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2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.3 与圆有关的计算
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 弧长、扇形面积的计算 ☆☆ 数学中考中，与圆有关计算部分，每年考查
1道题,分值为3分，通常以填空题的形式考
考点2 圆柱、圆锥的相关计算 ☆ 察。需要学生熟练掌握 弧长、扇形面积的计
算，对圆柱、圆锥的相关计算也不能忽视。
不规则图形的面积的计算问题基本思路就是
考点3 不规则图形的面积的计算 ☆
转化成规则图形的面积计算。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。夯实基础
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. 与弧长相关的计算
扇形的弧长计算公式为： l =
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位
的.
2. 与扇形面积相关的计算
（1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
（2）扇形的面积公式为S= = ．扇形的面积与圆心角、半径有关。
3. 弓形的面积公式
S =S -S S =S +S
弓形 扇形 三角形 弓形 扇形 三角形考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1. 圆柱侧面展开图可以求解圆柱的表面积
=
2. 圆柱的体积：
3.圆锥及相关概念
（1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数
条母线，它们都相等．
（2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之
间数量关系是：r2+h2=l2
4.圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是扇形。（1）其侧面展开图扇形的半径=母线的长l
（2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr，
（3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 )
（4）圆锥的全面积计算公式
S ＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2．
圆锥全
考点3. 不规则图形的面积的计算
求阴影部分面积的几种常见方法：
（1）公式法；
（2）割补法；
（3）拼凑法；
（4）等积变形构造方程法；
（5）去重法．
考点1. 弧长、扇形面积的计算
【例题1】（2024安徽省）若扇形 的半径为6， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可．
由题意可得， 的长为 ,故选：C．
【例题2】（2024甘肃威武）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非
物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇
形 有相同的圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的面积是______ ．（结果用π表示）
【答案】
【解析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的
关键．
∵圆心角 ， ， ，
∴阴影部分的面积是
．
【变式练1】（2024大连一模）圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据弧长公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆 半径为r），由此计算即可．
的
该扇形的弧长 ，故选：C．
【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），
正确记忆弧长公式是解答此题的关键．
【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长
均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ）A. B. C. D.
【答案】B
【解析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即
可．
如图，过点OC作OD⊥AB于点D，
∵∠AOB=2× =60°，
∴ OAB是等边三角形，
△
∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1，
∴OD= ，
∴阴影部分的面积为 ，故选：B．
【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的计算方法是正确解答的关键．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
【例题3】（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径 是
5，则该圆锥的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇
形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，根据弧长公式得出侧面
展开图的弧长，进而得出 ，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可．
设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，
圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，且扇形的半径 是5，
扇形的弧长为 ，
圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等，
，
，
圆锥的高为 ，
圆锥的体积为 ，故选：D．
【变式练1】（2024广安一模）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个
蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则
下列说法错误的是（ ）A．圆柱的底面积为4πm2
B．圆柱的侧面积为10πm2
C．圆锥的母线AB长为2.25m
D．圆锥的侧面积为5πm2
【答案】C
【解析】∵底面圆半径DE＝2m，
∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意；
∵圆柱的高CD＝2.5m，
∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意；
∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，
∴圆锥的母线长AB＝ ＝2.5（m），所以C选项符合题意；
∴圆锥的侧面积＝ ×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C．
【变式练2】（2024河南一模）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积
是（ ）
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
【答案】C
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的
侧面积．
【详解】在 中，
cm，
∴它侧面展开图的面积是 cm2．故选：C
【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键．
考点3. 不规则图形的面积的计算
【例题4】（2024山东威海）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点
作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点
落在阴影部分的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形 的面积，
即可求解．
∵ ， ，
∴四边形 是矩形，
∴
∴∵点 是 的中点
∴
∴
∴
∴ ， ，
点 落在阴影部分的概率是 故选：B．
【变式练1】（2024广州一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将
Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分
别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ）
5 π 7 π
A．π B．π+5 C． − D． −
2 4 2 4
【答案】C
【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式为
nπr2
S= ．作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF
360
的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．
【详解】作DH⊥AE于H，∵∠AOB=90°，OA=2，OB=1，
∴AB=√OA2+OB2=√5，
由旋转，得△EOF≌△BOA，
∴∠OAB=∠EFO，
∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°，
∴∠EFO=∠HED，
∴∠HED=∠OAB，
∵∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB，
∴△DHE≌△BOA(AAS)，
∴DH=OB=1，
阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积
1 1 90π×22 90π×5
= ×3×1+ ×1×2+ −
