文档文本内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：函数的概念....................................................................................................................................................2
题型二：同一函数的判断............................................................................................................................................3
题型三：给出函数解析式求解定义域........................................................................................................................5
题型四：抽象函数定义域............................................................................................................................................6
题型五：函数定义域的综合应用................................................................................................................................8
题型六：待定系数法求解析式....................................................................................................................................9
题型七：换元法求解析式..........................................................................................................................................10
题型八：方程组消元法求解析式..............................................................................................................................12
题型九：赋值法求解析式..........................................................................................................................................14
题型十：求值域的7个基本方法...............................................................................................................................15
题型十一：数形结合求值域......................................................................................................................................19
题型十二：值域与求参问题......................................................................................................................................21
题型十三：判别式法求值域......................................................................................................................................23
题型十四：三角换元法求值域..................................................................................................................................25
题型十五：分段函数求值、求参数问题..................................................................................................................27
题型十六：分段函数与方程、不等式......................................................................................................................28
02 重难创新练....................................................................................................................................30
03 真题实战练....................................................................................................................................36题型一：函数的概念
1．已知 ，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】对A：可得定义域为 ，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为 ，值域为 ，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
2．任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，则 是函数的一个充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意 ，按 ，在 的范围中必有唯一的值与之对应，
，则 ，则 的范围要包含 ，
故选：A．3．函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之
后，可以成为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为椭圆，
所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；
对于B项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为 ，
所以当其绕原点旋转 后，其一定是函数图象，故B项成立；
对于C项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；
对于D项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.
故选：B.
题型二：同一函数的判断
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、C、D中， 的定义域均为 ，而A中 的定义域为 ，C中 的定义域为 ，
D中 的定义域为 ，故A、C、D均错，B中 与 的定义域与值域均相同，故表示同一函数，
故选B．
考点：函数的解析式．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与 ； ② 与 ；
③ 与 ； ④ 与 ．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】① 与 的定义域是 ，而 ，故这两个函数
不是同一函数；
② 与 的定义域都是 ， ，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，
故这两个函数不是同一函数；
③ 与 的定义域都是 ，并且定义域内 ，对应法则也相同，故这两
个函数是同一函数；
④ 与 定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
7．下列函数中与函数 相等的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数 的定义域为R，
对于函数 ，其定义域为 ，对于函数 ，其定义域为 ，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数 ，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数 ，对应关系不同，即C错误.
故选：B8．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【解析】A：函数 和 的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；
B：函数 与 的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；
C：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；
D：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.
故选：A
题型三：给出函数解析式求解定义域
9．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R} B．{x|x>0}
C．{x|0<x<5} D．
【答案】D
【解析】由题意知 解得 <x<5
即定义域为
故选：D.
10．函数 的定义域为 ．
【答案】
【解析】由题意自变量 应满足 ，解得 且 ，
所以函数 的定义域为 .
故答案为： .11．（2024·四川南充·三模）函数 的定义域为 .
【答案】
【解析】因为 ，
所以 且 ，
解得 且 ，
故函数的定义域为 .
故答案为：
12．函数 的定义域为 .
【答案】
【解析】函数 的定义域满足 ，解得 且 ，
故函数 的定义域为 .
故答案为： .
13．函数 的定义域为 .
【答案】
【解析】函数 的定义域满足： ，
解得 且 .
故答案为： .
题型四：抽象函数定义域
14．若函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 .
【答案】
【解析】对于 ，因为 ，所以由 的单调性得 ，即 ，
所以对于 ，有 ，即 ，
由 的单调性得 ，解得 ，所以 的定义域为 .
故答案为： .
15．已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是 .
【答案】
【解析】由题意知： ，解得： ， 的定义域为 .
故答案为： .
16．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知，要使 有意义，
只需要 ，解得 ，
所以 ，
所以函数 的定义域为 .
故选：D.
17．已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由函数 的定义域为 ，得 ，
因此函数 中， ，解得 或 ，所以函数 的定义域为 .
故选：D
题型五：函数定义域的综合应用
18．若函数 的定义域为 ，则实数 实数 的取值范围 ．
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，则 ，
而函数 的定义域为 ，
所以 ，即 .
