2025年中考数学一轮复习学案：3.2一次函数（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮复习学案（全国通用）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2025年中考数学一轮复习学案（全国版） 第三章 函数 3.2 一次函数 考点分布 考查频率 命题趋势 考点 1 一次函数的表达 数学中考中，有关一次函数的部分，每年考查1道 ☆☆☆ 式、图象与性质 题,分值为3~6分，通常以选择题、填空题、解答题 的形式考查。对于这部分知识的复习需要学生熟练 考点2 一次函数与一次方 掌握一次函数的表达式。在一次函数的应用试题 程(组)、一元一次不等式 ☆☆ 里，通常结合考查方程（组）、函数、不等式综合 的关系 知识，所以复习时要系统深入学习好一次函数基础 知识。 考点3 一次函数的应用 ☆☆ ☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。 夯实基础 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考点1. 一次函数的表达式、图象与性质 1.一次函数的定义 一般地，形如 y = kx + b (k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数. 特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数． 2.一次函数的一般形式 一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0． 一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数. 注意：（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. （2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数. （3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式. 3. 一次函数的图象特征与性质 （1）一次函数的图象 一次函数的图象 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是经过点 (0 ， b ) 和(- ，0)的一条直线 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可由正比例函数y=kx(k≠0)的图象平移得到；b>0， 图象关系 向上平移b个单位长度；b<0，向下平移|b|个单位长度 因为一次函数的图象是一条直线，由两点确定一条直线可知画一次函数图象 图象确定 时，只要取两点即可。 （2）一次函数的性质 函数 字母取值 图象 经过的象限 函数性质 k>0，b>0 一、二、三 y=kx+b y随x的增大而增大 (k≠0) k>0，b<0 一、三、四 k<0，b>0 一、二、四 y=kx+b y随x的增大而减小 (k≠0) k<0，b<0 二、三、四 （3）k，b的符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系 在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=- ，即直线y=kx+b与x轴交于（– ，0）． 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①当– >0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴． ②当– =0，即b=0时，直线经过原点． ③当– <0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴． （4）两直线y=kx+b（k≠0）与y=kx+b（k≠0）的位置关系： 1 1 1 2 2 2 ①当k=k，b≠b，两直线平行； ②当k=k，b=b，两直线重合； 1 2 1 2 1 2 1 2 ③当k≠k，b=b，两直线交于y轴上一点； ④当k·k=–1时，两直线垂直． 1 2 1 2 1 2 4. 一次函数与正比例函数的区别与联系 正比例函数 一次函数 一般形式 y=kx（k是常数，且k≠0） y=kx+b（k，b是常数，且k≠0） 图象 经过原点的一条直线 一条直线 k的符号决定其增减性，同时 k的符号决定其增减性；b的符号决定直 区 k，b符号的作用 决定直线所经过的象限 线与y轴的交点位置；k，b的符号共同 别 决定直线经过的象限 只需要一对x，y的对应值或 需要两对x，y的对应值或两个点的坐标 求解析式的条件 一个点的坐标 比例函数是特殊的一次函数． ②正比例函数图象与一次函数图象的画法一样，都是过两点画直线，但画一次函数的图象 需取两个不同的点，而画正比例函数的图象只要取一个不同于原点的点即可． 联 ③一次函数y=kx+b（k≠0）的图象可以看作是正比例函数 y=kx（k≠0）的图象沿y轴向上 系 （b>0）或向下（b<0）平移|b|个单位长度得到的．由此可知直线y=kx+b（k≠0，b≠0）与直 线y=kx（k≠0）平行． ④一次函数与正比例函数有着共同的性质： a．当k>0时，y的值随x值的增大而增大；b．当k<0时，y的值随x值的增大而减小． 【重点提醒】待定系数法求函数解析式 1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法 叫做待定系数法． 2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤 （1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）． （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程． （3）解方程，求出待定系数k． （4）将求得的待定系数k的值代入解析式． 3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 （1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b． （2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数 k，b的二元一次方程 组． 