2025年中考数学一轮复习学案：5.3与圆有关的计算（教师版）_02中考总复习（2026版更新中）_02-数学-中考总复习_2025中考复习资料_2025年中考数学一轮复习学案（全国通用）

关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 2025年中考数学一轮复习学案（全国版） 第五章 圆 5.3 与圆有关的计算 考点分布 考查频率 命题趋势 考点1 弧长、扇形面积的计算 ☆☆ 数学中考中，与圆有关计算部分，每年考查 1道题,分值为3分，通常以填空题的形式考 考点2 圆柱、圆锥的相关计算 ☆ 察。需要学生熟练掌握 弧长、扇形面积的计 算，对圆柱、圆锥的相关计算也不能忽视。 不规则图形的面积的计算问题基本思路就是 考点3 不规则图形的面积的计算 ☆ 转化成规则图形的面积计算。 ☆☆☆ 代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。 1关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 夯实基础 考点1. 弧长、扇形面积的计算 1. 与弧长相关的计算 扇形的弧长计算公式为： l = 注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位 的. 2. 与扇形面积相关的计算 （1）扇形的定义：圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫作扇形. 如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB. （2）扇形的面积公式为S= = ．扇形的面积与圆心角、半径有关。 3. 弓形的面积公式 S =S -S S =S +S 弓形 扇形 三角形 弓形 扇形 三角形 2关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 考点2. 圆柱、圆锥的相关计算 1. 圆柱侧面展开图可以求解圆柱的表面积 = 2. 圆柱的体积： 3.圆锥及相关概念 （1）圆锥的母线：我们把连接圆锥的顶点S和底面圆上任一点的连线叫做圆锥的母线．圆锥有无数 条母线，它们都相等． （2）圆锥的高：从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高． 注意：如果用r表示圆锥底面的半径, h表示圆锥的高线长, l表示圆锥的母线长,那么r、h、l 之 间数量关系是：r2+h2=l2 4.圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是扇形。 3关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）其侧面展开图扇形的半径=母线的长l （2）侧面展开图扇形的弧长=底面周长 C=2πr， （3）圆锥的侧面积计算公式(r表示圆锥底面的半径, l 表示圆锥的母线长 ) （4）圆锥的全面积计算公式 S ＝侧面积＋底面圆面积=πrl＋πr2． 圆锥全 考点3. 不规则图形的面积的计算 求阴影部分面积的几种常见方法： （1）公式法； （2）割补法； （3）拼凑法； （4）等积变形构造方程法； （5）去重法． 考点1. 弧长、扇形面积的计算 【例题1】（2024安徽省）若扇形 的半径为6， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】此题考查了弧长公式，根据弧长公式计算即可． 由题意可得， 的长为 ,故选：C． 【例题2】（2024甘肃威武）甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非 物质文化遗产．如图1是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图2，其中扇形 和扇 形 有相同的圆心O，且圆心角 ，若 ， ，则阴影部分的 4关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 面积是______ ．（结果用π表示） 【答案】 【解析】根据扇形面积公式计算即可．本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的 关键． ∵圆心角 ， ， ， ∴阴影部分的面积是 ． 【变式练1】（2024大连一模）圆心角为 ，半径为3的扇形弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据弧长公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆 半径为r），由此计算即可． 的 该扇形的弧长 ，故选：C． 【点睛】本题考查了扇形的弧长计算公式 （弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）， 正确记忆弧长公式是解答此题的关键． 【变式练2】（2024江苏连云港一模）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个刻度间的弧长 均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（ ） 5关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】阴影部分的面积等于扇形面积减去三角形面积，分别求出扇形面积和等边三角形的面积即 可． 如图，过点OC作OD⊥AB于点D， ∵∠AOB=2× =60°， ∴ OAB是等边三角形， △ ∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD= AB=1， ∴OD= ， ∴阴影部分的面积为 ，故选：B． 【点睛】本题考查了扇形面积、等边三角形的面积计算方法，掌握扇形面积、等边三角形的面积的 6关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 计算方法是正确解答的关键． 考点2. 