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专题 24 与圆有关的位置关系的核心知识点精讲
1.探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．
2．知道三角形的内心和外心．
3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线.
考点1：点与圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
dr⇔点P在⊙O外。
考点2：直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 无交点；
2、直线与圆相切 有一个交点；
3、直线与圆相交 有两个交点；
r d d=r r d
考点3：切线的性质与判定定理
1、切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵ 且 过半径 外端
∴ 是⊙ 的切线 O
2、性质定理：切线垂直于过切点的半径（如上图）
推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 M A N
推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。
以上三个定理及推论也称二推一定理：
即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
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考点4：切线长定理
切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条
切线的夹角。
即：∵ 、 是的两条切线
∴ ； 平分
B
O
P
A
考点5：三角形 的内切圆和内心
（1）三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。
注意：内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
a+b−c
（2）△ABC中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c，则内切圆的半径r= 2 。
1
r(a+b+c)
（3）S =2 ，其中a，b，c是边长，r是内切圆的半径。 A D
△ABC
（4）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 O
如图，BC切⊙O于点B，AB为弦，∠ABC叫弦切角，∠ABC=∠D。
B
【题型1：点、直线与圆位置关系的判定】
【典例1】（2023•宿迁）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的
一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
⊙
A．2 B．5 C．6 D．8
1．（2022•六盘水）如图是“光盘行动”的宣传海报，图中餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是（
）
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A．相切 B．相交 C．相离 D．平行
2．（2021•浙江）已知平面内有 O和点A，B，若 O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线
AB与 O的位置关系为（ ）
⊙ ⊙
A．相离 B．相交
⊙
C．相切 D．相交或相切
【题型2：切线的判定与性质】
【典例2】（2023•盐城）如图，在△ABC中，O是AC上（异于点A，C）的一点， O恰好经过点A，
B，AD⊥CB于点D，且AB平分∠CAD．
⊙
（1）判断BC与 O的位置关系，并说明理由．
（2）若AC＝10，DC＝8，求 O的半径长．
⊙
⊙
1．（2023•河南）如图，PA与 O相切于点A，PO交 O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝
5，PA＝12，则CA的长为 ．
⊙ ⊙
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2．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC
相
切，切点为E，若 ，则sinC的值是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023•内蒙古）如图，AB是 O的直径，E为 O上的一点，点C是 的中点，连接BC，过点C的
直线垂直于BE的延长线于点D，交BA的延长线于点P．
⊙ ⊙
（1）求证：PC为 O的切线；
（2）若PC＝2 ⊙BO，PB＝10，求BE的长．
4．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若∠C＝30°，⊙CD＝2 ，求 的长．
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【题型3：三角形的外接圆和内切圆】
【典例3】（2021•毕节市）如图， O是△ABC的外接圆，点E是△ABC的内心，AE的延长线交BC于点
F，交 O于点D，连接BD，BE．
⊙
（1）求证：DB＝DE；
⊙
（2）若AE＝3，DF＝4，求DB的长．
1．（2023•攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为 r2，则△ABC的面积为（ ）
π
A． rl B． rl C．rl D． rl
2．（2020•济宁）如图，在△ABC中，点D为△ABC的内心，∠A＝60°，CD＝2，BD＝4．则△DBC的面
π π
积是（ ）
A．4 B．2 C．2 D．4
3．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有
一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直
径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用
勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：
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“步”为长度单位）．
4．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的半
圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
一．选择题（共8小题）
1．平面内，已知 O的半径是8cm，线段OP＝7cm，则点P（ ）
A．在 O外 B．在 O上 C．在 O内 D．不能确定
⊙
2．已知三角形的周长为12，面积为6，则该三角形内切圆的半径为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A．4 B．3 C．2 D．1
3．如图，PA、PB、CD是 O的切线，A、B、E是切点，CD分别交线段PA、PB于C、D两点，若∠APB
＝40°，则∠COD的度数为（ ）
⊙
A．50° B．60° C．70° D．75°
4．已知 O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为6，那么直线l与 O的公共点的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
⊙ ⊙
5．已知 O和直线l相交，圆心到直线l的距离为10cm，则 O的半径可能为（ ）
A．11cm B．10cm C．9cm D．8cm
⊙ ⊙
6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝70°，点I是△ABC的内心，则∠BIC的度数为（ ）
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A．40° B．70° C．110° D．140°
7．如图，AB与 O相切于点B，AO的延长线交 O于点C，连接BC．若∠A＝36°，则∠C的度数为（
）
⊙ ⊙
A．18° B．27° C．36° D．54°
8．如图，AB为 O的直径，CD切 O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠A的度数为（
）
⊙ ⊙
A．45° B．30° C．22.5° D．37.5°
二．填空题（共4小题）
9．如图，已知∠AOB＝30°，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作 M，当OM＝ cm