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （3）解二元一次方程组，求出k，b． （4）将求得的k，b的值代入解析式． 考点2. 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系 1．一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可以转化为kx+b=0(k，b为常数，且k≠0)的形式． 从函数的角度来看，解这个方程就是寻求自变量为何值时函数值为0；从函数图象的角度考虑，解 这个方程就是确定直线y=kx+b与x轴的交点的横坐标． 2．一次函数与一元一次不等式 任何一个一元一次不等式都能写成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b为常数，且a≠0）的形式． 从函数的角度看，解一元一次不等式就是寻求使一次函数 y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自 变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=ax+b（a≠0）在x轴上（或下）方部分的 点的横坐标满足的条件． 3．一次函数与二元一次方程组 一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常数，且m≠0，n≠0）都能写成y=ax+b（a，b为常数， 且a≠0）的形式．因此，一个二元一次方程对应一个一次函数，又因为一个一次函数对应一条直线， 所以一个二元一次方程也对应一条直线．进一步可知，一个二元一次方程组对应两个一次函数，因 而也对应两条直线． 从数的角度看，解二元一次方程组相当于考虑自变量为何值时，两个函数的值相等，以及这两个函 数值是何值；从形的角度看，解二元一次方程组相当于确定两条直线的交点坐标，一般地，如果一 个二元一次方程组有唯一解，那么这个解就是方程组对应的两条直线的交点坐标． 4.一次函数图象与图形面积 解决这类问题的关键是根据一次函数解析式求出一次函数图象与坐标轴的交点的坐标，或两条直线 的交点坐标，进而将点的坐标转化成三角形的边长，或者三角形的高．如果围成的三角形没有边在 坐标轴上或者与坐标轴平行，可以采用“割”或“补”的方法。 考点3. 一次函数的应用 1．主要题型 （1）求相应的一次函数表达式； （2）结合一次函数图象求相关量、求实际问题的最值等。 2．用一次函数解决实际问题的一般步骤 （1）设定实际问题中的自变量与因变量； （2）通过列方程(组)与待定系数法求一次函数关系式； （3）确定 自 变量 的取值范围； （4）利用函数性质解决问题； （5）检验所求解是否符合实际意义； （6）答． 【易错点提示】方案最值问题 对于求方案问题，通常涉及两个相关量，解题方法为根据题中所要满足的关系式，通过列不等式， 求解出某一个事物的取值范围，再根据另一个事物所要满足的条件，即可确定出有多少种方案． 求最值的本质为求最优方案，解法有两种： 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）可将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较； （2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，由一次函数的增减性可直接确定最 优方案及最值；若为分段函数，则应分类讨论，先计算出每个分段函数的取值，再进行比较． 显然，第（2）种方法更简单快捷． 考点1. 一次函数的表达式、图象与性质 【例题1】（2024甘肃临夏）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不 经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即 可得出结论． ∵一次函数 ，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限，故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 【变式练1】（2024黑龙江绥化一模）下列函数是一次函数的是( ) A．y＝－8x B．y＝－ C．y＝－8x2＋2 D．y＝－＋2 【答案】A 【解析】A.它是正比例函数，属于特殊的一次函数，正确；B.自变量次数不为1，不是一次函数， 错误；C.自变量次数不为1，不是一次函数，错误；D.自变量次数不为1，不是一次函数，错误．故 选A. 方法总结：一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 【变式练2】（2024吉林长春一模）已知y＝(m－1)x2－|m|＋n＋3. (1)当m、n取何值时，y是x的一次函数？ (2)当m、n取何值时，y是x的正比例函数？ 【答案】见解析 【解析】(1)根据一次函数的定义，m－1≠0，2－|m|＝1，据此求解即可；(2)根据正比例函数的定 义，m－1≠0，2－|m|＝1，n＋3＝0，据此求解即可． 解：(1)根据一次函数的定义得2－|m|＝1，解得m＝±1.又∵m－1≠0即m≠1，∴当m＝－1，n为 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 任意实数时，这个函数是一次函数； (2)根据正比例函数的定义得2－|m|＝1，n＋3＝0，解得m＝±1，n＝－3.又∵m－1≠0即m≠1，∴ 当m＝－1，n＝－3时，这个函数是正比例函数． 方法总结：一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：k≠0，自变量的次数为1，常数项b可以为任意 实数．正比例函数y＝kx的解析式中，比例系数k是常数，k≠0，自变量的次数 为1. 【变式练3】（2024辽宁一模）已知一次函数y＝kx＋b中，当自变量x＝3时，函数值y＝5；当x＝ －4时，y＝－9.求k和b的值． 【答案】k=2,b=-1 【解析】解析：把两组对应值分别代入y＝kx＋b得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k和 b. ∵当自变量x＝3时，函数值y＝5，当x＝－4时，y＝－9， ∴解得 方法总结：解决此类问题就是将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到 关于待定系数的方程或方程组解答即可． 