圆柱、圆锥的相关计算 【例题3】（2024广州）如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，若扇形的半径 是 5，则该圆锥的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查了弧长公式，圆锥的体积公式，勾股定理，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇 形的弧长相等是解题关键，设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ，根据弧长公式得出侧面 展开图的弧长，进而得出 ，再利用勾股定理，求出圆锥的高，再代入体积公式求解即可． 设圆锥的半径为 ，则圆锥的底面周长为 ， 圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 的扇形，且扇形的半径 是5， 扇形的弧长为 ， 圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ， ， 圆锥的高为 ， 圆锥的体积为 ，故选：D． 【变式练1】（2024广安一模）蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成．下图是一个 蒙古包的示意图，底面圆半径DE＝2m，圆锥的高AC＝1.5m，圆柱的高CD＝2.5m，则 下列说法错误的是（ ） 7关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A．圆柱的底面积为4πm2 B．圆柱的侧面积为10πm2 C．圆锥的母线AB长为2.25m D．圆锥的侧面积为5πm2 【答案】C 【解析】∵底面圆半径DE＝2m， ∴圆柱的底面积为4πm2，所以A选项不符合题意； ∵圆柱的高CD＝2.5m， ∴圆柱的侧面积＝2π×2×2.5＝10π（m2），所以B选项不符合题意； ∵底面圆半径DE＝2m，即BC＝2m，圆锥的高AC＝1.5m， ∴圆锥的母线长AB＝ ＝2.5（m），所以C选项符合题意； ∴圆锥的侧面积＝ ×2π×2×2.5＝5π（m2），所以D选项不符合题意．故选：C． 【变式练2】（2024河南一模）如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积 是（ ） A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 【答案】C 【解析】【分析】先利用勾股定理计算出AC=25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的 8关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式计算出圆锥的 侧面积． 【详解】在 中， cm， ∴它侧面展开图的面积是 cm2．故选：C 【点睛】本题考查了圆锥的计算，理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题的关键． 考点3. 不规则图形的面积的计算 【例题4】（2024山东威海）如图，在扇形 中， ，点 是 的中点．过点 作 交 于点 ，过点 作 ，垂足为点 ．在扇形内随机选取一点 ，则点 落在阴影部分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】本题考查的是求不规则图形的面积，几何概率，根据阴影部分面积等于扇形 的面积， 即可求解． ∵ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ∴ 9关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点 是 的中点 ∴ ∴ ∴ ∴ ， ， 点 落在阴影部分的概率是 故选：B． 【变式练1】（2024广州一模）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=2，OB=1，将 Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分 别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（ ） 5 π 7 π A．π B．π+5 C． − D． − 2 4 2 4 【答案】C 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质，扇形的面积公式为 nπr2 S= ．作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF 360 的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】作DH⊥AE于H， 10关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵∠AOB=90°，OA=2，OB=1， ∴AB=√OA2+OB2=√5， 由旋转，得△EOF≌△BOA， ∴∠OAB=∠EFO， ∵∠FEO+∠EFO=∠FEO+∠HED=90°， ∴∠EFO=∠HED， ∴∠HED=∠OAB， ∵∠DHE=∠AOB=90°，DE=AB， ∴△DHE≌△BOA(AAS)， ∴DH=OB=1， 阴影部分面积=△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积−扇形DEF的面积 1 1 90π×22 90π×5 = ×3×1+ ×1×2+ − 2 2 360 360 5 1 = − π 故选：C． 2 4 考点1. 弧长、扇形面积的计算 1. （2024贵州省）如图，在扇形纸扇中，若 ， ，则 的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题考查了弧长，根据弧长公式∶ 求解即可． 11关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ， ∴ 的长为 ，故选∶C． 2. （2024四川成都市）如图，在扇形 中， ， ，则 的长为______． 【答案】 【解析】此题考查了弧长公式，把已知数据代入弧长公式计算即可． 由题意得 的长为 3. （2024河南省）如图， 是边长为 的等边三角形 的外接圆，点D是 的中点， 连接 ， ．以点D为圆心， 的长为半径在 内画弧，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】过D作 于E，利用圆内接四边形的性质，等边三角形的性质求出 ， 利 用 弧 、 弦 的 关 系 证 明 ， 利 用 三 线 合 一 性 质 求 出 ， 12关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ，在 中，利用正弦定义求出 ，最后利用扇形面积公式求解 即可． 