时），
则动车到达乙地所用时间为 （小时），
∴ ，
（千米）．答：此时普通列车还需行驶 千米到达甲地．
题型5 求自变量或者函数值
本质是解方程。已知x求y，直接代入解析式计算；已知y求x，解关于x的方程。注意结果可能不止一
个（如二次函数），需结合自变量取值范围验根舍去不合题意的解．
40．（24-25八年级下·河南南阳·阶段练习）当 时， 的函数值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了根据自变量的值求二次函数的值，解题关键是掌握根据自变量的值求二次函数的值的
方法．
将 代入函数表达式中，求出函数值．
【详解】解：当 时，
，
故选：B．
41．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）课堂上老师设计了程序图，若输出的 值是 ，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求自变量的值，将 分别代入两个函数解析式，求出自变量的值，然后检验即可，
掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：将 代入 得，
，解得 ，不符合题意；
将 代入 得，，解得 ，符合题意；
故答案为： ．
42．（25-26八年级上·全国·课前预习）在函数 中，当 时，函数值为 ；当函数值为4时，
自变量x的值为 ．
【答案】 9
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数上点的坐标特征，分别将 和 代入函数解析式求
解即可．
【详解】解：当 时， ，
∴当 时，函数的值为9；
当 时，即 ，
解得 ，
∴当函数值为4时，自变量x的值为 ．
故答案为：9； ．
43．（2025·上海浦东新·三模）已知函数 ，那么
【答案】3
【分析】本题考查求函数值，二次根式的运算，把 代入函数表达式，进行计算即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ；
故答案为：3
44．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）地表以下岩层的温度y（ ）随着所处深度x（ ）的变化而
变化，在某个地点y与x之间的关系可以近似地用关系式 来表示，当 时，
．
【答案】720【分析】本题主要考查了利用自变量的值求函数值的计算，把自变量的值代入函数关系式中求出相应的函
数值是解题的关键；
把 代入关系式 计算，可得结果．
【详解】由题知，当 时， ．
故答案为：720 ．
45．（25-26七年级上·全国·课后作业）同一温度的华氏度数 与摄氏度数 之间的函数关系是
．如果某一温度的摄氏度数是 ，那么它的华氏度数是 ．
【答案】77
【分析】本题主要考查了求函数值．把 代入 计算即可．
【详解】解：当 时， ，
即它的华氏度数是 ．
故答案为：77
46．（24-25七年级下·河北张家口·期末）自变量 与因变量 的关系如图，当x增加1时， 增加 ．
【答案】3
【分析】本题主要考查函数的概念，自变量与函数值的计算方法，掌握函数的概念，自变量与函数值的计
算方法是解题的关键．
把x变为 ，再代入解析式，即可求解．
【详解】解：∵自变量 与因变量 的关系式为 ，
当x增加1时， ，
∴ 增加3．
故答案为：3
47．（24-25七年级下·广东佛山·期中）小鹏发现，按照航空公司的规定，他需交的行李费用 （单位：
元）和携带的行李量 （单位： ）的关系是 ，则他携带 行李需要交行李费元．
【答案】300
【分析】本题考查求函数值，掌握代入自变量的值求对应函数值的方法是解题的关键．
当 时，求出对应 的值即可．
【详解】解：当 时， ，
∴他携带 行李需要交行李费 300 元．
故答案为：300．
48．（24-25八年级下·广东江门·期末）电流通过导线时会产生热量，电流 （单位： ）、导线电阻
（单位： ），通电时间 （单位： ）与产生的热量 （单位： ）满足 ．已知导线的电阻为 ，
时间导线产生 的热量，则电流 的值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了根据函数解析式求其中变量问题，将电阻、时间、热量代入公式计算即可．
【详解】解：将 ， ， ，代入 ，
得： ，
化简得： ，
解得 或 （负值不合题意，舍去），
故答案为：2．
49．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图是一支温度计的示意图，图中左边是用摄氏温度表示的温度
值，右边是用华氏温度表示的温度值，华氏温度值 （ ）与摄氏温度值 （ ）之间的关系式为
．
(1)若摄氏温度为 时，求对应华氏温度；