【例题2】（2024海南）已知正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，则一次函数y ＝x＋k的图象大致是( ) 【答案】B 【解析】∵正比例函数y＝kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，∴k＜0.∵一次函数y＝x＋k的 一次项系数大于0，常数项小于0，∴一次函数y＝x＋k的图象经过第一、三、四象限，且与y轴的 负半轴相交．故选B. 方法总结：一次函数y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)是一条直线．当k＞0，图象经过第一、三象限， y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小．图象与y轴的交点坐 标为(0，b)． 【变式练1】（2024山西一模）已知函数y＝(2m－2)x＋m＋1， (1)当m为何值时，图象过原点？ (2)已知y随x增大而增大，求m的取值范围； (3)函数图象与y轴交点在x轴上方，求m的取值范围； 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 (4)图象过第一、二、四象限，求m的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)根据函数图象过原点可知，m＋1＝0，求出m的值即可；(2)根据y随x增大而增大可知 2m－2＞0，求出m的取值范围即可；(3)由于函数图象与y轴交点在x轴上方，故m＋1＞0，进而可 得出m的取值范围；(4)根据图象过第一、二、四象限列出关于m的不等式组，求出m的取值范围． 解：(1)∵函数图象过原点，∴m＋1＝0，即m＝－1； (2)∵y随x增大而增大，∴2m－2＞0，解得m＞1； (3)∵函数图象与y轴交点在x轴上方，∴m＋1＞0，解得m＞－1； (4)∵图象过第一、二、四象限，∴解得－1＜m＜1. 方法总结：一次函数y＝kx＋b(k≠0)中，当k＜0，b＞0时，函数图象过第一、二、四象限． 【变式练2】（2024江西一模）已知一次函数图象经过点A(3，5)和点B(－4，－9)． (1)求此一次函数的解析式； (2)若点C(m，2)是该函数图象上一点，求C点坐标． 【答案】见解析 【解析】(1)将点A(3，5)和点B(－4，－9)分别代入一次函数y＝kx＋b(k≠0)，列出关于k、b的二 元一次方程组，通过解方程组求得k、b的值；(2)将点C的坐标代入(1)中的一次函数解析式，即可 求得m的值． 解：(1)设一次函数的解析式为y＝kx＋b(k、b是常数，且k≠0)，则∴∴一次函数的解析式为y＝ 2x－1； (2)∵点C(m，2)在y＝2x－1上，∴2＝2m－1，∴m＝，∴点C的坐标为(，2)． 方法总结：答题时，要注意一次函数的一次项系数k≠0这一条件，所以求出结果要注意检验一下． 考点2. 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系 【例题3】（2024江苏扬州）如图，已知一次函数 的图象分别与x、y轴交于A、B 两点，若 ， ，则关于x的方程 的解为_____． 【答案】 【解析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与 轴交点坐标可得出答案． 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴ ， ∵一次函数 的图象与 轴交于点 ， ∴当 时， ，即 时， ， ∴关于 的方程 的解是 ． 【变式练1】（2024云南一模）一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图 象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为( ) A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 【答案】A 【解析】∵y＝kx＋b经过点(2，3)、(0，1)， ∴解得 ∴一次函数解析式为y＝x＋1. 令x＋1＝0，解得x＝－1.故选A. 方法总结：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y＝kx ＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值． 【变式练2】（2024新疆一模）如图，函数y=kx+b与y=mx+n的图象交于点P（1，2），那么关于 y kxb  x，y的方程组 y mxn的解是（ ） 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 x1 x2 x2 x1     A． y 2 B． y 1 C． y 3 D． y 3 【答案】A 【解析】方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标， y kxb x1   所以方程组 y mxn的解是 y 2．故选A． 【定睛】方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也 同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 【例题4】（2024广东） 已知不等式 的解集是 ，则一次函数 的图象大致 是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法：从函数的角度看，就是寻求使一 次函数 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围．找到当 函数图象位于x轴的下 方的图象即可． ∵不等式 的解集是 ， ∴当 时， ， 观察各个选项，只有选项B符合题意，故选：B． 【变式练1】（2024武汉一模）如图，直线y=kx+3经过点（2，0），则关于x的不等式kx+3＞0的 解集是（ ） 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 【答案】B 【解析】由一次函数图象可知：关于x的不等式kx+3>0的解集是x<2；故选B. 