文档内容
§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
考试要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定
理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．
1．四个公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．
公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
2．空间中直线与直线的位置关系
(1)位置关系的分类
(2)异面直线所成的角
①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与
b′所成的 锐角 ( 或直角 )叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：.
3．空间中直线与平面的位置关系
直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．
4．空间中平面与平面的位置关系
平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
5．等角定理
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
微思考
1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？
提示 不一定，因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可
能平行或相交或异面．
2．平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面的位置关系如何？
提示 平行或相交．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)有三个公共点的两个平面必重合．( × )
(2)三条两两相交的直线确定一个平面．( × )
(3)若A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α，则l⊂α.( √ )
(4)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，记作α∩β＝a.( √
)
题组二 教材改编
2.如图所示，在正方体ABCD—ABC D 中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线BC
1 1 1 1 1
与EF所成角的大小为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
答案 C
解析 连接BD ，DC(图略)，则BD∥EF，故∠DBC即为所求的角．又 BD ＝BC＝
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
DC，∴△BDC为等边三角形，∴∠DBC＝60°.
1 1 1 1 1
3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β.且α∥β，则a与b( )
A．共面 B．平行
C．是异面直线 D．可能平行，也可能是异面直线
答案 D
解析 α∥β，说明a与b无公共点，
∴a与b可能平行也可能是异面直线．
4．两两平行的三条直线可确定________个平面．
答案 1或3
解析 若三条直线在同一平面内，则确定1个平面．若三条直线不共面，则确定3个平面．
题组三 易错自纠
5．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是( )
A．b⊂α B．b∥α
C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α
答案 D
解析 由题意知，b与α的位置关系可能是b∥α，b与α相交或b⊂α.
6．下列关于异面直线的说法正确的是________．(填序号)①若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面
直线；
②若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；
③若a，b不同在平面α内，则a与b异面；④若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面．
答案 ④
解析 ①a⊂α，b⊂β，则a与b可能平行，异面或相交．
②a与b异面，b与c异面，则a与c平行、相交或异面．
③a，b不同在α内，则a与b异面或平行．
④由异面直线的定义可知正确.
题型一 平面基本性质的应用
例1 如图所示，已知在正方体 ABCD－ABC D 中，E，F分别为 DC ，C B 的中点，
1 1 1 1 1 1 1 1
AC∩BD＝P，AC ∩EF＝Q.求证：
1 1
(1)D，B，F，E四点共面；
(2)若AC交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．
1
证明 (1)∵EF是△DBC 的中位线，∴EF∥BD.
1 1 1 1 1
在正方体AC 中，BD∥BD，∴EF∥BD.
1 1 1
∴EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面．
(2)在正方体AC 中，设平面AACC 为α，
1 1 1
平面BDEF为β.
∵Q∈AC ，∴Q∈α.
1 1
又Q∈EF，∴Q∈β，
则Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点，
∴α∩β＝PQ.
又AC∩β＝R，∴R∈AC.
1 1
∴R∈α，且R∈β，
则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
思维升华 共面、共线、共点问题的证明
(1)证明共面的方法：先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内．
(2)证明共线的方法：先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上．
(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1 如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB和BC上的点，G，H分别是
CD和AD上的点．若EH与FG相交于点K.