(2)若华氏温度为 时，求对应摄氏温度．【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了求函数的自变量的值和函数值，弄清题意，正确进行运算是解题的关键；
（1）将 代入解析式，即可求解；
（2）将 代入解析式，即可求解；
【详解】（1）解：当 时， ，
所以摄氏温度为 时的华氏温度为 ；
（2）当 时， ，
解得 ；
所以华氏温度为 时的摄氏温度 ．
题型6 列函数关系式
①审题，明确变量和常量；②找等量关系，利用几何公式（如周长、面积）、物理定律或生活常识；③
用含x的代数式表示y，化简得解析式；④确定自变量取值范围．
50．（24-25六年级下·山东威海·期末）“体重管理年”是国家卫生健康委等多部门于2024年6月联合启
动的为期三年的全民健康行动，旨在通过科学干预和社会协同降低超重与肥胖率，提升全民健康水平．体
重 的小丽做了一个可行的“瘦身计划”，计划平均每天减掉 ，x天 后的体重为 ，则
y与x的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列函数关系是，根据题意，初始体重为 ，每天减少 ，建立 与 的函数关
系式即可，理解题意是解此题的关键．
【详解】解：小丽的初始体重为 ，每天减少 ，则 天后减少的总重量为 ，
因此， 天后的体重 可表示为初始体重减去减少的总重量，即 ，故选：B．
51．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一款商务签字笔购买数量 （支）与应付钱数 （元）之间的
关系如下表所示，下列关于小明和小亮的结论判断正确的是（ ）
购买数量 （支）
应付钱数
（元）
小明：应付钱数是自变量的函数；
小亮： 与 之间的函数解析式为
A．只有小明的对 B．只有小亮的对
C．小明和小亮的都对 D．小明和小亮的都不对
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的理解，函数的图表表示和解析式表示，熟练掌握定义，正确表示是解题
的关键．根据表格数据，判断应付钱数是否为自变量的函数，并验证函数解析式的正确性．
【详解】解：由表格可知，每有一个确定的购买数量 （支），对应唯一的应付钱数 （元）．例如，
时 ， 时 ，依此类推．根据函数的定义，因变量 是自变量 的函数，因此小明的结
论正确．
小亮给出的解析式为 ．
当 时，代入得 ，但实际表格中 ，矛盾．
观察表格数据， 与 的比值恒为15，说明 与 成正比例关系，正确解析式应为 ．因此小亮的结
论错误．
综上，只有小明的结论正确，
故选：A．
52．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）某公司招聘销售员，采用下面的两种方案给销售员结算月工资．方
案甲：底薪2000元，每销售一件产品奖励300元；方案乙：没有底薪，每销售一件产品奖励500元．应聘
者只能选择其中的一种工资结算方式．
(1)设应聘者的月收入为y（元），月销售的产品件数为x（件），写出两种方案中y和x的关系式（不需要
写出自变量范围）；(2)销售员月销售量达到多少件时两种方案的工资相等？是多少元？
【答案】(1)甲方案： ；乙方案：
(2)销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元
【分析】本题考查一元一次方程的应用、列函数关系式，理解题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）根据两个方案的计算方法求解判断即可；
（2）根据“两种方案的工资相等”，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：甲方案： ；
乙方案： ；
（2）解：∵两种方案的工资相等，
∴ ，
解得： ，
此时 ，
即销售员月销售量达到10件时两种方案的工资相等，5000元．
53．（24-25七年级下·甘肃酒泉·期末）夏天蚊虫肆虐，许多家庭会使用蚊香进行灭蚊．为了测试某品牌一
盘蚊香的燃烧时间 与蚊香长度 之间的关系．数学小组的同学通过试验得到如下数据：
蚊香燃烧时间
0 1 2 …
10 9
蚊香长度 100 90 85 …
5 5
请根据以上信息解答下列问题：
(1)当蚊香的燃烧时间为 时，蚊香的长度为__________ ；
(2)直接写出蚊香长度 与蚊香燃烧时间 之间的关系式．
【答案】(1)75
(2)
【分析】本题考查了函数的定义、求函数解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由题意可知，蚊香每燃烧 ，缩短 ，即可求解．
（2）根据点燃时蚊香每小时缩短 ，即可得出关系式；
【详解】（1）解：由表格可知，蚊香每燃烧 ，缩短 ，∵蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，
