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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.2 与圆有关的位置关系
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 点、直线与圆的位置关系 ☆☆ 与圆有关的位置关系部分，每年考查1道题,
分值为3~10分，常以选择题、解答题的形式
考点2 切线的性质与判定 ☆☆☆ 考查，切线性质与判断以解答题形式出现是常
态,是中考重点也是难点，需要掌握相关概念
及其性质的应用，多训练多总结解题规律方
考点3 三角形的外接圆与内切圆 ☆
法。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
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2
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考点1. 点、直线与圆的位置关系
（一）点和圆的位置关系
P
d
d P
d
r r P
r
设已知圆的半径为r,点p到圆心的距离为d．则
(1)dr⇔点p在⊙O外．
【方法总结】判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可．解决这类问题体现
了数形结合的思想。
【拓展】反证法的定义：先____命题的结论不成立，然后由此经过_____得出矛盾(常与公理、定理、
定义或已知条件相矛盾)，由矛盾判定假设______，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法．
（二）直线与圆的位置关系
1.用定义判断直线与圆的位置关系
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(1) 相离、相切、相交
（2）圆的切线定义：直线和圆有唯一的_____时，这条直线叫做圆的切线（如图直线 l），这个唯
一的_____叫做切点（如图点A）.
O
l
A
2.用数量关系判断直线与圆的位置关系
用圆心O到直线的距离d与圆的半径r的关系来区分
r
r r
d
d
d
∟ ∟
（1）直线和圆相交，d r
（2）直线和圆相切，d r
（3）直线和圆相离，d r
体现了数形结合思想。
考点2. 切线的判定与性质
1.切线的判定定理：经过半径的外端并且_____于这条半径的直线是圆的切线.
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OA为⊙O的半径，BC ⊥ OA于A。则BC为⊙O的切线。
注意：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是
圆的切线。
【方法总结】判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
（1）定义法：直线和圆只有个公共点时，我们说这条直线是圆的切线;
l
（2）数量关系法：圆心到这条直线的距离____半径(即d=r)时，直线与圆相切；
r
d
l
（3）判定定理：经过半径的外端且_____于这条半径的直线是圆的切线.
O
l
A
2.切线的性质定理：圆的切线____于经过切点的半径．
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O
l
A
直线l是⊙O 的切线，A是切点， 直线l ⊥OA.
说明：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用
直角三角形的相关性质解题.
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
图形 相关概念 圆心的确定 内、外心的性质
经过三角形各顶点
三角形的 的圆叫作三角形的
外心到三角形的三
外接圆,外接圆的圆 三角形三边垂直平
外接圆 个顶点的距离相
心叫作三角形的外 分线的交点
等。
心,这个三角形叫作
圆的内接三角形
与三角形各边都相
三角形的 切的圆叫作三角形 三角形三条角平分 内心到三角形的三
的内切圆,内切圆的
内切圆 圆心叫作三角形的 线的交点 条边的距离相等。
内心
a+b−c
【温馨提示】1.在△ABC中,若∠ACB=90°,AC=b,BC=a,AB=c,则△ABC内切圆的半径r= 。
2
2S
2.△ABC的三边长分别为a,b,c,☉O内切于△ABC,且半径为r,则有r= △ABC 。
a+b+c
考点1. 点、直线与圆的位置关系
【例题1】（2024广州）如图， 中，弦 的长为 ，点 在 上， ，
． 所在的平面内有一点 ，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
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A. 点 在 上 B. 点 在 内 C. 点 在 外 D. 无法确定
【变式练1】（2024陕西一模）已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点A与⊙O的位
置关系是（ ）
A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
【变式练2】 （2024江西一模）已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO=2，则直线l与⊙O
的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相离或相切 D．相切或相交
【变式练3】（2024呼和浩特一模）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为
3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是⊙（ ）
A．2 B．5 C．6 D．8
考点2. 切线的性质与判定
【例题2】（2024福建省）如图，已知点 在 上， ，直线 与 相切，
切点为 ，且 为 的中点，则 等于（ ）
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A. B. C. D.
【变式练1】（2024湖南长沙一模）如图， 是 的直径，点P在 的延长线上，
与 相切于点A，连接 ，若 ，则 的度数为（ ）
A. B. C. D.
【变式练2】（2024河南一模）如图，PA与 O相切于点A，PO交 O于点B，点C在PA上，且
CB＝CA．若OA＝5，PA＝12，则CA的长为 ⊙ ． ⊙
【变式练3】（2024武汉一模）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD
为半径的弧恰好与BC相切，切点为E，若 ，则sinC的值是（ ）
A． B． C． D．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
【例题3】（2024江苏苏州）如图， 是 的内接三角形，若 ，则
______．
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【变式练1】（2024大连一模）如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C=90°。若 AC=12cm，BC=5cm，求的
外接圆半径.
