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强化训练 7 空间几何体中的综合问题
1．(2021·运城景胜中学模拟)下列几何体不是旋转体的为( )
A．圆柱 B．棱柱 C．球 D．圆台
答案 B
解析 由题意，圆柱、球、圆台均为旋转体，棱柱为多面体．
2．关于棱台，下列说法正确的是( )
A．两底面可以不相似 B．侧面都是全等的梯形
C．侧棱长一定相等 D．侧棱延长后交于一点
答案 D
解析 棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似，②各侧棱延长后交于一点，③侧面都是
梯形．
3.如图，在三棱柱ABC－ABC 中，AA⊥底面ABC，AB⊥AC，AA＝AB＝AC＝2，那么三
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棱锥A－ABC的体积是( )
1
A. B.
C．4 D．8
答案 A
解析 ∵AA⊥底面ABC，
1
∴AA为三棱锥A－ABC的高，且AA＝2，
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又S ＝AB·AC＝×2×2＝2，
△ABC
∴ ＝S ·AA＝×2×2＝.
△ABC 1
4．(2020·宁城蒙古族中学模拟)若圆锥的高等于底面圆的半径，则它的底面积与侧面积之比
是( )
A．1∶2 B．1∶ C．1∶ D.∶
答案 C
解析 设圆锥的底面半径为r，
则高为r，母线长l＝＝r，则S ＝πr2，S ＝πrl＝πr2，＝＝.
底 侧
5．已知直三棱柱 ABC－ABC 的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB＝3，AC＝4，
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AB⊥AC，AA＝12，则球O的半径为( )
1
A. B．2
C. D．3
答案 C
解析 如图所示，由球心作平面ABC的垂线，
则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝，
OM＝AA＝6，
1
所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
6.(多选)将正三棱锥P－ABC置于水平反射镜面上，得一“倒影三棱锥”P－ABC－Q，如图．
下列关于该“倒影三棱锥”的说法中，正确的有( )
A．PQ⊥平面ABC
B．若P，A，B，C在同一球面上，则Q也在该球面上
C．若该“倒影三棱锥”存在外接球，则AB＝PA
D．若AB＝PA，则PQ的中点必为“倒影三棱锥”外接球的球心
答案 AD
解析 由“倒影三棱锥”的几何特征可知PQ⊥平面ABC，A正确；当P，A，B，C在同一
球面上时，若△ABC的外接圆不是球的最大圆，则点Q不在该球面上，B错误；若该“倒影
三棱锥”存在外接球，则三棱锥P－ABC的外接球的半径与等边三角形ABC外接圆的半径
相等，设其为R，则AB＝R，PA＝R，则AB＝PA，C错误；由C的推导可知该“倒影三棱
锥”外接球的球心为△ABC的中心，即PQ的中点，D正确，故选AD.
7．(2021·上海新场中学模拟)若一个圆锥的轴截面是边长为4的等边三角形，则这个圆锥的
侧面积为________．答案 8π
解析 因为轴截面是边长为4的等边三角形，
所以圆锥底面半径r＝2，
圆锥母线l＝4.
圆锥的侧面积S＝πrl＝π×2×4＝8π.
8．在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直
线旋转一周形成的曲面所围成的几何体的体积为________．
答案 π
解析 由题意可知几何体的直观图如图，旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个
底面相同，高为1的倒圆锥，几何体的体积为π×12×2－×π×12×1＝π.
9．(2020·咸阳模拟)已知在三棱锥A－BCD中，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝，
AD＝2，则三棱锥A－BCD外接球的体积为________．
答案 4π
解析 因为三棱锥侧棱AB，AC，AD两两垂直，补成长方体，如图，
该长方体的三边分别为1，，2，
所以球的直径为2R＝＝2，
即R＝，所以三棱锥A－BCD的外接球的体积为V＝π×()3＝4π，
10．在正方体ABCD－ABC D 中，棱长为2，E是线段CD 上的动点，则AE＋DE的最小
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值是________．
答案 ＋
解析 如图，取CD 的中点为P，连接AP，DP，
1
则由AC＝AD，DC＝DD 知，
1 1
AP⊥CD，DP⊥CD，
1 1
所以AE≥AP，DE≥DP，
所以AE＋DE≥AP＋DP，
在正方体中，棱长为2，
所以AP＝××2＝，DP＝××2＝，
故当E在线段CD 上运动，E与P重合时，AE＋DE有最小值＋.
1
11.如图所示，正方体ABCD－ABC D 的棱长为a，过顶点B，D，A 截下一个三棱锥．
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(1)求剩余部分的体积；
(2)求点A到平面ABD的距离．
1
解 (1)由题意，正方体ABCD－ABC D 的棱长为a，
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则正方体的体积为V ＝a3，
正方体
根据三棱锥的体积公式，可得
＝·S ·AA
△ABD 1
＝×·AB·AD·AA＝a3，
1
所以剩余部分的体积
V＝V － ＝a3－a3＝a3.