∴ ，
故答案为：75；
（2）解：由表格可得：点燃时蚊香每小时缩短 ，
∴蚊香长度 与蚊香燃烧时间t的关系式为 ；
54．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）李师傅将容量为60升的货车油箱加满后，从工厂出发运送一
批物资到某地，行驶过程中，货车离目的地的路程 （千米）与行驶时间 （小时）的关系如图所示，当油
箱中剩余油量为10升时，货车会自动显示加油提醒，设货车平均耗油量为 升/千米，请根据图象解答下
列问题：
(1)工厂距目的地的路程为___________千米；
(2)求 关于 的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
(3)运输过程中，当货车显示加油提醒时， 是多少？
【答案】(1)880
(2)
(3) 小时
【分析】本题主要考查了函数图象的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用函数图象中的关键信息是关键．
（1）依据题意，由货车从工厂去目的地送一批物资，结合图象可以得解；
（2）依据题意，货车的速度为 （千米 小时），从而 ，又令
，求出 可得自变量的取值范围；
（3）依据题意得， ，进而计算可以得解．
【详解】（1）解： 货车从工厂去目的地送一批物资，
当 时， 就是表示工厂距目的地的路程，即为880千米．
故答案为：880；（2）解：货车的速度为 （千米 小时），
则 ，
当 时，解得 ，
关于 的函数解析式为 ．
（3）解： ，
解得： ．
即运输过程中，当货车显示加油提醒时， 是 小时．
55．（25-26八年级上·全国·课后作业）将长为 、宽为 的长方形白纸按如下图所示的方法黏合起
来，黏合部分的宽为 ．
(1)根据上图，将如下表格补充完整．
白纸张
1 2 3 4 5 …
数
纸条长 14
40 110 …
度 5
(2)设x张白纸黏合后的总长度为 ，则y与x之间的表达式是什么？
(3)白纸黏合后的总长度是否可能为 ？若可能，请计算所需白纸张数；若不可能，请通过计算说明
理由．
【答案】(1)75 180
(2)
(3)不能．理由见解析
【分析】本题考查了函数关系式，规律型-图形的变化类，从数字找规律，列出y与x之间的关系式是解题
的关键．
（1）结合图形进行计算，2张白纸的总长度，5张白纸的总长度即可解答；
（2）从数字找规律进行计算即可解答；
（3）把 代入 中进行计算即可解答．【详解】（1）解：2张白纸的总长度为： ，
5张白纸的总长度为： ，
故答案为：75，180；
（2）解：∵1张白纸的总长度为： ，
2张白纸的总长度为： ，
3张白纸的总长度为： ，
..．
∴x张白纸黏合后的总长度为： ，
∴
，
∴y与x之间的关系式为： ；
（3）解：不能．理由如下：
当 时， ，
解得 ．
因为x为整数，所以白纸黏合后的总长度不可能为 ．
56．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）草莓销售季节，某种植基地开发了草莓采摘无人销售方式，为
方便小朋友体验，销售人员把草莓销售数量 与销售总价y（元）之间的关系表格贴在了无人销售店的
墙上：
销售数量 1 2 3 4 ……
销售总价y（元） …
(1)表格中的两个变量，哪个是自变量？哪个是自变量的函数？
(2)请写出销售总价y（元）关于销售数量 的函数解析式；(3)丽丽一家共摘了 草莓，应付多少钱？
【答案】(1)表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数
(2)
(3) 元
【分析】（1）根据函数的定义判断解答即可；
（2）销售数量x每增加 ，销售总价y增加8元，其中 元是必须要支付的，由此确定解析式即可；
（3）根据解析式计算即可．
本题考查了函数的定义，函数的表达式，求函数值，熟练掌握定义，表达式确定，求函数值是解题的关键．
【详解】（1）解：表格中的两个变量，销售数量（x）是自变量，销售总价（y）是自变量的函数．
（2）解：销售数量x每增加 ，销售总价y增加8元，其中 元是必须要支付的，由此销售总价y关于
销售数量x的函数解析式为： ．
（3）解：根据题意得， ，
应付的钱数为： （元）．
57．（24-25八年级上·江苏连云港·阶段练习）某油箱容量为 的汽车，加满汽油后行驶了 时，油
箱中的汽油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 ，油箱中剩余油量为 ，
(1)你能写出 与 之间的关系式是______．
(2)当汽车行驶的路程为 ，油箱中还有多少油？
(3)汽车最多能行驶多远？
【答案】(1)
(2)油箱中还有 油
(3)汽车最多能行驶 千米
【分析】本题考查了列函数关系式，求函数值或自变量的值；
（1）根据油箱容量为 升的汽车，加满汽油后行驶了 千米时，油箱中的汽油大约消耗了 升，可以