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质和一元一次不等式及其解法，解题的关键是掌握一次函 数与一元一次不等式之间的内在联系. 【变式练2】（2024山东潍坊一模）如图，一次函数 y=x+b与一次函数y=kx+4的图象交于点 P 1 2 （1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（ ） A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 【答案】C． 【解析】观察图象，两图象交点为P(1，3),当x＞1时，y 在y 上方，据此解题即可. 1 2 考点3. 一次函数的应用 【例题1】（2024河北省）扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如 图，某折扇张开的角度为 时，扇面面积为 、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ，若 ，则 与 关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为 ，根据扇形的面积 公式表示出 ，进一步得出 ，再代入 即可得出结论．掌握扇形的 面积公式是解题的关键． 【详解】设该扇面所在圆的半径为 ， ， ∴ ， ∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为 ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是 的正比例函数， ∵ ， ∴它的图像是过原点的一条射线．故选：C． 【变式练1】（2024黑龙江绥化一模）某学校计划为“建党百年，铭记党史”演讲比赛购买奖品． 已知购买2个 种奖品和4个 种奖品共需100元；购买5个 种奖品和2个 种奖品共需130 元．学校准备购买 两种奖品共20个，且 种奖品的数量不小于 种奖品数量的 ，则在购买 方案中最少费用是_____元． 【答案】330 【解析】设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，根据“购买2个A种奖品和4个 种奖 品共需100元；购买5个A种奖品和2个 种奖品共需130元”，即可得出关于A，B的二元一次方 程组，在设购买A种奖品m个，则购买B种奖品(20-m)个，根据购买A种奖品的数量不少于B种奖品 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 数量的 ，即可得出关于m的一元一次不等式，再结合费用总量列出一次函数，根据一次函数性质 得出结果． 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元， 依题意，得： ， 解得： ∴A种奖品的单价为20元，B种奖品的单价为15元． 设购买A种奖品m个，则购买B种奖品 个，根据题意得到不等式： m≥ (20-m)，解得：m≥ ， ∴ ≤m≤20， 设总费用为W，根据题意得： W=20m+15(20-m)=5m+300， ∵k=5>0， ∴W随m的减小而减小， ∴当m=6时，W有最小值， ∴W=5×6+300=330元 则在购买方案中最少费用是330元． 故答案为：330． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的 关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不 等式与一次函数． 【变式练2】（2024贵州一模）某中学计划暑假期间安排2名老师带领部分学生参加红色旅游． 甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人1000元．经协商，甲旅行社的优惠条件是：老 师、学生都按八折收费；乙旅行社的优惠条件是：两位老师全额收费，学生都按七五折收费． （1）设参加这次红色旅游的老师学生共有x名，y ，y （单位：元）分别表示选择甲、乙两家旅 甲 乙 行社所需的费用，求y ，y 关于x的函数解析式； 甲 乙 （2）该校选择哪家旅行社支付的旅游费用较少？ 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】（1）y ＝800x，y ＝750x+500； 甲 乙 （2）当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为 10人时，两旅 行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少． 【解析】（1）y ＝0.8×1000x＝800x， 甲 y ＝2×1000+0.75×1000×（x﹣2）＝750x+500； 乙 （2）①y ＜y ， 甲 乙 800x＜750x+500， 解得x＜10， ②y ＝y ， 甲 乙 800x＝750x+500， 解得x＝10， ③y ＞y ， 甲 乙 800x＞750x+500， 解得x＞10， 答：当老师学生数超10人时，选择乙旅行社支付的旅游费用较少；当老师学生数为10人时，两旅 行社支付的旅游费用相同；当老师学生数少于10人时，选择甲旅行社支付的旅游费用较少． 考点1. 一次函数的表达式、图象与性质 1. （2024湖南长沙）对于一次函数 ，下列结论正确的是（ ） A. 它的图象与y轴交于点 B. y随x的增大而减小 C. 当 时， D. 它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【解析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． A.当 时， ，即一次函数 的图象与y轴交于点 ，说法正确； B.一次函数 图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当 时， ，原说法错误； D.一次函数 的图象经过第一、三、四象限，原说法错误；故选A． 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2. （2024辽宁）如图，在平面直角坐标系 中，菱形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在直线 上，若点 的横坐标是8，为点 的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】过点B作 轴，垂足为点D，先求出 ，由勾股定理求得 ，再由菱形 的性质得到 轴，最后由平移即可求解． 