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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第四章 三角形及四边形
4.5 多边形与平行四边形
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 多边形 ☆☆ 数学中考中，有关的多边形与平行四边形部分，每
年考查1~2道题,分值为3~8分，通常以选择题、填
考点2 平行四边形的判定
☆☆☆ 空题、解答题的形式考查。在解答题里出现涉及证
及相关证明
明和计算，属于中考重点知识点。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
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考点1. 多边形
1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。
4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于 （ n- 2 ） ·180°
7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。
8.多边形对角线的条数：
（1）从n边形的一个顶点出发可以引 （ n- 3 ） 条对角线，把多边形分成 （ n- 2 ） 个三角形。
1
2
（2）n边形共有 条对角线。
考点2. 平行四边形的判定及相关证明
1.平行四边形定义
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形用符号“□ABCD”表示，读作“平行四
边形ABCD”。
2.平行四边形的性质
（1）平行四边形的对边平行且相等；
（2）平行四边形的对角相等；
（3）平行四边形的对角线互相平分。
3.平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
（4）对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.平行四边形的面积：S =底边长×高=ah
平行四边形
5. 三角形中位线问题
1．三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
2．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。
3.对三角形中位线的深刻理解
（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.
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（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三
1 1
角形周长的2 ，每个小三角形的面积为原三角形面积的4 .
（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.
【易错点提示】
易错点1. 截角问题中忽视多种情况而致错
分析指导：截去一个角的方法不止一种，要按照截线经过的顶点的个数进行分类讨论：（1）不经过
顶点；（2）经过一个顶点；（3）经过两个顶点.
易错点2. 无图的题目中因没有分类讨论而出现漏解
分析指导：对于题目中没有给出图形但需要画图形解答的题目，要考虑周到，画出符合条件的所有
图形，以免漏解.
考点1. 多边形
【例题1】 （2024甘肃临夏）“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边
形（如图2），则该正六边形的每个内角为______ ．
【答案】120
【解析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为 和正多边形
的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为 ，再除以6即
可．
【详解】∵正六边形的内角和为 ，
∴正六边形的每个内角为 ．
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【变式练1】（2024黑龙江龙东一模）已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（
）
A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形
【答案】C
【解析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可.
设这个多边形的边数为n，
则（n－2）×180°＝4×360°，
解得：n＝10.
【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是
解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列
出方程求解．
【变式练2】 （2024上海一模）如果一个正多边形的中心角是 ，那么这个正多边形的边数为
________．
【答案】18
【解析】根据正n边形的中心角的度数为 进行计算即可得到答案．
根据正n边形的中心角的度数为 ，
则 ，
故这个正多边形的边数为18．
【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键．
【变式练3】（2024湖南长沙一模）若一个多边形的内角和的 比它的外角和多90°，那么这个多
边形的边数是多少？
【答案】12
【解析】设这个多边形的边数是n，
由题意得： （n﹣2）×180°﹣360°＝90°，
∴n＝12，
答：这个多边形的边数是12．
考点2. 平行四边形的判定及相关证明
【例题2】 （2024广西）如图，两张宽度均为 的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为 ，
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则重合部分构成的四边形 的周长为______ ．
【答案】
【解析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定和性质，菱形的周长，过点 作 于 ，
于 ，由题意易得四边形 是平行四边形，进而由平行四边形的面积可得
，即可得到四边形 是菱形，再解 可得 ，即可
求解，得出四边形 是菱形是解题的关键．
【详解】过点 作 于 ， 于 ，则 ，
∵两张纸条的对边平行，
∴ ， ，
∴四边形 是平行四边形，
又∵两张纸条的宽度相等，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴四边形 是菱形，
在 中， ， ，
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∴ ，
∴四边形 的周长为
【变式练1】（2024郑州一模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件
不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
【答案】C
【解析】∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项A中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB＝DC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项B中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
∵AB∥DC，AD＝BC，则无法判断四边形ABCD是平行四边形，故选项C中的条件，不能判断四
边形ABCD是平行四边形；
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故选项D中条件可以判定四边形ABCD是平行四边形；
【变式练2】（2024福州一模）如图，在□ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则
∠2的度数是_______.