求出每千米的耗油量，从而可以得到 与 之间的函数关系式．
（2）将 代入关系式，即可求解；（3）令 ，代入关系式，即可求解．
【详解】（1）解： 每千米耗油量为： （升），
由题意得： ，
即 与 之间的函数关系式是： ．
故答案为： ．
（2）当 时， ，
（3）当 时，
解得：
汽车最多能行驶 千米
58．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）将一些长为 ，宽为 的长方形白纸，按照下图所示的方法
粘合起来，粘合部分的宽为 ．
观察图形中的规律，解答下列问题：
(1)将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是________ ；
(2)设将 张白纸粘合后的总长度为 ，写出 与 之间的关系式；
(3)求 的值分别是4，8，15时相对应的 值．
【答案】(1)75
(2)
(3)当 时， ；当 时， ；当 时，
【分析】本题主要考查了函数关系式的知识．
（1）根据题意找出白纸张数跟纸条长度之间的关系，列式计算即可；
（2）x张白纸粘合，需粘合 次，重叠 ，所以总长可以表示出来；
（3）分别将 、 、 代入（2）中的关系式计算出对应的 值即可．
【详解】（1）解：将2张白纸粘合起来，2张白纸的总长度是：
，故答案为：75；
（2）解：根据题意和所给图形可得出：
，
所以，y与x之间的关系式是 ；
（3）解：当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
59．（21-22七年级下·甘肃张掖·期中）测得一弹簧的长度L（厘米）与悬挂物体的质量x（千克）有下面
一组对应值：
悬挂物体的质量x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8
弹簧的长度L（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
试根据表中各对对应值解答下列问题：
(1)用代数式表示挂质量为x千克的物体时的弹簧的长度L．
(2)求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？
(3)若测得弹簧的长度是18厘米，则所挂物体的质量为多少千克？
【答案】(1)L=0.5x+12 ；
(2)弹簧的长度是17厘米；
(3)所挂物体质量是12千克．
【分析】（1）观察表格即可得规律∶弹簧称所挂重物质量x每增加1千克，弹簧长度L就增加0.5厘米，
从而可得出挂质量为x千克与弹簧的长度L之间的关系；
（2）将x=10代入解析式，求出L的值，即可求得答案；
（3）将L= 18代入求出即可．
【详解】（1）解∶由表格可知，弹簧的长度L的初始值为12厘米，当弹簧称所挂重物质量x每增加1千
克，弹簧长度L就增加0.5厘米，
∴L=0.5x+12 ；
（2）解：当x=10时，L=0.5x+12=17=0.5×10+12=17（厘米），
答∶当所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是17厘米；（3）解：当L= 18厘米时，则18=0.5x+ 12，
解得∶x=12（千克），
答∶所挂物体质量是12千克．
【点睛】此题考查了用关系式表示变量间的关系以及求变量的值，解题的关键是根据题意找出因变量随自
变量变化的规律．
题型7 动点问题的函数图象
①设运动时间为自变量t；②用含t的式子表示动点坐标或关键线段的长度；③根据几何图形性质（如相
似、勾股定理）建立函数关系式；④分析t的取值范围，判断图象的起点、终点和变化趋势．
60．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）如图1，在 中，点D为 的中点，动点P从点D出发，
沿着 的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段 的长度y随着运动时间
x的函数关系如图2所示，则m的值为（ ）
A．4 B． C． D．5
【答案】B
【分析】本题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、垂线段最短和勾股定理是解
决此题的关键．根据图象和图形的对应关系即可求出 的长，从而求出 ，
然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出 时 ，根据勾股定理即可求出
，即可解答．
【详解】解：依题意，动点 从点 出发，线段 的长度为 ，运动时间为 ，
根据图象可知，当 时，
∴ ，
∵点 为 边中点，
∴ ，
由图象可知，当运动时间 时，y最小，即 最小，∴根据垂线段最短，此时 ，
如图所示，此时点P运动的路程 ，
∴ ，
∴在 中， ，
即 ．
故选：B．
