文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
专题 07 圆与母子型相似：切割线定理反 A 模型压轴题专题
（解析版）
切割线定理：反A模型
图形 相似的证明 结论
① ;
因为 ②
∽
1．（北雅）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）求证：CD是 O⊙的切线；
⊙
（2）过点B作 O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝6，tan∠CDA＝ ，求BE的长．
⊙
【解答】（1）证明：连OD，OE，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，即∠ADO+∠1＝90°，
又∵∠CDA＝∠CBD，而∠CBD＝∠1，∴∠1＝∠CDA，∴∠CDA+∠ADO＝90°，即∠CDO＝90°，
∴CD是 O的切线；
（2）解：⊙∵EB为 O的切线，∴ED＝EB，OE⊥DB，∴∠ABD+∠DBE＝90°，∠OEB+∠DBE＝90°，
⊙
∴ ∠ ABD ＝ ∠ OEB ， ∴ ∠ CDA ＝ ∠ OEB ． 而 tan∠ CDA ＝ ， ∴ tan∠ OEB ＝ ＝ ，
∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴ ＝ ＝ ＝ ，∴CD＝ ×6＝4，在 Rt△CBE 中，设 BE＝x，∴
资1 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（x+4）2＝x2+62，
解得x＝ ．
2．（南雅）如图，D为 O上一点，点C在直径BA的延长线上，且CD2＝CA•CB．
（1）求证：CD是 O⊙的切线；
⊙
（2）过点B作 O的切线交CD的延长线于点E，若BC＝10， ，求BE的长．
⊙
【解答】（1）证明：如图，连接 OD，∵CD2＝CA•CB，∴ ，∵∠C＝∠C，
∴△DCA∽△BCD，
∴∠ADC＝∠DBC，∵OB＝OD，∴∠BDO＝∠DBO，∵AB为 O的直径，∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ODA＝∠CDA+∠ODA＝90°，∴OD⊥CD，∴CD为⊙O0的切线；
（2）∵BE、CE是 O的切线，∴ED＝EB，∵△DCA∽△BCD，∴∠DBA＝∠CDA，∴ ＝
⊙
tan∠DBA＝tan∠CDA＝ ，∴CD＝ BC＝6，设BE＝x，则DE＝x，CE＝x+6．在Rt△CBE中，
（x+6）2＝x2+102，解得：x＝ ，
∴BE＝ ．
3.（长郡）已知：如图，⊙ 的直径 垂直于弦 ，过点 的切线与直径 的延长线相交于点 ，连
结 ．
（1）求证： 是⊙ 的切线．
（2）求证： ．
（3）若 ， ，求直径 的长．
资2 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
D
A P
O B
C
【解答】（1）证明：连接OD，OC，∵PC是 O的切线，∴∠PCO＝90°，∵AB⊥CD，AB是直径，
⊙
∴弧BD＝弧BC，∴∠DOP＝∠COP，在△DOP和△COP中， ，
∴△DOP≌△COP（SAS），∴∠PDO＝∠PCO＝90°，∵D在 O上，∴PD是 O的切线；
（2）证明：∵AB是 O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠PDO＝⊙90°，∴∠ADO＝⊙∠PDB＝90°﹣∠BDO，
∵OA＝OD，∴∠A＝⊙∠ADO，∴∠A＝∠PDB，∵∠BPD＝∠BPD，∴△PDB∽△PAD，
∴ ，∴PD2＝PA•PB；
（3）解：∵DC⊥AB，∴∠ADB＝∠DMB＝90°，∴∠A+∠DBM＝90°，∠CDB+∠DBM＝90°，
∴∠A＝∠CDB，∵tan∠CDB＝ ，∴tanA＝ ＝ ，∵△PDB∽△PAD，∴ ＝ ＝ ＝
∵PD＝4，∴PB＝2，PA＝8，∴AB＝8﹣2＝6．