【答案】110°
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【解析】本题考查了平行四边形的性质和和三角形外角的性质求角的大小，解题的关键是熟练运用
平行四边形性质或三角形外角的有关知识．思路：首先利用平行四边形的性质求出∠BAE的度数，
再由∠2是△ABE的外角求出∠2的大小.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠1=20°
∵BE⊥AB
∴∠ABE=90°
∵∠2是△ABE的外角
∴∠2=∠ABE+∠BAE=90°+20°=110 ，故答案为110°.
【变式练3】（2024杭州一模）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分
别相交于点E、F.求证：OE＝OF.
【答案】见解析。
【解析】根据平行四边形的性质得出OD＝OB，DC∥AB，推出∠FDO＝∠EBO，证出△DFO≌△BEO即可．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD＝OB，DC∥AB，∴∠FDO＝∠EBO.
在△DFO和△BEO中，
∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴OE＝OF.
方法总结：利用平行四边形的性质解决线段的问题时，要注意运用平行四边形的对边相等，对角线
互相平分的性质．
【变式练4】（中位线问题）如图，菱形ABCD周长为20，对角线AC、BD相交于点O，E是CD的中点，
则OE的长是（ ）
A．2.5 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【解析】∵四边形ABCD为菱形，
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∴CD＝BC 5，且O为BD的中点，
∵E为CD的中点，
∴OE为△BCD的中位线，
∴OE CB＝2.5
考点1. 多边形
1. （2024四川乐山）下列多边形中，内角和最小的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】边数为n的多边形的内角和 ，分别求出三角形，四边形，五边形，六边形
的内角和，即可得到．
三角形的内角和等于
四边形的内角和等于
五边形的内角和等于
六边形的内角和等于
所以三角形的内角和最小 故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，能熟记边数为n的多边形的内角和 是解此题
的关键．
2. （2024云南省）一个七边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查多边形的内角和，根据 边形的内角和为 求解，即可解题．
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一个七边形的内角和等于 ，故选：B．
3. （2024重庆市A）如果一个多边形的每一个外角都是 ，那么这个多边形的边数为______．
【答案】9
【解析】本题考查了多边形的外角和定理，用外角和 除以 即可求解，掌握多边形的外角和
等于 是解题的关键．
，
∴这个多边形的边数是 ．
4. （2024河北省）直线l与正六边形 的边 分别相交于点M，N，如图所示，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了多边形的内角和，正多边形的每个内角，邻补角，熟练掌握知识点是解决本题
的关键．
先求出正六边形的每个内角为 ，再根据六边形 的内角和为 即可求解
的度数，最后根据邻补角的意义即可求解．
【详解】解：正六边形每个内角为： ，
而六边形 的内角和也为 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴ ，故选：B．
5. （2024内蒙古赤峰）如图，是正 边形纸片的一部分，其中 是正 边形两条边的一部分，
若 所在的直线相交形成的锐角为 ，则 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和 除以外角度数即可
求解，掌握正多边形的性质是解题的关键．
【详解】如图，直线 相交于点 ，则 ，
∵正多边形的每个内角相等，
∴正多边形的每个外角也相等，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
6. （2024山东枣庄）如图，已知 ， ， 是正 边形的三条边，在同一平面内，以 为
边在该正 边形的外部作正方形 ．若 ，则 的值为（ ）
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A. 12 B. 10 C. 8 D. 6
【答案】A
【解析】本题考查的是正多边形的性质，正多边形的外角和，先求解正多边形的 1个内角度数，得
到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案.