故答案为： ； .
19．函数 的定义域为 ，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由函数 的定义域为 ，
得 ， 恒成立．
当 时， ，成立；
当 时，需满足 于是 ．
综上所述，m的取值范围是 ．
故答案为： .
20．若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵函数 的定义域为 ，
所以 恒成立，
当 时， 显然不合题意，当 时，则
∴
综上所述
故选：C.
21．已知函数 的定义域为R，则a的范围是 ．
【答案】
【解析】有函数解析式知要使 定义域为R，则 恒成立，结合二次函数的
性质即可求参数a的范围.当 时， ，即定义域为R；
当 ，要使 的定义域为R，则 在 上恒成立，
∴ ，解得 ，
综上，有 ，
故答案为：
题型六：待定系数法求解析式
22．已知函数 是二次函数，且满足 ，则 = ．
【答案】
【解析】设二次函数
已知二次函数 满足
即：
可得： ，解得
则
23．若 是 上单调递减的一次函数，且 ，则 .
【答案】
【解析】因为 是 上单调递减的一次函数，所以可设 ，
所以 ，又因为 ，所以 恒成立，
所以 ，因为 ，所以 ， .
所以 .
故答案为：
24．已知二次函数f（x）的图象经过点（-3，2），顶点是（-2，3），则函数f（x）的解析式为
.
【答案】
【解析】根据顶点为（-2，3），设 ，
由f（x）过点（-3，2），得
解得a=-1，
所以
故答案为：
25．已知 是一次函数，且满足 ，求 ．
【答案】
【解析】因为 是一次函数，设 ，
因为 ，
所以 ，
整理可得 ，
所以 ，可得 ，
所以 ，
故答案为： .
26．已知定义在 上的函数 对任意实数 ， ，恒有 ，并且函数 在 上单调
递减，请写出一个符合条件的函数解析式 ．（需注明定义域）
【答案】 （不唯一）
【解析】由题意例如
且在 上单调递减故答案为： （不唯一）
题型七：换元法求解析式
27．（2024·高三·上海黄浦·开学考试）已知 ，则函数 的解析式为 .
【答案】
【解析】依题意，令 ，则 ，
所以函数 的解析式为 .
故答案为：
28．已知函数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】令 则
所以 ，
故 ，
故答案为：
29．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 ．
【答案】 /2.5
【解析】由题意得， ，
令 ，由 ，得 ，
∴ ．
故答案为： .
30．已知 是定义域为 的单调函数，且 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】由已知 ，令 ，
又因为 是定义域为 的单调函数．
所以存在唯一 ，使 ，即 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
如图所示作出 与 的图象，
因为它们互为反函数，则图象关于直线 对称，
由 ，
在图中作直线 ，则与 的交点的横坐标依次为 ，
可得 ，
又因为 是单调递增的，
所以 ，
故选：C.
题型八：方程组消元法求解析式
31．函数 是一个偶函数， 是一个奇函数，且 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为函数 是偶函数，函数 为奇函数，则 ， ，
由 可得 ，即 ，所以， ，解得 ，其中 ，
故选：A.
32．设定义在 上的函数 满足 ，则 .
【答案】
【解析】因为定义在 上的函数 满足 ，
将 换成 可得： ，将其代入上式可得：
，
所以 ，
故答案为： .
33．若对任意实数 ，均有 ，求
【答案】 /
【解析】∵ （1）
∴ （2）
由 得 ，
∴ .
故答案为： .
34．已知 ，求 的解析式 .
【答案】 ， .
【解析】因为 ，
所以 ，
消去 解得 ，故答案为： ， .
35．已知函数 满足 ，则 .
【答案】 /
【解析】因为 ①，
所以 ②，
② ①得， ．
故答案为： ．
题型九：赋值法求解析式
36．设函数 的定义域是 ，且对任意正实数 ，y，都有 恒成立，已知
，则 .
【答案】－1
【解析】令 ，得 ，
所以 ，解得 ，
，解得 ，
故答案为： .