4．（明德）如图，AB为圆O的直径，C为圆O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC
平分∠DAB，延长AB交DC于点E，CF⊥AB于点F．
（1）求证：直线DE与 O相切；
（2）若EB＝2，EC＝4，⊙求 O的半径及AC、AD的长；
（3）在（2）的条件下，求阴⊙影部分的面积．
【解答】解：（1）连接OC；∵AD⊥DC，∴∠DAC+∠ACD＝90°；又∵AC平分∠DAB，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠CAO，∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠ACO，∴∠ACD+∠ACO＝90°，即OC⊥DC，
∴直线DE与 O相切．
⊙
资3 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（2）∵EC是 O的切线，∴EC2＝EB•EA，而EC＝4，EB＝2，∴EA＝8，AB＝8﹣2＝6；
⊙
∴ O的半径为3．∵AC平分∠DAE，∴ ，∴ ，∴AD＝2DC（设为x）；
⊙
∵AC平分∠DAB，CD⊥AD，CF⊥AB，∴CD＝CF；在△ADC与△AFC中， ，
∴△ADC≌△AFC（HL），∴AF＝AD＝2x，BF＝6﹣2x；∵AB为 O的直径，∴∠ACB＝90°；
⊙
由射影定理得：CF2＝AF•BF，即x2＝2x（6﹣2x），解得：x＝ ，∴AD＝ ；
由勾股定理得： ，∴AC＝ ，
即 O的半径及AC、AD的长分别为3， ， ．
⊙
（3）∵ ， ，∴ ．
5．（雅礼）如图，在 O中，AB为直径，OC⊥AB，弦CD与OB交于点F，在AB的延长线上有一点E，
且EF＝ED． ⊙
（1）求证：DE是 O的切线
⊙
（2）若tanA＝ ，探究线段AB和BE之间的数量关系，并证明；
（3）在（2）的条件下，若OF＝1，求 O的半径和CD的长．
⊙
【解答】（1）证明：连接OD，如图，∵EF＝ED，∴∠EFD＝∠EDF，∵∠EFD＝∠CFO，∴∠CFO
＝∠EDF，∵OC⊥OF，∴∠OCF+∠CFO＝90°，∵OC＝OD，∴∠OCF＝∠ODF，∴∠ODC+∠EDF＝
90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵点D在 O上，∴DE是 O的切线；
（2）解；线段AB、BE之间的数量关系为：A⊙B＝3BE．证明：⊙∵AB为 O直径，∴∠ADB＝90°，
∴∠ADO＝∠BDE，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠A，∴∠BDE＝∠A，而∠⊙BED＝∠DEA，∴△EBD∽
△EDA，∴ ，∵Rt△ABD中，tanA＝ ＝ ，∴ ＝ ，∴AE＝2DE，DE＝2BE，
∴AE＝4BE，∴AB＝3BE；
资4 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（3）解：设BE＝x，则DE＝EF＝2x，AB＝3x，半径OD＝ x，∵OF＝1，∴OE＝1+2x，
在Rt△ODE中，由勾股定理可得：（ x）2+（2x）2＝（1+2x）2，∴x＝﹣ （舍）或x＝2，
∴AB＝3x＝6，∴圆O的半径为3．过点O作OH⊥CD，
∵OC＝OD，∴CD＝2CH，在Rt△OCF中，CF＝ ＝ ，OH＝ ＝ ，
在Rt△OCH中，tan∠OCH＝ ＝ ＝ ，∴CH＝3OH＝ ，∴CD＝2CH＝ ．
6．（青竹湖）如图，已知AB是 O的直径，直线AC与 O相切于点A，过点B作BD∥OC交 O于点
D，连接CD并延长交AB的延长⊙线于点E． ⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线．
（2）求证：DE2＝⊙EB•EA；
（3）若BE＝1， ，求线段AD的长度．
资5 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】解：（1）∵BD∥OC，∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，∵OB＝OD，∴∠DBO＝