【详解】∵正方形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴正 边形的一个外角为 ，
∴ 的值为 ；故选A
7. （2024内蒙古包头）已知一个n边形的内角和是 ，则 ________．
【答案】7
【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，多边形的内角和可以表示成
，依此列方程可求解．
根据题意，得 ，
解得
8. （2024山东威海）如图，在正六边形 中， ， ，垂足为点I．若
，则 ________．
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【答案】 ##50度
【解析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每
个内角为 ，即 ，则可求得 的度数，根据平行线的性质可求得
的度数，进而可求出 的度数，再根据三角形内角和定理即可求出 的度数．
∵正六边形的内角和 ，
每个内角为： ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
考点2.平行四边形的判定及相关证明
1. （2024贵州省）如图，平行四边形ABCD的对角线 与 相交于点O，则下列结论一定正确
的是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是
解题的关键．
∵ 是平行四边形，
∴ ，故选B．
2. （2024河南省）如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E为 的中点，
交 于点F．若 ，则 的长为（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、
线段中点定义可得出 ，证明 ，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵点E为 的中点，
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∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，故选：B．
3. （2024四川广安）如图，在 中，点 ， 分别是 ， 的中点，若 ，
，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了三角形中位线定理、平行线 性的质定理，三角形的内角和定理，熟记性质并准
确识图是解题的关键．先证明 ，可得 ，再利用三角形的内角和定理
可得答案.
【详解】∵点 ， 分别是 ， 的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，故选D
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4. （2024湖南长沙）如图，在 中，点D，E分别是 的中点，连接 ．若
，则 的长为______．
【答案】24
【解析】本题主要考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
是解题的关键．
∵D，E分别是 ， 的中点，
∴ 是 的中点，
∴ ．
5. （2024重庆市A）如图，在 中，延长 至点 ，使 ，过点 作 ，
且 ，连接 交 于点 ．若 ， ，则 ______．
【答案】
【解析】先根据平行线分线段成比例证 ，进而得 ， ，
再证明 ，得 ，从而即可得解．
【详解】∵ ，过点 作 ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
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∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故答案为： ，
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角
形的判定及性质，熟练掌握三角形的中位线定理，平行线分线段成比例以及全等三角形的判定及性
质是解题的关键．
6. （2024河北省）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
已知：如图， 中， ， 平分 的外角 ，点 是 的
中点，连接 并延长交 于点 ，连接 ．
求证：四边形 是平行四边形．
证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴①______．
又∵ ， ，
∴ （②______）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．
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若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得 ，
根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得 ，证明 ，得到
，再结合中点的定义得出 ，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分
的四边形是平行四边形．
【详解】证明：∵ ，∴ ．
∵ ， ， ，
∴① ．
又∵ ， ，
∴ （② ）．
∴ ．∴四边形 是平行四边形．故选：D．
7. （2024广州）如图，平行四边形ABCD中， ，点 在 的延长线上， ，若
平分 ，则 ______．
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【答案】5
【解析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的性质是解题
关键．由平行四边形的性质可知， ， ，进而得出 ，再由
等角对等边的性质，得到 ，即可求出 的长．
【详解】在平行四边形ABCD中， ，
， ，
，
平分 ，
，
，
，
．
8. （2024武汉市）如图，在平行四边形ABCD中，点 ， 分别在边 ， 上， ．
（1）求证： ；
（2）连接 ．请添加一个与线段相关的条件，使四边形 是平行四边形．（不需要说明理
由）
【答案】（1）见解析 （2）添加 （答案不唯一）
【解析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定；
（1）根据平行四边形的性质得出 ， ，结合已知条件可得 ，即可证明
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；
（2）添加 ，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ 即 ，
在 与 中，
，
∴ ；
【小问2详解】
添加 （答案不唯一）
如图所示，连接 ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ，即 ，