37．已知 为定义在R上的奇函数， 为偶函数，且对任意的 ， ， ，都有
，试写出符合上述条件的一个函数解析式 .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】因为 是定义在R上的奇函数，则 ，且 ，
又 为偶函数，则 ，即 ，
于是 ，则 ，即 是以 为周期的周期函数，
对任意 ， ， ，都有 ，可得 在 单调递减，
不妨设 ，由题意， ，所以 ，则 ，
当 时， ，因为 在 上单调递减，且 在 上单调递增，
所以 ，不妨取 ，此时 .
故符合上述条件的一个函数解析式 ，（答案不唯一）.
故答案为： （答案不唯一）
38．已知函数 满足以下条件：①在 上单调递增；②对任意 ， ，均有 ；
则 的一个解析式为 .
【答案】 ，答案不唯一
【解析】依题意可知 为增函数，且 ，
故 的一个解析式可以为 .
故答案为： ，答案不唯一
题型十：求值域的7个基本方法
39．求下列函数的值域．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) （ ）．
【解析】（1）因为 ，所以 ．故值域为 ．
（2）因为 ，且 ，所以 ，所以 ，故函
数的值域为 ．
（3）令 ，则 ，且 ，
所以 （ ）．故函数的值域 ．（4） ，其中 ， ，
当 时， ．
又因为 ，所以 ．
故函数的值域为 ．
（5）因为 ，所以 ，所以
，
当且仅当 ，即 时，取等号，即 取得最小值8．
故函数的值域为 ．
40．求下列函数的值域：
(1)
(2)
(3)
【解析】（1）因为 ，则 ，
可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以函数的值域为 .
（2）令 ，则 ，
可得 ，
当 时，等号成立，
所以函数的值域为 .
（3）因为 ，则 ，可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
即 ，所以函数的值域为 .
41．求下列函数的值域:
(1) ，
(2) ，
(3) ，
(4)
【解析】（1）由题意可得： ，
因为 ，则 ，
所以原函数的值域为 .
（2）因为 ，
则 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以原函数的值域为 .
（3）令 ，解得 ，
可得函数的定义域为 ，
因为 ，可得
所以原函数的值域为 .
（4）设 ，则 ，
所以原函数转化为 ，
因为函数 的图象开口向下，对称轴方程为 ，
可知当 时，函数 取到最大值 ，
所以原函数的值域为 .42．求下列函数的值域：
(1) ， ；
(2) ， ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ．
【解析】（1）（观察法）由 ，分别代入求值，可得函数的值域为 ．
（2）（配方法） ，由 ，再结合函数的图像，可得函数的值域为 ．
（3）（分离常数法） ，因为 ，所以 ，所以 故
函数的值域为 ．
（4）（换元法） 设 ，则 ，且 ，
所以 ，由 ，再结合函数的图像，可得函数的值域为 ．（5）因为 ，所以 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立．
故函数的值域为 ．
（6）因为 ，所以 ，令 ，则
，当且仅当 ，即 时，等号成立，所以 ， ，
故函数的值域为 ．
（7）由 知 ，
整理得 ．
当 时，方程无解；当 时， ，即 ．
故所求函数的值域为 ．
题型十一：数形结合求值域
43．求函数 的最小值.
【解析】解法一： 函数 的定义域为一切实数.
.①
又 ，即 ，
对①式两边平方，得 .
整理，得 .②
对②式两边平方，得 ，
再整理，得 .③
，x为实数， ，
化简并整理，得 ，
即 ，又 ， ， ，
当 时，方程③为 ，即 ，
解得 ，故函数的最小值为 .
解法二：
令 ， ， ，则
点A关于x轴的对称点为 .
则
（其中运用三角形两边之和大于第三边，当且仅当 、P、B三点共线时取“等号”）.
44．数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问
题加以解决.例如，与 相关的代数问题，可以转化为点 与点 之间的距离的
几何问题.结合上述观点，函数 ， 的值域为 .
【答案】
【解析】 ，
所以函数 的几何意义是连结 和 的直线的斜率，
点 ， 在单位圆 上，如图，
， , ， ,
所以 的值域为 .