【变式练2】（2024河北一模）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 ．
【变式练3】（2024广州深圳一模）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为 r2，则△ABC的面
积为（ ） π
A． rl B． rl C．rl D． rl
π π
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1. （2024上海市）在 中， ， ， ，点 在 内，分别以
为圆心画，圆 半径为1，圆 半径为2，圆 半径为3，圆 与圆 内切，圆 与圆
的关系是（ ）
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 相离
2．（2024桂林）在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且
原点O在圆A的外部，那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
考点2. 切线的性质与判定
1. （2024江苏盐城）如图，点C在以 为直径的 上，过点C作 的切线l，过点A作
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，垂足为D，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
2. （2024贵州省）如图， 为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在 的延长线上， 与半
圆相切于点C，与 的延长线相交于点D， 与 相交于点E， ．
（1）写出图中一个与 相等的角：______；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长．
3.（2024湖北省） 中， ，点 在 上，以 为半径的圆交 于点 ，
交 于点 ．且 ．
（1）求证： 是 的切线．
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（2）连接 交 于点 ，若 ，求弧 的长．
4. （2024江西省）如图， 是半圆O的直径，点D是弦 延长线上一点，连接 ，
．
（1）求证： 是半圆O的切线；
（2）当 时，求 的长．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1. （2024四川眉山）如图， 内接于 ，点 在 上， 平分 交 于 ，
连接 ．若 ， ，则 的长为______．
2. （2024四川宜宾）如图， 内接于 ， 为 的直径， 平分 交 于
．则 的值为（ ）
A. B. C. D.
3. 【教材呈现】
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现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14．（2024山东滨州）如图，在锐角 中，探究 ， ， 之间的关
系．（提示：分别作 和 边上的高．）
【得出结论】
．
【基础应用】
在 中， ， ， ，利用以上结论求 的长；
【推广证明】
进一步研究发现， 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还
满足 （R为 外接圆的半径）．
请利用图1证明： ．
【拓展应用】
如图2，四边形 中， ， ， ， ．
求过A，B，D三点的圆的半径．
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4. （2024山东滨州）刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠
基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”．刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最
典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式．如图，
中， ， 的长分别为 ．则可以用含 的式子表示出
的内切圆直径 ，下列表达式错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5. （2024四川自贡）在 中， ， 是 的内切圆，切点分别为D，E，
F．
（1）图1中三组相等的线段分别是 ， ________， ________；若 ，
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，则 半径长为________；
（2）如图2，延长 到点M，使 ，过点M作 于点N．
求证： 是 的切线．
考点1. 点、直线与圆的位置关系
1．平面内，已知 O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（ ）
A．在 O外 ⊙ B．在 O上 C．在 O内 D．不能确定
2．在平⊙面直角坐标系xOy中，以⊙点（﹣3，4）为圆心，⊙4为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
3．已知 O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则 O的半径可能为（ ）
A．11cm⊙ B．10cm C．9cm ⊙ D．8cm
4．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，以点B为圆心，r为半径作 B，当r＝3时
B与AC的位置关系是（ ） ⊙
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
5．已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与 O
的位置关系为（ ⊙ ） ⊙ ⊙
A．相离 B．相交
C．相切 D．相交或相切
6．如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以1cm为半
径的 O与直线a相切，则OP的长为 ．
⊙
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考点2. 切线的性质与判定
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为
（ ）
A．20° B．25° C．40° D．50°
2. 如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点， O恰好经过点A，B，AD⊥CB于点
D，且AB平分∠CAD． ⊙
（1）判断BC与 O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，⊙DC＝8，求 O的半径长．
⊙
3.如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P， PE⊥AC于E.
求证:PE是⊙O的切线.
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4．如图，已知，BE是 O的直径，BC切 O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于
点A． ⊙ ⊙
（1）证明：CD是 O的切线；
（2）若AD＝2，A⊙E＝1，求CD的长．
考点3. 三角形的外接圆与内切圆
1．如图，PA、PB分别与 O相切于 A、B，∠P＝70°，C 为 O上一点，则∠ACB的度数为
（ ） ⊙ ⊙
A．110° B．120° C．125° D．130°
2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，
则可裁圆形木料的最大半径为 ．
4．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面
积为（ ）
A． B． C．16 D．32
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5．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
6. 如图，在 中， 的内切圆 与 分别相切于点 ， ，
连接 的延长线交 于点 ，则 _________．
7. 如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和△ABC的外接圆相交于点D.
求证：DI＝DB.
8. 如图， O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点F，交 O于点
D，连接B⊙D，BE． ⊙
（1）求证：DB＝DE；
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
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