求证：EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
证明 因为 K∈EH，EH 平面 ABD，所以 K∈平面 ABD，同理 K∈平面 CBD，而平面
ABD∩平面CBD＝BD，因⊂此K∈BD，所以EH，BD，FG三条直线相交于同一点．
题型二 判断空间两直线的位置关系
例2 (1)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，
则m，n的位置关系不可能是( )
A．垂直 B．相交
C．异面 D．平行
答案 D
解析 依题意，m∩α＝A，n⊂α，
∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
(2)已知在长方体ABCD－ABC D 中，M，N分别是长方形ABC D 与长方形BCC B 的中
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
心，则下列说法正确的是( )
A．直线MN与直线AB是异面直线
1
B．直线MN与直线DD 相交
1
C．直线MN与直线AC 是异面直线
1
D．直线MN与直线AC平行
1
答案 C
解析 如图，
因为M，N分别是长方形ABC D 与长方形BCC B 的中心，所以M，N分别是AC ，BC
1 1 1 1 1 1 1 1 1
的中点，所以直线MN与直线AB平行，所以A错误；
1
因为直线MN经过平面BBDD内一点M，且点M不在直线DD 上，
1 1 1
所以直线MN与直线DD 是异面直线，所以B错误；
1
因为直线MN经过平面ABC 内一点N，且点N不在直线AC 上，
1 1
所以直线MN与直线AC 是异面直线，所以C正确；
1因为直线MN经过平面ACC 内一点M，且点M不在直线AC上，所以直线MN与直线AC
1 1 1 1
是异面直线，所以D错误．
思维升华 (1)点、线、面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，
常借助正方体为模型，以正方体为主线直观感知并认识空间点、线、面的位置关系．
(2)对异面直线的判定常用到以下结论：平面外一点 A与平面内一点B的连线和平面内不经
过点B的直线是异面直线．
跟踪训练2 (1)空间中有三条线段AB，BC，CD，且∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的
位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交或平行
D．平行或异面或相交均有可能
答案 D
解析 根据条件作出示意图，容易得到以下三种情况均有可能，
如图可知AB，CD有相交，平行，异面三种情况．
(2)如图所示，正方体ABCD－ABC D 中，M，N分别为棱C D ，C C的中点，有以下四个
1 1 1 1 1 1 1
结论：
①直线AM与CC 是相交直线；
1
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB 是异面直线；
1
④直线AM与DD 是异面直线．
1
其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)
答案 ③④
解析 因为点A在平面CDD C 外，点M在平面CDD C 内，直线CC 在平面CDD C 内，
1 1 1 1 1 1 1
CC 不过点M，所以AM与CC 是异面直线，故①错；取DD 中点E，连接AE(图略)，则
1 1 1
BN∥AE，但AE与AM相交，故②错；因为B 与BN都在平面BCC B 内，M在平面BCC B
1 1 1 1 1
外，BN不过点B，所以BN与MB 是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.
1 1
题型三 求两条异面直线所成的角例3 (2020·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱 ABCD—ABC D 中，
1 1 1 1
AA＝2AB＝2，则异面直线AB与AD 所成角的余弦值为( )
1 1 1
A. B.
C. D.
答案 D
解析 连接 BC ，易证 BC ∥AD ，则∠ABC 即为异面直线 AB 与 AD 所成的角．连接
1 1 1 1 1 1 1
AC ，由AB＝1，AA ＝2，易得AC ＝，AB＝BC ＝，故cos∠ABC ＝＝，即异面直线AB
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
与AD 所成角的余弦值为.
1
思维升华 用平移法求异面直线所成的角的三个步骤
(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角．
(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角．
(3)三求：解三角形，求出所作的角．
跟踪训练3 (2018·全国Ⅱ)在长方体ABCDA BC D 中，AB＝BC＝1，AA ＝，则异面直线
1 1 1 1 1
AD 与DB 所成角的余弦值为( )
1 1
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，连接BD，交DB 于O，取AB的中点M，连接DM，OM.易知O为BD 的中点，
1 1 1
所以 AD∥OM，则∠MOD 为异面直线 AD 与 DB 所成角或其补角．因为在长方体
1 1 1
ABCDA BC D 中，AB＝BC＝1，AA＝，
1 1 1 1 1AD＝＝2，
1
DM＝＝，
DB＝＝.
1
所以OM＝AD＝1，OD＝DB＝，
1 1
于是在△DMO中，由余弦定理，
得cos∠MOD＝＝，
即异面直线AD 与DB 所成角的余弦值为.
1 1
课时精练
1．(2020·上海市松江区模拟)给出以下四个命题：
①依次首尾相接的四条线段必共面；
②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；
③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；
④垂直于同一直线的两条直线必平行．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 ①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误．
②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确．
③中，由空间角的等角定理知，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补，故③错误．
④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误．
2．已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足：a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不
可能满足以下哪种关系( )
A．两两垂直 B．两两平行
C．两两相交 D．两两异面
答案 B
解析 设α∩β＝l，且l与a，b均不重合，
假设a∥b∥c，由a∥b可得a∥β，b∥α，
又α∩β＝l，可知a∥l，b∥l，
又a∥b∥c，可得c∥l，
因为α，β，γ两两互相垂直，可知l与γ相交，即l与c相交或异面．
若l与a或b重合，同理可得l与c相交或异面，
可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行．
3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平
面β的交线是( )
A．直线AC
B．直线AB
C．直线CD
D．直线BC
答案 C
解析 由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，
又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以点D在平面ABC与平面β的交线上．
又因为C∈平面ABC，C∈β，
所以点C在平面β与平面ABC的交线上，
所以平面ABC∩平面β＝CD.