∠ODB，
∴∠COA＝∠COD，在△COA和△COD中， ，∴△COA≌△COD（SAS），
∴∠CAO＝∠CDO，∵AC是 O的切线，∴∠CAO＝90°＝∠CDO，即OD⊥EC，∵OD是 O的半径，
∴EC是 O的切线； ⊙ ⊙
（2）∵⊙EC是 O的切线，∴∠ODE＝90°，即∠EDB+∠ODB＝90°，又∴AB是 O的直径，
∴∠ADB＝90°⊙，∴∠ABD+∠BAD＝90°，又∵∠ODB＝∠OBD，∴∠EDB＝∠E⊙AD，
又∵∠E＝∠E，∴△EBD∽△EDA，∴ ＝ ，即DE2＝AE•BE；
（3）∵∠ACO+∠COA＝90°，∠BAD+∠OBD＝90°，而∠OBD＝∠ODB＝∠COD＝∠COA，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠ACO，由△EBD∽△EDA，∴ ＝ ＝tan∠BAD＝ ，
∵BE＝1，∴DE＝2，由DE2＝AE•BE得，22＝1×AE，∴AE＝4，∴AB＝4﹣1＝3，设BD＝a，则AD＝
2a，由勾股定理得，BD2+AD2＝AB2，即a2+（2a）2＝32，解得a＝ ，∴AD＝2a＝ ．
7．（北雅）如图①，△ABC内接于 O，点P是△ABC的内切圆的圆心，AP交边BC于点D，交 O于
点E，经过点E作 O的切线分别交⊙AB、AC延长线于点F、G． ⊙
（1）求证：BC∥F⊙G；
（2）探究：PE与DE和AE之间的关系；
（3）当图①中的FE＝AB时，如图②，若FB＝3，CG＝2，求AG的长．
【解答】（1）证明：连接BE，∵点P是△ABC的内心，∴∠BAD＝∠CAD．又∵FG切 O于E，
∴∠BEF＝∠BAD．又∵∠DBE＝∠CAD，∴∠BEF＝∠DBE．∴BC∥FG． ⊙
（2）解：连接 BP，则∠ABP＝∠CBP．∵∠BPE＝∠BAP+∠ABP＝∠PBC+∠EBD，∴∠BPE＝
∠PBE．
∴BE＝PE．在△ABE和△BDE中，∠BAE＝∠EBD，∠BED＝∠AEB，∴△ABE∽△BDE．
资6 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴ ＝ ．∴BE2＝AE•DE．∴PE2＝AE•DE．
（3）解：∵FE2＝FB•FA＝FB（FB+AB），而FE＝AB，∴AB2＝3（3+AB）．设AB＝x，则x2﹣3x﹣9
＝0，
解之得x＝ ．∴AB＝ （取正值）．由（1）在△AFG中，BC∥FG，∴ ．
∴AC＝ ＝ × ＝1+ ．∴AG＝AC+CG＝3+ ．
8．（青竹湖）如图， O经过△ABC的顶点A、C，并与AB边相交于点D，过点D作DF∥BC，交AC于
点E，交 O于点F⊙，连接DC，点C为弧DF的中点．
（1）求证⊙：BC为 O的切线；
（2）若 O的半径⊙为3，DF＝4 ，求CE•CA的值；
（3）在
⊙
（2）的条件下，连接AF，若BD＝AF，求AD的长．
【解答】（1）证明：连接CO并延长交 O于G，连接DG，如图：∵CG为直径，∴∠GDC＝90°，
∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠DGC＝∠⊙BAC，点C为弧DF的中点，∴∠CDF＝∠BAC，
∴∠DGC＝∠CDF，∴∠DCG+∠CDF＝90°，∵DF∥BC，∴∠CDF＝∠DCB，∴∠DCG+∠DCB＝
90°，
∴OC⊥BC，又∵OC是 O的半径，∴BC为 O的切线；
⊙ ⊙
（2）解：连接OC交DF于M，∵C为弧DF的中，∴OC⊥DF，∴DM＝MF＝ DF＝2 ，
∵ O的半径为3，∴OM＝ ＝ ＝1，∴CM＝OC﹣OM＝3﹣1＝2，
⊙
资7 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
∴DC2＝DM2+CM2＝ ＝12，∵ ，∴∠DAC＝∠CAF，∵∠CDF＝∠CAF，
∴∠CDF＝∠DAC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴ ，∴CD2＝CE•CA，
∴CE•CA＝12；
（3）解：连接CF，