当 时，四边形 是平行四边形．
9. （2024湖北省）已知：如图，E，F为□ABCD对角线AC上的两点，且AE=CF，连接BE，DF，
求证：BE=DF．
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【答案】证明见解析．
【解析】利用SAS证明△AEB≌△CFD，再根据全等三角形的对应边相等即可得．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，AB=DC，
∴∠BAE=∠DCF，
在△AEB和△CFD中，
，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关的性质是解题
的关键．
10. （2024湖南省）如图，在四边形 中， ，点E在边 上， ．请从“①
；② ， ”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填
序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形 为平行四边形；
（2）若 ， ， ，求线段 的长．
【答案】（1）①或②，证明见解析； （2）6
【解析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四
边形的判定和性质是解题关键．
（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得出 ，再由勾股定理即可求解．
【小问1详解】
解：选择①，
证明：∵ ，
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∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
选择②，
证明：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴四边形 为平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）得 ，
∵ ， ，
∴ ．
11.（2024黑龙江大庆） 如图，平行四边形 中， 、 分别是 ， 的平分
线，且E、F分别在边 ， 上．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）见解析 （2） ．
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【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得到 ， ，结合角平分线的
条件得到 ，由 得到 ， ，根据平行线
的判定得到 ，根据平行四边形的判定即可得到 是平行四边形；
（2）求得 是等边三角形，得到 ， ，证明
，求得 ，作 于点 ，在 中，求得 ，据
此求解即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ，
∵ 分别是 、 的平分线，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形；
【小问2详解】
解：由（1）得 ， ，
∴ ，
∵ ，
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∴ 是等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
作 于点 ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定和性
质，等边三角形的判定和性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
12. （2024深圳）垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个
顶点的对角线的垂线交平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平
行四边形”．
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（1）如图1所示，四边形 为“垂中平行四边形”， ， ，则
________； ________；
（2）如图2，若四边形 为“垂中平行四边形”，且 ，猜想 与 的关系，并
说明理由；
（3）①如图3所示，在 中， ， ， 交 于点 ，请画出
以 为边的垂中平行四边形，要求：点 在垂中平行四边形的一条边上（温馨提示：不限作图工
具）；
②若 关于直线 对称得到 ，连接 ，作射线 交①中所画平行四边形的边于
点 ，连接 ，请直接写出 的值．
【答案】（1） ，
（2） ，理由见解析
（3）①见解析；② 或 ．
【解析】【分析】（1）根据题意可推出 ，得到 ，从而推出 ，再根
据勾股定理可求得 ，再求得 ；
（2）根据题意可推出 ，得到 ，设 ，则 ，
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，再利用勾股定理得到 ，从而推出 、 ，即可求得答案；
（3）①分情况讨论，第一种情况，作 的平行线 ，使 ，连接 ，延长 交
于点 ；第二种情况，作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长
交 的延长线于点 ，在射线 上取 ，连接 ；第三种情况，作 ，
交 的延长线于点 ，连接 ，作 的垂直平分线；
在 延长线上取点F，使 ，连接 ；
②根据①中的三种情况讨论：
第一种情况，根据题意可证得 是等腰三角形，作 ，则 ，可推出
，从而推出 ，计算可得 ，最后利用勾股定理即可求得 ；
第二种情况，延长 、 交于点 ，同理可得 是等腰三角形，连接 ，可由
，结合三线合一推出 ，从而推出 ，同第一种情况即可求得
；
第三种情况无交点，不符合题意．
【小问1详解】
解： ， 为 的中点， ， ， ，
， ，
，即 ，解得 ，
，
；
故答案为：1； ；
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【小问2详解】
解： ，理由如下：
根据题意，在垂中四边形 中， ，且 为 的中点，
， ；
又 ，
，
；
设 ，则 ，
，
，
， ，
，
，
，
；
【小问3详解】
解：①第一种情况：
作 的平行线 ，使 ，连接 ，
则四边形 为平行四边形；
延长 交 于点 ，
，
，
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，
， ，
，即 ，
为 的中点；
故如图1所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
第二种情况：
作 的平分线，取 交 的平分线于点 ，延长 交 的延长线于点 ，
在射线 上取 ，连接 ，
故 为 的中点；
同理可证明： ，
则 ，
则四边形 是平行四边形；
故如图2所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