4.在如图所示的正四棱柱ABCDA BC D 中，E，F分别是棱BB，AD的中点，则直线BF与
1 1 1 1 1
平面ADE的位置关系是( )
1
A．平行
B．相交但不垂直
C．垂直
D．异面
答案 A
解析 如图，取AD 的中点O，连接OE，OF，则OF∥BE，OF＝BE，
1∴四边形BFOE是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF⊄平面ADE，OE⊂平面ADE，
1 1
∴BF∥平面ADE.
1
5．(多选)(2020·全国Ⅱ改编)下列四个命题中是真命题的为( )
A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内
B．过空间中任意三点有且仅有一个平面
C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行
D．若直线l⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l
答案 AD
解析 对于A，可设l 与l 相交，这两条直线确定的平面为α；
1 2
若l 与l 相交，则交点A在平面α内，
3 1
同理，l 与l 的交点B也在平面α内，
3 2
所以，AB⊂α，即l⊂α，A为真命题；
3
对于B，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
故B为假命题；
对于C，两条直线有可能平行也有可能异面，
故C为假命题；
对于D，若直线m⊥平面α，
则m垂直于平面α内所有直线，
因为直线l⊂平面α，
所以直线m⊥直线l，
D为真命题．
6．(多选)如图所示，在正方体 ABCD－ABC D 中，O是BD 的中点，直线AC交平面
1 1 1 1 1 1 1
ABD 于点M，则下列结论正确的是( )
1 1A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A 共面
1
C．A，M，C，O共面 D．B，B，O，M共面
1
答案 ABC
解析 ∵M∈AC，AC⊂平面AACC ，
1 1 1 1
∴M∈平面AACC ，
1 1
又∵M∈平面ABD，
1 1
∴M在平面ABD 与平面AACC 的交线AO上，
1 1 1 1
即A，M，O三点共线，
∴A，M，O，A 共面且A，M，C，O共面，
1
∵平面BBDD∩平面ABD＝BD，
1 1 1 1 1 1
∴M在平面BBDD外，
1 1
即B，B，O，M不共面，故选A，B，C.
1
7．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则直线GH，MN是异面直
线的图形有________．(填序号)
答案 ②④
解析 ①中GH∥MN；
②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此GH，MN是异面直线；
③中连接GM，GM∥HN且GM≠HN，所以直线GH与MN必相交；
④中，G，M，N三点共面，但H∉平面GMN，因此GH，MN是异面直线．
8.如图，已知圆柱的轴截面ABBA 是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C 是圆柱上底
1 1 1
面弧AB 的中点，那么异面直线AC 与BC所成角的正切值为________．
1 1 1答案
解析 取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C D，AD，
1
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，
所以AD∥BC，所以直线AC 与AD所成的角即为异面直线AC 与BC所成的角，因为C 是
1 1 1
圆柱上底面弧AB 的中点，所以C D垂直于圆柱下底面，所以C D⊥AD.
1 1 1 1
因为圆柱的轴截面ABBA 是正方形，
1 1
所以C D＝AD，
1
所以直线AC 与AD所成角的正切值为，
1
所以异面直线AC 与BC所成角的正切值为.
1
9.(2020·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC
的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成
60°角；④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 还原成正四面体ADEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．
易知GH与EF异面，BD与MN异面．
又△GMH为等边三角形，
∴GH与MN成60°角，
易证DE⊥AF，MN∥AF，∴MN⊥DE.
因此正确的序号是②③④.
10．已知下列说法：
①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；
③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交；
④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；
⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交．
其中正确的序号是________(将你认为正确的序号都填上)．
答案 ③④
解析 ①错．a与b也可能异面．
②错．a与b也可能平行．
③对．∵α∥β，∴α与β无公共点，
又∵a α，b β，∴a与b无公共点．
④对．⊂由已⊂知及③知，a与b无公共点，
那么a∥b或a与b异面．
⑤错．a与β也可能平行．
11.如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝
∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G，H分别为FA，FD的中点．
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；
(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？
(1)证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊AD.又BC綊AD，∴GH綊BC.