2 2 360 360
5 1
= − π 故选：C．
2 4
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1. （2024贵州省）如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶ 求解即可．∵ ， ，
∴ 的长为 ，故选∶C．
2. （2024四川成都市）如图，在扇形 中， ， ，则 的长为______．
【答案】
【解析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可．
由题意得 的长为
3. （2024河南省）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的中点，
连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】过D作 于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出 ，
利 用 弧 、 弦 的 关 系 证 明 ， 利 用 三 线 合 一 性 质 求 出 ，，在 中，利用正弦定义求出 ，最后利用扇形面积公式求解
即可．
【详解】过D作 于E，
∵ 是边长为 的等边三角形 的外接圆，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵点D是 的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，故选：C．
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式，
解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键．
4. （2024重庆市A）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，两弧
有且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ）A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得 ，由勾股定理
得出 ，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论．
【详解】解：连接 ，
根据题意可得 ，
∵矩形 ，∴ ， ，
在 中， ，
∴图中阴影部分的面积 ．故选：D．
的
5. （2024吉林省）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制 铅球场地设计图如图
所示，该场地由 和扇形 组成， 分别与 交于点A，D． ，
， ，则阴影部分的面积为______ （结果保留 ）．【答案】
【解析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．
利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解．
由题意得： ，
6. （2024深圳）如图，在矩形 中， ，O为 中点， ，则扇形
的面积为________．
【答案】
【解析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得 ，
，得到 ，再利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】∵ ， ，
∴ ，
∵O为 中点，
∴ ，∵ ，
在 中， ，
∴ ，
同理 ，
∴ ，
∴扇形 的面积为 ，
7. （2024甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片 ， 为折痕，以点 为圆心，
为半径作弧，分别交 ， 于 ， 两点，则 的长度为______（结果保留 ）．
【答案】 ##
【解析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟
知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键．
由对折可知， ，过点E作 的垂线，进而可求出 的度数，则可得出
的度数，最后根据弧长公式即可解决问题．
【详解】∵折叠，且四边形 是正方形
四边形 是矩形， ，
则 ， ．
过点E作 于P，则 ，
，
在 中， ，
，
则 ，
的长度为：
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1.（2024黑龙江大庆） 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 ，圆柱形盒
子的容积为 ，则 ______．（球体体积公式： ，其中r为球体半径）
【答案】
【解析】题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案．
设球的半径为 ，则圆柱的高为 ，依题意， ，
∴ ，
2. （2024云南省）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为
厘米，底面圆的半径为 厘米，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. 平方厘米 B. 平方厘米
C. 平方厘米 D. 平方厘米
【答案】C
【解析】本题考查了圆锥 的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算
即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键．
【详解】圆锥的底面圆周长为 厘米，
∴圆锥的侧面积为 平方厘米，故选： ．
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥
的高为______cm．
【答案】
【解析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇
形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后
解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可．
【详解】设圆锥的母线长为R，
根据题意得 ，
解得： ．即圆锥的母线长为 ，
∴圆锥的高 cm，
4. （2024黑龙江绥化）用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的
底面圆的半径为______ ．
【答案】
【解析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求
解．
设这个圆锥的底面圆的半径为 ，由题意得，
解得：
5. （2024江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______．
【答案】
【解析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案．
∵圆锥的底面圆半径为 ，母线长为
∴圆锥的侧面积
【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解．
6. （2024山东烟台）如图，在边长为6的正六边形 中，以点F为圆心，以 的长为半
径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________．
【答案】
【解析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点 作 ，求出 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇
形的弧长，进行求解即可．
【详解】∵正六边形 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
过点 作 于点 ，则： ，
设圆锥的底面圆的半径为 ，则： ，
∴ ；
故答案为： ．
7. （2024广东） 综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如图1所示：
①一张直径为 的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为 的圆锥形过滤漏斗．【实践操作】
步骤1：取一张滤纸；
步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中．
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明．
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留 ）
【答案】（1）能，见解析 （2）
【解析】本题考查了圆锥，解题的关键是：
（1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断；
（2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定
理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可．
【小问1详解】
解：能，
理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁；
【小问2详解】解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为 ，高为 ，
根据题意，得 ，
解得 ，
∴ ，
∴圆锥的体积为 ．
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. （2024四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直
径为 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为 米，请计算出淤泥横截
面的面积（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点
作 于 ，由垂径定理得 ，由勾股定理得 ，又根据
圆的直径为 米可得 ，得到 为等边三角形，即得 ，再根据淤泥