【详解】过点B作 轴，垂足为点D， ∵顶点 在直线 上，点 横坐标是8， 的 ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ 轴， ∴由勾股定理得： ， ∵四边形 是菱形， ∴ 轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点 ， 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点， 正确添加辅助线是解题的关键． 3. （2024黑龙江大庆）请写出一个过点 且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 _____． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且 经过点 的一次函数即可． 设满足题意得的一次函数的关系式为 ， 代入 得： ， ， ∴满足题意的一次函数的解析式为 ． 故答案为： （答案不唯一）． 4. （2024四川凉山）如图，一次函数 的图象经过 两点，交 轴于点 ， 则 的面积为______． 【答案】9 【解析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面 积．根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出直线 的解析式，得出点C的坐标及 的长， 再利用三角形的面积公式即可求出 的面积． 【详解】将 代入 ，得： ， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得： ， ∴直线 的解析式为 ． 当 时， ，解得： ， ∴点C的坐标为 ， ， ∴ ． 5. （2024甘肃威武）已知一次函数 ，当自变量 时，函数y的值可以是________ （写出一个合理的值即可）． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】根据 ，选择 ，此时 ，解答即可．本题考查了函数值的计 算，正确选择自变量进行计算是解题的关键． 根据 ，选择 ，此时 ， 6. （2024上海市）某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10 万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元，则投入80万元时，销售量为 ___________万元． 【答案】4500 【解析】本题考查求一次函数解析式及求函数值，设 ，根据题意找出点代入求出解析式， 然后把 代入求解即可． 【详解】解：设 ， 把 ， 代入，得 ， 解得 ， 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 当 时， ， 即投入80万元时，销售量为4500万元 7. （2024江苏苏州）直线 与x轴交于点A，将直线 绕点A逆时针旋转 ，得到直线 ，则直线 对应的函数表达式是______． 【答案】 【解析】根据题意可求得 与坐标轴的交点A和点B，可得 ，结合旋转得到 ，则 ，求得 ，即得点C坐标，利用待定系数法即可求得直线 的解析式． 【详解】依题意画出旋转前的函数图象 和旋转后的函数图象 ，如图所示∶ 设 与y轴的交点为点B， 令 ，得 ；令 ，即 ， ∴ ， ， ∴ ， ， 即 ∵直线 绕点A逆时针旋转 ，得到直线 ， 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， ， ∴ ， 则点 ， 设直线 的解析式为 ，则 ，解得 ， 那么，直线 的解析式为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查一次函数与坐标轴的交点、直线的旋转、解直角三角形以及待定系数法求一 次函数解析式，解题的关键是找到旋转后对应的直角边长． 考点2. 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系 1. （2024黑龙江绥化）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金 购买 、 两种电动车．若购买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元；若购 买 种电动车 辆、 种电动车 辆，需投入资金 万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求 、 两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买 、 两种电动车 辆，其中 种电动 车的数量不多于 种电动车数量的一半．当购买 种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费 用是多少元？ （3）该公司将购买的 、 两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用 元与骑行时间 之间的对应关系如图．其中 种电动车支付费用对应的函数为 ； 种电动车支付费用是 之内，起步价 元，对应的函数为 ．请根据函数图象信息解决下列问题． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ①小刘每天早上需要骑行 种电动车或 种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均 为3 （每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为 ，那么小刘选择______种电动车更省钱（填写 或 ）． ②直接写出两种电动车支付费用相差 元时， 的值______． 