故答案为：
45．（2024·陕西铜川·一模）若 ，则函数 的值域是 ．【答案】
【解析】 ，
设 ， ，则 .
由于 ，则 ，且 .
设 ，
由该式的几何意义得下面图形， ，其中直线 为圆的切线，由图知 .
由图知 ，
在 中，有 ， ，所以 ，
所以 ，所以 .
所以， ，故所求值域为 ．
故答案为： ．
46．函数 的值域是_______________.
【答案】
【解析】
，
其中 ，则 ，
又 ，因此 ，值域为 .故答案为：
题型十二：值域与求参问题
47．已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当 时， ，其值域为 ，
当 时， 的值域应包含 ，所以 为减函数，
所以 ，且 ，解得 .
故选：A
48．若函数 在区间 上的值域为 ，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，得 或 ，因为函数定义域为 ，所以 ，即函数在
处取得最小值0，且 ，即 ，
则 ，
因为函数的值域为 ，所以
当 时，有 ，即 ，得 ，即 ;
当 时，有 ，即 ，得 ，即 .
综上，实数a的取值范围为 .
故选：D.
49．已知函数 ，若函数 的定义域为 ，值域为 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】由于函数 的定义域为 ，则 恒成立，则 ，即 ，令
，由于 的值域为 ，则 ，而
，则由 解得 ，故 和 是方程
即 的两个根，则 ，得到 ，符合题意．所以
．故
故选：C
50．已知函数 的值域为 ，则常数 ．
【答案】7或
【解析】因为 ，所以 ，
，即 ，
因为函数 的值域为 ，
所以 是方程 的两个根，
所以 ， ，
解得 或 ，所以 7或 .
故答案为：7或 .
题型十三：判别式法求值域
51．（2024·高三·北京·强基计划）函数 的值域为（ ）
A． B．
C． D．以上答案都不对
【答案】C
【解析】设题中函数为 ，则 ，
当 时， ；当 时，视其为关于x的二次方程，
判别式 ，
综上，故值域为 ．
故选：C.
52．函数 的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则有 ，
当 时，代入原式，解得 ．
当 时， ，
由 ，解得 ，于是 的最大值为 ，最小值为 ，
所以函数 的最大值与最小值的和为 ．
故选：B.
53．函数 的值域是 .
【答案】
【解析】由函数 可知
所以 ，整理得：
当 时， ，符合；
当 时，则关于 的一元二次方程在 有根
所以
整理得： 且
解得： ，综上得： .
故答案为： .
54．函数 的值域是 .
【答案】
【解析】 ，
令 ，所以 ，整理得
所以关于 的方程 有实数解，
当 时，原式为 ，解得 ，满足；
当 时，所以 ，整理得 ，
解得 ，
此时， 且 ，
∴综上，函数 的值域为 ，
故答案为：
55．已知函数 的最大值是9，最小值是1，则 ， .
【答案】
【解析】由 得 ，故 ，
当 时， 的两根为1，9，
故 的两根为1，9，故 ，解得 ，
当 时， ，也适合题意；故答案为： .
题型十四：三角换元法求值域
56．求 的值域
【解析 可得 ，
即 ，
由三角函数辅助角公式可得 ，（ 为辅助角），
则 ，解得 ，
故函数 的值域为 .
57．（1）求函数 的最大值和最小值；
（2）求函数 的值域；
（3）求函数 的值域；
（4）已知 ，求 的最值．
【解析】（1）由于 ，故可令 ．
则原式变为 ．
，
当 ，即 时， 取得最大值 ；
当 ，即 时， 取得最小值 ．
（2）函数的定义域为 ，令 ， ．
则 ．由于 ， ．
而当 时， 为减函数，此时 ，
当 时， 为增函数，此时 ．
故函数的值域为 ．
（3）解法一：
， 可设 ．
则 ．
设 ，则 ，从而 ．
（其中 ， ）．
， ， ， 且 ， ，
，故函数的值域为 ．
解法二：
由解法一得 ，
则 为 与点 连线的斜率．
设过点 的直线方程为 ，即 ，显然 ，
点在半圆 上，
当直线与半圆 ， 相切时， ，解得 ，
数形结合易得 ，即 ． ．故函数的值域为 ．
（4）令 ， ，则 ．
又 ．
当 ， 时， ；
当 ， 时， ．
题型十五：分段函数求值、求参数问题
58．（2024·吉林长春·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【解析】由函数可得， .