61．（2025·广西南宁·三模）如图1，在 中， ，动点 从点 出发沿 匀速运动，
运动到点 时停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长为 ， 与 的函数图象如图2所示．已知点
在线段 上运动，当 时， 有最小值，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查动点问题的函数图象，关键是根据图2确定点M的坐标与三角形的边之间的关系．
根据图2确定点M的横坐标为 的长度，纵坐标为 的长度，然后求值即可．
【详解】解：如图， 于点D，
由题意可知，当点P在 边上时，y的值先减小后增大，当 时， ，当 时，y有最小值，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴当点P运动到点C时，线段 达到最大，即点M的位置，
∴点M的横坐标为 的长度，纵坐标为 的长度，
∴点M的坐标为 ，
故选：C．
62．（24-25八年级下·河南开封·阶段练习）如图（ ），在 中，动点 从点 出发沿折线
匀速运动至点 后停止．设点 的运动路程为 ，线段 的长度为 ，图（ ）是 与 的
函数关系的大致图象，其中点 为曲线 的最低点，则 的高 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，作 于 ，当点 与 重合时，在图2中
点，表示当 时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时， 最小，再由勾股定理计算即可
得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，作 于 ，，
当点 与 重合时，在图2中 点，表示当 时，点 到达点 ，此时当 在 上运动时，
最小，
∴ ， ， ，
∵在 中， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故选：B．
63．（24-25七年级下·内蒙古包头·阶段练习）动点H以每秒1厘米的速度沿图①的边框（边框拐角处都互
相垂直）按 的路径匀速运动，相应的 的面积S（平方厘米）与时间t（s）的关系图
象如图②所示，已知 ，设点H的运动时间为t秒．
(1)图②中反映了两个变量之间的关系，其中自变量为______，因变量为______．
(2) ______， ______， ______．
(3)当 的面积为8平方厘米时，求点H的运动时间t的值．
【答案】(1)t；S(2)
(3)点H的运动时间t为 或
【分析】本题主要考查动点问题的函数图象，理解题意是解题的关键．
（1）根据题意及函数的定义即可作答；
（2）根据三角形的面积及图象即可得出答案；
（3）分点H在 上运动和点H在 上运动时两种情况．
【详解】（1）解： 的面积S随着时间t的改变而改变．
故答案为：t；S．
（2）由图象可得 ，
∴ ， ．
故答案为： ．
（3）当点H在 上运动时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
当点H在 上运动时， ，
，
∴ ，
故当 的面积为 时，点H的运动时间t为 或 ．
64．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图1，在长方形 中， 是对角线，动点 从点 出发，
沿着 的路径运动．过点 作 于点 ．设点 的运动路程为 ， 的值为 ，
与 之间的变量关系如图2所示．(1)请问 ， ， ；
(2)图2中(？)处该填 ；
(3)当点 在线段 上运动时 不与端点重合 ，求 的面积 与 之间的关系式(写出 的取值范围)．
【答案】(1) ， ，
(2)
(3)
【分析】本题考查了勾股定理，动点问题的函数图象，数形结合是解题的关键．
（1）根据图2可得，当 时， 取得最小值，此时 运动到点 ，得出 ，根据当 点运
动到点 点时， ， 取得最大值，求得 ，进而勾股定理求得 ，即可求解；
（2）根据（1）的结论，结合函数图象，即可求解；
（3）根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：根据图2可得，当 时， 取得最小值，此时 运动到点 ，即 ，
当 点运动到点 点时， ， 取得最大值，此时
在 中，
∴ ；
故答案为： ， ， ．
（2）解：由（1）可得 ，
∴当 时， 取得最小值，此时 运动到点 ，则
故答案为： ．
（3）解：点 在线段 上运动时 不与端点重合 ，则
∴
65．（24-25七年级下·重庆·期中）如图1，在长方形 中， ，动点 从点 出发，以每秒 个单位的速度沿 的路线匀速运动，直至运动到点 停止．图2是点 出发 秒后， 的
面积 随时间 变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1) _______ ， ______．