【答案】（1） 、 两种电动车的单价分别为 元、 元 （2）当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元 （3）① ② 或 【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元，根据题意列二元一次方程组，解方程组，即可 求解； （2）设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆，根据题意得出 的范围，进而根 据一次函数的性质，即可求解； （3）①根据函数图象，即可求解； ②分别求得 的函数解析式，根据 ，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设 、 两种电动车的单价分别为 元、 元 由题意得， 解得 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 答： 、 两种电动车的单价分别为 元、 元 【小问2详解】 设购买 种电动车 辆，则购买 种电动车 辆， 由题意得 解得： 设所需购买总费用为 元，则 ， 随着 的增大而减小， 取正整数 时， 最少 元 答：当购买 种电动车 辆时所需的总费用最少，最少费用为 元 【小问3详解】 解：①∵两种电动车的平均行驶速度均为3 ，小刘家到公司的距离为 ， ∴所用时间为 分钟， 根据函数图象可得当 时， 更省钱， ∴小刘选择 种电动车更省钱， 故答案为： ． ②设 ，将 代入得， 解得： 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ； 当 时， ， 当 时，设 ，将 ， 代入得， 解得： ∴ 依题意，当 时， 即 解得： 当 时， 即 解得： （舍去）或 故答案为： 或 ． 考点3. 一次函数的应用 1. （2024湖北省）铁的密度约为 ，铁的质量 与体积 成正比例．一个 体积为 的铁块，它的质量为______ ． 【答案】79 【解析】本题考查了正比例函数的应用．根据铁的质量 与体积 成正比例，列式计 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 算即可求解． ∵铁的质量 与体积 成正比例， ∴m关于V的函数解析式为 ， 当 时， 2. （2024陕西省）我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽 车从A市前往B市，他驾车从A市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了 后，从B市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量 与行驶路程 之间的关系如图所示． （1）求y与x之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为 ，求王师傅驾车从B市这一高速公路出口驶出时，该车 的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【答案】（1）y与x之间的关系式为 ； （2）该车的剩余电量占“满电量”的 ． 【解析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意、求出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得当 时，y的值，再计算即可求解． 【小问1详解】 解：设y与x之间的关系式为 ， 将 ， 代入得 ， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解得 ， ∴y与x之间的关系式为 ； 【小问2详解】 解：当 时， ， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的 ． 3. （2024深圳） 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳 各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即 将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 背 景 如图为某商场叠放的购物车，右图为购物车叠放在一起的示意 素 图，若一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 材 ． 问题解决 任 务 若某商场采购了n辆购物车，求车身总长L与购物车辆数n的表达式； 1 任 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为 ，且一 务 次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 2 任 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电 务 梯5次，求：共有多少种运输方案？ 3 【答案】任务1： ；任务2：一次性最多可以运输18台购物车；任务3：共有3 种方案 【解析】本题考查了求函数表达式，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 键． 任务1：根据一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 ，且采购了n辆购物车，L 是车身总长，即可作答． 任务 2：结合“已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以运输两列购物车”，得出 ，再解不等式，即可作答． 任务3：根据“该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能 使用电梯5次”，列式 ，再解不等式，即可作答． 【详解】解：任务1：∵一辆购物车车身长 ，每增加一辆购物车，车身增加 ∴ 任务2：依题意，∵已知该商场的直立电梯长为 ，且一次可以运输两列购物车， 令 ， 解得： ∴一次性最多可以运输18辆购物车； 任务3：设x次扶手电梯，则 次直梯， 由题意∵该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且最多只能使用电 梯5次 可列方程为： ， 解得： ， ∵x为整数， ∴ ， 方案一：直梯3次，扶梯2次； 方案二：直梯2次，扶梯3次： 方案三：直梯1次，扶梯4次 答：共有三种方案. 