故选：B.
59．（2024·陕西西安·三模）已知函数 ，则 （ ）
A．8 B．12 C．16 D．24
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
所以 .
故选：D
60．（2024·全国·模拟预测）设函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．6
【答案】D
【解析】易得 在 和 上为增函数，
，所以 ，
由 得 ，解得 或 （舍去），
则 ，故选：D.
61．（2024·四川成都·三模）已知函数 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
又 ，所以 .
故选：C.
题型十六：分段函数与方程、不等式
62．（2024·贵州遵义·模拟预测）若函数 ，则不等式 的解集为 .
【答案】
【解析】因为 ，则有：
当 时，可得 ，解得 ；
当 时，可得 ，则 ，解得 ；
综上所述：不等式 的解集为 .
故答案为： .
63．（2024·江西南昌·二模）已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，可得 ；
当 时，不等式 可化为 ，
所以 ，且 ，所以 ，
所以不等式 的解集是 ，
故选：B.
64．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当 时， ，求导得 ，令 ，
求导得 ，则函数 ，即 在 上单调递增， ，
函数 在 上单调递减，而 ，当 时，不等式 ，因此 ；
当 时， ，由 ，得 ，因此 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
1．（2024·四川·模拟预测）已知 为定义在 上的单调函数，且对 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，
所以 ，即 ，
设 ，易知 在 上单调递增，
所以 ，即 ，故 ，所以 ．
故选：B．
2．（2024·山西·一模）已知函数 是定义在 上不恒为零的函数，若 ，则
（ ）
A． B．
C． 为偶函数 D． 为奇函数
【答案】C
【解析】令 ，则 ，故 ，A选项错误；
令 ，则 ，故 ，B选项错误；
令 ，则 ，故 为偶函数，C选项正确；
因为 为偶函数，又函数 是定义在 上不恒为零的函数，D选项错误.
故选：C
3．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意，得函数 在 上单调递增．由 ，
得 ，注意到 ，
所以 ．
从而不等式转化为 ，
所以 ，解得 ．
故选:A．4．（2024·高三·浙江·开学考试）已知函数 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．
【答案】B
【解析】因为函数 ，则 ,
令 ，则 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
故选：B.
5．已知 是定义域为 的单调递增的函数， ， ，且 ，则 （ ）
A．54 B．55 C．56 D．57
【答案】B
【解析】因为 有 ，令 ，则 ，
显然 ，否则 ，与 矛盾.
从而 ，由 .即得 ，
，即 ，于是 ，且 .
所以 ，所以 ， .
因为 所以 ，于是 ， .
因为 所以 .
因为 所以 ， .
因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ， .
故选：B.
6．（2024·高三·上海静安·期中）已知函数 的定义域为 ，值域为 的子集，则
满足 的函数 的个数为（ ）A．16 B．17 C．18 D．19
【答案】D
【解析】分以下几种情况讨论：
①当 、 、 全为 时，只有 种；
②当 、 、 中有两个为 ，一个为 时，有 种；
③当 、 、 中有两个为 ，一个为 时，有 种；
④当 、 、 三者都不相等时，可分别取值为 、 、 ，有 种；
⑤当 、 、 三者都不相等时，可分别取值为 、 、 ，有 种.
综上所述，满足条件的函数 的个数为 个.
故选：D.
7．存在函数 满足，对任意 都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对A，取 可得 ，即 ，再取 可得 ，
即 ，故A错误；
对B，令 ，此时 ，即 ，符合题设，故B正确；
对C，取 ，有 ；取 ，有 ，故C错误；
对D，取 得 ，再取 可得 ，故D错误
故选：B
8．（2024·高三·全国·课后作业）已知函数 的值域为 ，则满足这样条件的函数的个
数为（ ）
A．8 B．9 C．26 D．27
【答案】B
【解析】根据题意，值域为 ，所以 时，
时， ； 时，
所以定义域中元素在这5个x的取值中选取：①当定义域中有3个元素时，有 个函数满足条件；
②当定义域中有4个元素时，有 个函数满足条件；
③当定义域中有5个元素时，有1个函数满足条件
所以满足条件的函数共有 （个）.选项B正确，选项ACD错误.