【详解】过D作 于E， ∵ 是边长为 的等边三角形 的外接圆， ∴ ， ， ， ∴ ， ∵点D是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故选：C． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，扇形面积公式， 解直角三角形等知识，灵活应用以上知识是解题的关键． 4. （2024重庆市A）如图，在矩形 中，分别以点 和 为圆心， 长为半径画弧，两弧 有且仅有一个公共点．若 ，则图中阴影部分的面积为（ ） 13关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】本题考查扇形面积的计算，勾股定理等知识．根据题意可得 ，由勾股定理 得出 ，用矩形的面积减去2个扇形的面积即可得到结论． 【详解】解：连接 ， 根据题意可得 ， ∵矩形 ，∴ ， ， 在 中， ， ∴图中阴影部分的面积 ．故选：D． 的 5. （2024吉林省）某新建学校因场地限制，要合理规划体育场地，小明绘制 铅球场地设计图如图 所示，该场地由 和扇形 组成， 分别与 交于点A，D． ， ， ，则阴影部分的面积为______ （结果保留 ）． 14关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】 【解析】本题考查了扇形面积公式，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 利用阴影部分面积等于大扇形减去小扇形面积，结合扇形面积公式即可求解． 由题意得： ， 6. （2024深圳）如图，在矩形 中， ，O为 中点， ，则扇形 的面积为________． 【答案】 【解析】本题考查了扇形的面积公式，解直角三角形．利用解直角三角形求得 ， ，得到 ，再利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】∵ ， ， ∴ ， ∵O为 中点， ∴ ， 15关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， 在 中， ， ∴ ， 同理 ， ∴ ， ∴扇形 的面积为 ， 7. （2024甘肃临夏）如图，对折边长为2的正方形纸片 ， 为折痕，以点 为圆心， 为半径作弧，分别交 ， 于 ， 两点，则 的长度为______（结果保留 ）． 【答案】 ## 【解析】本题主要考查了弧长的计算、正方形的性质及翻折变换（折叠问题），解直角三角形，熟 知正方形的性质、图形翻折的性质及弧长的计算公式是解题的关键． 由对折可知， ，过点E作 的垂线，进而可求出 的度数，则可得出 的度数，最后根据弧长公式即可解决问题． 【详解】∵折叠，且四边形 是正方形 四边形 是矩形， ， 则 ， ． 过点E作 于P， 16关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 则 ， ， 在 中， ， ， 则 ， 的长度为： 考点2. 圆柱、圆锥的相关计算 1.（2024黑龙江大庆） 如图所示，一个球恰好放在一个圆柱形盒子里，记球的体积为 ，圆柱形盒 子的容积为 ，则 ______．（球体体积公式： ，其中r为球体半径） 【答案】 【解析】题考查了圆柱的体积和球的体积，根据圆柱的体积和球的体积公式计算即可得出答案． 设球的半径为 ，则圆柱的高为 ， 17关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 依题意， ， ∴ ， 2. （2024云南省）某校九年级学生参加社会实践，学习编织圆锥型工艺品．若这种圆锥的母线长为 厘米，底面圆的半径为 厘米，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 平方厘米 B. 平方厘米 C. 平方厘米 D. 平方厘米 【答案】C 【解析】本题考查了圆锥 的侧面积，先求出圆锥底面圆的周长，再根据圆锥的侧面积计算公式计算 即可求解，掌握圆锥侧面积计算公式是解题的关键． 【详解】圆锥的底面圆周长为 厘米， ∴圆锥的侧面积为 平方厘米，故选： ． 3. （2024黑龙江齐齐哈尔）若圆锥的底面半径是1cm，它的侧面展开图的圆心角是直角，则该圆锥 的高为______cm． 【答案】 【解析】本题考查了圆锥的计算．设圆锥的母线长为R，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇 形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 ，然后 解方程即可得母线长，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】设圆锥的母线长为R， 根据题意得 ， 解得： ． 18关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 即圆锥的母线长为 ， ∴圆锥的高 cm， 4. （2024黑龙江绥化）用一个圆心角为 ，半径为 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的 底面圆的半径为______ ． 【答案】 【解析】本题考查了弧长公式，根据圆锥的底面圆的周长等于侧面的弧长，代入数据计算，即可求 解． 设这个圆锥的底面圆的半径为 ，由题意得， 解得： 5. （2024江苏盐城）已知圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则圆锥的侧面积是______． 【答案】 【解析】结合题意，根据圆锥侧面积和底面圆半径、母线的关系式计算，即可得到答案． ∵圆锥的底面圆半径为 ，母线长为 ∴圆锥的侧面积 【点睛】本题考查了圆锥的知识，解题的关键是熟练掌握圆锥的性质，从而完成求解． 6. （2024山东烟台）如图，在边长为6的正六边形 中，以点F为圆心，以 的长为半 径作 ，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而 19关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 求出扇形的圆心角的度数，过点 作 ，求出 的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇 形的弧长，进行求解即可． 