(2)当动点 从点 出发并在 边上运动时，另一动点 同时从点 出发以每秒 个单位的速度沿边
匀速运动，直至 点停止，则当 为何值时， 与 可以全等．
(3)当动点 从点 出发时，另一动点 同时从点 出发以每秒5个单位的速度沿边 匀速运动，直至
点停止，则在动点 的整个运动过程中，当 为何值时， 的面积为20．
【答案】(1)5，48
(2)4或
(3) 或 或 或
【分析】本题考查了函数他图象，全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是：
（1）根据点P在 、 上运动的时间相同求出a，进而求出点P在 上运动的时间，由 的长度可
求出点P的运动速度，进而求出 ，根据三角形的面积公式可求出b的值；
（2）分 ， 两种情况讨论即可；
（3）分当 到 之前：① 、 相遇前；② 、 相遇后；当 到 之后：① 在 上，
② 在 上，讨论，然后根据 的面积为20关键关于t的方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，
∴点P在 、 上运动的时间相同，
∴ ，
∴ ，
∴点P在 上运动的时间为 ，∴点P的运动速度为 个单位每秒，
∴ 个单位，
∴ ，
故答案为：5，48；
（2）解：①当 时，有
，解得 ，
；
②当 时，有
，解得 ，
，
综上， 的值为4或 ；
（3）解：当 到 之前：
，
，
① 、 相遇前，
，
；
② 、 相遇后，
，
；
当 到 之后：
① 在 上，
，
；② 在 上，
，
；
综上， 或 或 或 ．
培优综合练
66．（24-25六年级下·山东淄博·阶段练习）一辆快车从实验中学开往锦绣中学，一辆慢车从锦绣中学开往
实验中学，两车同时出发，设快车离锦绣中学的距离为 （ ），慢车离锦绣中学的距离为 （ ），
行驶时间为x（h），两车之间的距离为s（ ）． ， 与x的函数关系图象如图1所示，s与x的函数
关系图象如图2所示．则下列判断：①图1中 ；②当 时，两车相遇；③当两车相距 时，
．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】本题考查从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，理解题意，看懂图象是解题关键．由
图象可知两地相距300千米，且当 时，快车到达终点，即可判断①；分别求出快车和慢车的速度，即
可求出相遇时的时间，可判断②；分两种情况讨论，列方程求解即可判断③．
【详解】解：由题意可知锦绣中学与实验中学的距离为300千米，当 时，快车到达实验中学，
∴ ，故①正确；
快车的速度为 ，慢车的速度为 ，相遇时，即 ，
解得： ，故②正确；
在相遇前，两车相距 ，由题意得 ，
解得： ；
在相遇后，两车相距 ，由题意得 ，
解得： ，
∴当 或 时，两车相距
故③错误；
综上可知①②正确．
故选：C．
67．（21-22九年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在平面直角坐标系中，点 ，点 ，点
，点 从点 出发沿 路线以每秒1个单位的速度运动，点 从点 出发沿
路线以每秒 个单位的速度运动，当一个点到达终点时另一个点随之停止运动，设 ，
运动时间为 秒，则正确表达 与 的关系图象是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先分析各个线段的长，在Rt△OAB中，可知，OA=2，OB=2 ，AB=4，∠BAO=60°，过点C作
CM⊥y轴于点M，易得△OBC是等边三角形，OC=BC=OB=2 ，点P在OA上运动用时2s，在AB上运动
用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，则点P和点Q共用时4s，可排除D选项；再算
出点P在OA上时，y的函数表达式，结合选项可得结论．
【详解】解：如图，∵点A（2，0），点B（0，2 ），
∴OA=2，OB=2 ，
∴AB=4，∠BAO=60°，
过点C作CM⊥y轴于点M，则OM=BM= ，CM=3，
∴OC=BC=2 ，
∴△OBC是等边三角形，∠BOC=60°，
∴点P在OA上运动用时2s，在AB上运动用时4s，点Q在OC上运动用时2s，在OC上运动用时2s，
即点P和点Q共运动4s后停止；由此可排除D选项．
当点P在线段OA上运动时，点Q在线段OC上运动，过点Q作QN⊥x轴于点N，
由点P，点Q的运动可知，OP=t，OQ= t，
∴
∴
∴
即当0＜t＜2时，函数图象为抛物线，
结合选项可排除A，C．
故选：B．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，主要考查等边三角形的性质，二次函数图象的性质，含30°的
