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[基础题组练]
1．如图，抛物线W：y2＝4x与圆C：(x－1)2＋y2＝25交于A，B两点，点P为劣弧AB上不同
于A，B的一个动点，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则△PQC的周长的取值范围
是( )
A．(10，14) B．(12，14)
C．(10，12) D．(9，11)
解析：选C.抛物线的准线l：x＝－1，焦点(1，0)，
由抛物线定义可得|QC|＝x ＋1，
Q
圆(x－1)2＋y2＝25的圆心为C(1，0)，半径为5，
可得△PQC的周长＝|QC|＋|PQ|＋|PC|＝x ＋1＋(x －x )＋5＝6＋x ，
Q P Q P
由抛物线y2＝4x及圆(x－1)2＋y2＝25可得交点的横坐标为4，即有x ∈(4，6)，可得6＋
P
x ∈(10，12)，
P
故△PQC的周长的取值范围是(10，12)．故选C.
2．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，斜率为的直线交抛物线于A，B两点，若AF＝λFB(λ
＞1)，则λ的值为________．
解析：根据题意设A(x，y)，B(x，y)，由AF＝λFB，得＝λ，故－y＝λy ，即λ＝－.设直线
1 1 2 2 1 2
AB的方程为y＝，联立直线AB与抛物线方程，消元得y2－py－p2＝0.故y＋y＝p，y·y＝－
1 2 1 2
p2，＝＋＋2＝－，即－λ－＋2＝－.又λ＞1，故λ＝4.
答案：4
3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距为4且过点(，－2)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆焦点的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．
解：(1)椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a＝＋＝4，
所以a＝2，b＝2，
即椭圆C的方程是＋＝1.
(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0，2)，F(0，－2)，
OE·OF＝－8.
若直线l不垂直于x轴，不妨设l过该椭圆的上焦点，则l的方程为y＝kx＋2，设点E(x，
1
y)，F(x，y)，
1 2 2将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，
则x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
所以OE·OF＝xx＋yy＝(1＋k2)xx＋2k(x＋x)＋4＝＋＋4＝－8，
1 2 1 2 1 2 1 2
因为0＜≤10，所以－8＜OE·OF≤2，
所以OE·OF的取值范围是[－8，2]．
4．(2019·郑州第一次质量预测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F，F，以
1 2
FF 为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．
1 2
(1)求椭圆C的离心率e；
(2)如图，过F 作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF 的周长为4，求F2P·F2Q的
1 2
最大值．
解：(1)由题意知＝c，
则3a2b2＝c2(a2＋4b2)，
即3a2(a2－c2)＝c2[a2＋4(a2－c2)]，
所以a2＝2c2，所以e＝.
(2)因为△PQF 的周长为4，
2
所以4a＝4，即a＝.
由(1)知b2＝c2＝1，故椭圆方程为＋y2＝1，且焦点F(－1，0)，F(1，0)．
1 2
①若直线l的斜率不存在，则可得l⊥x轴，方程为x＝－1，P，Q，F2P＝，F2Q＝，故
F2P·F2Q＝.
②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y，得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2
－2＝0.
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝－，xx＝.
1 2 1 2
所以F2P·F2Q＝(x－1，y)·(x－1，y)＝(x－1)·(x－1)＋yy＝(k2＋1)xx＋(k2－1)(x＋
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1
x)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝＝－，
2
令t＝2(2k2＋1)，则F2P·F2Q＝－(t>2)，
所以F2P·F2Q∈.
结合①②，得F2P·F2Q∈，
所以F2P·F2Q的最大值是.
[综合题组练]
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(－2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜
率之积为－.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE
并延长交C于点G.
(ⅰ)证明：△PQG是直角三角形；
(ⅱ)求△PQG面积的最大值．
解：(1)由题设得·＝－，化简得＋＝1(|x|≠2)，所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上
的椭圆，不含左右顶点．
(2) (ⅰ)证明：设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0)．
由得x＝±.
记u＝，则P(u，uk)，Q(－u，－uk)，E(u，0)．
于是直线QG的斜率为，方程为y＝(x－u)．
由
得(2＋k2)x2－2uk2x＋k2u2－8＝0.①
设G(x ，y )，则－u和x 是方程①的解，
G G G
故x ＝，由此得y ＝.
G G
从而直线PG的斜率为＝－.
所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形．
(ⅱ)由(ⅰ)得|PQ|＝2u，|PG|＝，
所以△PQG的面积S＝|PQ||PG|＝＝.
设t＝k＋，则由k>0得t≥2，当且仅当k＝1时取等号．
因为S＝在[2，＋∞)单调递减，所以当t＝2，即k＝1时，S取得最大值，最大值为.
因此，△PQG面积的最大值为.
2．(综合型)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截
直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的
对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF
的最小值．
解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立方程
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ>0得m2<4k2＋2. (*)
且x＋x＝－，
1 2
因此y＋y＝，
1 2
所以D，
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝＋，
整理得|ND|2＝，
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3.
故2k2＋1＝，
所以＝1＋＝1＋.
令y＝t＋，所以y′＝1－.
当t≥3时，y′>0，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由(*)得－
