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[基础题组练]
1．已知直线l与双曲线－y2＝1相切于点P，l与双曲线的两条渐近线交于M，N两点，则
OM·ON的值为( )
A．3 B．4
C．5 D．与P的位置有关
解析：选A.依题意，设点P(x，y)，M(x，y)，N(x，y)，其中x－4y＝4，则直线l的方程是
0 0 1 1 2 2
－yy＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y＝±x.
0
①当y＝0时，直线l的方程是x＝2或x＝－2.由，得，此时OM·ON＝(2，－1)·(2，1)＝4
0
－1＝3，同理可得当直线l的方程是x＝－2时，OM·ON＝3.
②当y≠0时，直线l的方程是y＝(xx－4)．由，得(4y－x)x2＋8xx－16＝0(*)，又x－4y＝
0 0 0
4，因此(*)即是－4x2＋8xx－16＝0，x2－2xx＋4＝0，xx＝4，OM·ON＝xx＋yy＝xx－xx
0 0 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
＝xx＝3.
1 2
综上所述，OM·ON＝3，故选A.
2．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足FA＋FB＋
FC＝0，则＋＋＝________．
解析：设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，F，由FA＋FB＝－FC，得y＋y＋y＝0.因为k ＝
1 1 2 2 3 3 1 2 3 AB
＝，所以k ＝，k ＝，所以＋＋＝＋＋＝0.
AC BC
答案：0
3．(2019·合肥市第二次质量检测)已知抛物线C ：x2＝2py(p＞0)和圆C ：(x＋1)2＋y2＝2，
1 2
倾斜角为45°的直线l 过C 的焦点，且l 与C 相切．
1 1 1 2
(1)求p的值；
(2)动点M在C 的准线上，动点A在C 上，若C 在A点处的切线l 交y轴于点B，设MN
1 1 1 2
＝MA＋MB，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程．
解：(1)依题意，设直线l 的方程为y＝x＋，
1
因为直线l 与圆C 相切，
1 2
所以圆心C (－1，0)到直线l：y＝x＋的距离d＝＝，即＝，
2 1
解得p＝6或p＝－2(舍去)．所以p＝6.
(2)证明：法一：依题意设M(m，－3)，由(1)知抛物线C 的方程为x2＝12y，所以y＝，所以
1
y′＝，
设A(x，y)，则以A为切点的切线l 的斜率为k＝，
1 1 2
所以切线l 的方程为y＝x(x－x)＋y.
2 1 1 1
令x＝0，则y＝－x＋y＝－×12y＋y＝－y，即B点的坐标为(0，－y)，
1 1 1 1 1
所以MA＝(x－m，y＋3)，MB＝(－m，－y＋3)，
1 1 1
所以MN＝MA＋MB＝(x－2m，6)，
1
所以ON＝OM＋MN＝(x－m，3)，其中O为坐标原点．设N点坐标为(x，y)，则y＝3，所以
1点N在定直线y＝3上．
法二：设M(m，－3)，由(1)知抛物线C 的方程为x2＝12y，①
1
设l 的斜率为k，A，则以A为切点的切线l 的方程为y＝k(x－x)＋x，②
2 2 1
联立①②得，x2＝12[k(x－x)＋x]，
1
因为Δ＝144k2－48kx＋4x＝0，所以k＝，
1
所以切线l 的方程为y＝x(x－x)＋x，
2 1 1
令x＝0，得B点坐标为(0，－x)，
所以MA＝，MB＝，
所以MN＝MA＋MB＝(x－2m，6)，
1
所以ON＝OM＋MN＝(x－m，3)，其中O为坐标原点，
1
设N点坐标为(x，y)，则y＝3，
所以点N在定直线y＝3上．
4．(2019·河北“五个一名校联盟”模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋y2＝
1，点P(x，y)，Q(x，y)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k，k，若m＝，n＝，
1 1 2 2 1 2
m·n＝0.
(1)求证：k·k＝－；
1 2
(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．
解：(1)证明：因为k，k 存在，所以xx≠0，
1 2 1 2
因为m·n＝0，所以＋yy＝0，
1 2
所以k·k＝＝－.
1 2
(2)①当直线PQ的斜率不存在，即x＝x，y＝－y 时，
1 2 1 2
由＝－，得－y＝0，
又由P(x，y)在椭圆上，得＋y＝1，
1 1
所以|x|＝，|y|＝，
1 1
所以S ＝|x|·|y－y|＝1.
△OPQ 1 1 2
②当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋b(b≠0)．
由得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，
Δ＝64k2b2－4(4k2＋1)(4b2－4)＝16(4k2＋1－b2)>0，
所以x＋x＝，xx＝.
1 2 1 2
因为＋yy＝0，
1 2
所以＋(kx＋b)(kx＋b)＝0，得2b2－4k2＝1，满足Δ>0.
1 2
所以S ＝·|PQ|＝|b|＝2|b|·＝1.
△OPQ
所以△OPQ的面积S为定值．
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线C：y＝，D为直线y＝－上的动点，过D作C的两条切
线，切点分别为A，B.(1)证明：直线AB过定点；
(2)若以E为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．
解：(1)证明：设D，A(x，y)，则x＝2y.
1 1 1
由于y′＝x，所以切线DA的斜率为x，故＝x.
1 1
整理得2tx －2y＋1＝0.
1 1
设B(x，y)，同理可得2tx －2y＋1＝0.
2 2 2 2
故直线AB的方程为2tx－2y＋1＝0.
所以直线AB过定点.
(2)由(1)得直线AB的方程为y＝tx＋.由可得x2－2tx－1＝0.
于是x＋x＝2t，xx＝－1，y＋y＝t(x＋x)＋1＝2t2＋1，
1 2 1 2 1 2 1 2
|AB|＝|x－x|＝
1 2
×＝2(t2＋1)．
设d，d 分别为点D，E到直线AB的距离，则d＝，d＝.
1 2 1 2
因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|(d＋d)＝(t2＋3).
1 2
设M为线段AB的中点，则M.
由于EM⊥AB，而EM＝(t，t2－2)，AB与向量(1，t)平行，所以t＋(t2－2)t＝0.解得t＝0或t＝
±1.
当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4.
因此，四边形ADBE的面积为3或4.
2．(应用型)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，左焦点为F(－1，0)，过点D(0，2)且斜
率为k的直线l交椭圆于A，B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)在y轴上，是否存在定点E，使AE·BE恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；
若不存在，说明理由．
解：(1)由已知可得解得a2＝2，b2＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设过点D(0，2)且斜率为k的直线l的方程为y＝kx＋2，
由消去y整理得(1＋2k2)x2＋8kx＋6＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，则x＋x＝－，xx＝.
1 1 2 2 1 2 1 2
又yy＝(kx＋2)(kx＋2)＝k2xx＋2k(x＋x)＋4＝－，
1 2 1 2 1 2 1 2
y＋y＝(kx＋2)＋(kx＋2)＝k(x＋x)＋4＝.
1 2 1 2 1 2
设存在点E(0，m)，则AE＝(－x，m－y)，BE＝(－x，m－y)，
1 1 2 2
所以AE·BE＝xx＋m2－m(y＋y)＋yy＝＋m2－m·－＝.
1 2 1 2 1 2
要使得AE·BE＝t(t为常数)，
只需＝t，从而(2m2－2－2t)k2＋m2－4m＋10－t＝0，
即解得m＝，从而t＝，故存在定点E，使AE·BE 恒为定值.