直角三角形，勾股定理等知识，由坐标转线段长，得出特殊的三角形是解题关键．
68．（2025·河北邯郸·模拟预测）嘉淇借助数学软件探究函数 的图象，输入了一组a，b的值，
得到了它的函数图象如图所示．借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查根据函数图象特征确定函数中参数的取值范围，关键是利用分母不为0的性质和函
数图象经过的象限来分析．通过观察函数图象的特征，确定a的取值范围，再根据函数图象经过的象限确
定b的取值范围．
【详解】解： 函数 ，
分母 ，
，
由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，
，
由图可知当 时，函数图像位于x轴下方，
当 时， ，
，
，
故
故选：A．
69．（24-25七年级下·广西南宁·期末）一个人的脚长往往对应着这个人某些方面的基本特征，某数学兴趣
小组收集了大量不同人群的脚长和身高数据，部分数据记录如下表：脚长
23 24 25 26 27 28
身高 15
163 167 178 184 191
6
并据此用一条直线描述一个人的脚长与其身高之间的变化趋势，如图，则图中最适合的直线是（ ）
A．① B．② C．③ D．①②③都不能
【答案】B
【分析】本题考查函数图象的识别，掌握描点法画函数的图象是解题的关键．根据表格中的数据对描点，
根据这些点的分布情况判断即可．
【详解】解：根据表格中的数据对描点如图所示：
由图可知，这些点基本上分布在直线②上，
∴图中最适合的直线是②．
故选：B．
70．（2022·黑龙江大庆·中考真题）函数 叫做高斯函数，其中x为任意实数， 表示不超过x的最大整数．定义 ，则下列说法正确的个数为( )
① ；
② ；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ；
④函数 中，当 时， ．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根据 表示不超过x的最大整数，即可解答．
【详解】解：① ，故原说法错误；
② ，正确，符合题意；
③高斯函数 中，当 时，x的取值范围是 ，正确，符合题意；
④函数 中，当 时， ，正确，符合题意；
所以，正确的结论有3个．
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是明确 表示不超过x的最大整数．
71．（2025九年级下·湖北武汉·学业考试）如图1，在 中， 是边 上的定点．点 从点 出发，
依次沿 两边匀速运动，运动到点 时停止．设点 运动的路程为 ， 的长为 ， 关于 的函
数图象如图2所示．其中 分别是两段曲线的最低点．点 的纵坐标是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到 的长度及点D到 的距离，点N的
纵坐标表示点D到 的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可
知 的长度及点D到 的距离，点N的纵坐标表示点D到 的距离，再根据勾股定理及其
逆定理、三角形面积公式求出点D到 的距离即可．
【详解】解：根据图2， ，点D到 的距离 ，点N的纵坐标表示点D到
的距离 ．如图：
在 中，利用勾股定理，得 ，
在 中利用勾股定理，得 ，
则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中利用勾股定理，得 ，则 ，
解得 ，
∴点N的纵坐标是 ．
故选：B．
72．（2025·湖北武汉·模拟预测）为了研究函数 的性质，小杨同学用描点法画它的图象，
列出了下列表格：
… 0 1 2 3 …
… …
下列五个结论：
①该函数图象是一个轴对称图形；②该函数图象在 轴下方；
③该函数没有最高点；④当 时， 随 的增大而增大；
⑤若将该函数图象关于 轴对称，则对称后的图象函数解析式是 ．
其中正确的结论是 （填写序号）．
【答案】①③⑤
【分析】本题主要考查了函数的表示、反例法、轴对称的性质、函数的性质等知识点，灵活运用相关知识
成为解题的关键．
直接根据表格数据可判定①；举反例可以判定②；根据表格数据可以判定③和④；根据关于坐标轴对称的
特点可判定⑤．
【详解】解：①通过表格数据可知该函数是一个对称轴为 的轴对称图形，即①正确；
②当 时， ，故该函数图象不一定在 轴下方，即②错误；
③由结论②的分析可知，当 时， ，而表格中的 值均为负数，说明函数没有最高点，即③
正确；
④当 时，由表格可知 ，即 随 的增大而减小，故④错误；⑤若将该函数图象关于 轴对称，则纵坐标变为原来的相反数，即 ，故⑤
正确．
综上，正确的为①③⑤．
故答案为①③⑤．
73．（24-25七年级下·四川成都·期末）（1）如图，在长方形 中，长为 ，宽为 ．除阴影部分
