文档内容
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2025年中考数学一轮复习学案（全国版）
第五章 圆
5.4 圆的证明和计算类重难点综合问题
考点分布 考查频率 命题趋势
考点1 不含三角函数的问题 ☆☆☆ 数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每
年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查1
考点2 含三角函数的问题 ☆☆ 道题,分值为8~12分，一般略简单一些的会设置
2小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现
证明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者
两条线段相等。然后其他小问让计算某线段长
考点3 创新型的问题 ☆☆ 度，或者求某角的大小等。用到的知识比较综
合，圆周角定律、相似三角形性质、勾股定理、
三角函数以及数学思想方法。
☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。
夯实基础
1.判定切线的方法
（1）若切点明确，则“连_____，证______”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线
转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；
（2）若切点不明确，则“作_____，证_______”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合
一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：
①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；
②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进
1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.
2.与圆有关的计算
计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结
合，形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度
的转化。特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的
关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：
（1）______思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段
可求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；
⑤构造三角函数.
（2）______思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建
立方程，解决问题。
（3）______思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问
题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
3. 圆中常用辅助线的添法顺口溜
半径与弦长计算，______来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心_____连。
切线长度的计算，_____定理最方便。
要想证明是切线，____垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成___角径连弦。
弧有中点圆心连，____定理要记全。
圆周角边两条弦，____和弦端点连。
弦切角边切线弦，____对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出____线。
还要作个内接圆，___角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作____弦。
内外相切的两圆，经过___点公切线。
若是添上连心线，___点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是___线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，____旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
考点1. 不含三角函数的问题
2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
【例题1】 （2024甘肃临夏）如图，直线 与 相切于点 ， 为 的直径，过点 作
于点 ，延长 交直线 于点 ．
（1）求证： 平分 ；
（2）如果 ， ，求 的半径．
在
【变式练1】（2024山东济南一模）如图， ⊙ 中，直径 与弦 相交于点 ，连接 、
．
（1）求证： ；
（2）连接 ，若 ， ，求⊙ 的半径．
【变式练2】（2024湖北一模）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，点C为 的中点，过点
⊙ ⊙
C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D，延长DC交AB的延长线于点F．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝1，D⊙C＝2，求 O的半径长．
⊙
3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点2. 含三角函数的问题
【例题2】（2024山东泰安）如图， 是 的直径， 是 的切线，点 为 上任意一
点，点 为 的中点，连接 交 于点 ，延长 与 相交于点 ，若 ，
，则 的长为__________．
【变式练1】（2024湖南一模）如图，AB为 O的直径，点P在AB的延长线上，PC，PD与 O相
切，切点分别为C，D．若AB＝10，PC＝12，⊙则sin∠CAD等于（ ） ⊙
A． B． C． D．
【变式练2】（2024江苏徐州一模）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，
过A，B，D三点作 O，AE是 O的直径，连接DE．
（1）求证：AC是 ⊙O的切线；⊙
⊙
（2）若sinC＝ ，AC＝6，求 O的直径．
⊙
4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
考点3. 创新型的问题
【例题3】（2024云南省）如图， 是 的直径，点 、 是 上异于 、 的点．点 在
外 ， ， 延 长 与 的 延 长 线 交 于 点 ， 点 在 的 延 长 线 上 ，
， ．点 在直径 上， ，点 是线段 的
中点．
（1）求 的度数；
（2）求证：直线 与 相切：
（3）看一看，想一想，证一证：
以下与线段 、线段 、线段 有关的三个结论： ， ，
，你认为哪个正确？请说明理由．
【变式练1】（2024广州一模）发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图①是发动机的实
物剖面图，图②是其示意图．图②中，点A在直线l上往复运动，推动点B做圆周运动形成 ，
与 表示曲柄连杆的两直杆，点C、D是直线l与 的交点；当点A运动到E时，点B到达
C；当点A运动到F时，点B到达D．若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
A. B.
C. 当 与 相切时， D. 当 时，
【变式练2】（2024福建一模）中国最迟在四千多年前的夏禹时代已有了马车，而目前考古发现最
早的双轮马车始见年代为商代晚期(河南安阳殷城)．小明在殷墟游玩时，见到了如图1的马车车厢
模型，他绘制了如图2的车轮侧面图．如图2，当过圆心O的车架 的一端A落在地面上时，
与 的另一个交点为点D，水平地面 切 于点B．
(1)求证： ；
(2)若 ，求 的直径．
考点1. 不含三角函数的问题
1.（2024辽宁） 如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 在 上， ，
在 的延长线上， ．
（1）如图1，求证： 是 的切线；
（2）如图2，若 ， ，求 的长．
6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
2. （2024深圳）如图，在 中， ， 为 的外接圆， 为 的切线，
为 的直径，连接 并延长交 于点E．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的半径．
考点2. 含三角函数的问题
1. （2024福建省）如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点
， ，垂足为 的延长线交 于点 ．
（1）求 的值；
（2）求证： ；
（3）求证： 与 互相平分．
2. （2024 甘肃威武）如图， 是 的直径， ，点 E 在 的延长线上，且
．
7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证： 是 的切线；
（2）当 的半径为2， 时，求 的值．
3. （2024广西）如图，已知 是 的外接圆， ．点D，E分别是 ， 的中
点，连接 并延长至点F，使 ，连接 ．
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）求证： 与 相切；
（3）若 ， ，求 的半径．
考点3. 创新型的问题
1. （2024广州）如图，在菱形 中， ．点 在射线 上运动（不与点 ，点
重合）， 关于 的轴对称图形为 ．
（1）当 时，试判断线段 和线段 的数量和位置关系，并说明理由；
（2）若 ， 为 的外接圆，设 的半径为 ．
①求 的取值范围；
8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
②连接 ，直线 能否与 相切？如果能，求 的长度；如果不能，请说明理由．
考点1. 不含三角函数的问题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的 O交AC于点E，点D是BC边上的中点，
连接DE． ⊙
（1）求证：DE与 O相切；
⊙
（2）连接OC交DE于点F，若 O的半径为3，DE＝4，求 的值．
⊙
2. 如图，在 中， ，以 为直径的⊙ 交 于点 ，交线段 的延长线于点
，连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 ．
3. 如图，在 中， ，以 为直径作⊙ ，交 边于点 ，在 上取一
点 ，使 ，连接 ，作射线 交 边于点 ．
9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 及 的长．
考点2. 含三角函数的问题
1．如图，△ABC中，以AB为直径的 O交BC于点E，AE平分∠BAC，过点E作ED⊥AC于点
D，延长DE交AB的延长线于点P． ⊙
（1）求证：PE是 O的切线；
⊙
（2）若 ，BP＝4，求CD的长．
考点3. 创新型的问题
1. 为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材
由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 与水平地面
相切于点C，推杆 与铅垂线 的夹角为 点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆 与
铁环 相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果．
(1)求证： ．
(2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．图中点B是该区域内
10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载
最低位置，此时点A距地面的距离 最小，测得 ．已知铁环 的半径为 ，推杆
的长为 ，求此时 的长．
2. 定义：对角线互相垂直的圆内接四边形叫做圆的“奇妙四边形”．
(1)若 是圆的“奇妙四边形”，则 是_________（填序号）：
①矩形；②菱形；③正方形
(2)如图1，已知 的半径为R，四边形 是 的“奇妙四边形”．求证： ；
(3)如图2，四边形 是“奇妙四边形”，P为圆内一点， ， ，
，且 ．当 的长度最小时，求 的值．
11
