文档内容
第 01 讲 函数的概念及其表示
目录
01 模拟基础练......................................................................................................................................2
题型一：函数的概念....................................................................................................................................................2
题型二：同一函数的判断............................................................................................................................................3
题型三：给出函数解析式求解定义域........................................................................................................................5
题型四：抽象函数定义域............................................................................................................................................6
题型五：函数定义域的综合应用................................................................................................................................8
题型六：待定系数法求解析式....................................................................................................................................9
题型七：换元法求解析式..........................................................................................................................................10
题型八：方程组消元法求解析式..............................................................................................................................12
题型九：赋值法求解析式..........................................................................................................................................14
题型十：求值域的7个基本方法...............................................................................................................................15
题型十一：数形结合求值域......................................................................................................................................19
题型十二：值域与求参问题......................................................................................................................................21
题型十三：判别式法求值域......................................................................................................................................23
题型十四：三角换元法求值域..................................................................................................................................25
题型十五：分段函数求值、求参数问题..................................................................................................................27
题型十六：分段函数与方程、不等式......................................................................................................................28
02 重难创新练....................................................................................................................................30
03 真题实战练....................................................................................................................................36题型一：函数的概念
1．已知 ，在下列四个图形中，能表示集合M到N的函数关系的有
（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】对A：可得定义域为 ，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对B：可得定义域为 ，值域为 ，
且满足一个x对应一个y，所以能表示集合M到N的函数关系；
对C：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
对D：任意 ，一个x对应两个 的值，
所以不能表示集合M到N的函数关系；
故选：B.
2．任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，则 是函数的一个充分条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据函数的定义，对任意 ，按 ，在 的范围中必有唯一的值与之对应，
，则 ，则 的范围要包含 ，
故选：A．3．函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个
【答案】B
【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 没有交点，
若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 有1个交点，
故选：B.
4．（2024·广东佛山·模拟预测）在平面直角坐标系 中，以下方程对应的曲线，绕原点旋转一定角度之
后，可以成为函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为椭圆，
所以当椭圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故A项不成立；
对于B项，因为 ，所以 ，
所以方程对应的曲线为双曲线， 其渐近线为 ，
所以当其绕原点旋转 后，其一定是函数图象，故B项成立；
对于C项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故C项不成立；
对于D项，因为 ，所以方程对应的曲线为圆，
所以当圆绕原点旋转后，其一定不会成为函数图象，故D项不成立.
故选：B.
题型二：同一函数的判断
5．下列各组函数中，表示同一函数的是
A．
B．
C．D．
【答案】B
【解析】A、C、D中， 的定义域均为 ，而A中 的定义域为 ，C中 的定义域为 ，
D中 的定义域为 ，故A、C、D均错，B中 与 的定义域与值域均相同，故表示同一函数，
故选B．
考点：函数的解析式．
6．下列各组函数是同一函数的是（ ）
① 与 ； ② 与 ；
③ 与 ； ④ 与 ．
A．①② B．①③ C．③④ D．①④
【答案】C
【解析】① 与 的定义域是 ，而 ，故这两个函数
不是同一函数；
② 与 的定义域都是 ， ，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，
故这两个函数不是同一函数；
③ 与 的定义域都是 ，并且定义域内 ，对应法则也相同，故这两
个函数是同一函数；
④ 与 定义域相同，对应法则相同，是同一函数；
所以是同一函数的是③④．
故选：C．
7．下列函数中与函数 相等的函数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两函数若相等，则需其定义域与对应关系均相等，易知函数 的定义域为R，
对于函数 ，其定义域为 ，对于函数 ，其定义域为 ，
显然定义域不同，故A、D错误；
对于函数 ，定义域为R，符合相等函数的要求，即B正确；
对于函数 ，对应关系不同，即C错误.
故选：B8．下列各组函数是同一个函数的是（ ）
A． 与 B． 与
C． 与 D． 与
【答案】A
【解析】A：函数 和 的定义域为R，解析式一样，故A符合题意；
B：函数 与 的定义域为R，解析式不一样，故B不符合题意；
C：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式一样，故C不符合题意；
D：函数 的定义域为 ， 的定义域为R，解析式不一样，故D不符合题意.
故选：A
题型三：给出函数解析式求解定义域
9．已知等腰三角形ABC的周长为10,且底边长y关于腰长x的函数关系为y=10-2x,则函数的定义域为( )
A．{x|x∈R} B．{x|x>0}
C．{x|0 的最大值是 ；最小值是 .
3 17
【答案】 2
【解析】要使函数有意义，需满足 ，解得 ，
所以函数的定义域为 ，且
则 ，
当 时， 取最小值0，故 取到最大值4，
1 4
则函数 > 的最大值为2；
3 17
当 时， 取最大值1，故 取到最小值2，
则函数 1 > 4 的最大值为 ；
3 17
故答案为：
13．已知 的定义域为 ，则函数 的定义域为
【答案】
【解析】因为 的定义域为 ，
要使函数 有意义，则 ，
即 ，解得 ，
所以 定义域为 .
故答案为：
14．函数 的值域是 ．
【答案】
【解析】由 ，可得 ，当 时等式不成立，∴ ，则有 ，
∵ ，∴ ， ， 或 ，
∴函数 的值域是 ，
故答案为：
1．（2022年新高考北京数学高考真题）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；
故答案为：
2．（2021年浙江省高考数学试题）已知 ，函数 若 ，则
.
【答案】2
【解析】 ，故 ，
故答案为：2.
3．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知函数 ，
且 ，则
A． B． C． D．
【答案】A【解析】 或
4．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（山东卷））设函数 ，若
，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得 ，当 时，即 ，则
，解得 （舍去）；当 时，即 ，则 ，解得
，故选D．
5．（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖北卷））函数 的定
义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由函数 的表达式可知，函数 的定义域应满足条件：
，解之得 ，
即函数 的定义域为 ，
故选：C．
6．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知函数 则 ；若当
时， ，则 的最大值是 ．
【答案】 /
【解析】由已知 ， ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
当 时，由 可得 ，所以 ，
等价于 ，所以 ，
所以 的最大值为 .
故答案为： ， .
7．（2012年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（广东卷））函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】由 ，
得 ，解得 且 ，
所以函数的定义域为 .
故答案为： .
8．（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））函数 的定义域为
.
【答案】
【解析】要使函数有意义，需 解得0