【详解】∵正六边形 ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 过点 作 于点 ，则： ， 设圆锥的底面圆的半径为 ，则： ， ∴ ； 故答案为： ． 7. （2024广东） 综合与实践 【主题】滤纸与漏斗 【素材】如图1所示： ①一张直径为 的圆形滤纸； ②一只漏斗口直径与母线均为 的圆锥形过滤漏斗． 20关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【实践操作】 步骤1：取一张滤纸； 步骤2：按如图2所示步骤折叠好滤纸； 步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形； 步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如图1所示漏斗中． 【实践探索】 （1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁（忽略漏斗管口处）？用你所学的数学知识说明． （2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积．（结果保留 ） 【答案】（1）能，见解析 （2） 【解析】本题考查了圆锥，解题的关键是： （1）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长求出圆锥展开图的扇形圆心角，即可判断； （2）利用圆锥的底面周长＝侧面展开扇形的弧长，求出滤纸围成圆锥形底面圆的半径，利用勾股定 理求出圆锥的高，然后利用圆锥体积公式求解即可． 【小问1详解】 解：能， 理由：设圆锥展开图的扇形圆心角为 ， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴将圆形滤纸对折，将其中一层撑开，围成圆锥形，此时滤纸能紧贴此漏斗内壁； 【小问2详解】 21关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：设滤纸围成圆锥形底面圆的半径为 ，高为 ， 根据题意，得 ， 解得 ， ∴ ， ∴圆锥的体积为 ． 考点3. 不规则图形的面积的计算 1. （2024四川遂宁）工人师傅在检查排污管道时发现淤泥堆积．如图所示，排污管道的横截面是直 径为 米的圆，为预估淤泥量，测得淤泥横截面（图中阴影部分）宽 为 米，请计算出淤泥横截 面的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形的面积，过点 作 于 ，由垂径定理得 ，由勾股定理得 ，又根据 圆的直径为 米可得 ，得到 为等边三角形，即得 ，再根据淤泥 横截面的面积 即可求解，掌握垂径定理及扇形面积计算公式是解题的关键． 【详解】过点 作 于 ，则 ， ， 22关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵圆 直的径为 米， ∴ ， ∴在 中， ， ∵ ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴淤泥横截面的面积 ，故选： ． 2. （2024黑龙江大庆）如图所示的曲边三角形也称作“莱洛三角形”，它可以按下述方法作出：作 等边三角形 ；分别以点 ， ， 为圆心，以 的长为半径作 ， ， ．三段弧 所围成的图形就是一个曲边三角形．若该“莱洛三角形”的周长为 ，则它的面积是______． 【答案】 【解析】本题考查了弧长的计算，扇形面积的计算，三角函数的应用，曲边三角形是由三段弧组成， 如果周长为 ，则其中的一段弧长就是 ，所以根据弧长公式可得 ，即正三角 23关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 形的边长为 ．那么曲边三角形的面积=三角形的面积+三个弓形的面积，从而可得答案． 曲边三角形的周长为 ， 为等边三角形， 曲边三角形的面积为： 3. （2024黑龙江齐齐哈尔）如图， 内接于 ， 为 的直径， 于点D，将 沿 所在的直线翻折，得到 ，点D的对应点为E，延长 交 的延长线于点F． （1）求证： 是 的切线； （2）若 ， ，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【分析】（1）连接 ，由折叠的性质得 ， ， 24关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 再证明 ，推出 ，据此即可证明 是 的切线； （2）先求得 ，在 中，求得 ，再利用扇形面积公式求解即 可． 【小问1详解】证明：连接 ， ∵ ， ∴ ， ∵ 沿直线 翻折得到 ， ∴ ， ， ∵ 是 的半径， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 于点C， 又∵ 为 的半径， ∴ 是 的切线； 【小问2详解】 25关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 解：∵ ， ∴ ， 由（1）得 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了切线的判定与扇形面积公式，折叠的性质，解直角三角形．充分运用圆的性质， 综合三角函数相关概念，求得线段长度是解题的关键． 4. （2024山东枣庄）如图，在四边形 中， ， ， ．以点 为圆心，以 为半径作 交 于点 ，以点 为圆心，以 为半径作 所交 于点 ，连接 交 于另一点 ，连接 ． 26关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 （1）求证： 为 所在圆的切线； （2）求图中阴影部分面积．（结果保留 ） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，圆的性质，扇形面积，等边三角形的性质等 知识点，证明四边形 是平行四边形是解题关键． （1）根据圆的性质，证明 ，即可证明四边形 是平行四边形， 再证明 是等边三角形，再根据圆的切线判定定理即可证得结果． （2）先求出平行四边形的高 ，根据扇形面积公式三角形面积公式，平行四边形面积公式求解 即可． 