故选：B.
9．（多选题）(多选)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名
字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－
2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝ ，则函数y＝[f(x)]的值域包含的元素可能有（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】BC
【解析】解析：f(x)＝
＝
＝1＋
，∵ 2x＞0，∴ 1＋2x＞1，∴ 0＜
＜1，则0＜
＜2，∴ 1＜1＋
＜3，即1＜f(x)＜3，当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1；当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2．综上，函数y＝[f(x)]的值域为
{1，2}．故选BC．
10．（多选题）下列说法正确的是（ ）
A．若 的定义域为 ，则 的定义域为
B．函数 的值域为
C．函数 的值域为D．设数列 的前 项和为 ，则数列 是等差数列
【答案】AC
【解析】对于A，因为 的定义域为 ，所以 ，
解得 ，即 的定义域为 ，故A正确；
对于B， ，
所以 ，即函数 的值域为 ，故B错误；
对于C，令 ，则 ， ，
所以 ， ，
所以当 时，该函数取得最大值，最大值为 ，
所以函数 的值域为 ，故C正确；
对于D，数列 的前 项和为 ，
则 ， ， ， 不成等差数列，
则数列 不是等差数列，故D错误．
故选：AC．
11．（多选题）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例
如函数 与函数 ， 为“同族函数”.下面函数解析式中能够被用来构造“同族
函数”的是（ ）
A． B． C．
D． E．
【答案】ABD
【解析】对于A, ,当定义域分别为 与 时,值域均为 ,所以 为同族函数,所
以A正确;
对于B, ,当定义域分别为 与 时,值域均为 ,所以 为同族函数,所以B正确;
对于C, 在定义域 内,函数图像在第一象限内单调递减，在第三象限内单调递减,不
满足定义域不同时,值域相同,所以C错误;对于D, 定义域为 ,当定义域分别为 与 时,值域均为 ,所以D正确
对于E, 定义域为R,且函数在R上单调递增,所以不满足定义域不同时,值域相同,所以E错误
综上,故选ABD
1 4
12．函数 > 的最大值是 ；最小值是 .
3 17
【答案】 2
【解析】要使函数有意义，需满足 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，且
则 ，
当 时， 取最小值0，故 取到最大值4，
1 4
则函数 > 的最大值为2；
3 17
当 时， 取最大值1，故 取到最小值2，
则函数 1 > 4 的最大值为 ；
3 17
故答案为：
13．已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
要使函数 有意义，则 ，
即 ，解得 ，
所以 定义域为 .
故答案为：
14．函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，当 时等式不成立，∴ ，则有 ，
∵ ，∴ ， ， 或 ，
∴函数 的值域是 ，
故答案为：
1．（2022年新高考北京数学高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
.
【答案】2
【解析】 ，故 ，
故答案为：2.
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，
且 ，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 或
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数 ，若
，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，当 时，即 ，则
，解得 （舍去）；当 时，即 ，则 ，解得
，故选D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数 的定
义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的表达式可知，函数 的定义域应满足条件：
，解之得 ，
即函数 的定义域为 ，
故选：C．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
7．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】由 ，
得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
8．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））函数 的定义域为
.
【答案】
【解析】要使函数有意义，需 解得0<x≤1，所以定义域为(0，1]．
9．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（浙江卷））已知函数 ，则
， 的最小值是 ．
【答案】 ， .
【解析】 ，
若 ： ，当且仅当 时，等号成立；
若 ： ，当且仅当 时，等号成立，故可知 ．10．（2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（福建卷））若函数 （
且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由于函数 的值域是 ，故当 时，满足 ，
当 时，由 ，所以 ，所以 ，所以实数 的取值范围
.
11．（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（上海卷））设常数 ，函数
，若 ，则 .
【答案】3
【解析】由题意 ，则 ，所以 .