第三种情况：
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作 ，交 的延长线于点 ，连接 ，作 的垂直平分线；
在 延长线上取点F，使 ，连接 ，
则 为 的中点，
同理可证明 ，从而 ，
故四边形 是平行四边形；
故如图3所示，四边形 即为所求的垂中平行四边形：
②若按照图1作图，
由题意可知， ，
四边形 是平行四边形，
，
，
是等腰三角形；
过P作 于H，则 ，
， ，
， ，
，
；
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, ，
，
，即
∴
若按照图2作图，
延长 、 交于点 ，
同理可得： 是等腰三角形，
连接 ，
，
，
，
，
；
同理， ，
， ， ，
，即 ，
，
若按照图3作图，则：没有交点，不存在PE（不符合题意）
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故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了垂中平行四边形的定义，平行四边形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，
勾股定理，尺规作图，等腰三角形的判定与性质等，熟练掌握以上知识点，读懂题意并作出合适的
辅助线是解题的关键．
考点1. 多边形
1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是（ ）
A. 七边形 B. 八边形 C. 九边形 D. 十边形
【答案】A
【解析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，列出方程即可求解．
根据n边形的内角和公式，得
（n﹣2）•180°=900°，
解得n=7，
∴这个多边形的边数是7，故选：A．
【点睛】本题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟记内角和公式并列出方程．
2．一个10边形的内角和等于（ ）
A．1800° B．1660° C．1440° D．1200°
【答案】C
【解析】根据多边形的内角和等于（n﹣2）•180°即可得解．
根据多边形内角和公式得，10边形的内角和等于：
（10﹣2）×180°＝8×180°＝1440°．
【点评】此题考查了多边形的内角与外角，熟记多边形的内角和公式是解题的关键．
3．如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为（ ）
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A．72° B．45° C．36° D．35°
【答案】C
【解析】首先可根据五边形内角和公式求出每个内角的度数，然后求出∠CAB和∠DAE，即可求出
∠CAD．
根据正多边形内角和公式可得，
正五边形ABCDE的内角和＝180°×（5﹣2）＝540°，
则∠BAE＝∠B＝∠E＝ ＝108°，
根据正五边形的性质，△ABC≌△AED，
∴∠CAB＝∠DAE＝ （180°﹣108°）＝36°，
∴∠CAD＝108°﹣36°﹣36°＝36°.
4．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（ ）
A．540° B．720° C．900° D．1080°
【答案】D
【解析】先根据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再根据多边形的内角和公式求出这个正多
边形的内角和．
正多边形的边数为：360°÷45°＝8，
∴这个多边形是正八边形，
∴该多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．
5. （2022四川眉山）一个多边形外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为________．
【答案】11
【解析】多边形的内角和定理为 ，多边形的外角和为360°，根据题意列出方程求出n
的值．
根据题意可得： ，
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解得： ．
【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和公式以及外角和定理，属于基础题型．记忆理解并应用
这两个公式是解题的关键．
6. 如图，正六边形 和正五边形 内接于 ，且有公共顶点A，则 的度数
为______度．
【答案】12
【解析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
连接AO，如图，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
7．如图，一个正五边形和一个正六边形有一个公共顶点O，则∠1+∠2＝ ．
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【答案】132°．
【解析】∵正五边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷5＝108°，
正六边形的每个内角度数＝180°﹣360°÷6＝120°，
∴∠1+∠2+108°+120°＝360°，
∴∠1+∠2＝132°．
考点2.平行四边形的判定及相关证明
1．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
【答案】A
【解析】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形．正确．
B、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形．错误．
C、对角线相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
D、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形．错误．
故选：A．
2. 如图，点O是□ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的
是（ ）
A．OE＝OF B．AE＝BF C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
【答案】A
【解析】证△AOE≌△COF（ASA），得OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，进而得出结论．
∵ ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴▱AO＝CO，BO＝DO，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