【小问1详解】 解：连接 如图， 根据题意可知： ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 27关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 的 ∴ 在以 为直径 圆上， ∴ ， ∴ 为 所在圆的切线． 【小问2详解】 过 作 于点 ， 由图可得： ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ， 由题可知：扇形 和扇形 全等， 28关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ ， 等边三角形 的面积为： ， ∴ 考点1. 弧长、扇形面积的计算 1．某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧， ， 所在圆的圆心为 O，点C，D分别在OA，OB上．已知消防车道半径OC＝12m，消防车道宽AC＝4m，∠AOB＝ 120°，则弯道外边缘 的长为（ ） A．8 m B．4 m C． m D． m 【答案π】C π π π 【解析】根据线段的和差得到OA＝OC+AC，然后根据弧长公式即可得到结论． ∵OC＝12m，AC＝4m， ∴OA＝OC+AC＝12+4＝16（m）， ∵∠AOB＝120°， ∴弯道外边缘 的长为： ＝ （m）． 2. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B．若该圆 半径是9cm，∠P＝40°，则 的长是（ ） 29关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】如图，根据切线的性质可得 ，根据四边形内角和可得 的角 度，进而可得 所对的圆心角，根据弧长公式进行计算即可求解．如图， PA，PB分别与 所在圆相切于点A，B． ， ∠P＝40°， ， 该圆半径是9cm， cm． 【点睛】本题考查了切线的性质，求弧长，牢记弧长公式是解题的关键． 3. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆 曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为 ，曲线终点为 ，过点 的两条切线相交于 30关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 点 ，列车在从 到 行驶的过程中转角 为 ．若圆曲线的半径 ，则这段圆曲线 的长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由转角 为 可得 ，由切线的性质可得 ，根据四 边形的内角和定理可得 ，然后根据弧长公式计算 即可． 如图： ∵ ， ∴ ， ∵过点 的两条切线相交于点 ， 31关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴ , ∴ , ∴ ．故选B． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得 是解答 本题的关键． 考点2. 圆柱、圆锥的相关计算 1．如图，圆锥底面圆半径为7cm，高为24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） A． cm2 B． cm2 C．175πcm2 D．350πcm2 【答案】C 【解析】在Rt AOC中，AC＝ ＝25（cm）， △ 所以圆锥的侧面展开图的面积＝ ×2π×7×25＝175π（cm2）．故选：C． 2．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 （结果 保留 ）． π 【答案】6 ． π 32关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l， 根据题意得：2 r＝ ， 解得：l＝3r， π ∵高为4， ∴r2+42＝（3r）2， 解得：r＝ ， ∴母线长为3 ， ∴圆锥的侧面积为 rl＝ × ×3 ＝6 ． π π π 3. 如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ，则烟囱帽的侧面积为_______ ．（结果保留 ） 【答案】 【解析】根据圆锥侧面展开图是一个扇形，由扇形面积公式 代值求解即可得到答案． 圆锥形烟囱帽的底面半径为 ，母线长为 ， 烟囱帽的侧面积 （ ）， 故答案为： ． 【点睛】本题考查圆锥侧面展开图及扇形面积公式 ，熟记扇形面积公式是解决问题的关 键． 4．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长 为 ，扇形的圆心角 ，则圆锥的底面圆半径 为__________ ． 33关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】2 【解析】结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到 答案． ∵母线长 为 ，扇形的圆心角 ∴圆锥的底面圆周长 ∴圆锥的底面圆半径 5．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为 20 cm，侧面积为240 cm2，则这个扇形的圆心角的度数是 度． π π 【答案】150 【解析】根据扇形面积公式求出圆锥的母线长，再根据弧长公式计算，得到答案． 设圆锥的母线长为lcm，扇形的圆心角为n°， ∵圆锥的底面圆周长为20 cm， ∴圆锥的侧面展开图扇形的π弧长为20 cm， π 由题意得： ×20 ×l＝240 ， 解得：l＝24， π π 则 ＝20 ， 解得，n＝150，即π扇形的圆心角为150°． 34关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 6．某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外 包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中 AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE， AF恰好重合． （1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小． （2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留 ） π 【答案】见解析。 