正方体
(2)由(1)知 ＝a3，
设点A到平面ABD的距离为d，
1
则
＝×××(a)2×d＝a2d，
故a2d＝a3，
解得d＝a.
12.如图所示，正四棱台AC′的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm.(1)求这个棱台的侧棱长和斜高；
(2)求该棱台的侧面积与表面积．
解 (1)设棱台AC′两底面的中心分别是O′和O，
B′C′，BC的中点分别是E′，E，
连接O′O，E′E，OB，O′B′，O′E′，OE，如图所示，
则四边形OBB′O′，OEE′O′都是直角梯形，且O′O＝17 cm，
在正方形ABCD中，BC＝16 cm，
则OB＝8 cm，OE＝8 cm，
在正方形A′B′C′D′中，B′C′＝4 cm，
则O′B′＝2 cm，O′E′＝2 cm，
在直角梯形O′OBB′中，BB′＝＝＝19(cm)，
在直角梯形O′OEE′中，EE′＝＝＝5(cm)，
即这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5 cm.
(2)S ＝4××(4＋16)×5＝200(cm2)，
侧
S ＝S ＋S ＋S ＝200＋4×4＋16×16＝(200＋272) cm2.
表面积 侧 上底面 下底面
13．(2020·安康模拟)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的球面上，ABCD是边长为3的正方
形，若四棱锥P－ABCD体积的最大值为54，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．100π D．144π
答案 C
解析 设球心到平面ABCD的距离为h，球O的半径为r，
根据题意得，当P到平面ABCD距离最大，即为r＋h时，四棱锥P－ABCD的体积最大，
所以V＝×3×3×(r＋h)＝54，
解得r＋h＝9，又A，B，C，D都在球面上，设平面ABCD所在圆的圆心为O′，
由题意得O′A＝＝3，
所以r2＝h2＋32，解得r＝5，
所以表面积S＝4π×52＝100π.
14.(2020·济南模拟)《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上
的“算经之首”．书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑(biē nào)．如图所示，
在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，则该三棱锥即为鳖臑．若AB＝2且三棱锥
外接球的体积为36π，则PB＋AC长度的最大值是________．
答案 4
解析 设三棱锥外接球的半径为R，
由体积为36π，知πR3＝36π，即R＝3，
又∵PA⊥平面ABC，AB⊥BC，
∴△ABC的外接圆半径为r＝，
即有R2＝＋＝9，有PA2＋AC2＝36，
而在Rt△PAB中，AB＝2，PB2＝PA2＋AB2＝PA2＋4，
∴PB2＋AC2＝40，
而(PB＋AC)2≤2(PB2＋AC2)＝80，
当且仅当PB＝AC时等号成立，∴PB＋AC≤4.
15．(2020·佛山模拟)如图，一立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为4 m，一只小虫从圆
锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处．若该小虫爬行的最短路程
为4 m，则圆锥底面圆的半径等于________ m.
答案 1
解析 把圆锥侧面沿过点P的母线展开成如图所示的扇形，由题意OP＝4 m，PP′＝4 m，
则cos∠POP′＝＝0，且∠POP′是三角形的内角，
所以∠POP′＝.
设底面圆的半径为r m，
则2πr＝×4，所以r＝1.
16．(2020·徐州模拟)如图，已知边长为2的正方形材料ABCD，截去如图所示的阴影部分后，
可焊接成一个正四棱锥的封闭容器．设∠FCB＝θ.
(1)用θ表示此容器的体积；
(2)当此容器的体积最大时，求tan θ的值．
解 (1)取BC的中点M，连接FM，连接AC交GF于N，如图．
由题意知FM⊥BC，
在Rt△CFM中，CF＝.
在Rt△CFN中，＝sin，
所以NF＝－tan θ，
所以GF＝－tan θ.
因为＝cos，所以CN＝＋tan θ.
从而S ＝(－tan θ)2，
四边形GFEH
正四棱锥的高CO＝＝
＝
＝·，
所以正四棱锥的体积
V＝S ·CO
四边形GFEH
＝×(－tan θ)2××
＝(1－tan θ)2，θ∈.
(2)令t＝，t∈(0,1)，则V(t)＝(1－t2)2t＝(t5－2t3＋t)，
V′(t)＝(5t4－6t2＋1)＝(5t2－1)(t2－1)．
令V′(t)＝0，得t＝.
当t变化时，V′(t)，V(t)的变化情况如下表：
t
V′(t) ＋ 0 －
V(t) ↗ 极大值 ↘
所以V(t)在内单调递增，在内单调递减，
所以V(t)在t＝时取到最大值，此时tan θ＝.