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∴OE＝OF，AE＝CF，∠CFE＝∠AEF，
又∵∠DOC＝∠BOA，
∴选项A正确，选项B、C、D不正确．
3. 如图，在□ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是（ ）
A．61° B．109° C．119° D．122°
【答案】C
【解析】由平行四边形的性质可得∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，由角平分线的性质和外角性质可
求解．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠D＝58°，
∴∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝58°，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝61°，
∴∠AEC＝∠B+∠BAE＝119°．
4．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，若AB＝3，
AD＝4，则E▱F的长是（ ）
A．1 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】根据平行四边形的性质证明DF＝CD，AE＝AB，进而可得AF和ED的长，然后可得答案．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB＝CD＝3，AD＝BC＝5，
∴∠DFC＝∠FCB，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠DCF＝∠FCB，
∴∠DFC＝∠DCF，
∴DF＝DC＝3，
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同理可证：AE＝AB＝3，
∵AD＝4，
∴AF＝5﹣4＝1，DE＝4﹣3＝1，
∴EF＝4﹣1﹣1＝2．
5．如图，在□ABCD中，AB＝13，AD＝5，AC⊥BC，则 ABCD的面积为（ ）
▱
A．30 B．60 C．65 D．
【答案】B
【解析】根据平行四边形的性质以及勾股定理求出四边形ABCD的底边BC和其对角线AC的值，然
后根据平行四边形的面积计算公式求解．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC＝AD＝5．
∵AC⊥BC，
∴△ACB是直角三角形．
∴AC＝ ＝ ＝12．
∴S ＝BC•AC＝5×12＝60．
ABCD
6．▱如图，在四边形ABCD中AB∥CD，若加上AD∥BC，则四边形ABCD为平行四边形．现在请你
添加一个适当的条件： ，使得四边形AECF为平行四边形．（图中不再添加点和线）
【答案】BE＝DF．
【解析】添加的条件：BE＝DF．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形
∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF
又∵BE＝DF
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∴△ABE≌△CDF
∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD
∴∠AEF＝∠EFC
∴AE∥FC
∴四边形AECF为平行四边形．
故答案为：BE＝DF．
7．四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD
的周长为 ． ▱
【答案】28．
【解析】由平行四边形的性质知BC∥AD，由平行线的性质即角平分线的定义可得∠BEA＝∠BAE，
进而可求解BE的长，即可求得BC的长，再根据平行四边形的周长可求解．
如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
8．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AH⊥BD于点H，若AB＝2，BC＝2
，则AH的长为 ．
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【答案】 ．
【解析】在Rt△ABC和Rt△OAB中，分别利用勾股定理可求出BC和OB的长，又AH⊥OB，可利
用等面积法求出AH的长．
如图，
∵AB⊥AC，AB＝2，BC＝2 ，
∴AC＝ ＝2 ，
在 ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，
▱
∴OA＝OC＝ ，
在Rt△OAB中，
OB＝ ＝ ，
又AH⊥BD，
∴ OB•AH＝ OA•AB，即 ＝ ，
解得AH＝ ．
9．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，CF⊥BE，连接AE，G是AB的中点，连接
GF，若AE＝4，则GF＝_____．
【答案】2
【解析】根据平行四边形的性质结合角平分线的定义可求解∠CBE=∠BEC，即可得CB=CE，利用
等腰三角形的性质得到BF=EF，进而可得GF是 ABE的中位线，根据三角形的中位线的性质可求
解． △
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠ABE=∠BEC．
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BEC，∴CB=CE．
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∵CF⊥BE，∴BF=EF．∵G是AB的中点，∴GF是 ABE的中位线，∴GF= AE，
△
∵AE=4，∴GF=2．故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线的性质，证
明GF是△ABE的中位线是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，M，N分别是AB和AC的中点，连接MN，点E是CN的中点，连接ME并
延长，交BC的延长线于点D．若BC＝4，则CD的长为 ．
【答案】2
1
【解析】依据三角形中位线定理，即可得到 MN= BC＝2，MN∥BC，依据△MNE≌△DCE
2
（AAS），即可得到CD＝MN＝2．
∵M，N分别是AB和AC的中点，
∴MN是△ABC的中位线，
1
∴MN= BC＝2，MN∥BC，
2
∴∠NME＝∠D，∠MNE＝∠DCE，
∵点E是CN的中点，
∴NE＝CE，
∴△MNE≌△DCE（AAS），
∴CD＝MN＝2．
11. 证明：平行四边形的对边相等。平行四边形的对角相等。
【解析】已知：四边形ABCD是平行四边形.
A D
B C
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
证明：如图，连接AC.