横截面的面积 即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键．
【详解】过点 作 于 ，则 ， ，∵圆 直的径为 米，
∴ ，
∴在 中， ，
∵ ，
∴ 为等边三角形，
∴ ，
∴淤泥横截面的面积 ，故选： ．
2. （2024黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作
等边三角形 ；分别以点 ， ， 为圆心，以 的长为半径作 ， ， ．三段弧
所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是______．
【答案】
【解析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成，
如果周长为 ，则其中的一段弧长就是 ，所以根据弧长公式可得 ，即正三角形的边长为 ．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案．
曲边三角形的周长为 ， 为等边三角形，
曲边三角形的面积为：
3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将
沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F．
（1）求证： 是 的切线；
（2）若 ， ，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得 ， ，再证明 ，推出 ，据此即可证明 是 的切线；
（2）先求得 ，在 中，求得 ，再利用扇形面积公式求解即
可．
【小问1详解】证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 沿直线 翻折得到 ，
∴ ， ，
∵ 是 的半径，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 于点C，
又∵ 为 的半径，
∴ 是 的切线；
【小问2详解】解：∵ ，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质，
综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键．
4. （2024山东枣庄）如图，在四边形 中， ， ，
．以点 为圆心，以 为半径作 交 于点 ，以点 为圆心，以
为半径作 所交 于点 ，连接 交 于另一点 ，连接 ．（1）求证： 为 所在圆的切线；
（2）求图中阴影部分面积．（结果保留 ）
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等
知识点，证明四边形 是平行四边形是解题关键．
（1）根据圆的性质，证明 ，即可证明四边形 是平行四边形，
再证明 是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果．
（2）先求出平行四边形的高 ，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解
即可．
【小问1详解】
解：连接 如图，
根据题意可知： ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵ ，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
∴ ，
的
∴ 在以 为直径 圆上，
∴ ，
∴ 为 所在圆的切线．
【小问2详解】
过 作 于点 ，
由图可得： ，
在 中， ， ，
∴ ，
∴ ，
由题可知：扇形 和扇形 全等，∴ ，
等边三角形 的面积为： ，
∴
考点1. 弧长、扇形面积的计算
1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧， ， 所在圆的圆心为
O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝
120°，则弯道外边缘 的长为（ ）
A．8 m B．4 m C． m D． m
【答案π】C π π π
【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论．
∵OC＝12m，AC＝4m，
∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m），
∵∠AOB＝120°，
∴弯道外边缘 的长为： ＝ （m）．
2. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．若该圆
半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（ ）A. cm B. cm C. cm D. cm
【答案】A
【解析】如图，根据切线的性质可得 ，根据四边形内角和可得 的角
度，进而可得 所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．如图，
PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．
，
∠P＝40°，
，
该圆半径是9cm，
cm．
【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键．
3. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆
曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两条切线相交于点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径 ，则这段圆曲线
的长为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由转角 为 可得 ，由切线的性质可得 ，根据四
边形的内角和定理可得 ，然后根据弧长公式计算
即可．
如图：
∵ ，
∴ ，
∵过点 的两条切线相交于点 ，∴ ,
∴ ,
∴ ．故选B．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得 是解答
本题的关键．
考点2. 圆柱、圆锥的相关计算
1．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ）
A． cm2 B． cm2 C．175πcm2 D．350πcm2
【答案】C
【解析】在Rt AOC中，AC＝ ＝25（cm），
△
所以圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2π×7×25＝175π（cm2）．故选：C．
2．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果
保留 ）．
π
【答案】6 ．
π【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
根据题意得：2 r＝ ，
解得：l＝3r， π
∵高为4，
∴r2+42＝（3r）2，
解得：r＝ ，
∴母线长为3 ，
∴圆锥的侧面积为 rl＝ × ×3 ＝6 ．
π π π
3. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，则烟囱帽的侧面积为_______
．（结果保留 ）
【答案】
【解析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式 代值求解即可得到答案．
圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，
烟囱帽的侧面积 （ ），
故答案为： ．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式 ，熟记扇形面积公式是解决问题的关
键．
4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，扇形的圆心角
，则圆锥的底面圆半径 为__________ ．【答案】2
【解析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到
答案．
∵母线长 为 ，扇形的圆心角
∴圆锥的底面圆周长
∴圆锥的底面圆半径
5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为
20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度．
π π
【答案】150
【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案．
设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°，
∵圆锥的底面圆周长为20 cm，
∴圆锥的侧面展开图扇形的π弧长为20 cm，
π
由题意得： ×20 ×l＝240 ，
解得：l＝24， π π
则 ＝20 ，
解得，n＝150，即π扇形的圆心角为150°．6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外
包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，
AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留
）
π
【答案】见解析。
【解析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论．
（2）根据S阴 ＝ •BC•AD﹣S扇形AEF 求解即可．
解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得 •DE＝ ,AD＝2DE,
∴n＝90,∴π∠BAC＝90°．
(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴 ＝ •BC•AD﹣S扇形AEF ＝ ×10×20﹣ ＝(100﹣25 )cm2．
π
7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长
为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．