∴四边形BCHG为平行四边形．
(2)解 ∵BE綊AF，G是FA的中点，
∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，
∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面．
12.已知空间四边形ABCD的对角线AC＝20，BD＝19，异面直线AC与BD所成角的余弦值
为，点P，Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点．(1)求证：四边形PQMN是平行四边形；
(2)求四边形PQMN的面积．
(1)证明 因为P，Q分别是AB，BC的中点，
所以PQ∥AC，且PQ＝AC，
同理MN∥AC，且MN＝AC，
所以PQ∥MN，PQ＝MN，
所以四边形PQMN是平行四边形．
(2)解 因为P，N分别是AB，AD的中点，
所以PN∥BD，PN＝BD＝，
又因为PQ∥AC，
所以PQ与PN所成的角就是异面直线AC，BD所成的角，
所以sin∠QPN＝＝＝，
所以四边形PQMN的面积为S＝PQ·PN·sin∠QPN＝10××＝5.
13．(2019·全国Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平
面ABCD，M是线段ED的中点，则( )
A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
答案 B
解析 如图，取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又
平面ECD⊥平面ABCD，平面 ECD∩平面ABCD＝CD，所以 EO⊥平面ABCD.设正方形
ABCD的边长为2，则EO＝，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂
线，垂足为P，连接BP，则MP＝，CP＝，所以BM2＝MP2＋BP2＝2＋2＋22＝7，得BM＝，
所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，
MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线．14．已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A－BCD的外接
球，BC＝3，AB＝2，点E在线段BD上，且BD＝3BE，过点E作球O的截面，则所得的截
面中面积最小的截面圆的面积是________．
答案 2π
解析 如图，设△BDC的中心为O，球O的半径为R，
1
连接AO，OD，OD，OE，OE，
1 1 1
则OD＝3sin 60°×＝，
1
AO＝＝3，
1
在Rt△OO D中，
1
R2＝3＋(3－R)2，解得R＝2，
∵BD＝3BE，DE＝2，在△DEO 中，OE＝＝1，
1 1
∴OE＝＝，
过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面圆的面积最小，
此时截面圆的半径为＝，
面积为2π.
15．已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为3，E，F分别为BC，CD的中点，P是线段AB
1 1 1 1 1
上的动点，C P与平面DEF的交点Q的轨迹长为( )
1 1
A．3 B. C．4 D．3
答案 B
解析 如图所示，连接EF，AB，连接AC ，BD 交于点M，连接BE，BC 交于点N，
1 1 1 1 1 1 1由EF∥BD，即E，F，B，D 共面，
1 1 1 1
由P是线段AB上的动点，当P重合于A 或B时，
1 1
C A，C B与平面DEF的交点分别为M，N，
1 1 1 1
即Q的轨迹为MN，
由棱长为3，
得C M＝AC ＝3, 则BC ＝6，
1 1 1 1
又＝＝，
则NC ＝BC ＝4，
1 1
由AB＝BC ＝AC ，得∠AC B＝60°，
1 1 1 1 1 1
则MN＝＝＝.
16．如图1，在边长为4的正三角形ABC中，D，F分别为AB，AC的中点，E为AD的中点．
将△BCD与△AEF分别沿CD，EF同侧折起，使得二面角A－EF－D与二面角B－CD－E
的大小都等于90°，得到如图2所示的多面体．
(1)在多面体中，求证： A，B，D，E四点共面；
(2)求多面体的体积．
(1)证明 因为二面角A－EF－D的大小等于90°，
所以平面AEF⊥平面DEFC，
又AE⊥EF，AE⊂平面AEF，平面AEF∩平面DEFC＝EF，
所以AE⊥平面DEFC，
同理，可得BD⊥平面DEFC，
所以AE∥BD，故A，B，D，E四点共面．
(2)解 因为AE⊥平面DEFC，BD⊥平面DEFC,EF∥CD，AE∥BD，DE⊥CD，
所以AE是四棱锥A－CDEF的高，点A到平面BCD的距离等于点E到平面BCD的距离，
又AE＝DE＝1，CD＝2，EF＝，BD＝2，
所以V＝V ＋V ＝S ·AE＋S ·DE＝.
A－CDEF A－BCD 梯形CDEF △BCD