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∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC，AB ∥ CD,
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
又∵AC是△ABC和△CDA的公共边，
∴ △ABC≌△CDA,
∴AD=BC，AB=CD，∠ABC=∠ADC.
∵∠BAD=∠1+∠4，∠BCD=∠2+∠3，
∴∠BAD=∠BCD.
不添加辅助线，利用平行线性质也能证明。
12. 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】见解析。
【解析】(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；
(2)证明：∵AB∥DC，
∴∠2＝∠CAB，
∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.
∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，
∴∠DCB＝∠DAB＝125°.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
13.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F.
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(1)求证：△ABE≌△CDF；
(2)连接BF、DE，试判断四边形BFDE是什么样的四边形？写出你的结论并予以证明．
【答案】见解析
【解析】(1)根据“AAS”可证出△ABE≌△CDF；(2)首先根据△ABE≌△CDF得出AE＝FC，BE＝DF.再
利用已知得出△ADE≌△CBF，进而得出DE＝BF，即可得出四边形BFDE是平行四边形．
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA.∵BE⊥AC于E，
DF⊥AC于F，∴∠AEB＝∠DFC＝90°.在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)；
（2）解：四边形BFDE是平行四边形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴AE＝FC，BE＝DF.∵四边形
ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA.在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF(SAS)，∴DE＝BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
方法总结：熟练运用平行四边形的性质，可证明三角形全等，证明边相等，再利用两组对边分别相
等可判定四边形是平行四边形．
14.如图，E为□ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连
接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．
【答案】见解析。
【解析】本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而
利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．
AB∥OF，AB＝2OF.证明如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，∴∠BAF
＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF.∵CE＝DC，∴AB＝CE.在△ABF和△ECF中，
∴△ABF≌△ECF(ASA)，∴BF＝CF.
∵OA＝OC，
∴OF是△ABC的中位线，∴AB∥OF，AB＝2OF.
方法总结：本题综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．
15．如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，BE=FC．
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（1）求证：△ABC≌△DFE；
（2）连接AF、BD，求证：四边形ABDF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】证明：（1）∵BE=FC，
∴BC=EF，
在△ABC和△DFE中， ，
∴△ABC≌△DFE（SSS）；
（2）解：如图所示：
由（1）知△ABC≌△DFE，
∴∠ABC=∠DFE，∴AB∥DF，
∵AB=DF，
∴四边形ABDF是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行
四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
16. 如图，AB、CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E、F分别是OC、OD的中点．求证：
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(1) AOC≌△BOD；
(2)△四边形AFBE是平行四边形．
证明：(1)∵AC∥BD，
∴∠C＝∠D.
又∵∠COA=∠DOB，AO＝BO ，
∴△AOC≌△BOD(AAS)；
(2)∵△AOC≌△BOD，
∴CO＝DO.
∵E、F分别是OC、OD的中点，
∴EO＝FO.
又∵AO＝BO，
∴四边形AFBE是平行四边形．
17.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分别以AB，AC为直角边向外作等腰直角△ABD和
等腰直角△ACE，G为BD的中点，连接CG，BE，CD，BE与CD交于点F．
（1）判断四边形ACGD的形状，并说明理由．
（2）求证：BE=CD，BE⊥CD．
【答案】看解析。
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴AB= BC，
∵△ABD和△ACE均为等腰直角三角形，
∴BD= =BC =2BC，
∵G为BD的中点，
∴BG= BD=BC，
∴△CBG为等腰直角三角形，∴∠CGB=45°，
∵∠ADB=45°，
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AD∥CG，
∵∠ABD=45°，∠ABC=45°∴∠CBD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠ACB=180°，∴AC∥BD，∴四边形ACGD为平行四边形；
（2）证明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°，
∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°，∴∠EAB=∠CAD，
在△DAC与△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE，∴BE=CD；
∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，∴CE=AB=AD，
在△BCE与△CAD中，
，
∴△BCE≌△CAD，∴∠CBE=∠ACD，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∴∠CBE+∠BCD=90°，∴∠CFB=90°，即BE⊥CD．
43