（1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；
（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥
侧面无重叠，求这个圆锥的高h．
【答案】见解析。
【解析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6 ，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S ﹣S 进行
△ABC 扇形EAF
计算；
∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，
∴∠B＝30°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∴BD＝ AD＝6 ，
∴BC＝2BD＝12 ，
∴由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积
S＝S ﹣S ＝ ×6×12 ﹣ ＝36 ﹣12π；
△ABC 扇形EAF
（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面
的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2πr＝ ，解得r＝2，然后利用勾
股定理计算这个圆锥的高h．
根据题意得2πr＝ ，解得r＝2，
这个圆锥的高h＝ ＝4 ．
考点3. 不规则图形的面积的计算
1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆
心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． + D．
【答案】C
【解析】连接OE、AE，∵点C为OA的中点，
∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S ＝ ＝ π，
扇形AOE
∴S ＝S ﹣S ﹣（S ﹣S ）
阴影 扇形AOB 扇形COD 扇形AOE △COE
＝ ﹣ ﹣（ π﹣ ×1× ）
＝ π﹣ π+
＝ + ．
2. 如图，点A，B，C在 上， ，连接 ， ．若 的半径为3，则扇形
（阴影部分）的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】先利用圆周角定理求出 的度数，然后利用扇形面积公式求解即可．
∵ ，
∴ ，又 的半径为3，
∴扇形 （阴影部分）的面积为 ．故选：D．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角
的一半”是解题的关键．
3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半
径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】 ﹣ ．
【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴
影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝ ＝ ＝ ，BC＝ ＝ ＝2 ，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝ BC＝ ，
∴DE＝ ，
∴阴影部分的面积是： 2×2 ﹣ ﹣ ＝ ﹣ ，
故答案为： ﹣ ．4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，
交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则
图中阴影部分的面积为（ ）
A．8﹣ B．4﹣ C．2﹣ D．1﹣
【答案】πD π
【解析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则
图形的面积：S阴影部分 ＝S△ABC ﹣（S扇形EBF +S扇形DAC ），将相关量代入求解即可．
解：根据题意可知AC＝ ＝ ＝1，则BE＝BE＝AD＝AC＝1，
设∠B＝n°，∠A＝m°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90，
∴S阴影部分 ＝S△ABC ﹣（S扇形EBF +S扇形DAC ）＝ ﹣（ ）＝1﹣
＝1﹣ ，
5．如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积
是（ ）
π 3π
A． B． C．π D．3π
2 4
【答案】D
【解析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积﹣空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积．
∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°，∴S ＝S +S ﹣S
阴影 半圆A′B 扇形ABA′ 半圆AB
＝S
扇形ABA′
62π⋅30
=
360
＝3π，
6．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为^AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为
D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．10π B．9π C．8π D．6π
【答案】A
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝
36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【解析】连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
36⋅π×102
∵S = =10π
扇形OBC
360
∴图中阴影部分的面积＝10π
7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=√2，过^AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别
为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ）π 1 π 1
A．π﹣1 B． −1 C．π− D． −
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝
OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．
【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，
∴四边形CDOE是矩形，
连接OC，
∵点C是^AB的中点，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∴矩形CDOE是正方形，
∵OC＝OA=√2，
∴OE＝1，
90⋅π×2 π
∴图中阴影部分的面积= −1×1= −1
360 2
8．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点
P，那么图中阴影部分的面积为 ．【答案】2 ﹣ ．
【解析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F，
∵PB＝PC＝BC，
∴△PBC为等边三角形，
∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°，
∴BF＝PB•cos60°＝ PB＝1，PF＝PB•sin60°＝ ，
则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2
＝[ ﹣（ ﹣ ×2× ）]×2＝2 ﹣ ，
故答案为：2 ﹣ ．
9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，BE是 O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA，
垂足为G． ⊙ ⊙
（1）求证：FG是 O的切线；
⊙
（2）已知FG＝2 ，求图中阴影部分的面积．【答案】见解析
【解析】（1）证明：连接OF，AO，
∵AB＝AF＝EF，
∴ ＝ ＝ ，
∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°，
∵OB＝OF，
∴∠OBF＝∠BFO＝30°，
∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，
∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，
∴FG是 O的切线；
⊙
（2）解：∵ ＝ ＝ ，
∴∠AOF＝60°，
∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°，
∵FG＝2 ，
∴AF＝4，∴AO＝4，
∵AF∥BE，
∴S△ABF ＝S△AOF ，
∴图中阴影部分的面积＝ ＝ ．10.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝
30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．
【答案】见解析。
【解析】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B，
∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°，
∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴OA⊥AD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2，
在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°，
∴OD＝2OA＝4，AD＝2 ，
所以S ＝ OA•AD＝ ×2×2 ＝2 ，
△OAD
因为∠COA＝60°，
所以S ＝ ＝ π，
扇形COA
所以S ＝S ﹣S ＝2 ﹣ ．
阴影 △OAD 扇形COA