【解析】(1)设∠BAC＝n°．根据弧EF的两种求法，构建方程，可得结论． （2）根据S阴 ＝ •BC•AD﹣S扇形AEF 求解即可． 解：（1）设∠BAC＝n°． 由题意得 •DE＝ ,AD＝2DE, ∴n＝90,∴π∠BAC＝90°． (2)∵AD＝2DE＝10(cm), ∴S阴 ＝ •BC•AD﹣S扇形AEF ＝ ×10×20﹣ ＝(100﹣25 )cm2． π 7.如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长 为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F． （1）求由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积； （2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥 侧面无重叠，求这个圆锥的高h． 【答案】见解析。 【解析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6 ，然后利用扇形 35关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 的面积公式，利用由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S ﹣S 进行 △ABC 扇形EAF 计算； ∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°， ∴∠B＝30°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BD＝ AD＝6 ， ∴BC＝2BD＝12 ， ∴由弧EF及线段FC.CB.BE围成图形（图中阴影部分）的面积 S＝S ﹣S ＝ ×6×12 ﹣ ＝36 ﹣12π； △ABC 扇形EAF （2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面 的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到 2πr＝ ，解得r＝2，然后利用勾 股定理计算这个圆锥的高h． 根据题意得2πr＝ ，解得r＝2， 这个圆锥的高h＝ ＝4 ． 考点3. 不规则图形的面积的计算 1. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆 心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（ ） A． B． C． + D． 【答案】C 【解析】连接OE、AE， 36关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∵点C为OA的中点， ∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°， ∴△AEO为等边三角形， ∴S ＝ ＝ π， 扇形AOE ∴S ＝S ﹣S ﹣（S ﹣S ） 阴影 扇形AOB 扇形COD 扇形AOE △COE ＝ ﹣ ﹣（ π﹣ ×1× ） ＝ π﹣ π+ ＝ + ． 2. 如图，点A，B，C在 上， ，连接 ， ．若 的半径为3，则扇形 （阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】先利用圆周角定理求出 的度数，然后利用扇形面积公式求解即可． ∵ ， ∴ ， 37关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 又 的半径为3， ∴扇形 （阴影部分）的面积为 ．故选：D． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，扇形面积公式等，掌握“同弧所对的圆周角是它所对的圆心角 的一半”是解题的关键． 3. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半 径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 ﹣ ． 【解析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴 影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题． 连接OD，过D作DE⊥BC于E， 在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4， ∴sinC＝ ＝ ＝ ，BC＝ ＝ ＝2 ， ∴∠C＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵OD＝ BC＝ ， ∴DE＝ ， ∴阴影部分的面积是： 2×2 ﹣ ﹣ ＝ ﹣ ， 故答案为： ﹣ ． 38关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝ ，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧， 交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则 图中阴影部分的面积为（ ） A．8﹣ B．4﹣ C．2﹣ D．1﹣ 【答案】πD π 【解析】先根据直角三角形中的勾股定理求得AC＝1，再将求不规则的阴影部分面积转化为求规则 图形的面积：S阴影部分 ＝S△ABC ﹣（S扇形EBF +S扇形DAC ），将相关量代入求解即可． 解：根据题意可知AC＝ ＝ ＝1，则BE＝BE＝AD＝AC＝1， 设∠B＝n°，∠A＝m°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠B+∠A＝90°，即n+m＝90， ∴S阴影部分 ＝S△ABC ﹣（S扇形EBF +S扇形DAC ）＝ ﹣（ ）＝1﹣ ＝1﹣ ， 5．