时， M与OA相切．
⊙
⊙
10．如图，AB是 O的直径，点C为 O上一点，过点C作 O的切线，交直径AB的延长线于点D，若
∠ABC＝65°，则∠D的度数是 度．
⊙ ⊙ ⊙
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11．如图，PA，PB是 O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝ ．
⊙
12．如图是一块直角三角形木料，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，木工师傅要从中裁下一块圆形木料，则可
裁圆形木料的最大半径为 ．
三．解答题（共3小题）
13．如图，AB是 O的直径，C是 O上的一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN的垂线，垂足为
点D，且AC平分∠BAD．
⊙ ⊙
（1）求证：直线MN是 O的切线；
（2）若AD＝4，AC＝5，求 O的半径．
⊙
⊙
14．如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，D为AC的中点，过C作 O的切线交OD的延长线于E，
交AB的延长线于F，连EA．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：EA与 O相切；
（2）若CE＝3，CF＝2，求 O的半径．
⊙
⊙
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15．如图，已知，BE是 O的直径，BC切 O于B，弦DE∥OC，连接CD并延长交BE的延长线于点
A．
⊙ ⊙
（1）证明：CD是 O的切线；
（2）若AD＝2，AE＝1，求CD的长．
⊙
一．选择题（共6小题）
1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O是内心，若CO＝2，△ABC的周长为16，则△ABC的面积为（
）
A． B． C．16 D．32
2．一个等边三角形的边长为2，则这个等边三角形的内切圆半径为（ ）
A． B．1 C． D．
3．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离
为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
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A．a B．b C．a+b D．a﹣b
4．在平面直角坐标系中，以点A（4，3）为圆心、以R为半径作圆A与x轴相交，且原点O在圆A的外部，
那么半径R的取值范围是（ ）
A．0＜R＜5 B．3＜R＜4 C．3＜R＜5 D．4＜R＜5
5．在平面直角坐标系xOy中，以点（﹣3，4）为圆心，4为半径的圆与x轴的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判断
6．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，∠C＝55°，则∠P等于（ ）
⊙
A．110° B．70° C．140° D．55°
二．填空题（共4小题）
7．在《九章算术》卷九中记载了一个问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：
“如图，今有直角三角形勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容
纳的圆（内切圆）的直径是多少步？”根据题意，该内切圆的直径为 步．
8．如图，PA，PB分别与 O相切于A，B两点，∠P＝60°，PA＝6，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙
9．如图，在等边三角形ABC中，BC＝2，若 C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作 C的切线
PQ，切点为Q，则PQ的最小值为 ．
⊙ ⊙
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10．如图，已知 P的半径为1，圆心P在抛物线 上运动，当 P与x轴相切时，请写出所有符
合条件的点P的坐标为 ．
⊙ ⊙
三．解答题（共3小题）
11．如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作 O，AE是 O的
直径，连接DE．
⊙ ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
（2）若sinC＝ ，AC＝6，求 O的直径．
⊙
12．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接
DE．
⊙
（1）求证：DE与 O相切；
⊙
（2）连接OC交DE于点F，若 O的半径为3，DE＝4，求 的值．
⊙
13．如图，AB 是 O 的直径，BC 交 O 于点 D，E 是 的中点，连接 AE 交 BC 于点 F，∠ACB＝
2∠EAB．
⊙ ⊙
（1）求证：AC是 O的切线；
⊙
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（2）若cosC＝ ，AC＝6，求BF的长．
1．（2020•广州）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，cosA＝ ，以点B为圆心，r为半径作 B，当
r＝3时， B与AC的位置关系是（ ）
⊙
⊙
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
2．（2023•湘西州）如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 O相切，切点分别为
C，D．若AB＝10，PC＝12，则sin∠CAD等于（ ）
⊙ ⊙
A． B． C． D．
3．（2020•泰州）如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4cm，O为直线b上一动点，若以
1cm为半径的 O与直线a相切，则OP的长为 ．
⊙
4．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到 O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则 O
的半径是 ．
⊙ ⊙
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5．（2023•黑龙江）如图，AB是 O的直径，PA切 O于点A，PO交 O于点C，连接BC，若∠B＝
28°，则∠P＝ °．
⊙ ⊙ ⊙
6．（2022•黔东南州）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的 O是△ABC的内切圆，连接OB、
OC，则图中阴影部分的面积是 cm2．（结果用含 的式子表示）
⊙
π
7．（2023•鄂州）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，点C为 的中点，过点C作CD⊥AE，交
AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求 O的半径长．
⊙
⊙
8．（2023•辽宁）如图，AB是 O的直径，点C，E在 O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长
线上，且∠AFE＝∠ABC．
⊙ ⊙
（1）求证：EF与 O相切；
⊙
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝ ，求BC的长．
9．（2023•眉山）如图，△ABC中，以AB为直径的 O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC
于点D，延长DE交AB的延长线于点P．
⊙
（1）求证：PE是 O的切线；
⊙
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（2）若 ，BP＝4，求CD的长．
10．（2023•朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作 O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，
∠CDF＝∠ABD．
⊙
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
（2）若 ＝ ，tan∠CDF＝ ，BC＝ ，求 O的半径．
⊙
14