∵四边形 ADCF 内接于 O，∴∠ADC+∠AFC＝180°，又∵∠BDC+∠CDA＝180°，∴∠AFC＝
∠BDC， ⊙
∵ ，∴CD＝CF＝2 ，又∵BD＝AF，∴△BDC≌△AFC（SAS），∴BC＝AC，∠BCD＝
∠ACF，
∵∠ACF＝∠ADF，∴∠BCD＝∠ADF，∵DF∥BC，∴∠CDF＝∠BCD，∴∠CDF＝∠ADF，∴AF＝
CF，∴ ，BD＝CF＝2 ，∴ ，∴AC＝DF＝4 ＝BC，∵∠BCD＝∠CDF＝∠CAF＝
∠DAC，∠DBC＝∠ABC，∴△DBC∽△CBA，∴ ，∴BC2＝BD•AB，∴ •AB，
∴AB＝ ，∴AD＝AB﹣BD＝ ＝ ．
9．（麓山国际）如图，AB是 O的直径，点C是 O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直
线DC与AB的延长线相交于⊙点P，弦CE平分∠⊙ACB，交AB点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）求证：PC＝PF；
（3）若tan∠ABC＝ ，AB＝14，求线段PC的长．
资8 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】（1）证明：∵PD 切 O 于点 C，∴OC⊥PD，又∵AD⊥PD，∴OC∥AD，∴∠ACO＝
∠DAC． ⊙
∵OC＝OA，∴∠ACO＝∠CAO，∴∠DAC＝∠CAO，即AC平分∠DAB；
（2）证明：∵AD⊥PD，∴∠DAC+∠ACD＝90°．又∵AB为 O的直径，∴∠ACB＝90°．
∴∠PCB+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠PCB．又∵∠DAC＝⊙∠CAO，∴∠CAO＝∠PCB．∵CE平分
∠ACB，∴∠ACF＝∠BCF，∴∠CAO+∠ACF＝∠PCB+∠BCF，∴∠PFC＝∠PCF，∴PC＝PF；
（3）解：∵∠PAC＝∠PCB，∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB，∴ ＝ ．又∵tan∠ABC＝ ，
∴ ，∴ ，设PC＝4k，PB＝3k，则在Rt△POC中，PO＝3k+7，OC＝7，∵PC2+OC2＝
OP2，
∴（4k）2+72＝（3k+7）2，∴k＝6 （k＝0不合题意，舍去）．∴PC＝4k＝4×6＝24．
10．（青竹湖）如图，AB为 O的直径，C为 O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B．
（1）求证：DC为 O的切⊙线； ⊙
⊙
（2）若 O的半径为5，sinB＝ ，求CD和AD的长；
（3）在⊙（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长．
资9 料整理【淘宝店铺：向阳百分百】关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【解答】（1）证明：∵AB为 O的直径，∴∠ACB＝∠BCO+∠OCA＝90°，∵OB＝OC，∴∠B＝
∠BCO，∵∠ACD＝∠B，∴∠⊙ACD＝∠BCO，∴∠ACD+∠OCA＝90°，即∠OCD＝90°，又∵OC是半
径，
∴DC为 O的切线；
⊙
（2）解：Rt△ACB中，AB＝10，sinB＝ ＝ ，∴AC＝6，∴BC＝ ＝8，
∵∠ACD＝∠B，∠ADC＝∠CDB，∴△CAD∽△BCD，∴ ，
设AD＝3x，CD＝4x，则OD＝5+3x，Rt△OCD中，OC2+CD2＝OD2，∴52+（4x）2＝（5+3x）2，
∴x＝0（舍）或x＝ ，∴AD＝ ，CD＝ ；
（3）解：∵∠CEF＝45°，∠ACB＝90°，∴CE＝CF，设CF＝a，∵∠CEF＝∠ACD+∠CDE，
∠CFE＝∠B+∠BDF，∴∠CDE＝∠BDF，∵∠ACD＝∠B，∴△CED∽△BFD，∴ ，
∴ ＝ ，∴a＝ ，∴CF＝ ．
资10料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