M，N外，其余5块是全等的小长方形，小长方形的宽为 ．
求每个小长方形的长（用含x的代数式表示）；
分别用含x，y的代数式表示阴影M，N的面积；
若阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化，请求出x的值，并说明理由．
（2）如图1，梯形上底 的长为 ，高 ，动点P以 的速度从A点出发，以
的路径运动，记 的面积为 ．y与运动时间t（单位：s）的关系如图2所示．
求 的长；
求图2中m，n的值；
求点P在线段 上运动时，y与t的关系式．【答案】（1）
，
，理由见解析
（2）
m的值为 ，n的值为15
【分析】本题考查列代数式，整式加减中的无关型问题，动点的函数图象，熟练掌握相关知识点，正确的
列出代数式，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键：
（1）①根据大长方形的长等于小长方形的长加上宽的3倍，列出代数式即可；
②根据面积公式列式计算即可；
③求出面积差，根据面积差与 值无关，得到含 的项的系数为0，进行求解即可；
（2）①由函数图象可知，点 第5秒到达点 ，第11秒到达点 ，根据路程等于速度乘以时间求出 的
长即可；
②根据三角形的面积公式进行求解即可；
③求出在 上运动的时间，得到 的范围，利用三角形的面积公式，求出函数解析式即可．
【详解】（1）解：① 大长方形的长为3m，小长方形的宽是xm，
每个小长方形的长为 （m）
②由题意可得，阴影M的长为 m，宽是 （m），
阴影N的长为 （m），宽是 （m），
③当 时，阴影M与阴影N的面积差不会随y的变化而变化
解得
（2）解：①由图2可知，点P从 的运动时间为 （s），
（cm）
②根据题意得： （ ），
（s）
图2中m的值为 ，n的值为15．
③由图2可知，点P在线段 上运动时， ，
，
即 ．
74．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知动点P沿图1的边框（边框拐角处都互相垂直）按从
B→C→D→E→F→G→H→A的路径移动，开始以每秒 匀速运动，一段时间后速度变为每秒 匀速
运动，b秒后恢复原速，相应的三角形 的面积 关于动点P运动的时间 的关系图象如图2．
若 ， ，根据图象信息回答下列问题：
(1)请求出 ， ， ；
(2)当 的面积等于 ，求点P运动的时间t；
(3)当点P从B点出发时，有一动点Q同时从点B出发，以每秒 的速度沿B→C→D→E的路径运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．求 时，直接写出点P运动的时间t．
【答案】(1)6，4，8
(2) 或
(3) 和
【分析】本题考查了三角形面积，一元一次方程，函数图像和动点问题的知识，掌握以上知识是解答本题
的关键；
（1）通过分析图像可以得到当 时，动点在点 ，当 时，动点在点 ，当 时，动点在点 ，
根据三角形面积公式可求得 ，然后分析可得3秒到 秒间，动点速度为每秒 匀速运动， 秒到
秒间，动点速度为每秒 匀速运动，然后即可求得 ， ；
（2）根据图象可得：当 的面积等于 ，存在两种情况，动点分别在线段 和线段 上，且
动点速度都是每秒 匀速运动，然后分别列一元一次方程方程即可求解；
（3）先求得点 到达终点时间，然后在分情况列式作答，即可求解；
【详解】（1）解：由题可得，当点P运动到线段 、线段 和线段 ，三角形 的面积不变，
∴当 时，动点在点 ，当 时，动点在点 ，当 时，动点在点 ，
当动点在 上时，三角形 的面积为 ，
即 ，
解得： ，
∴ ，
由题可得：3秒到 秒间，动点速度为每秒 匀速运动， 秒到 秒间，动点速度为每秒 匀速运动，
即 ，
∴ ，
解得： ，
故答案为：6，4，8；（2）解：根据图象可得：当 的面积等于 ，存在两种情况，动点分别在线段 和线段 上，
且动点速度都是每秒 匀速运动，
，解得： ，
线段 ： ，
线段 ： ，
∴当 的面积等于 时，点P运动的时间 或 ；
（3）解： ，
∴当 时，点 到达终点，即点 和点 同时停止运动，
由图像可得：当 时，动点P速度为每秒 匀速运动，当 时，动点P速度为每秒 匀速
运动，当 时，动点P速度为每秒 匀速运动，
当点P在线段 上时， ，
，
当点P在线段 上时， ，
当点 在线段 上时， ，
当点 在线段 上时， ，
当点 在线段 上时， ，
分情况讨论
①当点 在线段 上时，点P也在线段 上时，由 ，即 ，解得： （符合），当 时， ， 或 ，均不符合，当点
在线段 上时，点P在线段 上时， ， （符合）或 （不符合），
故当点 在线段 上时，存在2种情况 和 ；
②当点 在线段 上时，当点P在线段 上时，由 ，由于 ，故不存
在；
③当点 在线段 上时，当点P在线段 上时，由 ，
即 ， （不符合）或 （不符合）；
综上所述：
当 时，存在2种情况，点P运动的时间 和 ；