如图，直径AB＝6的半圆，绕B点顺时针旋转30°，此时点A到了点A'，则图中阴影部分的面积 是（ ） π 3π A． B． C．π D．3π 2 4 【答案】D 【解析】由半圆A′B面积+扇形ABA′的面积﹣空白处半圆AB的面积即可得出阴影部分的面积． ∵半圆AB，绕B点顺时针旋转30°， 39关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 ∴S ＝S +S ﹣S 阴影 半圆A′B 扇形ABA′ 半圆AB ＝S 扇形ABA′ 62π⋅30 = 360 ＝3π， 6．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为^AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为 D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（ ） A．10π B．9π C．8π D．6π 【答案】A 【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝ 36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得． 【解析】连接OC， ∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB， ∴四边形CDOE是矩形， ∴CD∥OE， ∴∠DEO＝∠CDE＝36°， 由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO， ∴∠COB＝∠DEO＝36° ∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积， 36⋅π×102 ∵S = =10π 扇形OBC 360 ∴图中阴影部分的面积＝10π 7．如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=√2，过^AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别 为D、E，则图中阴影部分的面积为（ ） 40关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 π 1 π 1 A．π﹣1 B． −1 C．π− D． − 2 2 2 2 【答案】B 【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝ OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论． 【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°， ∴四边形CDOE是矩形， 连接OC， ∵点C是^AB的中点， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵OC＝OC， ∴△COD≌△COE（AAS）， ∴OD＝OE， ∴矩形CDOE是正方形， ∵OC＝OA=√2， ∴OE＝1， 90⋅π×2 π ∴图中阴影部分的面积= −1×1= −1 360 2 8．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点 P，那么图中阴影部分的面积为 ． 41关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】2 ﹣ ． 【解析】连接PB、PC，作PF⊥BC于F， ∵PB＝PC＝BC， ∴△PBC为等边三角形， ∴∠PBC＝60°，∠PBA＝30°， ∴BF＝PB•cos60°＝ PB＝1，PF＝PB•sin60°＝ ， 则图中阴影部分的面积＝[扇形ABP的面积﹣（扇形BPC的面积﹣△BPC的面积）]×2 ＝[ ﹣（ ﹣ ×2× ）]×2＝2 ﹣ ， 故答案为：2 ﹣ ． 9．如图，正六边形ABCDEF内接于 O，BE是 O的直径，连接BF，延长BA，过F作FG⊥BA， 垂足为G． ⊙ ⊙ （1）求证：FG是 O的切线； ⊙ （2）已知FG＝2 ，求图中阴影部分的面积． 42关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 【答案】见解析 【解析】（1）证明：连接OF，AO， ∵AB＝AF＝EF， ∴ ＝ ＝ ， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝30°， ∵OB＝OF， ∴∠OBF＝∠BFO＝30°， ∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF， ∵FG⊥BA，∴OF⊥FG， ∴FG是 O的切线； ⊙ （2）解：∵ ＝ ＝ ， ∴∠AOF＝60°， ∵OA＝OF， ∴△AOF是等边三角形， ∴∠AFO＝60°，∴∠AFG＝30°， ∵FG＝2 ， ∴AF＝4，∴AO＝4， ∵AF∥BE， ∴S△ABF ＝S△AOF ， ∴图中阴影部分的面积＝ ＝ ． 43关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 10.如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝ 30°． （1）求证：直线AD是⊙O的切线； （2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积． 【答案】见解析。 【解析】（1）证明：连接OA，则∠COA＝2∠B， ∵AD＝AB，∴∠B＝∠D＝30°，∴∠COA＝60°， ∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴OA⊥AD， 即CD是⊙O的切线； （2）解：∵BC＝4，∴OA＝OC＝2， 在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°， ∴OD＝2OA＝4，AD＝2 ， 所以S ＝ OA•AD＝ ×2×2 ＝2 ， △OAD 因为∠COA＝60°， 所以S ＝ ＝ π， 扇形COA 所以S ＝S ﹣S ＝2 ﹣ ． 阴影 △OAD 扇形COA 44关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“小中高考-总复习”、最新试卷下载 45