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4. （2024黑龙江齐齐哈尔）领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以a米/秒的速度 从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲 无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当 甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为t秒的联合表演，表 演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度 y(米)与 无人机飞行的时间x(秒)之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1） ______米/秒， ______秒； （2）求线段 所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？(直接写出答案即可) 【答案】（1）8，20 （2） ； （3）2秒或10秒或16秒． 【解析】【分析】本题主要考查求一次函数 的应用，熟练掌握待定系数法求一次函数的解析式是解 题的关键． （1）根据图形计算即可求解； （2）先求得甲无人机单独表演所用时间为 秒，得到 ，利用待定系数法即可 求解； （3）利用待定系数法分别求得线段 、线段 、线段 所在直线的函数解析式，再分三种情 况讨论，列式计算即可求解 【小问1详解】 解：由题意得甲无人机的速度为 米/秒， ， 故答案为：8，20； 【小问2详解】 解：由图象知， ， 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵甲无人机的速度为8米/秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为 秒， 甲无人机单独表演所用时间为 秒， ∴ 秒， ∴ ， 设线段 所在直线的函数解析式为 ， 将 ， 代入得 ， 解得 ， ∴线段 所在直线的函数解析式为 ； 【小问3详解】 解：由题意 ， ， 同理线段 所在直线的函数解析式为 ， 线段 所在直线的函数解析式为 ， 线段 所在直线的函数解析式为 ， 当 时，由题意得 ， 解得 或 （舍去）， 当 时，由题意得 ， 解得 或 （舍去）， 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 当 时，由题意得 ， 解得 或 （舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 考点1. 一次函数的表达式、图象与性质 1. 在下列各图象中，表示函数y＝－kx(k＜0)的图象的是( ) 【答案】C 【解析】∵k＜0，∴－k＞0，∴函数y＝－kx(k＜0)的值随自变量x的增大而增大，且函数为正比例 函数．故选C. 方法总结：要知道正比例函数的图象是过原点的直线，且当k＞0时，图象过第一、三象限；当k＜0 时，图象过第二、四象限． 2. 关于函数y＝x，下列结论中，正确的是( ) A．函数图象经过点(1，3) B．不论x为何值，总有y＞0 C．y随x的增大而减小 D．函数图象经过第一、三象限 【答案】D 【解析】A.当x＝1时，y＝，故A选项错误； B.只有当x＞0时，y＞0，故B选项错误； C.∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故C选项错误； D.∵k＝＞0，∴函数图象经过第一、三象限，故D选项正确．故选D. 方法总结：解题的关键是了解正比例函数的比例系数的符号与正比例函数的关系及其增减性． 3.已知函数y=(m-1)x+1-m2 （1）当m为何值时，这个函数是一次函数? （2）当m为何值时，这个函数是正比例函数? 【答案】（1）m≠1（2）m=-1（4）是一次函数，（1）是正比例函数. 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】利用定义求一次函数解析式时，必须保证： k ≠ 0；自变量x的指数是“1” （1）由题意可得 m-1≠0，解得m≠1. 即m≠1时，这个函数是一次函数. （2）由题意可得 m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1. 即m=-1时，这个函数是正比例函数. 4. 下列函数关系式：（1）y＝﹣x；（2）y＝x﹣1；（3）y＝ ；（4）y＝x2，其中一次函数的个 数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：（1）y＝﹣x是正比例函数，是特殊的一次函数，故正确； （2）y＝x﹣1符合一次函数的定义，故正确；（3）y＝ 属于反比例函数，故错误； （4）y＝x2属于二次函数，故错误．综上所述，一次函数的个数是2个．故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义．本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定 义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 5.已知函数 y = kx的图象在二、四象限，那么函数y = kx-k的图象可能是（ ） 【答案】B 【解析】由函数 y = kx的图象在二、四象限，可知k<0，所以-k>0，所以数y = kx-k的图象经过 第一、二、四象限，故选B. 6. 写出一个过点 且y随x增大而减小的一次函数关系式____________． 【答案】y=-x+1（答案不唯一） 【解析】根据一次函数 性的质，k＜0时，函数值y随自变量x的增大而减小，然后解答即可． 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵函数值y随自变量x的增大而减小， ∴设一次函数关系式为y=-x+b， 把点（0，1）代入得，b=1， ∴一次函数关系式为y=-x+1． 故答案为：y=-x+1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，在直线y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0 时，y随x的增大而减小． 7. 若一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的值可以是___________ （写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一，满足 即可） 【解析】根据一次函数经过第一、二、三象限，可得 ，进而即可求解． ∵一次函数 （b是常数）的图象经过第一、二、三象限， ∴ 故答案为：1答案不唯一，满足 即可） 【点睛】本题考查了已知一次函数经过的象限求参数的值，掌握一次函数图象的性质是解题的关 键． 8. 点 在一次函数 的图像上，当 时， ，则a的取 值范围是_______． 【答案】a＜2 【解析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可． ∵当 时， ， ∴a-2＜0， ∴a＜2， 故答案为：a＜2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 9．一次函数 的图象经过点 ，点 ，那么该图象不经过的象限是（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】在平面直角坐标系中，先描出点A、B，再过点A、B作直线，如图所示： 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 观察函数图象可知，一次函数 的图象不经过第四象限 故选：D． 10．已知：将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=kx+b，则下列关于直线y=kx+b的说 法正确的是（ ） A．经过第一、二、四象限 B．与x轴交于（1，0） C．与y轴交于（0，1） D．y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】将直线y=x﹣1向上平移2个单位长度后得到直线y=x﹣1+2=x+1， A、直线y=x+1经过第一、二、三象限，错误；B、直线y=x+1与x轴交于（﹣1，0），错误； C、直线y=x+1与y轴交于（0，1），正确；D、直线y=x+1，y随x的增大而增大，错误，故选C． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律以及一次函数的图象和性质 是解题的关键． 11. 在同一平面直角坐标中，作出下列函数的图象． (1)y＝2x－1; (2)y＝x＋3；(3)y＝－2x; (4)y＝5x. 【答案】见解析 【解析】分别求出满足各直线的两个特殊点的坐标，经过这两点作直线即可．(1)一次函数y＝2x－ 1图象过(1，1)，(0，－1)；(2)一次函数y＝x＋3的图象过(0，3)，(－3，0)；(3)正比例函数y＝ －2x的图象过(1，－2)，(0，0)；(4)正比例函数y＝5x的图象过(0，0)，(1，5)． 解：如图所示． 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 12. 在平面直角坐标系中，将直线l ：y＝－2x－2平移后，得到直线l ：y＝－2x＋4，则下列平移 1 2 作法正确的是( ) A．将l 向右平移3个单位长度 1 B．将l 向右平移6个单位长度 1 C．将l 向上平移2个单位长度 1 D．将l 向上平移4个单位长度 1 【答案】A 【解析】∵将直线l ：y＝－2x－2平移后，得到直线l ：y＝－2x＋4，∴－2(x＋a)－2＝－2x＋ 1 2 4，解得a＝－3，故将l 向右平移3个单位长度．故选A. 1 方法总结：求直线平移后的解析式时要注意平移时k的值不变，只有b发生变化．解析式变化的规 律是：左加右减，上加下减． 13. 已知直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是第一象限内的点，若△PAB为等腰 直角三角形，则点P的坐标为（ ） A．（1，1） B．（1，1）或（1，2） C．（1，1）或（1，2）或（2，1） D．（0，0）或（1，1）或（1，2）或（2，1） 【答案】C 【解析】先根据一次函数解析式求出A、B两点的坐标，然后根据已知条件，进行分类讨论分别求出 点P的坐标． 直线y＝﹣x+1与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当y＝0时，x＝1，当x＝0时，y＝1； 故A、B两点坐标分别为A（1，0），B（0，1）， ∵点P是第一象限内的点且△PAB为等腰直角三角形， ①当∠PAB＝90°时，P点坐标为（2，1）； ②当∠PBA＝90°时，P点坐标为（1，2）； ③当∠APB＝90°时，P点坐标为（1，1）． 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考点2. 一次函数与一次方程(组)、一元一次不等式的关系 1．如图，直线y=ax+b(a≠0)过点A（0，4），B（-3，0），则方程ax+b=0的解是（ ） A．x=-3 B．x=4 C．x= D．x= 【答案】A 【解析】方程ax+b=0的解，即为函数y=ax+b图象与x轴交点的横坐标， ∵直线y=ax+b过B（-3，0），∴方程ax+b=0的解是x=-3，故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程，任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为 常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自 变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值． 2. （2022浙江杭州）已知一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1， 2），则方程组 的解是_________． 【答案】 【解析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． ∵一次函数y=3x-1与y=kx（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是（1，2）， ∴联立y=3x-1与y=kx的方程组 的解为： ， 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即 的解为： ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组 的解的关系是解题的关键． 3. 如图，直线y=kx与直线y=kx+b交于点A(1，2)．当y